小學五年級教案

八年級競賽講座(第19講平行截割)。

第十九講平行截割
平行線是初中平面幾何中基本而重要的圖形，平行線能改變角的位置并傳遞角，可“送”線段到恰當處，完成等積變形，當一組平行線截兩條直線時就得到比例線段，平行線分線段成比例定理是研究比例線段、相似形的重要理論．
利用、挖掘、創(chuàng)造平行線，是運用平行線分線段成比例定理解題的關鍵，另一方面，需要熟悉并善于從復雜圖形中分解或構造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本圖形：

例題求解
【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點，DM、DN分別交AC于P、Q兩點，則AP：PQ：QC=．
(河北省初中數(shù)學創(chuàng)新與知識應用競賽試題)

思路點撥圖中有形如“X”型的基本圖形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一條線段的代數(shù)式表示．
【例2】如圖，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為()
A．B．1C．D．2
(江蘇省泰州市中考題)
思路點撥已知條件沒有平行線，需恰當作平行線，構造基本圖形，產(chǎn)生含，的比例線段，并設法溝通已知比例式與未知比例式的聯(lián)系．
【例3】如圖，BD、BA，分別是∠ADC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
(1)求證：四邊形AEBD為矩形；
(2)若=3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB于點H，且，求證：△AHG是等腰三角形．
(廈門市中考題)

思路點撥對于(2)，由比例線段導出平行線，證明∠HAG=∠AHG．
【例4】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點，求證：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一點(中點除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF這個結論還成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)

思路點撥對于(2)，先假設結論成立，從平行線出發(fā)證明AB=PC+PF，即需證明，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與比例線段有關問題的證明．
注若題設條件無平行線，需作平行線．而作平行線要考慮好過哪一點作平行線，一般是由比的兩條線段啟發(fā)而得的，其目的是構造基本圖形．
平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，比例線段豐富了我們研究幾何問題的方法，主要體現(xiàn)在：
(1)利用比例線段求線段的長度；
(2)運用比例線段證明線段相等，線段和差倍分關系、兩直線平行等問題．
【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長線分別相交于點M、N、R、S和P，求證：PM×PN=PR×PS
(山東省競賽題)

思路點撥由于PM、PN、PR、PS在同一條直線上，所以不能直接應用平行線分線段成比例推得結論，需觀察分解圖形，利用中間比溝通不同比例式的聯(lián)系
學力訓練
1．如圖，△ABC中有菱形AMPN，如果，則．
(南通市中考題)
2．如圖，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點，CF的延長線交AB于點E，若，則；若，則．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)

3．如圖，已知點D為△ABC中AC邊的中點，AE∥BC，ED交AB于點G，交BC的延長線于點F，若，BC=8，則AE的長為．
(蘇州市中考題)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD邊上一動點，AE、BC的延長線交于點F，設DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代數(shù)式表示y得．
(黑龍江省中考題)

5．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結論：
①；②；③；④．
其中正確比例式的個數(shù)有()
A．4個B．3個C．2個D．1個
6．如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q是BD、CE的中點，則等于()
A．B．C．D．
7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O1、O2，O3為對角線BD上三點，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，連結AOl并延長交BC于點C，連結EO3延長交AD于點F，則AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考題)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=3CE，DE交BC于F，則DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江蘇省競賽題)
9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一點，AE=2BE，M是腰BC的中點，連結EM并延長交DC的延長線于點F，連結BD交EF于點N求證：BN：ND=l：10．(河南省中考題)
10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD．
(1)求證：OE=OF，(2)求的值；
（3）求證：．

11．已知如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD于F，我們可以證明成立．若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB，交BD于點F，則：
(1)還成立嗎?如成立，請給出證明；如不成立，請說明理由；
(2)請找出S△ABD，S△BED，S△BDC間的關系式，并給出證明．
(黃岡市中考題)
12．如圖，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，BE延長后交AD于F，那么=．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)

13．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，過O任作一直線與CD、BC的延長線分別交于F、E點，設BC=a，CD=b，CE=c，則CF=．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分別是AD、BC的中點，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為．
15．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15m，分別自兩桿上高出地面4m、6m的A、C處，向兩側地面上的E、D、B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為m．
(2000年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E，F(xiàn)是BC的三等分點．AE、AF分別交BD于M、N兩點，則BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武漢市選拔賽試題)

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為()
A．B．C．D．
(山東省競賽題)
18．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、F分別是邊AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，試判斷下列結論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正確的結論有()
A．1個B．2個C．3個D．4個

19．如圖，已知△ABC，，，AD、BE交于F，則的值()
A．B．C．D．
20．如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山東省競賽題)

21．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB邊的中點，AF=FD，F(xiàn)E與AC相交于G，求證：AG=AC．
22．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點，且滿足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F，求證：EF=3DE．
(湖北省黃岡市競賽題)
23．在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O．某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：
(1)當時，有(如圖甲)；
（2）當時，有(如圖乙)；
(3)當時，有(如圖丙)；
在圖丁中，當時，參照上述研究結論，請你猜想用表示的一般結論，并給出證明(其中n是正整數(shù))
(山西省中考題)

24．如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點，連結AP2并延長交BC于點E，連結APn-2并延長交CD于點F．
(1)求證：EF∥BD；
(2)設平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF=S，求n的值．(山東省競賽題)

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八年級競賽講座(第28講奇妙的對稱)

第二十八講奇妙的對稱
對稱是一種客觀存在，一朵紅花、一片綠葉、一只色彩魔斕的蝴蝶等，最令人驚奇的就是它們外形的幾何對稱性，自然界的對稱性可以在從亞原子粒子的結構到整個宇宙的結構的每一個尺度上找到．
對稱是一種美的標準，人類心智中的某種東西受對稱的吸引，對稱對我們的視覺有感染力，影響我們對美的感受，建筑、繪畫廣泛地應用對稱．
對稱是一個數(shù)學概念，我們熟悉的有代數(shù)中的對稱式、幾何中的軸對稱、中心對稱等，更一般情況是，許多數(shù)學問題所涉及的對象具有對稱性，不僅包括幾何圖形中的對稱，而且泛指某些對象在有些方面如圖形、關系、地位等同彼此相對又相稱．
對稱是一種解題方法，即解題時充分利用問題自身條件的某些對稱性分析問題，在探求幾何最值、代數(shù)式的化簡求值等方面有廣泛的應用．
例題求解
【例1】如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O為△ABC中一點，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長是．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點撥△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分線，與BO延長線交于D，連AD，OC，通過全等尋找與AO相等的線段，促使問題的解決．
注物理學家皮埃爾?居里曾說，“結果與其原因一樣對稱．”
大干世界，許多事物都具有某種對稱性．許多化學分子是對稱的，細胞結構是對稱的，病毒往往也是對稱的，……對稱給人們以和諧均衡的羌感，完全的對稱是重復性的可預言的，
人類在漫長的歲月里，體驗著對稱，享受著對稱．
求幾何量的最值問題常用方法有：
(1)應用幾何中的不等式性質(zhì)，定理；
(2)對稱分析；
(3)代數(shù)法．即著眼于揭示問題中變動元素的代數(shù)關系．
【例2】如圖，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為()
A．2B．C．D．(“新蕾杯”數(shù)學競賽題)

思路點撥C、E兩點位置固定，從對稱性考慮，確定P點位置．
【例3】現(xiàn)有一塊形如母子正方形的板材，木工師傅想先把它割成幾塊，然后適當拼接，制成某種特殊形狀的板面(要求板材不能有剩余，拼接時不重疊、無空隙)，請你按下列要求幫助木工師傅分別設計一種方案：
(1)板面形狀為非正方形的中心對稱圖形；
(2)板面形狀為等腰梯形；
(3)板面形狀為正方形．
思路點撥問題(1)，由“中心對稱的四邊形是平行四邊形”想象出中心對稱的多邊形的大致形狀；問題(2)，先計算等腰梯形面積為5，猜想等腰梯形的高，可能為2，因此，上、下底的和應為5；問題(3)，由正方形的面積為5，計算出它的邊長應為．
【例4】已知，試確定、的關系．
(江蘇省競賽題)
思路點撥有理化是解根式問題的基本思路，乘方、配方、換元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道膾炙人口的名題，引入與已知等式地位相對相稱的有理化因式，本例可獲得簡解．
注數(shù)學中的對稱，不僅指幾何圖形中的對稱，代數(shù)表示式中，若各個宇母互相替代，表示式不變，也稱這個表示式關于這些字母是對稱的，一個復雜的二元對稱式．都可以用最簡單對稱式，表示．
許多數(shù)學問題有著和諧的對稱美．對原題匹配一個與之相對的數(shù)學式，然后一起參與運算，這就是常說的“對稱性地處理具有對稱性的問題”，是數(shù)學解題中的一個一般性原則．
用對稱法解幾何題的常見的方式有：
(1)作出常見軸對稱圖形的對稱軸，或利用題設條件中的垂線、角平分線翻折造全等；
(2)利用中點構造中心對稱圖形．
【例5】如圖，凸四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比較BC+AD與AB+CD的大?。?“祖沖之杯”邀請賽試題)

思路點撥以AC為對稱軸，將部分圖形翻折，把相關線段集中到同一個三角形中去，以便運用三角形三邊關系定理，這是解本例的關鍵．
【例6】如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求證：AD2=．
(北京市競賽題)
思路點撥易想到勾股定理，需要把分散的條件加以集中，利用中點，構造中心對稱全等三角形．
學力訓練
1．下面四個圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同?請指出這個圖形，并簡述你的理由．
答：圖形；理由是：．(吉林省中考題)

2．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD＝4，P在直線MN上運動，則的最大值等于．
(“希望杯”邀請賽試題)
3．如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個三角形旋轉(zhuǎn)180°，點B落在點B′處，那么B′點與B點的原來位置相距cm．

4．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于O點)，則△PQR的周長的最小值為．(黃岡市中考題)
5．設將一張正方形紙片沿右圖中虛線剪開后，能拼成下列四個圖形，則其中是中心對稱圖形的是()(2003平龍巖市中考題)

6．如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A、B處距河岸的距離AC、BD的長分別為500m和700m，且C、D兩地的距離為500m，天黑前牧童從A點將馬牽引到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童至少要走()
A．100mB．1200mC．1300mD．1700m
7．如圖，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P點在BD上，則PE+PC的最小值為()
A．6a0B．5aC．4aD．2a
8．如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側的村莊．
(1)設汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的公路AB上分別畫出點P、Q的位置(保留畫圖痕跡)．
(2)當汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠?(分別用文字表述你的結論，不必證明)
(3)在公路AB上是否存在這樣一點H，使汽車行駛到該點時，與村莊M、N的距離相等?如果存在，請在圖中的AB上畫出這一點(保留畫圖痕跡，不必證明)：如果不存在，請簡要說明理由．(2001年浙江省嘉興市中考題)
9．(1)用四塊如圖I所示的黑白兩色正方形瓷磚拼成一個新的正方形，使之形成軸對稱圖案，請至少給出三種不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)請你任意改變圖I瓷磚中黑色部分的圖案，然后再用四塊改變圖案后的正方形瓷磚拼出一個中心對稱圖案(在④中操作)．(仙桃、潛江、天門、江漢油田中考題)

10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F，求證：FD2=FB×FC．
11．如圖，設Ll和L2，是鏡面平行且鏡面相對的兩面鏡子，把一個小球放在之間，小球放在鏡Ll中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A″，若Ll、L2的距離為7，則AA″．
(江蘇省競賽題)

12．如圖，設M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，則△ABC的面積為．
13．如圖，ABCD—ABCD為長方體，AA=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3×4個小正方形，其邊長均為l0cm，得到點E、F、G、H和E，、F，、G，、H，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面E點沿表面爬行至上底面G，點至少要花時間
秒．
14．無理數(shù)的整數(shù)部分是．(“希望杯”邀請賽試題)
15．當?shù)扔?，，…，?，2，…，1992，1993時，計算代數(shù)式的值，再將所得的結果全部加起來，總和等于．
16．一束光線經(jīng)3塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應的度數(shù)，已知c=60°，求d+e與x的值．
17．如圖，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一點，求證：AC+BP＜AB+PC．

18．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值．
19．如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求證：以△ABC三條中線為邊構成的三角形與△ABC相似．(2004年武漢市選拔賽試題)

八年級競賽講座(第15講平行四邊形)

第十五講平行四邊形
平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現(xiàn)在邊、角、對角線上，矩形、菱形是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性體現(xiàn)在有一個角是直角，菱形的特殊性體現(xiàn)在鄰邊相等，所以，它們既有平行四邊形的性質(zhì)，又有各自特殊的性質(zhì)．
對角線是解決四邊形問題的常用線段，對角線本身的特征又可以決定四邊形的形狀、大小，連對角線后，平行四邊形就產(chǎn)生特殊三角形，因此解平行四邊形相關問題時，既用到全等三角形法，特殊三角形性質(zhì)，又要善于在乎行四邊形的背景下探索問題，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務．
熟悉以下基本圖形、基本結論：

例題求解
【例1】如圖，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

思路點撥分別求出PE、PF困難，△AOD為等腰三角形，若聯(lián)想“到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì)，則問題迎刃而解．
注特殊與一般是對立統(tǒng)一的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，相對于一般而言，特殊的事物往往更簡單、更直觀、更具體．因而人們常常通過特殊去認識一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更為深刻地反映著事物的本質(zhì)，所以人們也往往通過一般去了解特殊．
一般與特殊，是知識之間聯(lián)系的一種重要形式，知識常常在一般到特殊或特殊到一般的變化過程中，不斬地得到延伸與拓展．
【例2】已知四邊形ABCD，從下列條件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．
任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結論的情況有（）
A．4種B．9種C．13種D．15種
(山東省競賽題)
思路點撥根據(jù)平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定．
【例3】】如圖，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC．
(湖北省荊州市中考題)

思路點撥從角的角度證明困難，連結CF，在四邊形AGFE的背景下思考問題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．
【例4】如圖，設P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，PG⊥EF于G點，延長GP并在其延長線上取一點D，使得PD＝PC，求證：BC⊥BD，且BC=BD．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

思路點撥盡管圖形復雜，但證明目標明確，只需證明△CPB≌△DPB，應從圖中分離出特殊三角形、特殊四邊形，充分運用它們的性質(zhì)為證題服務．
【例5】如圖，在等腰三角形ABC中，延長邊AB到點D，延長邊CA到點E，連結DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度數(shù)．
(北京市競賽題)

思路點撥題設條件給出的是線段的等量關系，要求的卻是角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角形、特殊三角形，為此需通過構造平行四邊形改變它們的位置．
注課本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對角線三個方面探討的，一般情況是，從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題．其中有真命題與假命題，對于假命題，要善于并熟悉構造反例．
構造反例是學習數(shù)學的一種重要技能，可以幫助我們理解概念．培養(yǎng)推理能力，數(shù)學史上就曾有許多著名的論斷被一個巧妙的反例推翻的實例．
若題設條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素，則通過作平行線，構造平行四邊形，這是解四邊形問題的常用技巧，這是由于平行四邊形能使角的位置更理想，送線段到恰當?shù)牡胤剑咕€段比良性傳遞．
學力訓練
1．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，點E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個條件是(填上你認為正確的一個即可，不必考
慮所有可能情形)
(寧波市中考題)
2．(1)如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE＝3：1，則∠CAC＝；(河南省中考題)
(2)矩形的一個角的平分線分矩形一邊為lcm和3cm兩部分，則這個矩形的面積
為cm2．(武漢市中考題)

3．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
(1)四邊形ADEF是；
(2)當△ABC滿足條件時，四邊形ADEF為矩形；
(3)當△ABC滿足條件時，四邊形ADEF不存在．(2000年貴州省中考題)
4．已知一個三角形的一邊長為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為．(2001年天津市選拔賽試題)
5．四邊形的四條邊長分別是a、b、c、d，其中a、c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是()
A．平行四邊形B．兩組對角分別相等的四邊形
C．對角線互相垂直的四邊形D．對角線相等的四邊形
6．如圖，周長為68的矩形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABCD的面積為()
A．98B．196C．280D．284
(湖北省荊州市中考題)

7．如圖，菱形花壇ABCD的邊長為6m，∠B＝60°，其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分的圖形的周長(粗線部分)為()
A．12mB．20mC．22mD．24m
(吉林省中考題)
8．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則()
A．AD>BCB．ADC．AD=BCD．AD與BC的大小關系不能確定
(“希望杯”邀請賽試題)
9．如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點，且CD=BF，以AD為邊作等邊△ADC．
(1)求證：△ACD≌△CNBF；
(2)當D在線段BC上何處時，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF=30°?
證明你的結論．(南通市中考題)

10．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于C，M為BC的中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結論．
(黑龍江省中考題)
11．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
(1)求證：CO＝FO；
(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形?并證明你的結論．
(3)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形?
12．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點P在BD上，圖中有對四邊形面積相等，它們是．
(常州市中考題)
13．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，△AOB的周長為3+，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為．

14．如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則∠BOE=．
15．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為．(山東省競賽題)
16．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是()
A．60°B．65°C．70°D．75°(“希望杯”邀請賽試題)

17．如圖，正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點E、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是()
A．70°B．75°C．80°D．95°
(重慶市競賽題)
18．如圖，正方形ABCD外有一點P，P在BC外側，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=()
A．2B．C．3D．(“五羊杯”競賽題)

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CZ⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點，若∠AEF=
54°，則∠B=()
A．54°B．60°C．66°D．72°
(武漢市選拔賽試題)
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中點，以D作DE⊥AC與CB的延長線交于E，以AB、BE為鄰邊作長方形ABEF，連結DF，求DF的長．

21．如圖，菱形的對角線AC與BD交于點O，延長BA到E，使AE=AB，連結OE，延長DE交CA的延長線于F．求證：OE=DF．
22．閱讀下面短文：
如圖1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個便點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個：矩形ACBD和矩形AEFB(如圖2)．

解答問題；
(1)設圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為Sl、S2，則S1S2(填“>”，“=”或“”)；
(2)如圖3，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個，利用圖3把它畫出來；
(3)如圖4，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC>AC>AB，按短文中的要求把它補成矩形，則符合要求的矩形可以畫出個，利用圖4把它畫出來；
(4)在(3)中所畫出的矩形中，哪一個的周長最小?為什么?
(陜西省中考題)
23．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P，求證：∠BPM=45°．
(杭州市“求是杯”競賽題)
24．如圖，在銳角△ABC中，AD、CZ分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點為P，AC的中點為Q，連結PQ、DE．
(1)求證；直線PQ是線段DE的垂直平分線；
(2)如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC>90°，那么上述結論是否成立?
請按鈍角三角形改寫原題，畫出相應的圖形，并給予必要的說明．
(“希望杯”邀請賽試題)

八年級競賽講座(第24講配方法的解題功能)