小學(xué)三角形教案

第2節(jié)一定是直角三角形嗎導(dǎo)學(xué)案。

學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八年級(jí)授課班級(jí)
主備教師參與教師
課型新授課課題§1.2一定是直角三角形嗎
備課組長(zhǎng)審核簽名教研組長(zhǎng)審核簽名
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理），并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用。這是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
2、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之間的區(qū)別。
學(xué)習(xí)內(nèi)容（學(xué)習(xí)過(guò)程）
一、自主預(yù)習(xí)（感知）
閱讀課本第17---18頁(yè)，解決下列問(wèn)題：
1、分別以下列每組數(shù)為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎?
(1)3,4,5,(2)6,8,10

2、以上每組數(shù)的三邊平方存在什么關(guān)系？結(jié)合上題你能得到什么結(jié)論？jAb88.cOM

3、滿足a2+b2=c2的三個(gè)，稱為勾股數(shù)
4、下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由。
（1）9,12,15;(2)15,36,39；（３）12，35，36；（４）12，18，22

二、合作探究（理解）
１、一個(gè)零件的形狀如圖（１）所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖（２）所示，這個(gè)零件符合要求嗎？
Ｃ１３Ｃ
ＤＤ
４５１２

ＡＢＡ３Ｂ
（１）（２）
２、如圖，在正方形中，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與同伴交流。
ＡＥＤ
ＢＣ
3：如果將直角三角形的三條邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形嗎？
、填寫下表，并驗(yàn)證你所填的數(shù)是否滿足“勾股數(shù)”
2倍3倍4倍5倍
3,4,56,8,10
5,12,1315,36,39
8,15,1732,60,68
7,24,2570,240,250
已知：a2+b2=c2
求證：（ka）2+（kb）2=（kc）2

三、輕松嘗試（運(yùn)用）
1、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）
Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40
２、若△ＡＢＣ的三邊ａ、ｂ、ｃ滿足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，則△ＡＢＣ是（）
Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形Ｄ、等腰三角形或直角三角形
３、已知：在△ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。試判斷△ABC的形狀.

四、拓展延伸（提高）
４、如圖所示，四邊形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９００，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１３，求四邊形ＡＢＣＤ的面積。
五、收獲盤點(diǎn)（升華）
本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？請(qǐng)你總結(jié)一下。
六、當(dāng)堂檢測(cè)（達(dá)標(biāo)）
１、下列幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）
A、4，5，6B、12，16，20C、-10，24，26D、2.4，4.5，5.1
2、將直角三角形的三邊擴(kuò)大同樣的倍數(shù)，得到的三角形是（）
A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、都有可能
3、如圖所示的一塊草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求這塊草地的面積。

4、如圖所示，在△ABC中，AB=13,BC=10,BC邊上的中線AD=12,∠B與∠C相等嗎？為什么？
七、課外作業(yè)（鞏固）
1、必做題：①整理導(dǎo)學(xué)案并完成下一節(jié)課導(dǎo)學(xué)案中的預(yù)習(xí)案。
②完成《優(yōu)化設(shè)計(jì)》中的本節(jié)內(nèi)容。
2、思考題：
學(xué)習(xí)反思：

相關(guān)推薦

得到直角三角形嗎

第一章勾股定理
２．能得到直角三角形嗎

一、學(xué)生起點(diǎn)分析
學(xué)生已經(jīng)了勾股定理，并在先前其他內(nèi)容學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的逆向思維、逆向研究的經(jīng)驗(yàn)，如：已知兩直線平行，有什么樣的結(jié)論？反之，滿足什么條件的兩直線是平行？因而，本課時(shí)由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)具備這樣的意識(shí)，但具體研究中，可能要用到反證等思路，對(duì)現(xiàn)階段學(xué)生而言可能還具有一定困難，需要教師適時(shí)的引導(dǎo)。

二、學(xué)習(xí)任務(wù)分析
本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)(上)第一章《勾股定理》第2節(jié)。教學(xué)任務(wù)有：探索勾股定理的逆定理，并利用該定理根據(jù)邊長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，利用該定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)具體的數(shù)，增加對(duì)勾股數(shù)的直觀體驗(yàn)。為此確定教學(xué)目標(biāo)：
●知識(shí)與技能目標(biāo)
1．理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；
2．能根據(jù)所給三角形三邊的條件判斷三角形是否是直角三角形。
●過(guò)程與方法目標(biāo)
1．經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力；
2．經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)到驗(yàn)證的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力。
●情感與態(tài)度目標(biāo)
1．體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣；
2．在探索過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅，樹(shù)立學(xué)習(xí)的自信心。
教學(xué)重點(diǎn)
理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容。

三、教法學(xué)法
1．教學(xué)方法：實(shí)驗(yàn)—猜想—?dú)w納—論證
本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初二學(xué)生,他們的參與意識(shí)較強(qiáng),思維活躍,對(duì)通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論已有一定的體驗(yàn)，但數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)總是心存疑慮，利用邏輯推理的方式，讓同學(xué)心服口服顯得非常迫切，為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),我力求從以下三個(gè)方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo):
(1)從創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景入手,通過(guò)知識(shí)再現(xiàn),孕育教學(xué)過(guò)程；
(2)從學(xué)生活動(dòng)出發(fā),通過(guò)以舊引新,順勢(shì)教學(xué)過(guò)程；
(3)利用探索,研究手段,通過(guò)思維深入,領(lǐng)悟教學(xué)過(guò)程。
2．課前準(zhǔn)備
教具：教材、電腦、多媒體課件。
學(xué)具：教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：小試牛刀；第四環(huán)節(jié)：登高望遠(yuǎn)；第五環(huán)節(jié)：鞏固提高；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：情境引入
內(nèi)容：
情境：1．直角三角形中，三邊長(zhǎng)度之間滿足什么樣的關(guān)系？
2．如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否就是直角三角形呢？
意圖：
通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情。
效果：
從勾股定理逆向思維這一情景引入，提出問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好的基礎(chǔ)。

第二環(huán)節(jié)：合作探究
內(nèi)容1：探究
下面有三組數(shù)，分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答這樣兩個(gè)問(wèn)題：
1．這三組數(shù)都滿足嗎？
2．分別以每組數(shù)為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？學(xué)生分為４人活動(dòng)小組，每個(gè)小組可以任選其中的一組數(shù)。
意圖：
通過(guò)學(xué)生的合作探究，得出“若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，則這個(gè)三角形是直角三角形”這一結(jié)論；在活動(dòng)中體驗(yàn)出數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律。
效果：
經(jīng)過(guò)學(xué)生充分討論后，匯總各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：①5，12，13滿足，可以構(gòu)成直角三角形；②7，24，25滿足，可以構(gòu)成直角三角形；③8，15，17滿足，可以構(gòu)成直角三角形。
從上面的分組實(shí)驗(yàn)很容易得出如下結(jié)論：
如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形
內(nèi)容2：說(shuō)理
提問(wèn)：有同學(xué)認(rèn)為測(cè)量結(jié)果可能有誤差，不同意這個(gè)發(fā)現(xiàn)。你認(rèn)為這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確嗎？你能給出一個(gè)更有說(shuō)服力的理由嗎？
意圖：讓學(xué)生明確，僅僅基于測(cè)量結(jié)果得到的結(jié)論未必可靠，需要進(jìn)一步通過(guò)說(shuō)理等方式使學(xué)生確信結(jié)論的可靠性，同時(shí)明晰結(jié)論：
如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形
滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。
注意事項(xiàng)：為了讓學(xué)生確認(rèn)該結(jié)論，需要進(jìn)行說(shuō)理，有條件的班級(jí)，還可利用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，讓同學(xué)有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。
活動(dòng)3：反思總結(jié)
提問(wèn)：
1．同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？
2．今天的結(jié)論與前面學(xué)習(xí)勾股定理有哪些異同呢？
3．到今天為止,你能用哪些方法判斷一個(gè)三角形是直角三角形呢?
4．通過(guò)今天同學(xué)們合作探究，你能體驗(yàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)要經(jīng)歷哪些過(guò)程呢？
意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)該定理與勾股定理之間的關(guān)系

第三環(huán)節(jié)：小試牛刀
內(nèi)容：
1．下列哪幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由。
①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22
解答：①②
2．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，則這個(gè)三角形的面積是（）
A250B150C200D不能確定
解答：B
3．如圖1：在中，于，，則是（）
A等腰三角形B銳角三角形
C直角三角形D鈍角三角形
解答：C
4．將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，(圖1)
得到的三角形是（）
A直角三角形B銳角三角形
C鈍角三角形D不能確定
解答：A
意圖：
通過(guò)練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)勾股定理及勾股定理逆定理認(rèn)識(shí)及應(yīng)用
效果
每題都要求學(xué)生獨(dú)立完成（5分鐘），并指出各題分別用了哪些知識(shí)。

第四環(huán)節(jié)：登高望遠(yuǎn)
內(nèi)容：
1．一個(gè)零件的形狀如圖2所示，按規(guī)定這個(gè)零件中都應(yīng)是直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖3所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

解答：符合要求，又，
2．一艘在海上朝正北方向航行的輪船，航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左傳90°，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西方向航行？
解答：由題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形
AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中
=(250+240)(250-240)
=4900==即∴△ABC是Rt△
答:船轉(zhuǎn)彎后,是沿正西方向航行的。
意圖：
利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步鞏固該定理。
效果：
學(xué)生能用自己的語(yǔ)言表達(dá)清楚解決問(wèn)題的過(guò)程即可；利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見(jiàn)數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將作適當(dāng)變形（），以便于計(jì)算。

第五環(huán)節(jié)：鞏固提高
內(nèi)容：
1．如圖4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流。
解答：4個(gè)直角三角形，它們分別是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF
2．如圖5，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？
解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形
意圖：
第一題考查學(xué)生充分利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，不要漏解；第二題在于考查學(xué)生如何利用網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，從而解決問(wèn)題。
效果：
學(xué)生在對(duì)所學(xué)知識(shí)有一定的熟悉度后，能夠快速做答并能簡(jiǎn)要說(shuō)明理由即可。注意防漏解及網(wǎng)格的應(yīng)用。

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)
內(nèi)容：
師生相互交流總結(jié)出：
1．今天所學(xué)內(nèi)容①會(huì)利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形；②滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；
2．從今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)與方法：①數(shù)學(xué)是源于生活又服務(wù)于生活的；②數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律；③利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見(jiàn)數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將作適當(dāng)變形，便于計(jì)算。
意圖：
鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史；敢于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的成功經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)。
效果：
學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)出利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形從古至今在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)
課本習(xí)題1．4第1，2，4題。

五、教學(xué)反思：
1．充分尊重教材，以勾股定理的逆向思維模式引入“如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，是否能得到這個(gè)三角形是直角三角形”的問(wèn)題；充分引用教材中出現(xiàn)的例題和練習(xí)。
2．注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，從中體驗(yàn)任何一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律。
3．在利用今天所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生善于對(duì)公式變形，便于簡(jiǎn)便計(jì)算。
4．注重對(duì)學(xué)習(xí)新知理解應(yīng)用偏困難的學(xué)生的進(jìn)一步關(guān)注。
5．對(duì)于勾股定理的逆定理的論證可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況做適當(dāng)調(diào)整，不做要求。
由于本班學(xué)生整體水平較高，因而本設(shè)計(jì)教學(xué)容量相對(duì)較大，教學(xué)中，應(yīng)注意根據(jù)自己班級(jí)學(xué)生的狀況進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h減或調(diào)整。
附：板書(shū)設(shè)計(jì)
能得到直角三角形嗎
情景引入————小試牛刀：登高望遠(yuǎn)—————
合作探究————１．——————１．——————
２．——————２．——————
３．——————課后作業(yè)：

直角三角形（2）導(dǎo)學(xué)案

1.2直角三角形（二）
一、問(wèn)題引入：
1.直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；
2.問(wèn)題1：兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一邊所對(duì)的角是直角呢？請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的結(jié)論.
問(wèn)題2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分線嗎？不妨動(dòng)手做一做，并證明你的作法的正確性.
二、基礎(chǔ)訓(xùn)練:
1.（議一議）如圖已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，還需要什么條件？把它們分別寫出來(lái).

2.D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E.F，且DE=DF，
求證BF=CE[解析]本題解決的關(guān)鍵是利用“HL”證明△BFD≌△CED
三、例題展示：
1.下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)直角三角形不一定全等的是（）
A.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形.
B.兩條銳角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形.
C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形.
D.有一個(gè)銳角及這個(gè)銳角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
2.下列長(zhǎng)度的三條線段能構(gòu)成直角三角形的是（）
①8，15，17②4，5，6③7.5，4.8，5④24，25，7⑤5，8，10
A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④
3.下列命題中，假命題是（）
A．三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形.
B．三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：2的三角形是直角三角形.
C．三邊長(zhǎng)之比為的三角形是直角三角形.
D．三邊長(zhǎng)之比為的三角形是直角三角形.
四、課堂檢測(cè):
1.下列說(shuō)法正確的有（）
（1）一個(gè)銳角及斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
（2）一個(gè)銳角及一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
（3）兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)等的兩個(gè)直角三角形全等.
（4）有兩條邊相等的兩個(gè)直角三角形全等.
（5）有斜邊和條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
2.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）
A.直角三角形中，任意直角邊上的中線小于斜邊.
B.等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半.
C.直角三角形中每條直角邊都小于斜邊.
D.等腰直角三角形一邊長(zhǎng)為1，則它的周長(zhǎng)為

3.以下列各組為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）
A.8，15，17B.4，5，6C.5，8，10D.8，39，40

4.命題：若A＞B，則A2＞B2的逆命題是__________________________.
5.AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在C｀的位置，
則BC`與BC之間的數(shù)量關(guān)系是____________.
6.四邊形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四邊形ABCD
的面積________.

能得到直角三角形嗎

2一定是直角三角形嗎

1．勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理的內(nèi)容：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
(2)勾股定理的逆定理的釋疑：不少的同學(xué)對(duì)知道三角形三邊滿足a2＋b2＝c2能得到直角三角形這樣的一種結(jié)論持有懷疑的態(tài)度，其實(shí)通過(guò)三角形的全等可以很簡(jiǎn)單地證明出來(lái)．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且滿足a2＋b2＝c2(如圖所示)，那么∠C＝90°.
作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，則A1B21＝a2＋b2.
∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．
在△ABC和△A1B1C1中，
∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，
∴△ABC≌△A1B1C1.
∴∠C＝∠C1＝90°.
辨誤區(qū)勾股定理的逆定理的條件
(1)不能說(shuō)成在直角三角形中，因?yàn)檫€沒(méi)有確定直角三角形，當(dāng)然也不能說(shuō)“斜邊”和“直角邊”．
(2)當(dāng)滿足a2＋b2＝c2時(shí)，c是斜邊，∠C是直角．

利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長(zhǎng)邊，算出最長(zhǎng)邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形．
對(duì)啊！到目前為止判定直角三角形的方法有：①說(shuō)明三角形中有一個(gè)直角；②說(shuō)明三角形中有兩邊互相垂直；③勾股定理的逆定理.

【例1】如圖所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，問(wèn)：AD⊥AB嗎？試說(shuō)明理由．
解：AD⊥AB.
理由：根據(jù)勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.
在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，
所以AB2＋AD2＝BD2.
由勾股定理的逆定理知△ABD為直角三角形，且∠BAD＝90°.
故AD⊥AB.
2．勾股定理的逆定理與勾股定理的關(guān)系
勾股定理是通過(guò)“形”的狀態(tài)來(lái)反映“數(shù)”的關(guān)系的，而勾股定理的逆定理是通過(guò)“數(shù)”的關(guān)系來(lái)反映“形”的狀態(tài)的．
(1)勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．
(2)聯(lián)系：①兩者都與a2＋b2＝c2有關(guān)，②兩者所討論的問(wèn)題都是直角三角形問(wèn)題．
(3)區(qū)別：勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理則是以“一個(gè)三角形的三邊滿足a2＋b2＝c2”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形是“直角三角形”．
(4)二者關(guān)系可列表如下：
定理勾股定理勾股定理的逆定理
內(nèi)容如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形
題設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2
結(jié)論a2＋b2＝c2三角形是直角三角形
用途是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)判定直角三角形的一種方法
【例2】如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.
分析：先用勾股定理的逆定理判定形狀，然后用勾股定理求數(shù)據(jù)．
解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理知△ADB為直角三角形．∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.
3．勾股數(shù)
勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數(shù)．兩者缺一不可．
(2)將一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數(shù))，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．
【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且為自然數(shù))．
上面各組數(shù)中，勾股數(shù)有______組．()．
A．1B．2C．3D．4
解析：
①√∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整數(shù)，∴7,24,25是勾股數(shù)．
②×∵82＋152≠192，∴8,15,19不是勾股數(shù)．
③×∵0.6,0.8,1.0不是正整數(shù)，∴0.6，0.8，1.0不是勾股數(shù)．
④√∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且為自然數(shù))，且它們都是正整數(shù)，∴3n,4n,5n(n＞1，且為自然數(shù))是勾股數(shù).
答案：B
析規(guī)律勾股數(shù)的判斷方法
判斷勾股數(shù)要看兩個(gè)條件，一看能否滿足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整數(shù)．這兩者缺一不可．
4．勾股定理的逆定理的應(yīng)用
勾股定理的逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，可以用它來(lái)判定是不是直角．家里建房時(shí)，常需要在現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)出直角，在沒(méi)有測(cè)量角的儀器的情況下，工人師傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．
【例4】如圖是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你幫他看一下，挖的地基是否合格？
分析：本題是數(shù)學(xué)問(wèn)題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，所以我們要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，運(yùn)用直角三角形的判定條件，來(lái)判斷它是否為直角三角形．
解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，
∴AD2＋DC2≠AC2.
∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.
又∵按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，四個(gè)角應(yīng)為直角，
∴該農(nóng)民挖的地基不合格．
5．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判定三角形的形狀
在由一個(gè)等式求三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，往往先把等式化為a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三邊之長(zhǎng)，利用計(jì)算來(lái)判斷△ABC是否是直角三角形．
談重點(diǎn)判定三角形的形狀
由條件等式來(lái)判斷三角形的形狀，就是將已知的條件等式變形，再根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得出a，b，c的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．
【例5】如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，試說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形．
分析：本題需要將已知等式進(jìn)行變形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再說(shuō)明．
解：將式子變形，得
a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，
即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.
整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，
∴這個(gè)三角形是直角三角形．
6．勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用
(1)利用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來(lái)解決．
(2)綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是常用的數(shù)學(xué)方法，在這里，一方面要熟記常用的勾股數(shù)；另一方面要注意到：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)已知或具有某些比例關(guān)系，那么就可以用勾股定理的逆定理去驗(yàn)證其是否是直角三角形．
【例6】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，BC＝12cm，CD＝13cm.求四邊形ABCD的面積．
分析：根據(jù)AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，可連接BD構(gòu)成直角三角形，通過(guò)判斷△BCD是直角三角形解決問(wèn)題．
解：連接BD，在△ABD中，∵AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，
根據(jù)勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5cm.
在△BCD中，∵BD＝5cm，BC＝12cm，CD＝13cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．
∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD＋S△BCD
＝12×3×4＋12×5×12＝36cm2.