小學教案比的應用
發(fā)表時間：2020-12-24“勾股定理的應用”。
八年級上勾股定理應用之一
目標
重點
難點
1、知識與方法目標：通過對一些典型題目的思考、練習，能正確、熟練的進行勾股定理有關計算，深入對勾股定理的理解。
2、過程與方法目標：通過對一些題目的探討，以達到掌握知識的目的。
3、情感與態(tài)度目標：感受數(shù)學在生活中的應用，感受數(shù)學定理的美。
勾股定理的應用
勾股定理的靈活應用。
內(nèi)容
方法
八年級上--勾股定理的應用之一
講練結(jié)合
課前復習
師：勾股定理的內(nèi)容是什么？
生：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
師：這個定理為什么是兩直角邊的平方和呢？
生：斜邊是最長邊，肯定是兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，否則不正確的。
師：是這樣的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系。
今天我們來看看這個定理的應用。
新課過程
分析：
師：上面的探究，先請大家思考如何做？
（留幾分鐘的時間給學生思考）
師：看到這個題讓我們想起古代一個笑話，說有一個人拿一根桿子進城，橫著拿，不能進，豎著拿，也不能進，干脆將其折斷，才解決了問題，相信同學們不會這樣做。
（我略帶夸張的比劃、語氣，學生笑聲一片，有知道這個故事的，搶在我的前面說，學生欣欣然，我觀察課堂氣氛比較輕松，這也正是我所希望氛圍，在這樣的情況下，學生更容易掌握知識）
師：這里木板橫著不能進，豎著不能進，只能試試將木板斜著順進去。
師：應該比較什么？
李冬：這是一塊薄木板，比較AC的長度，是否大于2.2就可以了。
師：李冬說的是正確的。請大家算出來，可以使用計算器。
解：在RtΔABC中，由題意有：
AC＝＝≈2.236
AC大于木板的寬
∴薄木板能從門框通過。
學生進行練習：
1、在RtABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.
已知a=5，b=12，求c；
已知a=20，c=29，求b
（請大家畫出圖來，注意不要簡單機械的套a2+b2＝c2，要根據(jù)本質(zhì)來看問題）
2、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？
師：對第二問有什么想法？
生：分情況進行討論。
師：具體說說分幾種情況討論？
生：3cm和4cm分別是直角邊；4cm是斜邊，3cm是直角邊。
師：呵呵，你們漏了一種情況，還有3cm是斜邊，4cm是直角邊的這種情況。
眾生（頓感機會難得，能有一次戰(zhàn)勝老師的機會哪能放過）：啊！斜邊應該大于直角邊的。這種情況是不可能的。
師：你們是對的，請把這題計算出來。
（學生情緒高漲，為自己的勝利而高興）
（這樣處理對有的學生來說，印象深刻，讓每一個地方都明白無誤）
解：當6cm和8cm分別為兩直角邊時；
斜邊＝＝10
∴周長為：6+8+10＝24cm
當6cm為一直角邊，8cm是斜邊時，
另一直角邊＝＝2
周長為：6+8+2＝14+2
師：如圖，看上面的探究2。
分析：
師：請大家思考，該如何去做？
陳曉玲：運用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的長度，又A點下滑了0.4米，再算出OC的長度，再利用勾股定理算出OD的長度即可，最后算出BD的長度就能知道了。
師：這個思路是非常正確的。請大家寫出過程。
有生言：是0.4米。
師：猜是0.4米，就是想當然了，算出來看看，是不是與你的猜測一樣。
（周飛洋在黑板上來做）
解：由題意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
∴AO＝＝2.4（米）
又下滑了0.4米
∴OC＝2.0米
在RtΔODC中
∴OD＝=1.5（米）
∴外移BD＝0.8米
答：梯足將外移0.8米。
師：這與有的同學猜測的答案一樣嗎？
生：不一樣。
師：做題應該是老老實實，不應該想當然的。
例3再來看一道古代名題：
這是一道成書于公元前一世紀，距今約兩千多年前的，《九章算術(shù)》中記錄的一道古代趣題：
原題：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”
師：誰來給大家說一說：“葭”如何讀？并請解釋是什么意思？
黃尚劍：葭（ji），是蘆葦?shù)囊馑肌?/p>
師：這是正確的。
師：誰來翻譯？
吳智勇：現(xiàn)在有一個正方形的池子，一株蘆葦長在水中央，露出水面的部分為一尺，拉蘆葦?shù)桨哆?，剛好與搭在岸上……
師：聽了吳智勇的翻譯，我覺得“適與岸齊”翻譯得不達意，應該理解為蘆葦與水面與岸的交接線的中點上。
宋婷等：老師，我也認為是剛好到岸邊，“齊”就是這個意思的。
師：這是字表面的意思，古人的精煉給我們今天的理解帶來了困難，如果照同學們的翻譯，這題就無解了，這理的理解應該是蘆葦與水面同岸的交接線的中點上，而且還要求不左偏右倒。
（與學生進行爭論，能夠讓師生雙方對這個問題都有更深刻的印象，我是歡迎學生們發(fā)表自己的見解）
師：正方形的池子，如何理解？
生：指長、寬、高都相等。
師：呵呵！照你們的看法，應該說成是正方體，而不應該是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？
生：照這樣說來，下面是其它形狀也可以??！
師：我也這樣認為，再來具體的說說正方形池子指什么？JAB88.com
生：僅指池口是正方形。
師：是這樣的。（用粉筆盒口演示給學生看）
有生：一丈10尺是指什么？
師：我也正想問這個問題呢，誰能來解答？
生：指AD的長度。
師：能指BC的長度嗎？
生：不能，剛說的其下方是不能確定的。
我們整理翻譯一下：
“現(xiàn)在有一個貯滿水的正方形池子，池子的中央長著一株蘆葦，水池的邊長為10尺，蘆葦露出水面1尺。若將蘆葦拉到岸邊，剛好能達到水池岸與水面的交接線的中點上。請求出水深與蘆葦?shù)拈L各有多少尺？
師：請大家思考如何進行計算？
（留幾分鐘的時間給學生思考）
師：剛才有一部分同學已經(jīng)做出來了，但還有約一半的同學還未能做出來。
師：沒做出來的同學，請思考你是不是遇到了EF與FD兩個未知數(shù)啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把兩個未知數(shù)變成一個未知數(shù)，當然也可以多列一個方程。
（再等一等學生，留時間讓他們做出來，這里等一等所花費的時間，對中等與中等偏下的同學是極為有利的，這點時間的付出會得到超值回報的）
解：由題意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。
設EF＝x尺，則DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，蘆葦長13尺。
生：這題的關鍵是理解題意。
師：看來還很會點評嘛，屬于當領導的哦!（開個善意的玩笑，教室中一片溫馨的笑聲）。審題，弄清題意也是我們做題的首要的關鍵的一環(huán)，用同學們的總結(jié)來說，以后遇到難題不要怕，要敢于深入進去，弄清情景。
例4如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？
師：請思考如何做？至少怎么理解？
生：走直線就短，用勾股定理就可以了，還要做輔助線。
師：是啊，要連哪些線？
生：連結(jié)兩樹頂?shù)肁B，過B作高樹的垂線就可以了。
師：請解出來。
解：由題意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。
在RtΔABC中
AB＝＝13
答：小鳥至少要飛13米。
師：這題的計算也不難，關鍵也是理解題意。
作業(yè)：完成書（人教版）P77頁1，P78頁2、3
相關知識
《勾股定理的應用》學案
《勾股定理的應用》學案
教學內(nèi)容：教材第13至15頁，勾股定理的應用
教學目標：
1、知識目標：運用勾股定理及勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題；
2、能力目標：培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的意識，增強學生的數(shù)學應用能力。通過與同伴交流，培養(yǎng)協(xié)作與交流的意識；
3、情感目標：通過創(chuàng)設問題情境讓學生主動參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣。增強學數(shù)學的自信心。
教學重點：
探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.
教學難點：
勾股定理及逆定理的靈活運用
教學方法與教學手段：
1、情境探究、師生互動
2、自主探索、分層推進
3、教具演示、直觀形象
教學過程：
一．情景導入
從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說明理由。（多媒體展示如下圖片，讓學生回憶“兩點之間，線段最短”的性質(zhì)）
1.3wbr勾股定理的應用教案
設計意圖：通過回憶線段的性質(zhì)，為探究一的學習打基礎，有助于學生對教材內(nèi)容的進一步學習
二．教學新知
（一）探究活動一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離問題
教師用多媒體展示如下內(nèi)容：
1.3wbr勾股定理的應用教案如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？
首先，多媒體展示下面問題：
1你認為螞蟻沿圓柱側(cè)面從A點到B點有幾條線路可走？你覺得
哪條線路最短？
3.將右圖的圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，A,B兩點分別在
長方形的什么位置?從A點到B點的路線有幾條？哪條最短？
3.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。
4.想一想，你是如何將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的？
接下來，學生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結(jié)出最短路線．
學生討論之后，總結(jié)出4種方案（多媒體展示）
1.3wbr勾股定理的應用教案
讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的方法．通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．
最后，在學生自主求出AB之間的最短距離后，總結(jié)出計算立體圖形中不在同一平面內(nèi)的兩點之間的最短距離的方法：
(1)將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；
(2)找出原立體圖形中兩點在展開的平面圖形中的具體位置；
(3)構(gòu)造出直角三角形，并求出直角三角形中的相關邊長.
（4）利用勾股定理求出兩點之間的最短距離。
設計意圖：通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解。在活動中體驗數(shù)學建摸，培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．
（二）探究活動二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？
教師用多媒體出示課本上的“做一做”，并提出問題：
D
C
1.3wbr勾股定理的應用教案李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
A
B
（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，
BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？
（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
給出問題后，給學生留有充分的思考時間，對于完成情況，教師做出判斷，對有創(chuàng)新精神的同學給予表揚。
最后，總結(jié)出判斷兩直線垂直的方法。
設計意圖：鍛煉學生應用所學知識解決問題的能力，同時進一步掌握勾股定理的逆定理在實際生活中的簡單應用，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生理解實際問題的能力。
（三）探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用
多媒體出示例題
例.圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.
1.3wbr勾股定理的應用教案
思考：
1.求滑道AC的長的問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學問題？
2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。
教師引導后，讓學生自主完成本題的解題過程，并指名板演。之后，教師反饋訂正，規(guī)范書寫。
設計意圖：通過這道例題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；體會方程的思想的重要性并利用勾股定理建立方程．
（四）新知應用
1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．
1103643727
2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）
1.3wbr勾股定理的應用教案
設計意圖：第1題旨在對探究點一“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側(cè)面的最短距離問題到臺階中的最短距離問題都是將空間問題平面化；第2題是對課本例2的鞏固，旨在考查勾股定理中的方程思想在實際生活中的應用，讓學生進一步認識了方程思想的重要性。
（五）課堂小結(jié)：本節(jié)課你學到了什么？（學生針對本節(jié)課暢所欲言）
設計意圖：通過學生對本節(jié)課所學內(nèi)容的歸納、總結(jié)，加深了“用勾股定理來解決實際問題”的實質(zhì)是構(gòu)造直角三角形，既是找等量關系解決實際問題，形成解決實際問題的一般性策略。
通過老師的小結(jié)以及框圖概述，使學生認識到“用勾股定理解決實際問題”是建立“數(shù)學模型”解決問題的具體過程，培養(yǎng)數(shù)學建模思想。
（六）作業(yè)布置：習題1.41，3，4題
設計意圖：及時鞏固本節(jié)課所學知識
板書：
小結(jié)：
方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構(gòu)建方程的基礎．
《勾股定理的應用》教案
《勾股定理的應用》教案
【學習目標】
能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.
【學習重點】
勾股定理及直角三角形的判別條件的運用.
【學習重點】
直角三角形模型的建立.
【學習過程】
一.課前復習
勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別
二.新課學習
探究點一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路徑問題
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
思考：
1.利用學具，嘗試從A點到B點沿圓柱側(cè)面畫出幾條線路，你認為
這樣的線路有幾條？可分為幾類？
2.將右圖的圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，B點在什么位置？從
A點到B點的最短路線是什么?你是如何畫的?
3.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。
4.你是如何將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的？
小結(jié)：
你是如何解決圓柱體側(cè)面上兩點之間的最短距離問題的？
探究點二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？
D
C
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，
但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
A
B
（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，
BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？
（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
小結(jié)：通過本道例題的探索，判斷兩線垂直，你學會了什么方法？
探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用
例圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案
思考：
1.求滑道AC的長的問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學問題？
2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。
小結(jié)：
方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構(gòu)建方程的基礎．
四．課堂小結(jié)：本節(jié)課你學到了什么？
三．新知應用
1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．
1103643727
2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）
wpsA62A
五．作業(yè)布置：習題1.41，3，4題
勾股定理的應用學案
學習目標:
1.能利用勾股定理和直角三角形的判定方法（即勾股定理的逆定理）解決生活中的數(shù)學問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“轉(zhuǎn)化”思想，進一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會數(shù)學的應用價值；
重點、難點：經(jīng)歷運用勾股定理及其逆定理的數(shù)學化過程，體會數(shù)學的應用價值.
學習過程
一.【預學提綱】初步感知、激發(fā)興趣
1.用如圖所示的硬紙板，拼成一個能證明勾股定理的圖形，畫出圖形，加以說明.
2.說明以a=m-n,b=2mn,c=m-n為邊的三角形是直角三角形.
二.【預學練習】初步運用、生成問題
1.甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，甲往東走了8km，乙往南走了6km后甲、乙兩人相距_____km.
2.如圖，一塊長方形水泥操場，一學生要從A角走到C角，至少走米．
3.一個三角形的三邊的比為5：12：13，它的周長為60cm,則它的面積是________.
4.以下列三個數(shù)為邊長的三角形能組成直角三角形的個數(shù)是（）
①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.
A.1B.2C.3D.4
5.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3、4，那么第三邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（ab=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正確的是（）
A、①②B、①③C、①④D、②④
三.【新知探究】師生互動、揭示通法
問題1.如圖，長為10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.
（1）求梯子的底部距離墻角的水平距離BC；
（2）如果梯子的頂端下滑1m,那么它的底端那么它的底端是否也滑動1m?
（3）如果梯子的頂端下滑2m，那么梯子的底端滑動多少米?
從上面所獲的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？有人說,在滑動過程中,梯子的底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大,你贊同嗎?
問題2.如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？
四.【解疑助學】生生互動、突出重點
問題3.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里水深.
五.【變式拓展】能力提升、突破難點
1.一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm？
2.在一個長為2米寬為1米的矩形場地上，如右圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長與場地寬AD邊平行且大于AD，且木塊正面視圖是邊長為0．2米的正方形，求一只螞蟻從工A處到達C處需要走的最短路程是多少米？
六.【回扣目標】學有所成、悟出方法
1.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題中，感受“轉(zhuǎn)化”思想，把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把立體圖形轉(zhuǎn)化為________，把解斜三角形問題轉(zhuǎn)化為________問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“建模”思想，把實際問題看成一個_________問題.
