小學五年級教案

八年級競賽講座(第35講應(yīng)用題)。

第三十五講應(yīng)用題
?????在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．
當今數(shù)學已經(jīng)滲入到整個社會的各個領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學競賽的一個熱點．
應(yīng)用性問題能引導學生關(guān)心生活、關(guān)心社會，使學生充分體會到數(shù)學與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強對數(shù)學的理解和應(yīng)用數(shù)學的信心．
解答應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是要學會運用數(shù)學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型．其求解程序如下：

在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題
數(shù)與式是最基本的數(shù)學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數(shù)學的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數(shù)學問題的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考題)某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
景點ABCDE
原價（元）1010152025
現(xiàn)價（元）55152530
平均日人數(shù)（千人）11232
（1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區(qū)是怎樣計算的？
（2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計算的？
（3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？
思路點撥（1）風景區(qū)是這樣計算的：
調(diào)整前的平均價格：，設(shè)整后的平均價格：
∵調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變．
∴平均日總收入持平．
（2）游客是這樣計算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
（3）游客的說法較能反映整體實際．
二、用方程模型解應(yīng)用題
研究和解決生產(chǎn)實際和現(xiàn)實生恬中有關(guān)問題常常要用到方程組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認識和理解現(xiàn)實世界．
【例2】(重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2min內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4mln內(nèi)可以通過800名學生．
(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．
思路點撥列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過的學生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時一般問什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學生總數(shù)．
(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側(cè)門可以通過y名學生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學生4×8×45=1440(名)．
擁擠時5min4道門能通過．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．
三、用不等式模型解應(yīng)用題
現(xiàn)實世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．
【例3】(蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風力發(fā)電機，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風力發(fā)電機在各種風速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：
日平均風速v(米/秒)v<3>日發(fā)電量(千瓦?時)A型發(fā)電機O≥36≥150
B型發(fā)電機O≥24≥90
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
(1)若這個發(fā)電場購x臺A型風力發(fā)電機，則預(yù)計這些A型風力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為千瓦?時；
(2)已知A型風力發(fā)電機每臺O.3萬元，B型風力發(fā)電機每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
思路點撥(1)(100×36+60×150)x=12600x；
(2)設(shè)購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺,
解法一根據(jù)題意得：
解得5≤x≤6．
故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺．
四、用函數(shù)知識解決的應(yīng)用題
函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．
【例4】(揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報刊零售點．對經(jīng)營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：
①買進每份0.20元，賣出每份0.30元；
②一個月內(nèi)(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；
③一個月內(nèi)，每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；
(1)填表：
一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150
當月利潤(單位：元)
(2)設(shè)每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值．
思路點撥(1)填表：

一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150
當月利潤(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個月內(nèi)的20天可獲利潤：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)，當x=200時，月利潤y的最大值為440元．
注根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會提及統(tǒng)計型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．
【例5】(桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．
（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)．
(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規(guī)定時間內(nèi)：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工程；C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?
思路點撥這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．
(1)設(shè)乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據(jù)題意得：
,x=30合題意，
所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

(2)各種方案所需的費用分別為：
A．請甲隊需2000×20=40000元；
B．請乙隊需1400×30=4200元；
C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元．
所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．
【例6】(2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發(fā)點，試問：科學考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天?
思路點撥挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!
設(shè)考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1．①
這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè)法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0=－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0<60，故僅當t=1時才合題意，這時x+y>∴z=60—(x+y)=23．
答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．
注本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．
【例7】(江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：
(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；
(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優(yōu)惠；
(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．
小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?
思路點撥應(yīng)付198元購物款討論：
第一次付款198元，可是所購物品的實價，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論．
情形1當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元．
又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0.8=130(元)．
因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198+630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．
情形2當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198÷0.9=220(元)．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．
綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元
【例8】(2002年全國數(shù)學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?
思路點撥關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數(shù)及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：
設(shè)甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．
則，解得
再設(shè)甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，
則，解得
于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000(元)．
由乙隊單獨承包，費用是29500×6=177000(元)．
而丙隊不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊承包費用最少．
學歷訓練
（A級）
1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?
2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節(jié)約用水，對自來水妁收費標準作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)
3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?
4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?
(提示：根據(jù)目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價而不管其行駛里程是多少)
（B級）
1．(全國初中數(shù)學競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機臺．
2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：
購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上
每臺價格760元720元680元640元600元

乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折；每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．
（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價格的對照表；
(2)現(xiàn)在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?
3．(河北創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設(shè)計兌換方案．
4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級)．問：
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?
5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100㎏(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．
6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b

相關(guān)知識

八年級競賽講座(第19講平行截割)

第十九講平行截割
平行線是初中平面幾何中基本而重要的圖形，平行線能改變角的位置并傳遞角，可“送”線段到恰當處，完成等積變形，當一組平行線截兩條直線時就得到比例線段，平行線分線段成比例定理是研究比例線段、相似形的重要理論．
利用、挖掘、創(chuàng)造平行線，是運用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵，另一方面，需要熟悉并善于從復雜圖形中分解或構(gòu)造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本圖形：

例題求解
【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點，DM、DN分別交AC于P、Q兩點，則AP：PQ：QC=．
(河北省初中數(shù)學創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題)

思路點撥圖中有形如“X”型的基本圖形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一條線段的代數(shù)式表示．
【例2】如圖，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為()
A．B．1C．D．2
(江蘇省泰州市中考題)
思路點撥已知條件沒有平行線，需恰當作平行線，構(gòu)造基本圖形，產(chǎn)生含，的比例線段，并設(shè)法溝通已知比例式與未知比例式的聯(lián)系．
【例3】如圖，BD、BA，分別是∠ADC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
(1)求證：四邊形AEBD為矩形；
(2)若=3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB于點H，且，求證：△AHG是等腰三角形．
(廈門市中考題)

思路點撥對于(2)，由比例線段導出平行線，證明∠HAG=∠AHG．
【例4】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點，求證：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一點(中點除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF這個結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)

思路點撥對于(2)，先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB=PC+PF，即需證明，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與比例線段有關(guān)問題的證明．
注若題設(shè)條件無平行線，需作平行線．而作平行線要考慮好過哪一點作平行線，一般是由比的兩條線段啟發(fā)而得的，其目的是構(gòu)造基本圖形．
平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，比例線段豐富了我們研究幾何問題的方法，主要體現(xiàn)在：
(1)利用比例線段求線段的長度；
(2)運用比例線段證明線段相等，線段和差倍分關(guān)系、兩直線平行等問題．
【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長線分別相交于點M、N、R、S和P，求證：PM×PN=PR×PS
(山東省競賽題)

思路點撥由于PM、PN、PR、PS在同一條直線上，所以不能直接應(yīng)用平行線分線段成比例推得結(jié)論，需觀察分解圖形，利用中間比溝通不同比例式的聯(lián)系
學力訓練
1．如圖，△ABC中有菱形AMPN，如果，則．
(南通市中考題)
2．如圖，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點，CF的延長線交AB于點E，若，則；若，則．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)

3．如圖，已知點D為△ABC中AC邊的中點，AE∥BC，ED交AB于點G，交BC的延長線于點F，若，BC=8，則AE的長為．
(蘇州市中考題)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD邊上一動點，AE、BC的延長線交于點F，設(shè)DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代數(shù)式表示y得．
(黑龍江省中考題)

5．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確比例式的個數(shù)有()
A．4個B．3個C．2個D．1個
6．如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q是BD、CE的中點，則等于()
A．B．C．D．
7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O1、O2，O3為對角線BD上三點，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，連結(jié)AOl并延長交BC于點C，連結(jié)EO3延長交AD于點F，則AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考題)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=3CE，DE交BC于F，則DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江蘇省競賽題)
9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一點，AE=2BE，M是腰BC的中點，連結(jié)EM并延長交DC的延長線于點F，連結(jié)BD交EF于點N求證：BN：ND=l：10．(河南省中考題)
10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD．
(1)求證：OE=OF，(2)求的值；
（3）求證：．

11．已知如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD于F，我們可以證明成立．若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB，交BD于點F，則：
(1)還成立嗎?如成立，請給出證明；如不成立，請說明理由；
(2)請找出S△ABD，S△BED，S△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．
(黃岡市中考題)
12．如圖，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，BE延長后交AD于F，那么=．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)

13．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，過O任作一直線與CD、BC的延長線分別交于F、E點，設(shè)BC=a，CD=b，CE=c，則CF=．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分別是AD、BC的中點，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為．
15．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15m，分別自兩桿上高出地面4m、6m的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D、B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為m．
(2000年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E，F(xiàn)是BC的三等分點．AE、AF分別交BD于M、N兩點，則BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武漢市選拔賽試題)

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為()
A．B．C．D．
(山東省競賽題)
18．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、F分別是邊AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，試判斷下列結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正確的結(jié)論有()
A．1個B．2個C．3個D．4個

19．如圖，已知△ABC，，，AD、BE交于F，則的值()
A．B．C．D．
20．如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山東省競賽題)

21．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB邊的中點，AF=FD，F(xiàn)E與AC相交于G，求證：AG=AC．
22．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點，且滿足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F，求證：EF=3DE．
(湖北省黃岡市競賽題)
23．在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O．某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：
(1)當時，有(如圖甲)；
（2）當時，有(如圖乙)；
(3)當時，有(如圖丙)；
在圖丁中，當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用表示的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))
(山西省中考題)

24．如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點，連結(jié)AP2并延長交BC于點E，連結(jié)APn-2并延長交CD于點F．
(1)求證：EF∥BD；
(2)設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF=S，求n的值．(山東省競賽題)

八年級競賽講座(第24講配方法的解題功能)

八年級競賽講座(第6講實數(shù)的概念及性質(zhì))

第六講實數(shù)的概念及性質(zhì)
數(shù)是隨著客觀實際與社會實踐的需要而不斷擴充的．
從有理數(shù)到無理數(shù)，經(jīng)歷過漫長曲折的過程，是一個巨大的飛躍，由于引入無理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴充到實數(shù)域，這樣，實數(shù)與數(shù)軸上的點就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系．
由于引入開方運算，完善了代數(shù)的運算．平方根、立方根的概念和性質(zhì)，是學習二次根式、一元二次方程等知識的基礎(chǔ)．平方根、立方根是最簡單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質(zhì)是進一步學習偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ)．
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)有下列重要性質(zhì)：
1．有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分數(shù)的形式；無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)的形式，這里、是互質(zhì)的整數(shù)，且．
2．有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)．
例題求解
【例1】若a、b滿足3=7，則S＝的取值范圍是．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
思路點撥運用、的非負性，建立關(guān)于S的不等式組．
注：古希臘的畢達哥拉斯學派認為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比．但是該學派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴重地沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解，這一事件在數(shù)學史上稱為第一次數(shù)學危機．希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒有被畢達哥拉斯學派的信徒所接受，相傳畢氏學派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死．
【例2】設(shè)是一個無理數(shù)，且a、b滿足ab－a－b+1=0，則b是一個()
A．小于0的有理數(shù)B．大于0的有理數(shù)C．小于0的無理數(shù)D．大于0的無理數(shù)
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥對等式進行恰當?shù)淖冃?，建立a或b的關(guān)系式．
【例3】已知a、b是有理數(shù)，且，求a、b的值．
思路點拔把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組．
【例4】(1)已知a、b為有理數(shù)，x，y分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市競賽題)
(2)設(shè)x為一實數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，求滿足=x+1的整數(shù)x的值．(江蘇省競賽題)
思路點撥(1)運用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)運用的性質(zhì)，簡化方程．
注：設(shè)x為一實數(shù)，則表示不大于x的最大整數(shù)，]又叫做實數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質(zhì)：
(1)x－1≤x(2)若y

【例5】已知在等式中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：
(1)當a、b、c、d滿足什么條件時，s是有理數(shù)；
(2)當a、b、c、d滿足什么條件時，s是無理數(shù)．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點撥(1)把s用只含a、b、c、d的代數(shù)式表示；(2)從以下基本性質(zhì)思考：
設(shè)a是有理數(shù)，r是無理數(shù)，那么①a+r是無理數(shù)；②若a≠0，則ar也是無理數(shù)；③
r的倒數(shù)也是無理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運用分式的性質(zhì)，對a、b、c、d取值進行詳細討論．
注：要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾．

學力訓練
1．已知x、y是實數(shù)，，若，則a=．
(2002年個數(shù)的平方根是和，那么這個數(shù)是．
3．方程的解是．
4．請你觀察思考下列計算過程：∵112＝121，∴；同樣∵1112=12321，∴；…由此猜想．
(濟南市中考題)
5．如圖，數(shù)軸上表示1、的對應(yīng)點分別為A、B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C所表示的數(shù)是()
A．B．C．D．
(江西省中考題)
6．已知x是實數(shù)，則的值是()
A．B．C．D．無法確定的
(“希望杯”邀請賽試題)
7．代數(shù)式的最小值是()
A．0B．C．1D．不存在的
(“希望杯”邀請賽試題)
8．若實數(shù)a、b滿足，求2b+a－1的值．
(山西省中考題)

9．細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．
，；，；，；…
(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；
(2)推算出OA10的長；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．(煙臺市中考題)
10．已知實數(shù)a、b、c滿足，則a(b+c)=．
11．設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程，那么x－y的值是．
(“希望杯’邀請賽試題)
12．設(shè)a是一個無理數(shù)，且a、b滿足ab+a－b＝1，則b=．
(四川省競賽題)
13．已知正數(shù)a、b有下列命題：
①若a=1，b＝1，則；②若，則；
③若a＝2，b=3，則；④若a=1，b=5，則．
根據(jù)以上幾個命題所提供的信息，請猜想，若a=6，b=7，則．
(黃岡市競賽題)
14．已知：，那么代數(shù)式的值為()
A．B．C．D．
(重慶市競賽題)
15．設(shè)表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5，n為整數(shù))，則+++…+的值為()
A．5151B．5150C．5050D．5049
(“五羊杯”邀請賽試題)
16．設(shè)aA．B．C．D．3
(全國初中數(shù)學競賽題)
17．若a、b、c為兩兩不等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．
18．某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質(zhì)量，當把鐵塊放在天平左盤中時，稱得它的質(zhì)量為300克，當把鐵塊放在天平的右盤中時，稱得它的質(zhì)量為900克，求這一鐵塊的實際質(zhì)量．
(安徽省中考題)．
19．閱讀下面材料，并解答下列問題：
在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運算，②已知b和N，求a，這是開方運算．
現(xiàn)在我們研究第三種情況；已知a和N，求b，我們把這種運算叫做對數(shù)運算．
定義：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，則b叫做以a為底的N的對數(shù)，記作b=logaN．
例如：因為23=8，所以log28=3；因為2-3=，所以log2=－3．
(1)根據(jù)定義計算:
①log381=；②log33=；③log3l=；④如果logx16=4，那么x=．
(2)設(shè)ax=M，ay＝N，則logaM=x；logaN＝y(tǒng)(a>0，a≠1，N>0，M，N均為正數(shù))．
用logAM，logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)oga，并說明理由．
(泰州市中考題)
20．設(shè)，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)．求證：
(1)當bc=ad時，y是有理數(shù)；
(2)當bc≠ad時，y是無理數(shù)．
設(shè)△ABC的三邊分別是a、b、c，且，試求AABC的形狀．