高中函數(shù)的應(yīng)用教案

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第四章幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì))。

第四章幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a0,a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)0a1時(shí)，y=ax是減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）。
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。
3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a0,a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0）。當(dāng)0a1，y=logax為減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，y=logax為增函數(shù)。
4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M0,N0）；
1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；
2）loga(MN)=logaM+logaN；
3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，
5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c0,a,c1).
5.函數(shù)y=x+（a0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請(qǐng)讀者自己用定義證明）
6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若ab,f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個(gè)實(shí)根。
二、方法與例題
1．構(gòu)造函數(shù)解題。
例1已知a,b,c∈(-1,1)，求證：ab+bc+ca+10.
【證明】設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)0且f(1)0（因?yàn)?1a1）.
因?yàn)閒(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，
所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.
例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1,b2,…,bn∈R，則（）（）≥()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使ai=,i=1,2,…,n時(shí)成立。
【證明】令f(x)=（）x2-2()x+=,
因?yàn)?，且對(duì)任意x∈R,f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展開(kāi)得（）()≥()2。
等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。
例3設(shè)x,y∈R+,x+y=c,c為常數(shù)且c∈(0,2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2
=xy++2.
令xy=t，則0t=xy≤,設(shè)f(t)=t+,0t≤
因?yàn)?c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上單調(diào)遞減。
所以f(t)min=f()=+，所以u(píng)≥++2.
當(dāng)x=y=時(shí)，等號(hào)成立.所以u(píng)的最小值為++2.
2．指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。
例4設(shè)p,q∈R+且滿足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。
【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，則p=9t,q=12t,p+q=16t，
所以9t+12t=16t，即1+
記x=，則1+x=x2，解得
又0，所以=
例5對(duì)于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù)x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.
【證明】由ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設(shè)，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，則因?yàn)閤lga=wlg70，所以w=0與題設(shè)矛盾，所以a1.
又a≤b≤c，且a,b,c為70的正約數(shù)，所以只有a=2,b=5,c=7.
所以a+b=c.
例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】由題設(shè)logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得
，
因?yàn)閍c0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。
3．指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。
解此類方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。
例7解方程：3x+4x+5x=6x.
【解】方程可化為=1。設(shè)f(x)=,則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，因?yàn)閒(3)=1，所以方程只有一個(gè)解x=3.
例8解方程組：（其中x,y∈R+）.
【解】?jī)蛇吶?duì)數(shù)，則原方程組可化為①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y0，所以y=2,x=4.
所以方程組的解為.
例9已知a0,a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。
【解】由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿足.①②③
若①、②同時(shí)成立，則③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)，④
當(dāng)k=0時(shí)，④無(wú)解；當(dāng)k0時(shí)，④的解是x=，代入②得k.
若k0，則k21，所以k-1；若k0，則k21，所以0k1.
綜上，當(dāng)k∈(-∞,-1)∪(0,1)時(shí)，原方程有解。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．命題p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命題q:“x+y≥0”的_________條件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù)，則不等式|f-1(log2x)|1的解集為_(kāi)________。
4．若log2a0，則a取值范圍是_________。
5．命題p:函數(shù)y=log2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q:函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條件。
6．若0b1,a0且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________。
8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________。
9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________。
10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)________。
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n為給定正整數(shù),n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2,x,1從大到小排列是_________.
4.若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_________.

5.命題p:函數(shù)y=log2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條件.
6．若0b1,a0且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________.
8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________.
9．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)________.
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n為給定正整數(shù)，n≥2,a∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是__________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2,x,1從大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范圍是________.
5．已知an=logn(n+1)，設(shè)，其中p,q為整數(shù)，且(p,q)=1，則pq的值為_(kāi)________.
6．已知x10,y10,xy=1000，則(lgx)(lgy)的取值范圍是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
8．函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b,c應(yīng)滿足的充要條件是________.
（1）b0且c0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是________函數(shù)（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1,|b|1，則f(a)+f(b)=________.
11．設(shè)a∈R，試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。
12．設(shè)f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù)a,b滿足0ab,f(a)=f(b)=2f，求證：
（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.
13．設(shè)a0且a1,f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；（2）若f-1(n)(n∈N+)，求a的取值范圍。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．如果log2[log(log2x)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5z)]=0，那么將x,y,z從小到大排列為_(kāi)__________.
2．設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x0x1x2x30，都有l(wèi)og1993+log1993+log1993klog1993恒成立，則k的最大值為_(kāi)__________.
3．實(shí)數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則的值為_(kāi)__________.
4．已知0b1,00α450，則以下三個(gè)數(shù)：x=(sinα)logbsina,y=(cosα)logbsina,z=(sinα)logbsina從小到大排列為_(kāi)__________.
5．用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是___________.
6．設(shè)a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a,b,c中的最大數(shù)為M，則M的最小值為_(kāi)__________.
7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=，則，由小到大排列為_(kāi)__________.
8．不等式+20的解集為_(kāi)__________.
9．已知a1,b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）試畫出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。
（2）若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。
11．對(duì)于任意n∈N+(n1)，試證明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)x,y,z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．當(dāng)a為何值時(shí)，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個(gè)解（a1且a1）。
3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數(shù)，滿足條件；對(duì)于任何x,y1及u,v0,f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).
4.求所有函數(shù)f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．設(shè)m≥14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：N→N定義如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條件的所有函數(shù)f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),x,y∈Q.
7．是否存在函數(shù)f(n)，將自然數(shù)集N映為自身，且對(duì)每個(gè)n1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．設(shè)p,q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x)∈Z(x)（表示整系數(shù)多項(xiàng)式集合），使對(duì)x軸上的某個(gè)長(zhǎng)為的開(kāi)區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)x,有
9．設(shè)α，β為實(shí)數(shù)，求所有f:R+→R，使得對(duì)任意的x,y∈R+,f(x)f(y)=y2f成立。

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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第五章數(shù)列)

第五章數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。
定理1若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1,當(dāng)n1時(shí)，an=Sn-Sn-1.
定義2等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d,則a=b-d,c=b+d.
定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.
定義3等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。
定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sn=；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的0，存在M，對(duì)任意的nM(n∈N),都有|an-A|，則稱A為n→+∞時(shí)數(shù)列{an}的極限，記作
定義5無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{an}的公比q滿足|q|1，則稱之為無(wú)窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得）。
定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理
定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。
定理5對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若αβ，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始條件x1,x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。
例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2已知數(shù)列{an}滿足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通項(xiàng)an.
【解】因?yàn)閍1=,又a1+a2=22a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
證明；1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)猜想成立。
當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以
例3設(shè)0a1，數(shù)列{an}滿足an=1+a,an-1=a+，求證：對(duì)任意n∈N+,有an1.
【證明】證明更強(qiáng)的結(jié)論：1an≤1+a.
1)當(dāng)n=1時(shí)，1a1=1+a，①式成立；
2)假設(shè)n=k時(shí)，①式成立，即1an≤1+a，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有
由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得an+
【證明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=
+an(pqn+1+qan)]=q().
若=0，則對(duì)任意n,+=0，取c=0即可.
若0，則{+}是首項(xiàng)為，公式為q的等比數(shù)列。
所以+=qn.
取即可.
綜上，結(jié)論成立。
例5已知a1=0,an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.
【證明】因?yàn)閍1=0,a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n≥1時(shí)an+1an.
又由an+1=5an+移項(xiàng)、平方得
①
當(dāng)n≥2時(shí)，把①式中的n換成n-1得，即
②
因?yàn)閍n-1an+1，所以①式和②式說(shuō)明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個(gè)不等根。由韋達(dá)定理得an+1+an-1=10an(n≥2).
再由a1=0,a2=1及③式可知，當(dāng)n∈N+時(shí)，an都是整數(shù)。
3．?dāng)?shù)列求和法。
數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。
例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】因?yàn)閍n+a100-n=+=，
所以S99=
例7求和：+…+
【解】一般地，
，
所以Sn=

例8已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Sn2。
【證明】由遞推公式可知，數(shù)列{an}前幾項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13。
因?yàn)椋?br> 所以。②
由①-②得，
所以。
又因?yàn)镾n-2Sn且0,
所以Sn,所以，
所以Sn2，得證。
4．特征方程法。
例9已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.
【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設(shè)an=(α+βn)2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=32n-1.
例10已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.
【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,
所以an=α3n+β(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以3]。
5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。
例11正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。
【解】由得=1，
即
令bn=+1，則{bn}是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=…a0=
注：C1C2…Cn.
例12已知數(shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通項(xiàng)。
【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動(dòng)點(diǎn)，由=x得x=
因?yàn)閤1=2,xn+1=,可知{xn}的每項(xiàng)均為正數(shù)。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
Xn+1-==,①
Xn+1+==,②
由①÷②得。③
又0，
由③可知對(duì)任意n∈N+，0且,
所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。
所以，所以，
解得。
注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.
2.數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
3.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a10,Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.
5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.
6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，則S100=_________.
7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若，并且x1+x2+…+xn=8，則x1=_________.
9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則=_________.
10.若n!=n(n-1)…21,則=_________.
11．若{an}是無(wú)窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通項(xiàng)。
12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2006=_____________.
2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=.
3.若an=n2+,且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.
5.已知，則a的取值范圍是______________.
6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。
7．已知(n∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.
8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為_(kāi)___________.
9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.
10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).
11．已知數(shù)列{an}中，an0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),當(dāng)a1=p,b1=q(p0,q0)且p+q=1時(shí)，（1）求證：an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列
13．是否存在常數(shù)a,b,c，使題設(shè)等式
122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。
2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=，則通項(xiàng)xn=__________.
3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an0，且，則通項(xiàng)an=__________.
4.已知數(shù)列a0,a1,a2,…,an,…滿足關(guān)系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，則=__________.
5.等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比為=__________.
6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).
7.數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,且=2，則
________.
8.數(shù)列{an}稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0,{an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).
9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1,an+1=。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？
10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無(wú)限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。
11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得
a1=1,a21,an+1(an+1-1)=

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1,2,….
2．設(shè)a1,a2,…,an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。
試問(wèn)f(2007)能否被3整除？
3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且
求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。
4．無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1xi(i=0,1,2,…),
（1）求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n≥1，使≥3.999均成立；
（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式4對(duì)任一n均成立。
5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？
6．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=,
(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：是整數(shù)的平方。
7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求證：存在無(wú)窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m,k，有|xm-xk|≥
9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0q1，求證：n個(gè)實(shí)數(shù)b0,b1,…，bn和滿足：（1）akbk(k=1,2,…,n)；
（2）q(k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn(a0+a1+…+an).

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)nm且n∈N時(shí)，恒有|un-A|ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。
2．極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)g(x)]=ab,
3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。
6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）
7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則
（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。
8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[(x)]=.
9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。
10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則
11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對(duì)任意x∈(a,b)，.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值mf(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]令F(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。
16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1．極限的求法。
例1求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）當(dāng)a1時(shí)，
當(dāng)0a1時(shí)，
當(dāng)a=1時(shí)，
（3）因?yàn)?br> 而
所以
（4）
例2求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|1)；
（2）；（3）。
[解]（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=
（2）
=
（3）
=
2．連續(xù)性的討論。
例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。
[解]當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。
3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解]因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。
例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。
[解]（1）3cos(3x+1).
(2)
（3）
（4）
（5）
5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6設(shè)a0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解]，因?yàn)閤0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+0.
（1）當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≠1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0a1時(shí)，令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-x2-a+時(shí)，x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。
6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
例7設(shè)，求證：sinx+tanx2x.
[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?cosx1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)f(0)=0，即sinx+tanx2x.
7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。
例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解]因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，所以f(x)在(0,1]上遞減；
當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，，所以f(x)在[1，2]上遞增；
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。
例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時(shí)，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,
當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanxx，所以；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanx0,x-tanx0，所以；
又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因?yàn)?(1-y)xxπ，所以g[(1-y)x]g(x)，即，
又因?yàn)?，所以?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)0.
其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx≥0.
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．=_________.
2．已知，則a-b=_________.
3．_________.
4．_________.
5．計(jì)算_________.
6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________.
7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且，則_________.
8．若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________.
9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________.
11．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13．設(shè)0ba,求證：
四、高考水平練習(xí)題
1．計(jì)算=_________.
2．計(jì)算_________.
3．函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.。
4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_________.
5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù)，若，則_________.
6．函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域?yàn)開(kāi)________.
7．過(guò)拋物線x2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________.
8．當(dāng)x0時(shí)，比較大?。簂n(x+1)_________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________.
10．曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_(kāi)________.
11．若x0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)Mn={（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________.
2．若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則_________.
3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，
，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)0的解集為_(kāi)________.
4．曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.
5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________.
6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________.
7．當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_(kāi)________.
8．已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[]0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.
10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)正數(shù)p1,p2,…,滿足p1+p2+p3+…+=1，求證：p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥-n.
11.若函數(shù)gA(x)的定義域A=[a,b)，且gA(x)=,其中a,b為任意的正實(shí)數(shù)，且ab，（1）求gA(x)的最小值；
（2）討論gA(x)的單調(diào)性；
（3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，證明：
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．證明下列不等式：（1）；
（2）。
2．當(dāng)0a≤b≤c≤d時(shí)，求f(a,b,c,d)=的最小值。
3．已知x,y∈(0,1)求證：xy+yx1.

第十五章復(fù)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第十五章復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來(lái)表示。
2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見(jiàn)圖15-1，連接OZ，設(shè)∠x(chóng)OZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。
4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開(kāi)方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。
9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。
11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac0時(shí)方程的根為
二、方法與例題
1．模的應(yīng)用。
例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明]若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。
例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號(hào)成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復(fù)數(shù)相等。
例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。
[解]若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ0無(wú)實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為λ≠2。
3．三角形式的應(yīng)用。
例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？
[解]由題設(shè)得
，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。
4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。
例5計(jì)算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100==)+()i，比較實(shí)部和虛部，得=-250，=0。
5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。
[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。
例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：ABAD+BCAD≥ACBD。
[證明]用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。
6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復(fù)數(shù)與三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).
求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[證明]記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.單位根的應(yīng)用。
例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。
[證明]取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3…An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n-
=2n-命題得證。
10．復(fù)數(shù)與幾何。
例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
[證明]以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。
例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則__________。
4．已知，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程-Λz=w的解為z=__________。
7.設(shè)0x1，則2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個(gè)虛根且，則__________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________條件。
10．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。
13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點(diǎn)p1,p2,…,pn都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．復(fù)數(shù)z和cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對(duì)稱，則z=__________。
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一個(gè)人在草原上漫步，開(kāi)始時(shí)從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過(guò)n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=__________。
4.若，則|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實(shí)數(shù)λ的最大值為_(kāi)_________。
6．已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形OPQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為_(kāi)_________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕?。則點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)_________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________。
10．設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則+…+a3k-__________。
11.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)z.
13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)_________。
3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。
4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為_(kāi)_________。
5．設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=900，|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。
6．設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開(kāi)式為_(kāi)_________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=__________。
9.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)，的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。
10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足，且，，，則的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問(wèn)：集合C中有多少個(gè)不同的元素？
12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程的所有根都是不相等的實(shí)根（n∈N+）.
13.對(duì)于適合|z|≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0|αz+β|2總能成立，試問(wèn)：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足
其中S為實(shí)數(shù)且|S|≤2，求證：復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上。
2．求證：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復(fù)變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且|p(i)|1，求證：存在實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個(gè)數(shù)a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。
5．已知復(fù)數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1.
6.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，求證：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

第二章二次函數(shù)與命題(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第二章二次函數(shù)與命題

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．二次函數(shù)：當(dāng)0時(shí)，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的圖象開(kāi)口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減），在[x0,-∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）。當(dāng)a0時(shí)，情況相反。
3．當(dāng)a0時(shí)，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記△=b2-4ac）。
1）當(dāng)△0時(shí)，方程①有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分別是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2）當(dāng)△=0時(shí)，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分別是{x|x}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)。
3）當(dāng)△0時(shí)，方程①無(wú)解，不等式②和不等式③的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)。
當(dāng)a0時(shí)，請(qǐng)讀者自己分析。
4．二次函數(shù)的最值：若a0，當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，則當(dāng)x=x0=時(shí)，f(x)取最大值f(x0)=.對(duì)于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)x0∈[m,n]時(shí)，f(x)在[m,n]上的最小值為f(x0);當(dāng)x0m時(shí)。f(x)在[m,n]上的最小值為f(m)；當(dāng)x0n時(shí)，f(x)在[m,n]上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。
定義1能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。
注1“p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。
定義2原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
注2原命題與其逆否命題同真假。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。
注3反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。
二、方法與例題
1．待定系數(shù)法。
例1設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).
【解】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),
則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因?yàn)閒(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。
【解】因?yàn)?4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5,f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函數(shù)的性質(zhì)。
例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，求證：方程f(f(x))=x也無(wú)實(shí)根。
【證明】若a0，因?yàn)閒(x)=x無(wú)實(shí)根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)且開(kāi)口向上，所以對(duì)任意的x∈R,f(x)-x0即f(x)x，從而f(f(x))f(x)。
所以f(f(x))x，所以方程f(f(x))=x無(wú)實(shí)根。
注：請(qǐng)讀者思考例3的逆命題是否正確。
4．利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。
例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的兩根x1,x2滿足0x1x2,
（Ⅰ）當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，求證：xf(x)x1；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對(duì)稱，求證：x0
【證明】因?yàn)閤1,x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，x-x10,x-x20,a0，所以f(x)x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]0，所以f(x)x1.
綜上，xf(x)x1.
（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=,
所以，
所以
5．構(gòu)造二次函數(shù)解題。
例5已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。
【證明】方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.
構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)20,f(-1)=(a-1)20,f(0)=1-a20,即△0，
所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。
6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。
例6當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y=取最小值？求出這個(gè)最小值。
【解】y=1-,令u,則0u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且當(dāng)即x=3時(shí)，ymin=.
例7設(shè)變量x滿足x2+bx≤-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。
【解】由x2+bx≤-x(b-1)，得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2時(shí)，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。
ⅱ)--(b+1)，即b-2時(shí)，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函數(shù)，
所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.
綜上，b=-.
7.一元二次不等式問(wèn)題的解法。
例8已知不等式組①②的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求a的取值范圍。
【解】因?yàn)榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a,x2=1-a,
若a≤0，則x1x2.①的解集為ax1-a，由②得x1-2a.
因?yàn)?-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無(wú)解。
若a0，?。┊?dāng)0a時(shí)，x1x2,①的解集為ax1-a.
因?yàn)?ax1-a1，所以不等式組無(wú)整數(shù)解。
ⅱ）當(dāng)a=時(shí)，a=1-a，①無(wú)解。
ⅲ）當(dāng)a時(shí)，a1-a，由②得x1-2a，
所以不等式組的解集為1-axa.
又不等式組的整數(shù)解恰有2個(gè)，
所以a-(1-a)1且a-(1-a)≤3，
所以1a≤2，并且當(dāng)1a≤2時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0，1。
綜上，a的取值范圍是1a≤2.
8．充分性與必要性。
例9設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0①
對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y,z都成立，問(wèn)A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）
【解】充要條件為A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先證必要性，①可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0②
若A=0，則由②對(duì)一切x,y,z∈R成立，則只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，則因?yàn)棰诤愠闪?，所以A0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，則由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
綜上，充分性得證。
9．常用結(jié)論。
定理1若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】因?yàn)?|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m0，則-m≤x≤m等價(jià)于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.綜上定理1得證。
定理2若a,b∈R,則a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,則x+y≥
(證略)
注定理2可以推廣到n個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．下列四個(gè)命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆否命題。
2．由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_________.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b};④p:QR,q:N=Z.
3.當(dāng)|x-2|a時(shí)，不等式|x2-4|1成立，則正數(shù)a的取值范圍是________.
4.不等式ax2+(ab+1)x+b0的解是1x2，則a,b的值是____________.
5.x1且x2是x-1的__________條件，而-2m0且0n1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根的__________條件.
6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_________.
7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2個(gè)，則m的取值范圍是_________.
8.R為全集，A={x|3-x≥4},B=,則(CRA)∩B=_________.
9.設(shè)a,b是整數(shù)，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，點(diǎn)（2，1）∈A，但點(diǎn)（1，0）A，（3，2）A則a,b的值是_________.
10．設(shè)集合A={x||x|4},B={x|x2-4x+30}，則集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍。
12．對(duì)任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．若不等式|x-a|x的解集不空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
2．使不等式x2+(x-6)x+90當(dāng)|a|≤1時(shí)恒成立的x的取值范圍是_________.
3．若不等式-x2+kx-40的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.
4．若集合A={x||x+7|10},B={x||x-5|k}，且A∩B=B，則k的取值范圍是_________.
5．設(shè)a1、a2,b1、b2,c1、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_________條件。
6．若下列三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
7．已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_________條件。
8．已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.
9．已知a0，f(x)=ax2+bx+c，對(duì)任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)f(1+2x-x2)，求x的取值范圍。
10．已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1,
(1)求證：|c|≤1;
(2)求證：當(dāng)|x|≤1時(shí)，|g(x)|≤2;
(3)當(dāng)a0且|x|≤1時(shí)，g(x)最大值為2，求f(x).
11.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a≥0,m0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0x01.
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是_________.
2．如果實(shí)數(shù)x,y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_________.
3．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），（3，5），f(0)0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時(shí)，a+b2+c3=_________.
4.已知f(x)=|1-2x|,x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________個(gè)實(shí)根。
5．若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一個(gè)實(shí)根，則m取值范圍是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x對(duì)一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，則p+q2=_________.
7.對(duì)一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(ab)的值恒為非負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)________.
8．函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac.那么b2-4ac_________4.（填、=、）
9．若abcd，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)t-1,關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個(gè)不等的實(shí)根。
10．某人解二次方程時(shí)作如下練習(xí)：他每解完一個(gè)方程，如果方程有兩個(gè)實(shí)根，他就給出下一個(gè)二次方程：它的常數(shù)項(xiàng)等于前一個(gè)方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項(xiàng)系數(shù)都是1。證明：這種練習(xí)不可能無(wú)限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。
11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上滿足|f(x)|≤1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,a100，試問(wèn)滿足|f(x)|≤50的整數(shù)x最多有幾個(gè)？
2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a0)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。
3．設(shè)x1,x2,…,xn∈[a,a+1]，且設(shè)x=,y=,求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,則對(duì)于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在實(shí)數(shù)m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)滿足下列條件：
1）當(dāng)x∈R時(shí)，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)≤;
3）f(x)在R上最小值為0。
求最大的m(m1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f(x+t)≤x.
7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。
8．設(shè)a,b,A,B∈R+,aA,bB，若n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an位于a與A之間，n個(gè)正數(shù)b1,b2,…,bn位于b與B之間，求證：
9．設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，g(x)=ax2+bx+c,|x|≤1，求使下列條件同時(shí)滿足的a,b,c的值：
（ⅰ）=381;
（ⅱ）g(x)max=444;
（ⅲ）g(x)min=364.