小學(xué)語(yǔ)文微課教案

配方法。

22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2課時(shí)）
教學(xué)任務(wù)分析

教
學(xué)
目
標(biāo)1、能說出用配方法解一元二次方程的基本步驟；知道“配方法”是一種常用的數(shù)學(xué)方法。
2、會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

教學(xué)過程
問題與情景師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一、溫故知新：
1、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立，并總結(jié)其中的規(guī)律。
（1）x2+6x+=(x+3)2(2)x2+8x+=(x+)2
（3）x2-12x+=(x-)2(4)x2-+=(x-)2
(5)a2+2ab+=(a+)2(6)a2-2ab+=(a-)2
2、用直接開平方法解方程：x2+6x+9=2

第一題為口答題，復(fù)習(xí)完全平方公式，旨在引出配方法，培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣。

二、自主學(xué)習(xí)：
自學(xué)課本Ｐ31---P32思考下列問題：
1、仔細(xì)觀察教材問題2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接開平方法能解嗎？
2、怎樣解方程x2+6x-16=0？看教材框圖，能理解框圖中的每一步嗎？（同學(xué)之間可以交流、師生間也可交流。）
3、討論：在框圖中第二步為什么方程兩邊加9？加其它數(shù)行嗎？
4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？
5、配方的關(guān)鍵是什么？

交流與點(diǎn)撥：
重點(diǎn)在第2個(gè)問題，可以互相交流框圖中的每一步，實(shí)際上也是第3個(gè)問題的討論，教師這時(shí)對(duì)框圖中重點(diǎn)步驟作講解，特別是兩邊加9是配方的關(guān)鍵，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次項(xiàng)系數(shù)。所以得出配方是方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，從而配成完全平方式。

學(xué)生通過自學(xué)經(jīng)歷思考、討論、分析的過程，最終形成把一個(gè)一元二次方程配成完全平方式形式來解方程的思想

三、例題學(xué)習(xí)：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0(2)2x2+1=-3x
(3)3x2-6x+4=0
教師要選擇例題書寫解題過程，通過例題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)用配方法解方程的一般步驟。
交流與點(diǎn)撥：
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）將方程化成一般形式并把二次項(xiàng)系數(shù)化成1；（方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)）
（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)。
（3）配方，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
（4）原方程變?yōu)?x+k)2=a的形式。
（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直接開平方法求取方程的解。

牢牢把握通過配方將原方程變?yōu)?x+k)2=a的形式方法。
四、課堂練習(xí)：
1、教材Ｐ34練習(xí)1（做在課本上，學(xué)生口答）
2、教材Ｐ34練習(xí)2

對(duì)于第二題根據(jù)時(shí)間可以分兩組完成，學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)。
通過練習(xí)加深學(xué)生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作業(yè)
1、教材P42習(xí)題22.2第3題
六、總結(jié)反思：（針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)）可由學(xué)生自己完成，教師作適當(dāng)補(bǔ)充。
1、理解配方法解方程的含義。
2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯(cuò)點(diǎn)。
4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次。

延伸閱讀

配方法解一元二次方程

公開課教案

授課人:henao6202授課時(shí)間：2007-3-27

授課地點(diǎn)：ｘｘ中學(xué)八（1）班公開范圍：數(shù)學(xué)組

授課內(nèi)容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法

教學(xué)目標(biāo)：理解配方法的意義，會(huì)用配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

教學(xué)重點(diǎn)：配方法解一元二次方程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新課

1、因式分解的完全平方公式內(nèi)容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]

2、填空：

（1）x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2

(3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2

說明：配方的關(guān)鍵是兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，前提是二次項(xiàng)系數(shù)是1。

二、講解新課

1、解方程(1)(x+3)2=2

解：x+3=±

x=-3±

即：x1=-3+x2=-3-

(2)x2+6x+7=0

這個(gè)方程顯然不能用直接開平方法解，能否把這個(gè)方程化成可用開平方法來解的形式？即(x+m)2=n的形式。

我們可以這樣變形：

把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得

x2+6x=-7

對(duì)等號(hào)左邊進(jìn)行配方，得

x2+6x+32=-7+32

(x+3)2=2

這樣，就把原方程化為與上面方程一樣的形式了。像這種先對(duì)原一元二次方程配方，使它出現(xiàn)完全平方式后（即化為（x+m）2=n形式），再用開平方來解的方法叫配方法。

（板書）（一）、一元二次方程解法二：配方法

2、例1用配方法解下列方程：

（1）x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0
說明：第（1）小題引導(dǎo)學(xué)生自己完成，第二小題引導(dǎo)學(xué)生將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再讓學(xué)生自己完成。

解：（1）移項(xiàng)，得

x2-4x=1

配方，得

x2-4x+22=1+22

(x-2)2=5

開方，得

x-2=±

∴x1=2+x2=2-

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1，得

x2-x-=0

移項(xiàng)，得

x2-x=

下面的過程由學(xué)生補(bǔ)充完整：

----------------------------------------

----------------------------------------

三、歸納小結(jié)

配方法的一般步驟（讓學(xué)生總結(jié)，在黑板上板書）

1、化二次項(xiàng)系數(shù)為1

2、移項(xiàng)

3、配方（兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方）

4、開方

其中“化、移、配、開”及“一半平方”用彩色粉筆標(biāo)出。

四、練習(xí)

P40練習(xí)1、2

五、課外作業(yè)

P451、2

六、板書設(shè)計(jì)

20.2一元二次方程解法

（一）一元二次方程解法二--配方法例1解方程

（二）配方法的一般步驟（1）x2-4x-1=0

1、化二次項(xiàng)系數(shù)為1(2)2x2-3x-1=0

2、移項(xiàng)解：------------------------

3、配方（兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半平方）------------------------

4、開方------------------------

九年級(jí)上冊(cè)《配方法的基本形式》學(xué)案

九年級(jí)上冊(cè)《配方法的基本形式》學(xué)案

配方法的基本形式

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題．
通過復(fù)習(xí)可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟．

重點(diǎn)
講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟．
難點(diǎn)
將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．

一、復(fù)習(xí)引入
(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們解下列方程：
(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7
老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9嗎？
二、探索新知
列出下面問題的方程并回答：
(1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三個(gè)方程的解法呢？
問題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2，求場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？
(1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有此特征．
(2)不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：
x2＋6x－16＝0移項(xiàng)→x2＋6x＝16
兩邊加(6/2)2使左邊配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左邊寫成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以驗(yàn)證：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但場(chǎng)地的寬不能是負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2m，長(zhǎng)為8m.
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．
例1用配方法解下列關(guān)于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0(2)x2－2x－12＝0
分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上．
解：略．
三、鞏固練習(xí)
教材第9頁(yè)練習(xí)1，2.(1)(2)．
四、課堂小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程．
五、作業(yè)布置

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-配方法

專題25配方法
閱讀與思考
把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.
配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.
配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用配方解題的關(guān)鍵在于：
(1)具有較強(qiáng)的配方意識(shí)，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如能聯(lián)想起配方法.
(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解
【例1】已知實(shí)數(shù)，，滿足，那么_____
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
解題思路：對(duì)題設(shè)條件實(shí)施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實(shí)數(shù)，，c滿足，則代數(shù)式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
解題思路：運(yùn)用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項(xiàng)及完全平方式的形式.

配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；
(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；
(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解題思路：題設(shè)條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.
復(fù)合根式的化簡(jiǎn)，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù).
解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過程即可.

幾個(gè)有趣的結(jié)論：
(1)
(2)
這表明：只出現(xiàn)1個(gè)奇數(shù)或只出現(xiàn)1個(gè)偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個(gè).

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對(duì)于每個(gè)人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對(duì)這個(gè)代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞?，進(jìn)而求出代數(shù)式的最小值.
把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.
配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得為完全平方數(shù)，求n的值.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.

能力訓(xùn)練
1、計(jì)算=_________.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
2、已知，則.
3、，y為實(shí)數(shù)，且，則+y的值為__________.
4、當(dāng)＞2時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，得___________.
5、已知，當(dāng)=________，y=______時(shí)，的值最小.
(全國(guó)通訊賽試題)

6、若，則M－N的值()
A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、可正可負(fù)
7、計(jì)算的值為()
A、1B、C、D、
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
8、設(shè)，,為實(shí)數(shù)，，則x，y，z中至少有一個(gè)值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個(gè)自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知實(shí)數(shù)，，c滿足，則a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省競(jìng)賽試題)
解“存在”、“不存在”“至少存在一個(gè)”等形式的問題時(shí)，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：
設(shè)x1，x2，x3,…xn為實(shí)數(shù).
(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個(gè)為零；
(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)大于零；
(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)小于零.

11、解方程組(蘇州市競(jìng)賽試題)

12、能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13、已知，且，，為自然數(shù)，求，的值.
(天津市競(jìng)賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且，求，的值.
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價(jià)x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜＜160)；
(2)從經(jīng)濟(jì)效益來看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價(jià)，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？