小學(xué)對(duì)稱(chēng)的教案

八年級(jí)競(jìng)賽講座(第28講奇妙的對(duì)稱(chēng))。

第二十八講奇妙的對(duì)稱(chēng)
對(duì)稱(chēng)是一種客觀存在，一朵紅花、一片綠葉、一只色彩魔斕的蝴蝶等，最令人驚奇的就是它們外形的幾何對(duì)稱(chēng)性，自然界的對(duì)稱(chēng)性可以在從亞原子粒子的結(jié)構(gòu)到整個(gè)宇宙的結(jié)構(gòu)的每一個(gè)尺度上找到．
對(duì)稱(chēng)是一種美的標(biāo)準(zhǔn)，人類(lèi)心智中的某種東西受對(duì)稱(chēng)的吸引，對(duì)稱(chēng)對(duì)我們的視覺(jué)有感染力，影響我們對(duì)美的感受，建筑、繪畫(huà)廣泛地應(yīng)用對(duì)稱(chēng)．
對(duì)稱(chēng)是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，我們熟悉的有代數(shù)中的對(duì)稱(chēng)式、幾何中的軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)等，更一般情況是，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的對(duì)象具有對(duì)稱(chēng)性，不僅包括幾何圖形中的對(duì)稱(chēng)，而且泛指某些對(duì)象在有些方面如圖形、關(guān)系、地位等同彼此相對(duì)又相稱(chēng)．
對(duì)稱(chēng)是一種解題方法，即解題時(shí)充分利用問(wèn)題自身?xiàng)l件的某些對(duì)稱(chēng)性分析問(wèn)題，在探求幾何最值、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值等方面有廣泛的應(yīng)用．
例題求解
【例1】如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O為△ABC中一點(diǎn)，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長(zhǎng)是．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分線，與BO延長(zhǎng)線交于D，連AD，OC，通過(guò)全等尋找與AO相等的線段，促使問(wèn)題的解決．
注物理學(xué)家皮埃爾?居里曾說(shuō)，“結(jié)果與其原因一樣對(duì)稱(chēng)．”
大干世界，許多事物都具有某種對(duì)稱(chēng)性．許多化學(xué)分子是對(duì)稱(chēng)的，細(xì)胞結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，病毒往往也是對(duì)稱(chēng)的，……對(duì)稱(chēng)給人們以和諧均衡的羌感，完全的對(duì)稱(chēng)是重復(fù)性的可預(yù)言的，
人類(lèi)在漫長(zhǎng)的歲月里，體驗(yàn)著對(duì)稱(chēng)，享受著對(duì)稱(chēng)．
求幾何量的最值問(wèn)題常用方法有：
(1)應(yīng)用幾何中的不等式性質(zhì)，定理；
(2)對(duì)稱(chēng)分析；
(3)代數(shù)法．即著眼于揭示問(wèn)題中變動(dòng)元素的代數(shù)關(guān)系．
【例2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為()
A．2B．C．D．(“新蕾杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥C、E兩點(diǎn)位置固定，從對(duì)稱(chēng)性考慮，確定P點(diǎn)位置．
【例3】現(xiàn)有一塊形如母子正方形的板材，木工師傅想先把它割成幾塊，然后適當(dāng)拼接，制成某種特殊形狀的板面(要求板材不能有剩余，拼接時(shí)不重疊、無(wú)空隙)，請(qǐng)你按下列要求幫助木工師傅分別設(shè)計(jì)一種方案：
(1)板面形狀為非正方形的中心對(duì)稱(chēng)圖形；
(2)板面形狀為等腰梯形；
(3)板面形狀為正方形．
思路點(diǎn)撥問(wèn)題(1)，由“中心對(duì)稱(chēng)的四邊形是平行四邊形”想象出中心對(duì)稱(chēng)的多邊形的大致形狀；問(wèn)題(2)，先計(jì)算等腰梯形面積為5，猜想等腰梯形的高，可能為2，因此，上、下底的和應(yīng)為5；問(wèn)題(3)，由正方形的面積為5，計(jì)算出它的邊長(zhǎng)應(yīng)為．
【例4】已知，試確定、的關(guān)系．
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥有理化是解根式問(wèn)題的基本思路，乘方、配方、換元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道膾炙人口的名題，引入與已知等式地位相對(duì)相稱(chēng)的有理化因式，本例可獲得簡(jiǎn)解．
注數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)，不僅指幾何圖形中的對(duì)稱(chēng)，代數(shù)表示式中，若各個(gè)宇母互相替代，表示式不變，也稱(chēng)這個(gè)表示式關(guān)于這些字母是對(duì)稱(chēng)的，一個(gè)復(fù)雜的二元對(duì)稱(chēng)式．都可以用最簡(jiǎn)單對(duì)稱(chēng)式，表示．
許多數(shù)學(xué)問(wèn)題有著和諧的對(duì)稱(chēng)美．對(duì)原題匹配一個(gè)與之相對(duì)的數(shù)學(xué)式，然后一起參與運(yùn)算，這就是常說(shuō)的“對(duì)稱(chēng)性地處理具有對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題”，是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)一般性原則．
用對(duì)稱(chēng)法解幾何題的常見(jiàn)的方式有：
(1)作出常見(jiàn)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，或利用題設(shè)條件中的垂線、角平分線翻折造全等；
(2)利用中點(diǎn)構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)圖形．
【例5】如圖，凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比較BC+AD與AB+CD的大?。?“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)

思路點(diǎn)撥以AC為對(duì)稱(chēng)軸，將部分圖形翻折，把相關(guān)線段集中到同一個(gè)三角形中去，以便運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理，這是解本例的關(guān)鍵．
【例6】如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求證：AD2=．
(北京市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥易想到勾股定理，需要把分散的條件加以集中，利用中點(diǎn)，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)全等三角形．
學(xué)力訓(xùn)練
1．下面四個(gè)圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個(gè)與其他三個(gè)不同?請(qǐng)指出這個(gè)圖形，并簡(jiǎn)述你的理由．
答：圖形；理由是：．(吉林省中考題)

2．如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD＝4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
3．如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，那么B′點(diǎn)與B點(diǎn)的原來(lái)位置相距cm．

4．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R(均不同于O點(diǎn))，則△PQR的周長(zhǎng)的最小值為．(黃岡市中考題)
5．設(shè)將一張正方形紙片沿右圖中虛線剪開(kāi)后，能拼成下列四個(gè)圖形，則其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()(2003平龍巖市中考題)

6．如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A、B處距河岸的距離AC、BD的長(zhǎng)分別為500m和700m，且C、D兩地的距離為500m，天黑前牧童從A點(diǎn)將馬牽引到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童至少要走()
A．100mB．1200mC．1300mD．1700m
7．如圖，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為()
A．6a0B．5aC．4aD．2a
8．如圖，一輛汽車(chē)在直線形的公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊．
(1)設(shè)汽車(chē)行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫(huà)出點(diǎn)P、Q的位置(保留畫(huà)圖痕跡)．
(2)當(dāng)汽車(chē)從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來(lái)越近?在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明)
(3)在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H，使汽車(chē)行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M、N的距離相等?如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上畫(huà)出這一點(diǎn)(保留畫(huà)圖痕跡，不必證明)：如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．(2001年浙江省嘉興市中考題)
9．(1)用四塊如圖I所示的黑白兩色正方形瓷磚拼成一個(gè)新的正方形，使之形成軸對(duì)稱(chēng)圖案，請(qǐng)至少給出三種不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)請(qǐng)你任意改變圖I瓷磚中黑色部分的圖案，然后再用四塊改變圖案后的正方形瓷磚拼出一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖案(在④中操作)．(仙桃、潛江、天門(mén)、江漢油田中考題)

10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，求證：FD2=FB×FC．
11．如圖，設(shè)Ll和L2，是鏡面平行且鏡面相對(duì)的兩面鏡子，把一個(gè)小球放在之間，小球放在鏡Ll中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A″，若Ll、L2的距離為7，則AA″．
(江蘇省競(jìng)賽題)

12．如圖，設(shè)M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，則△ABC的面積為．
13．如圖，ABCD—ABCD為長(zhǎng)方體，AA=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3×4個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)均為l0cm，得到點(diǎn)E、F、G、H和E，、F，、G，、H，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面E點(diǎn)沿表面爬行至上底面G，點(diǎn)至少要花時(shí)間
秒．
14．無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分是．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
15．當(dāng)?shù)扔?，，…，?，2，…，1992，1993時(shí)，計(jì)算代數(shù)式的值，再將所得的結(jié)果全部加起來(lái)，總和等于．
16．一束光線經(jīng)3塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應(yīng)的度數(shù)，已知c=60°，求d+e與x的值．
17．如圖，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一點(diǎn)，求證：AC+BP＜AB+PC．

18．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值．
19．如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求證：以△ABC三條中線為邊構(gòu)成的三角形與△ABC相似．(2004年武漢市選拔賽試題)

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八年級(jí)競(jìng)賽講座(第19講平行截割)

第十九講平行截割
平行線是初中平面幾何中基本而重要的圖形，平行線能改變角的位置并傳遞角，可“送”線段到恰當(dāng)處，完成等積變形，當(dāng)一組平行線截兩條直線時(shí)就得到比例線段，平行線分線段成比例定理是研究比例線段、相似形的重要理論．
利用、挖掘、創(chuàng)造平行線，是運(yùn)用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵，另一方面，需要熟悉并善于從復(fù)雜圖形中分解或構(gòu)造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本圖形：

例題求解
【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點(diǎn)，DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP：PQ：QC=．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題)

思路點(diǎn)撥圖中有形如“X”型的基本圖形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一條線段的代數(shù)式表示．
【例2】如圖，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為()
A．B．1C．D．2
(江蘇省泰州市中考題)
思路點(diǎn)撥已知條件沒(méi)有平行線，需恰當(dāng)作平行線，構(gòu)造基本圖形，產(chǎn)生含，的比例線段，并設(shè)法溝通已知比例式與未知比例式的聯(lián)系．
【例3】如圖，BD、BA，分別是∠ADC與它的鄰補(bǔ)角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
(1)求證：四邊形AEBD為矩形；
(2)若=3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點(diǎn)，F(xiàn)G交AB于點(diǎn)H，且，求證：△AHG是等腰三角形．
(廈門(mén)市中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，由比例線段導(dǎo)出平行線，證明∠HAG=∠AHG．
【例4】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點(diǎn)，求證：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一點(diǎn)(中點(diǎn)除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF這個(gè)結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB=PC+PF，即需證明，將線段和差問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為與比例線段有關(guān)問(wèn)題的證明．
注若題設(shè)條件無(wú)平行線，需作平行線．而作平行線要考慮好過(guò)哪一點(diǎn)作平行線，一般是由比的兩條線段啟發(fā)而得的，其目的是構(gòu)造基本圖形．
平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，比例線段豐富了我們研究幾何問(wèn)題的方法，主要體現(xiàn)在：
(1)利用比例線段求線段的長(zhǎng)度；
(2)運(yùn)用比例線段證明線段相等，線段和差倍分關(guān)系、兩直線平行等問(wèn)題．
【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，直線平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M、N、R、S和P，求證：PM×PN=PR×PS
(山東省競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥由于PM、PN、PR、PS在同一條直線上，所以不能直接應(yīng)用平行線分線段成比例推得結(jié)論，需觀察分解圖形，利用中間比溝通不同比例式的聯(lián)系
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，△ABC中有菱形AMPN，如果，則．
(南通市中考題)
2．如圖，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，若，則；若，則．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)

3．如圖，已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，BC=8，則AE的長(zhǎng)為．
(蘇州市中考題)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，設(shè)DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代數(shù)式表示y得．
(黑龍江省中考題)

5．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確比例式的個(gè)數(shù)有()
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
6．如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q是BD、CE的中點(diǎn)，則等于()
A．B．C．D．
7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O1、O2，O3為對(duì)角線BD上三點(diǎn)，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，連結(jié)AOl并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)C，連結(jié)EO3延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考題)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，BD=3CE，DE交BC于F，則DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江蘇省競(jìng)賽題)
9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一點(diǎn)，AE=2BE，M是腰BC的中點(diǎn)，連結(jié)EM并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)BD交EF于點(diǎn)N求證：BN：ND=l：10．(河南省中考題)
10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EF∥AD．
(1)求證：OE=OF，(2)求的值；
（3）求證：．

11．已知如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點(diǎn)E，EF⊥BD于F，我們可以證明成立．若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD、BC相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BD于點(diǎn)F，則：
(1)還成立嗎?如成立，請(qǐng)給出證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)找出S△ABD，S△BED，S△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．
(黃岡市中考題)
12．如圖，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，BE延長(zhǎng)后交AD于F，那么=．
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)

13．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，過(guò)O任作一直線與CD、BC的延長(zhǎng)線分別交于F、E點(diǎn)，設(shè)BC=a，CD=b，CE=c，則CF=．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長(zhǎng)為．
15．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15m，分別自?xún)蓷U上高出地面4m、6m的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D、B、F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為m．
(2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)．AE、AF分別交BD于M、N兩點(diǎn)，則BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武漢市選拔賽試題)

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長(zhǎng)相等，則EF的長(zhǎng)為()
A．B．C．D．
(山東省競(jìng)賽題)
18．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AC分別交BE、DF于G、H，試判斷下列結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正確的結(jié)論有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

19．如圖，已知△ABC，，，AD、BE交于F，則的值()
A．B．C．D．
20．如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山東省競(jìng)賽題)

21．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，AF=FD，F(xiàn)E與AC相交于G，求證：AG=AC．
22．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E和F，求證：EF=3DE．
(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)
23．在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)O．某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：
(1)當(dāng)時(shí)，有(如圖甲)；
（2）當(dāng)時(shí)，有(如圖乙)；
(3)當(dāng)時(shí)，有(如圖丙)；
在圖丁中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用表示的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))
(山西省中考題)

24．如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點(diǎn)，連結(jié)AP2并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)APn-2并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F．
(1)求證：EF∥BD；
(2)設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF=S，求n的值．(山東省競(jìng)賽題)

八年級(jí)競(jìng)賽講座(第24講配方法的解題功能)

八年級(jí)競(jìng)賽講座(第6講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì))

第六講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)
數(shù)是隨著客觀實(shí)際與社會(huì)實(shí)踐的需要而不斷擴(kuò)充的．
從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)曲折的過(guò)程，是一個(gè)巨大的飛躍，由于引入無(wú)理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，這樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
由于引入開(kāi)方運(yùn)算，完善了代數(shù)的運(yùn)算．平方根、立方根的概念和性質(zhì)，是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ)．平方根、立方根是最簡(jiǎn)單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ)．
有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有下列重要性質(zhì)：
1．有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分?jǐn)?shù)的形式；無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，這里、是互質(zhì)的整數(shù)，且．
2．有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù)．
例題求解
【例1】若a、b滿(mǎn)足3=7，則S＝的取值范圍是．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥運(yùn)用、的非負(fù)性，建立關(guān)于S的不等式組．
注：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比．但是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴(yán)重地沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解，這一事件在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)．希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒所接受，相傳畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死．
【例2】設(shè)是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿(mǎn)足ab－a－b+1=0，則b是一個(gè)()
A．小于0的有理數(shù)B．大于0的有理數(shù)C．小于0的無(wú)理數(shù)D．大于0的無(wú)理數(shù)
(武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥對(duì)等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，建立a或b的關(guān)系式．
【例3】已知a、b是有理數(shù)，且，求a、b的值．
思路點(diǎn)拔把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組．
【例4】(1)已知a、b為有理數(shù)，x，y分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿(mǎn)足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市競(jìng)賽題)
(2)設(shè)x為一實(shí)數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，求滿(mǎn)足=x+1的整數(shù)x的值．(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥(1)運(yùn)用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)運(yùn)用的性質(zhì)，簡(jiǎn)化方程．
注：設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則表示不大于x的最大整數(shù)，]又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質(zhì)：
(1)x－1≤x(2)若y

【例5】已知在等式中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)，解答：
(1)當(dāng)a、b、c、d滿(mǎn)足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；
(2)當(dāng)a、b、c、d滿(mǎn)足什么條件時(shí)，s是無(wú)理數(shù)．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥(1)把s用只含a、b、c、d的代數(shù)式表示；(2)從以下基本性質(zhì)思考：
設(shè)a是有理數(shù)，r是無(wú)理數(shù)，那么①a+r是無(wú)理數(shù)；②若a≠0，則ar也是無(wú)理數(shù)；③
r的倒數(shù)也是無(wú)理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運(yùn)用分式的性質(zhì)，對(duì)a、b、c、d取值進(jìn)行詳細(xì)討論．
注：要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾．

學(xué)力訓(xùn)練
1．已知x、y是實(shí)數(shù)，，若，則a=．
(2002年個(gè)數(shù)的平方根是和，那么這個(gè)數(shù)是．
3．方程的解是．
4．請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過(guò)程：∵112＝121，∴；同樣∵1112=12321，∴；…由此猜想．
(濟(jì)南市中考題)
5．如圖，數(shù)軸上表示1、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是()
A．B．C．D．
(江西省中考題)
6．已知x是實(shí)數(shù)，則的值是()
A．B．C．D．無(wú)法確定的
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
7．代數(shù)式的最小值是()
A．0B．C．1D．不存在的
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
8．若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足，求2b+a－1的值．
(山西省中考題)

9．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題．
，；，；，；…
(1)請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；
(2)推算出OA10的長(zhǎng)；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．(煙臺(tái)市中考題)
10．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足，則a(b+c)=．
11．設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿(mǎn)足方程，那么x－y的值是．
(“希望杯’邀請(qǐng)賽試題)
12．設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿(mǎn)足ab+a－b＝1，則b=．
(四川省競(jìng)賽題)
13．已知正數(shù)a、b有下列命題：
①若a=1，b＝1，則；②若，則；
③若a＝2，b=3，則；④若a=1，b=5，則．
根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，若a=6，b=7，則．
(黃岡市競(jìng)賽題)
14．已知：，那么代數(shù)式的值為()
A．B．C．D．
(重慶市競(jìng)賽題)
15．設(shè)表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5，n為整數(shù))，則+++…+的值為()
A．5151B．5150C．5050D．5049
(“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)
16．設(shè)aA．B．C．D．3
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
17．若a、b、c為兩兩不等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．
18．某人用一架不等臂天平稱(chēng)一鐵塊a的質(zhì)量，當(dāng)把鐵塊放在天平左盤(pán)中時(shí)，稱(chēng)得它的質(zhì)量為300克，當(dāng)把鐵塊放在天平的右盤(pán)中時(shí)，稱(chēng)得它的質(zhì)量為900克，求這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量．
(安徽省中考題)．
19．閱讀下面材料，并解答下列問(wèn)題：
在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)研究過(guò)兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運(yùn)算，②已知b和N，求a，這是開(kāi)方運(yùn)算．
現(xiàn)在我們研究第三種情況；已知a和N，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算．
定義：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，則b叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN．
例如：因?yàn)?3=8，所以log28=3；因?yàn)?-3=，所以log2=－3．
(1)根據(jù)定義計(jì)算:
①log381=；②log33=；③log3l=；④如果logx16=4，那么x=．
(2)設(shè)ax=M，ay＝N，則logaM=x；logaN＝y(tǒng)(a>0，a≠1，N>0，M，N均為正數(shù))．
用logAM，logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)oga，并說(shuō)明理由．
(泰州市中考題)
20．設(shè)，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)．求證：
(1)當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；
(2)當(dāng)bc≠ad時(shí)，y是無(wú)理數(shù)．
設(shè)△ABC的三邊分別是a、b、c，且，試求AABC的形狀．