小學(xué)語文的教學(xué)教案

角的平分線教學(xué)設(shè)計(jì)。

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會(huì)更加好！你們會(huì)寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《角的平分線教學(xué)設(shè)計(jì)》，僅供參考，大家一起來看看吧。

15.4角的平分線
教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
1.會(huì)闡述角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
2.會(huì)應(yīng)用角平分線定理及其逆定理證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等.
【過程與方法】
1.經(jīng)歷探索角平分線作法的過程,進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特點(diǎn),發(fā)展空間觀察能力.
2.探索角平分線定理,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真探究、積極思考的能力.
【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】
1.體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的空間觀念和審美觀.
2.活動(dòng)與探究的過程可以更大程度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性,使學(xué)生具有一些初步研究問題的能力.
重點(diǎn)難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
【難點(diǎn)】
理解并證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新知
師:同學(xué)們知道怎樣作出角的平分線嗎?
生1:可以通過折紙得到一個(gè)角的平分線.
生2:也可以用量角器來畫一個(gè)角的平分線.
師:下面我們來學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖的方法作出∠AOB的平分線.
作法:
1.以O(shè)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑圓弧分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,如圖(1).
2.分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN長(zhǎng)為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P,如圖(2).
3.作射線OP,則OP為所要求作的∠AOB的平分線,如圖(3).
師:通過上面的作圖,啟發(fā)我們可以用尺規(guī)完成:“經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線.”
由于這一點(diǎn)可能在直線上或直線外,這個(gè)作圖要分兩種情況:
1.經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.
已知:直線AB和AB上一點(diǎn)C,如圖(1).
求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C.
作法:
作平角ACB的平分線CF.
直線CF就是所求的垂線.
2.經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.
已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C,如圖(2).
求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C.
作示:
(1)任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁;
(2)以點(diǎn)C為圓心、CK長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E;
(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F;
(4)作直線CF.
直線CF就是所求的垂線.
教師邊操作邊講解:
用紙剪一個(gè)角,把紙片對(duì)折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對(duì)折的紙片繼續(xù)任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么?
學(xué)生操作.
師:從上面折紙中我們發(fā)現(xiàn),紙片第一次對(duì)折后的折痕是什么?
生:是這個(gè)角的平分線.
師:你第二次折時(shí)出現(xiàn)的兩條折痕的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系?
生:一樣長(zhǎng).
師:因?yàn)榈诙挝覀兪侨我庹鄣?所以這種等長(zhǎng)的折痕能折出無數(shù)對(duì).
二、共同探究,獲取新知
教師多媒體出示:
操作:(1)折出如上圖中的折痕PD、PE;
(2)你和同桌用三角板測(cè)量一下,檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示的要求.
問題1:你能用文字語言闡述所畫圖形的性質(zhì)嗎?
學(xué)生思考后回答.
問題2:根據(jù)命題“在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”用符號(hào)語言填寫下表:
圖形已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)
OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分別為D、EPD=PE

(推證定理1)
問題3:根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng),猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng),并用符號(hào)語言填寫下表:
圖形已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)
DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分別為E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC

問題4:用文字語言表述上表中的已知事項(xiàng)和由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).
(推證定理2)
三、練習(xí)新知,加深理解
師:下面我們接著來探討上面的問題3.
教師多媒體出示:
(1)∵AD平分∠BAC,
DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)
∴DC=DE.()
(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)
∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.()
學(xué)生思考后搶答,教師板書.
第1個(gè)括號(hào)中填“角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”,第2個(gè)括號(hào)中填“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”.
教師多媒體出示:
【例1】已知:如圖所示,∠C=∠C=90°,AC=AC.
求證:(1)∠ABC=∠ABC;(2)BC=BC.(要求不用三角形全等判定)
學(xué)生思考后交流討論.
教師找一名學(xué)生板演,其余同學(xué)在下面做,然后集體訂正.
證明:(1)∵∠C=∠C=90°,(已知)
∴AC⊥BC,AC⊥BC.(垂直的定義)
又∵AC=AC,(已知)
∴點(diǎn)A在∠CBC的角平分線上.(到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上)
∴∠ABC=∠ABC.
(2)∵∠C=∠C,∠ABC=∠ABC,
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C+∠ABC).(三角形內(nèi)角和定理)
即∠BAC=∠ABC.
∵BC⊥AC,BC⊥AC,
∴BC=BC.(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)
【例2】已知:如圖,△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CF相交于點(diǎn)P.
求證:AP平分∠BAC.
證明:過點(diǎn)P分別作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分別為M、N、Q.
∵BE是∠B的平分線,點(diǎn)P在BE上,(已知)
∴PQ=PM.(角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)
同理PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代換)
∴AP平分∠BAC.(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)
四、課堂小結(jié)
師:你今天學(xué)習(xí)了什么知識(shí)?有什么新的收獲?
學(xué)生回答,教師點(diǎn)評(píng).
教學(xué)反思
本節(jié)課開頭設(shè)計(jì)的折紙和畫一畫的活動(dòng),旨在豐富學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)的感知,有利于學(xué)生借助直觀圖從而準(zhǔn)確地用文字語言揭示角平分線的性質(zhì).由于部分學(xué)生常常把“過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊畫垂線段”與“過角平分線上一點(diǎn)畫角平分線的垂線”混為一談,因此設(shè)計(jì)操作(1)、(2),為學(xué)生能正確畫出符合要求的圖形,從直觀上以及三角板的正確使用上都作了恰當(dāng)?shù)匿亯|,同時(shí)也為定理1的推理論證作準(zhǔn)備.通過學(xué)生自己動(dòng)后操作、自己推導(dǎo)、自己發(fā)現(xiàn),從而得到角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,充分發(fā)揮學(xué)生的探究意識(shí),使學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)并掌握合作交流的學(xué)習(xí)方法,同時(shí)進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,能寫出規(guī)范的證明過程.

延伸閱讀

《角的平分線》教案

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。只有制定教案課件工作計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“《角的平分線》教案”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

《角的平分線》教案

一、教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明與計(jì)算。

【過程與方法】在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，增強(qiáng)探究問題的興趣、有合作交流的意識(shí)、動(dòng)手操作的能力與探索精神,獲得解決問題的成功體驗(yàn)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】角的平分線的性質(zhì)的證明及應(yīng)用?！倦y點(diǎn)】角的平分線的性質(zhì)的探究。

三、教學(xué)過程

(一)導(dǎo)入新課1.復(fù)習(xí)角平分線的畫法2.利用PPT創(chuàng)設(shè)情景：如圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線，你知道其中的道理嗎?

(二)生成新知探究做一做(學(xué)生獨(dú)立完成，同組同學(xué)交流，找學(xué)生到黑板上板演.教師糾正答案)如圖，將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊)，然后展開.觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論?試著證明你的結(jié)論.

(三)深化新知思考：角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意什么問題?(由學(xué)生討論匯報(bào))(四)應(yīng)用新知1.例題：解決導(dǎo)入中PPT的問題2.練一練：(1)下面四個(gè)圖中,點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上,則圖形_____中PD=PE.0012.jpg(五)小結(jié)作業(yè)小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?你對(duì)今天的學(xué)習(xí)還有什么疑問嗎?作業(yè)：必做題，選做題，思考題：角平分線性質(zhì)的逆命題并證明。

角平分線的性質(zhì)

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識(shí)點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，大家在仔細(xì)規(guī)劃教案課件。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，未來工作才會(huì)更有干勁！你們會(huì)寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“角平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學(xué)目標(biāo)
1.了解角平分線的性質(zhì)，并運(yùn)用其解決一些實(shí)際問題。
2.經(jīng)歷操作，推理等活動(dòng)，探索角平分線的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念，在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)。

教材分析
重點(diǎn)：角平分線性質(zhì)的探索。
難點(diǎn)：角平分線性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)方法：
預(yù)學(xué)----探究----精導(dǎo)----提升

教學(xué)過程
一創(chuàng)設(shè)問題情境，預(yù)學(xué)角平分線的性質(zhì)
閱讀課本P128-P129，并完成預(yù)學(xué)檢測(cè)。

二合作探究
如圖，OC為∠AOB的角平分線,P為OC上任意一點(diǎn)。
提問：
1.如何畫出∠AOB的平分線？
2.若點(diǎn)P到角兩邊的距離分別為PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能說明為什么嗎？
讓學(xué)生活動(dòng)起來，通過測(cè)量，比較，得出結(jié)論。
教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，肯定它們的發(fā)現(xiàn)。

歸納：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

三想一想，鞏固角平分線的性質(zhì)
三條公路兩兩相交，為更好的使公路得到維護(hù)，決定在三角區(qū)建立一個(gè)公路維護(hù)站，那么這個(gè)維護(hù)站應(yīng)該建在哪里？才能使維護(hù)站到三條公路的距離都相等？
三做一做，拓展課題
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點(diǎn)，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關(guān)系。
讓學(xué)生充分討論，鼓勵(lì)學(xué)生自主完成。
教師歸納：
因?yàn)樯渚€AP是△ABC的外角∠CAE平分線，
所以PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）
所以PB+PD=PB+PE
又PB+PE＞BE（三角形兩邊之和大于第三邊）
所以PB+PD＞BE

思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，則射線BP有怎樣的性質(zhì)？點(diǎn)P又有怎樣的位置？

四課堂練習(xí)
課本P130練習(xí)

五小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，反過來，到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。

六作業(yè)
1.課本P130習(xí)題A組T1,T2
2.基礎(chǔ)訓(xùn)練同步練習(xí)。
3.選作拓展題。

七課后反思：
新舊教法對(duì)比：新教法更有利于培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力。
學(xué)生對(duì)于角平分線的性質(zhì)可以倒背如流，但就是容易把到角兩邊的距離看錯(cuò)，在以后的教學(xué)中要多加強(qiáng)對(duì)距離的認(rèn)識(shí)。

學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1了解角平分線的性質(zhì)。
2并運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題。

預(yù)學(xué)檢測(cè)：
1角平分線上任意一點(diǎn)到相等。
2⑴如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別
為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．

學(xué)點(diǎn)訓(xùn)練：
1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A．PC=PDB．OC=OD
C．∠CPO=∠DPOD．OC=PC
2．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，
若AC=10cm，則△DBE的周長(zhǎng)等于()
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
鞏固練習(xí)：
已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD

拓展提升：
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點(diǎn)，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關(guān)系。

角的平分線的性質(zhì)

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，才能對(duì)工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點(diǎn)角平分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個(gè)條件：①點(diǎn)在角的平分線上；②過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個(gè)三角形全等．
(3)如果已知一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上，常作出該點(diǎn)到角兩邊的垂線段，運(yùn)用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.若CD＝2cm，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)D到直線AB的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長(zhǎng)．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運(yùn)用角的平分線的判定，可以證明兩個(gè)角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，往往錯(cuò)誤地將一線段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)．
3．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題
運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離．
在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到某個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線即可．
運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，一定要把實(shí)際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點(diǎn)，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實(shí)際問題中常用的方法．
4．運(yùn)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題
在實(shí)際問題中，如果出現(xiàn)了某個(gè)地點(diǎn)到某些線的距離相等，常先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵．找到解決問題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)．
5．綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：
對(duì)于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時(shí)，只需過其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊(duì)為進(jìn)行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊(duì)很快找到了這座古城的遺址．你能運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)在圖中合理地標(biāo)出古城遺址的位置嗎？請(qǐng)你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為圓心，以大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計(jì)算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑畫弧交CO于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點(diǎn)P處．此時(shí)，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請(qǐng)問民警在注視可疑分子從A處走到B處時(shí)，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點(diǎn)P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點(diǎn)P，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實(shí)際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡(jiǎn)單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線的交點(diǎn)，第三條角平分線一定過此交點(diǎn)．
三角形兩個(gè)外角的平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn)O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點(diǎn)O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)O4；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處．