高中函數(shù)的應(yīng)用教案
發(fā)表時間：2020-04-03幾類不同增長的函數(shù)模型（2課時）。
古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準備好教案，這是高中教師需要精心準備的。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“幾類不同增長的函數(shù)模型（2課時）”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
幾類不同增長的函數(shù)模型（2課時）教學(xué)要求：①結(jié)合實例體會直線上升，指數(shù)爆炸，對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義.
②借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異.
③恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）并借助信息技術(shù)解決一些實際問題.
④收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等），了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.
教學(xué)重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．
教學(xué)難點：怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題．
教學(xué)過程：
一、新課引入：（國際象棋棋盤的獎賞→教科書第三章的章頭圖：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”）
有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
二、講授新課：
1、例題講解：
①例1．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
②探究：在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？→師生共同分析解答
探究：根據(jù)例1的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？
借助計算器或計算機作出函數(shù)圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？
根據(jù)以上分析，你認為就作出如何選擇？
③例2.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：
；；.問：其中哪個模型能符合公司的要求？
④探究：本例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實質(zhì)是什么？
根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，如何判定所給的獎勵模型是否符合公司要求？
通過對三個函數(shù)模型增長差異的比較，寫出例2的解答．
2、探究與發(fā)現(xiàn)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異分析：
你能否仿照前面例題使用的方法，探索研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的增長差異，并進行交流、討論、概括總結(jié)，形成較為準確、詳盡的結(jié)論性報告．
3、嘗試練習(xí)：教材P110練習(xí)1、2；教材P113練習(xí)．
4、小結(jié)與反思：直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義；數(shù)學(xué)的實用價
三、鞏固練習(xí)：1.教材P120習(xí)題32（A組）第1~3題；
2.作業(yè)：教材P1252、3、4題
3、課外活動：收集一些社會生活中普遍使用的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較；有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型，怎樣選用合理的函數(shù)模型？
第三、四課時3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例（2課時）
教學(xué)要求：通過一些實例，來感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用，體會解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程，從而進一步加深對這些函數(shù)的理解與應(yīng)用.
教學(xué)重點：建立函數(shù)模型的過程.
教學(xué)難點：在實際問題中建立函數(shù)模型.
教學(xué)過程：
一、新課引入：前節(jié)課主要是講授指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異，本節(jié)課我們主要是通過一些生活中常遇到的實例來進一步說明函數(shù)模型在解決實際問題中的應(yīng)用.
二、講授新課：
1、例題講解：
①例1、在中國輕紡城批發(fā)市場，季節(jié)性服裝當季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢.設(shè)某服裝開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的平穩(wěn)銷售；10周后當季節(jié)即將過去時，平均每周降價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售.
（1）試建立價格P與周次t之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）若此服裝每件進價Q與周次t之間的關(guān)系式為，試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大？
（找出實際問題中涉及的函數(shù)變量→引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)變量間的關(guān)系建立函數(shù)模型→利用模型解決實際問題→小結(jié)：二次函數(shù)模型）
②練習(xí)（圖表形式）：某同學(xué)完成一項任務(wù)共花去9個小時，他記錄的完成工作量的百分數(shù)如下：
時間/小時123456789
完成的百分數(shù)1530456060708090100
（1）如果用T（h）來表示h小時后完成的工作量的百分數(shù)，請問T（5）是多少？求出T（h）的解析式，并畫出圖象.（2）如果該同學(xué)在早晨8：00時開始工作，什么時候他未工作？
③例2、人中問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題，認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯（1766－1834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：，其中t表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.……（數(shù)據(jù)和問題見P115）
（師生共析→教師小結(jié)：指數(shù)型函數(shù)模型→學(xué)生閱讀課本，完善解題過程）
③例3、某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值研究：（數(shù)據(jù)和問題見P118）
分小組討論該選用何種函數(shù)模型來刻畫這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系并分別驗證，總結(jié)討論結(jié)果，找出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)模型來解決實際問題.
小結(jié)：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點，通過建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程：收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求函數(shù)模型→檢驗→符合實際，用函數(shù)模型解釋實際問題；不符合實際，則重新選擇函數(shù)模型，直到符合實際為止.
2、練習(xí)：教材P114圖形給出的函數(shù)應(yīng)用研究;利潤研究；
三、鞏固練習(xí)：1.閱讀P123、P73、P79等應(yīng)用問題，小結(jié)函數(shù)模型類別
2.已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少4.24％，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為.
3.某新型電子產(chǎn)品2002年投產(chǎn),計劃2004年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本℅.
3.有一批影碟（VCD）原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺售價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費較低？4.作業(yè)：P1201、2、4、5題
擴展閱讀
幾類不同增長的函數(shù)模型教學(xué)設(shè)計
教學(xué)設(shè)計
3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型
整體設(shè)計
教學(xué)分析
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述．本節(jié)的教學(xué)目標是認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同，應(yīng)用函數(shù)模型解決簡單問題．課本對幾種不同增長的函數(shù)模型的認識及應(yīng)用，都是通過實例來實現(xiàn)的．通過教學(xué)讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)來自現(xiàn)實生活，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中是有用的．
三維目標
1．借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異．
2．恰當運用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術(shù)解決一些實際問題．
3．讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
重點難點
教學(xué)重點：認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同．
教學(xué)難點：應(yīng)用函數(shù)模型解決簡單問題．
課時安排
2課時
教學(xué)過程
第1課時
作者：林大華
導(dǎo)入新課
思路1．(事例導(dǎo)入)
一張紙的厚度大約為0.01cm，一塊磚的厚度大約為10cm，請同學(xué)們計算將一張紙對折n次的厚度和n塊磚的厚度，列出函數(shù)關(guān)系式，并計算n＝20時它們的厚度．你的直覺與結(jié)果一致嗎？
解：紙對折n次的厚度：f(n)＝0.012n(cm)，n塊磚的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝2m.
也許同學(xué)們感到意外，通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)大家對這些問題會有更深的了解．
思路2．(直接導(dǎo)入)
請同學(xué)們回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)我們將通過實例比較它們的增長差異．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù)．
(2)正方形的邊長為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù)．
(3)某保護區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長率增長，經(jīng)過x年后濕地的面積為y，把y表示為x的函數(shù)．
(4)分別用表格、圖象表示上述函數(shù)．
(5)指出它們屬于哪種函數(shù)模型．
(6)討論它們的單調(diào)性．
(7)比較它們的增長差異．
(8)另外還有哪種函數(shù)模型與對數(shù)函數(shù)相關(guān)．
活動：先讓學(xué)生動手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路．
(1)總價等于單價與數(shù)量的積．
(2)面積等于邊長的平方．
(3)由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年…
(4)列表畫出函數(shù)圖象．
(5)引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的函數(shù)模型．
(6)結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性．
(7)讓學(xué)生自己比較并體會．
(8)其他與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型．
討論結(jié)果：(1)y＝x.
(2)y＝x2.
(3)y＝(1＋5%)x.
(4)如下表
x123456
y＝x123456
y＝x2149162536
y＝(1＋5%)x1.051.101.161.221.281.34
它們的圖象分別為圖1，圖2，圖3.
圖1圖2圖3
(5)它們分別屬于：y＝kx＋b(直線型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型)．
(6)從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)．
(7)在不同區(qū)間增長速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長速度越來越快，會遠遠大于另外兩個函數(shù)．
(8)另外還有與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對數(shù)型函數(shù)．
應(yīng)用示例
例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
活動：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)：我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)．
解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是遞增函數(shù)模型．要對三個方案做出選擇，就要對它的增長情況進行分析．我們先用計算機計算一下三種所得回報的增長情況.
x/天方案一方案二方案三
y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元
140100.4
240020100.80.4
340030101.60.8
440040103.21.6
540050106.43.2
6400601012.86.4
7400701025.612.8
8400801051.225.6
94009010102.451.2
1040010010204.8102.4
…………………
3040030010214748364.8107374182.4
再作出三個函數(shù)的圖象(圖4)．
圖4
由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案二與方案三的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二無法企及的．從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元．
下面再看累積的回報數(shù)．通過計算機或計算器列表如下：
因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應(yīng)選擇方案三．
針對上例可以思考下面問題：
①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報數(shù)還是累積回報數(shù)．
②課本把兩種回報數(shù)都列表給出的意義何在？
③由此得出怎樣的結(jié)論．
答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報數(shù)．
②讓我們體會每天回報數(shù)的增長變化．
③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，其增長變化存在很大差異.
變式訓(xùn)練
某市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月基礎(chǔ)費，然后每通話1分鐘付話費0.4元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費，每通話1分鐘付話費0.6元，若設(shè)一個月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)的費用分別為y1元和y2元，那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象；
(3)求出一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)費用相同；
(4)若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元，應(yīng)選擇哪種通訊業(yè)務(wù)較合算．
思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務(wù)所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的變化情況，為選擇哪種通訊提供依據(jù)．(1)全球通的費用應(yīng)為兩種費用的和，即月基礎(chǔ)費和通話費，神州行的費用應(yīng)為通話費用；(2)運用描點法畫圖，但應(yīng)注意自變量的取值范圍；(3)可利用方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當函數(shù)值為200元時，哪個函數(shù)所對應(yīng)的自變量的值較大．
解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．
(2)圖象如圖5所示．
圖5
(3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點所對應(yīng)的橫坐標為250，所以在一個月內(nèi)通話250分鐘時，兩種通訊業(yè)務(wù)的收費相同．
(4)當通話費為200元時，由圖象可知，y1所對應(yīng)的自變量的值大于y2所對應(yīng)的自變量的值，即選取全球通更合算．
另解：當y1＝200時有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；
當y2＝200時有0.6x＝200，x2＝10003.顯然375＞10003，
∴選用“全球通”更合算．
點評：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當注意提高讀圖的能力．另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.
例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？
活動：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤．于是只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過具體計算，確認結(jié)果．
解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖6)．
圖6
觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求．
下面通過計算確認上述判斷．
首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬．
對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；
對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；
對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x＝1000時，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求．
再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．
圖7
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)的圖象(圖7)，由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以當x∈[10,1000]時，log7x＋1x＜0.25.
說明按模型y＝log7x＋1獎勵，獎金不超過利潤的25%.
綜上所述，模型y＝log7x＋1確實能符合公司的要求.
變式訓(xùn)練
市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數(shù)量的關(guān)系做數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%(x＞0)，銷售數(shù)量就減少kx%(其中k為正實數(shù))．目前，該商品定價為a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個．
(1)當k＝12時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額達到最大？
(2)在適當?shù)臐q價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍．
解：依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為
y＝a(1＋x%)b(1－kx%)＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]．
(1)取k＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，
所以x＝50，
即商品價格上漲50%，y最大為98ab.
(2)因為y＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]，
此二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為x＝50(1－k)k，在適當漲價過程后，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x＞0}的一個子集內(nèi)增大時，y也增大．
所以50(1－k)k＞0，解得0＜k＜1.
點評：這類問題的關(guān)鍵在于列函數(shù)解析式建立函數(shù)模型，然后借助不等式進行討論.
知能訓(xùn)練
光線通過一塊玻璃，其強度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃重疊起來，設(shè)光線原來的強度為k，通過x塊玻璃以后強度為y.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)通過多少塊玻璃以后，光線強度減弱到原來的13以下．(lg3≈0.4771)
解：(1)光線經(jīng)過1塊玻璃后強度為(1－10%)k＝0.9k；
光線經(jīng)過2塊玻璃后強度為(1－10%)0.9k＝0.92k；
光線經(jīng)過3塊玻璃后強度為(1－10%)0.92k＝0.93k；
光線經(jīng)過x塊玻璃后強度為0.9xk.
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)由題意：0.9xk＜k3.∴0.9x＜13.
兩邊取以10為底的對數(shù)，xlg0.9＜lg13.
∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.
∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xmin＝11.
∴通過11塊玻璃以后，光線強度減弱到原來的13以下．
拓展提升
某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象(如圖8所示)．假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：
①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；
②在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30m2；
③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個月；
④設(shè)野生水葫蘆蔓延到2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．
哪些說法是正確的？
圖8
解：①說法正確．
∵關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，
∴可設(shè)y＝ax(a＞0且a≠1)．∴由圖知2＝a1.
∴a＝2，即底數(shù)為2.
②∵25＝32＞30，∴說法正確．
③∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，
∴說法不正確．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴說法正確．
⑤∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，∴說法不正確．
課堂小結(jié)
活動：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師提示、點撥，及時評價．
引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié)．
答案：(1)建立函數(shù)模型；(2)利用函數(shù)圖象性質(zhì)分析問題、解決問題．
作業(yè)
課本習(xí)題3.2A組1,2.
設(shè)計感想
本節(jié)設(shè)計由學(xué)生熟悉的素材入手，結(jié)果卻出乎學(xué)生的意料，由此使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．課本中兩個例題不僅讓學(xué)生學(xué)會了函數(shù)模型的應(yīng)用，而且體會到它們之間的差異；我們補充的例題與之相映生輝，其難度適中，是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材．其中拓展提升中的問題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點，是不可多得的素材．
第2課時
作者：張建國
導(dǎo)入新課
思路1．(情境導(dǎo)入)
國際象棋起源于古代印度．相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么．發(fā)明者說：“請在棋盤的第一個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，……，依次類推，每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求．”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了．假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但這仍不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
思路2．(直接導(dǎo)入)
我們知道，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)．但這三類函數(shù)的增長是有差異的．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)在區(qū)間(0，＋∞)上判斷y＝log2x，y＝2x，y＝x2的單調(diào)性.
(2)列表并在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象.
(3)結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點坐標.
(4)請在圖象上分別標出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍.
(5)由以上問題你能得出怎樣的結(jié)論？
討論結(jié)果：
(1)在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)y＝log2x，y＝2x，y＝x2均為增函數(shù)．
(2)見下表與圖9.
x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…
y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…
y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…
y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…
圖9
(3)從圖象看出y＝log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點，且總在另外兩函數(shù)的圖象的下方，y＝2x的圖象與y＝x2的圖象有交點．
(4)不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍分別是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．
(5)我們在更大的范圍內(nèi)列表作函數(shù)圖象(圖10)，
x012345678…
y＝2x1248163264128256…
y＝x201491625364964…
圖10
容易看出：y＝2x的圖象與y＝x2的圖象有兩個交點(2,4)和(4,16)，這表明2x與x2在自變量不同的區(qū)間內(nèi)有不同的大小關(guān)系，有時2x＜x2，有時x2＜2x.
但是，當自變量x越來越大時，可以看到，y＝2x的圖象就像與x軸垂直一樣，2x的值快速增長，x2比起2x來，幾乎有些微不足道，如圖11和下表所示．
x01020304050607080…
y＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…
y＝x2010040090016002500360049006400…
圖11
一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn.
同樣地，對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣．盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.
綜上所述，盡管對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢．因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn＜ax.雖然冪函數(shù)y＝xn(n＞0)增長快于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)增長，但它們與指數(shù)增長比起來相差甚遠，因此指數(shù)增長又稱“指數(shù)爆炸”．
應(yīng)用示例
例1某市的一家報刊攤點，從報社買進晚報的價格是每份0.20元，賣出價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社．在一個月(以30天計)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？
活動：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)：
設(shè)攤主每天從報社買進x份，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．而每月所獲利潤＝賣報收入的總價－付給報社的總價．賣報收入的總價包含三部分：①可賣出400份的20天里，收入為20×0.30x；②可賣出250份的10天里，收入為10×0.30×250；③10天里多進的報刊退回給報社的收入為10×0.05×(x－250)．付給報社的總價為30×0.20x.
解：設(shè)攤主每天從報社買進x份晚報，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．于是每月所獲利潤y為
y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×(x－250)－30×0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
因函數(shù)y在[250,400]上為增函數(shù)，故當x＝400時，y有最大值825元．
圖12
例2某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時間t之間近似滿足如圖12所示的曲線．
(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥時間為上午7：00，問一天中怎樣安排服藥的時間(共4次)效果最佳？
解：(1)依題意，得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1t≤10.
(2)設(shè)第二次服藥時在第一次服藥后t1小時，則－23t1＋203＝4，t1＝4.因而第二次服藥應(yīng)在11：00；
設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時，則此時血液中含藥量應(yīng)為兩次服藥量的和，即有－23t2＋203－23(t2－4)＋203＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應(yīng)在16：00；
設(shè)第四次服藥在第一次后t3小時(t3＞10)，則此時第一次服進的藥已吸收完，此時血液中含藥量應(yīng)為第二、三次的和，－23(t3－4)＋203－23(t3－9)＋203＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應(yīng)在20：30.
變式訓(xùn)練
通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講座開始時，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f(x)表示學(xué)生接受概念的能力[f(x)的值愈大，表示接受的能力愈強]，x表示提出和講授概念的時間(單位：分鐘)，可有以下的公式：
(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強？能維持多長時間？
(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時強一些？
解：(1)當0＜x≤10時，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，
知當x＝10時，[f(x)]max＝f(10)＝59；
當10＜x≤16時，f(x)＝59；當16＜x≤30時，f(x)＝－3x＋107，
知f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，開講后10分鐘，學(xué)生的接受能力最強，并能持續(xù)6分鐘．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴開講后5分鐘時學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強．
點評：解析式與圖象的轉(zhuǎn)換是函數(shù)應(yīng)用的重點，關(guān)于分段函數(shù)問題更應(yīng)重點訓(xùn)練.
知能訓(xùn)練
某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖13(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖13(2)的拋物線段表示．
(1)寫出圖13(1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系P＝f(t)；
寫出圖13(2)表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；
(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(1)(2)
圖13
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
活動：學(xué)生在黑板上書寫解答．教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．
解：(1)由圖13(1)可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f(t)＝300－t，0≤t≤200，2t－300，200t≤300.
由圖13(2)可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t)＝1200(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，
則由題意得h(t)＝f(t)－g(t)．
即h(t)＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－10252，200t≤300.
當0≤t≤200時，配方整理，得h(t)＝－1200(t－50)2＋100，
所以當t＝50時，h(t)取得區(qū)間[0,200]上的最大值100；
當200＜t≤300時，配方整理，得h(t)＝－1200(t－350)2＋100，
所以當t＝300時，h(t)取得區(qū)間[200,300]上的最大值87.5.
綜上，由100＞87.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．
點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力．
拓展提升
探究內(nèi)容
①在函數(shù)應(yīng)用中如何利用圖象求解析式．
②分段函數(shù)解析式的求法．
③函數(shù)應(yīng)用中的最大值、最小值問題．
舉例探究：某跨國公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行調(diào)研，結(jié)果如圖14(1)、圖14(2)、圖14(3)所示．其中圖14(1)的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(2)的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(3)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．
圖14
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；
(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的國內(nèi)和國外日銷售利潤之和超過6300萬元？
分析：1．利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有幾個分界點，請同學(xué)們思考應(yīng)分為幾段．
3．回憶函數(shù)最值的求法．
解：(1)f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40，
g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A產(chǎn)品銷售利潤h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20t≤40.
該公司的日銷售利潤
當0≤t≤20時，F(xiàn)(t)＝3t(－320t2＋8t)，先判斷其單調(diào)性．
設(shè)0≤t1＜t2≤20，
則F(t1)－F(t2)＝3t1(－320t21＋8t1)－3t2(－320t22＋8t2)＜0.
∴F(t)在區(qū)間[0,20]上為增函數(shù)．
∴F(t)max＝F(20)＝6000＜6300.
當20＜t≤30時，
令60(－320t2＋8t)＞6300，
則703＜t＜30；
當30＜t≤40時，F(xiàn)(t)＝60(－320t2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300，
故在第24,25,26,27,28,29天日銷售利潤超過6300萬元．
點評：1．利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式，重點是找出關(guān)鍵點．
2．在t∈[0,40]上，有幾個分界點，t＝20，t＝30兩點把區(qū)間分為三段．
3．二次函數(shù)的最值可用配方法，另外利用單調(diào)性求最值也是常用方法之一．
課堂小結(jié)
本節(jié)學(xué)習(xí)了：①指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．②冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用．
作業(yè)
課本習(xí)題3.2A組3,4.
設(shè)計感想
本節(jié)設(shè)計從精彩的故事開始，讓學(xué)生從故事中體會數(shù)學(xué)帶來的震撼，然后借助計算機感受不同函數(shù)模型的巨大差異．接著通過最新題型訓(xùn)練學(xué)生利用函數(shù)模型解決實際問題的能力；并且重點訓(xùn)練了由圖象轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的能力，因為這是高考的一個重點．本節(jié)的每個例題都很精彩，可靈活選用．
備課資料
【備選例題】
【例1】某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運輸?shù)脑?，長期只能在當?shù)劁N售，當?shù)卣畬υ擁椞禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每年投入x萬元，可獲得利潤P＝－1160(x－40)2＋100萬元．當?shù)卣當M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃后對該項目每年都投入60萬元的銷售投資，在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，5年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲利潤Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)萬元．
問從10年的累積利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？
解：在實施規(guī)劃前，由題設(shè)P＝－1160(x－40)2＋100(萬元)，知每年只需投入40萬，即可獲得最大利潤100萬元．
則10年的總利潤為W1＝100×10＝1000(萬元)．
實施規(guī)劃后的前5年中，由題設(shè)P＝－1160(x－40)2＋100，知每年投入30萬元時，有最大利潤Pmax＝7958(萬元)．
前5年的利潤和為7958×5＝39758(萬元)．
設(shè)在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而用剩下的(60－x)萬元用于外地區(qū)的銷售投資，則其總利潤為
W2＝－1160(x－40)2＋100×5＋－159160x2＋1192x×5
＝－5(x－30)2＋4950.
當x＝30時，(W2)max＝4950(萬元)．
從而10年的總利潤為39758＋4950(萬元)．
∵39758＋4950＞1000，
∴該規(guī)劃方案有極大實施價值．
§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)案
一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)案，希望能為您提供更多的參考。
§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)案
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標
對于基本的實際問題能抽象出數(shù)學(xué)模型。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
（預(yù)習(xí)教材P95~P98，找出疑惑之處）
閱讀：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”
有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標
1.結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；
2.借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
3.恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）并借助信息技術(shù)解決一些實際問題.
學(xué)習(xí)重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
學(xué)習(xí)難點：如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決實際問題。
二、學(xué)習(xí)過程
典型例題
例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
反思：
①在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？
②根據(jù)此例的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？借助計算器或計算機作出函數(shù)圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點.
變式訓(xùn)練1某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機.現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有多少臺計算機被感染？
例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：
；；.
問：其中哪個模型能符合公司的要求？
反思：
①此例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例實質(zhì)如何？
②根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，如何判定所給的獎勵模型是否符合公司要求？
變式訓(xùn)練2
經(jīng)市場調(diào)查分析知，某地明年從年初開始的前個月，對某種商品需求總量(萬件)近似地滿足關(guān)系
．
寫出明年第個月這種商品需求量(萬件)與月份的函數(shù)關(guān)系式.
四、反思總結(jié)
解決應(yīng)用題的一般程序：
①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；
②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
④還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義．
五、當堂達標：課本108頁2題
課后練習(xí)與提高
1.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……，現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到的細胞個數(shù)y為（）.
A．B.y=2C.y=2D.y=2x
2.某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用（）.
A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)
C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)
3.一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，它的解析式為（）.
A.y=20-2x（x≤10）B.y=20-2x（x10）
C.y=20-2x（5≤x≤10）D.y=20-2x（5x10）
4.某新品電視投放市場后第1個月銷售100臺，第2個月銷售200臺，第3個月銷售400臺，第4個月銷售790臺，則銷量y與投放市場的月數(shù)x之間的關(guān)系可寫成.
5.如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：(t≥0，a0且a≠1)．有以下敘述
①第4個月時，剩留量就會低于；
②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；
③若剩留量為所經(jīng)過的時間分別是，則.
其中所有正確的敘述是.
6.某服裝個體戶在進一批服裝時，進價已按原價打了七五折，他打算對該服裝定一新價標在價目卡上，并注明按該價20%銷售.這樣，仍可獲得25%的純利.求此個體戶給這批服裝定的新標價與原標價之間的函數(shù)關(guān)系.
幾種不同增長的函數(shù)模型教案（2課時）
幾種不同增長的函數(shù)模型（兩課時）
一、教學(xué)目的
1、利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
2、結(jié)合實例讓學(xué)生體會直線上升，指數(shù)爆炸，對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義；
3、運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）并結(jié)合信息技術(shù)解決一些實際問題；
4、以一些實際例子，讓學(xué)生了解社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的廣泛應(yīng)用。
二、教學(xué)重點、難點
重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
難點：怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題。
三、教學(xué)過程
第一課時
1、復(fù)習(xí)引入
師：在我們的生活中，有沒有用到函數(shù)的例子？
生：細胞分裂；銀行儲蓄；早晨跑步鍛煉時速度與時間的關(guān)系；……
師：很好，生活中，數(shù)學(xué)無處不在，用好數(shù)學(xué)，將會給我們帶來很大的方便。今天，我們就來看一個利用數(shù)學(xué)為我們服務(wù)的例子。
2、新課
（用幻燈片展示例題）
假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
1）每天回報40元；
2）第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
3）第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。
請問：你會選擇哪一種投資方案？（讓學(xué)生充分討論）
教師提示：
1）、考慮回報量，除了要考慮每天的回報量之外，還得考慮什么？（回報的累積值）。
2）、本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？
教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，思考應(yīng)當選擇怎樣的函數(shù)模型來描述；由學(xué)生自己根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式，教師在數(shù)量關(guān)系的分析、函數(shù)模型的選擇上作適當?shù)闹笇?dǎo)。
設(shè)問：根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中三個方案的數(shù)量變化情況，對“增加量”進行比較，體會“直線增長”、“指數(shù)爆炸”等；讓學(xué)生通過觀察，說出自己的發(fā)現(xiàn)，并進行交流。
利用計算機作出函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三個方案的不同變化趨勢，描述三個方案的特點，為方案的選擇提供依據(jù)。
通過自主活動，使學(xué)生認識到怎樣選擇才是正確的。綜合學(xué)生的分析意見，教師總結(jié)：選擇最佳方案，除了要考慮每天的收益，還要考慮一段時間內(nèi)的總收益。
由上面的分析可見：投資8天以下（不含8天），應(yīng)選擇第一種投資方案；投資8～10天，應(yīng)選擇第二種方案；投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇第三種方案。
設(shè)問：若有人給你這么一個建議：投資前8天用第一種方案，第9天到第10天用第二種方案，投資第11天開始用第三種方案。你覺得這建議如何？
3）、（幻燈片展示例題2）
設(shè)問：本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型？實質(zhì)是什么？
教師引導(dǎo)學(xué)生分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的選擇影響，使學(xué)生明確問題的實質(zhì)就是要比較三個函數(shù)的增長情況。
讓學(xué)生分組討論：對每一個獎勵模型的獎金總額是否超過5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，由各小組代表陳述討論結(jié)果。
教師根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果作出總結(jié)，并利用解析式，結(jié)合圖象，對三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解題過程。
3、小結(jié)：
一般地，對指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，在（0，+∞）上，盡管指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)、對數(shù)函數(shù)y=logax(a1)和冪函數(shù)y=xa(a0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于冪函數(shù)y=xa(a0)，而對數(shù)函數(shù)y=logax(a1)的增長速度則會越來越慢。因此，總會存在一個x0，當xx0時，就有l(wèi)ogaxxaax。
第二課時
1、復(fù)習(xí)引入
通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，應(yīng)用數(shù)學(xué)函數(shù)模型能為我們解決實際問題提供很大的幫助，。我們不僅要應(yīng)用好數(shù)學(xué)模型，我們更應(yīng)該在面對實際問題時，能通過自己建立函數(shù)模型來解決問題。2、新課
1、（用幻燈片展示例題3）
教師引導(dǎo)學(xué)生讀圖，弄懂題意，由學(xué)生寫出解題過程。
課堂練習(xí)：P128第1、3題。
小結(jié)：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，提高讀圖能力非常重要。分段函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實問題的一個重要的函數(shù)模型。
2、（展示例題4）
教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，通過觀察圖象判定問題所適合的函數(shù)模型，利用計算機的數(shù)據(jù)擬合功能得出具體的函數(shù)解析式，再用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程。
課堂練習(xí)：P123第1題。
教師小結(jié)指出：用已知的函數(shù)模型來刻畫實際問題時，由于實際問題的條件與得出已知函數(shù)模型的條件會有所不同，所以，必須對模型進行修正。
3、（用幻燈片展示例題5）
讓學(xué)生集體討論，尋求相應(yīng)的函數(shù)模型，并作出解答。
教師小結(jié)：所收集到的數(shù)據(jù)中，規(guī)律性很明顯的問題，可直接找出與之對應(yīng)的函數(shù)模型進行解答。
4、（用幻燈片展示例題6）
觀察散點圖，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，這些點的連線是一條向上彎曲的曲線，根據(jù)這些點的分布情況，可考慮用y=a·bx這一函數(shù)模型來近似刻畫這一地區(qū)未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系。
課堂練習(xí)：P133B組第3題。
小結(jié)：應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的基本過程：
①確定函數(shù)模型；
②利用數(shù)據(jù)表格，函數(shù)圖象討論模型；
③體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型增長的含義。
作業(yè)：P127第4、5題
高中數(shù)學(xué)必修一《幾類不用增長的函數(shù)模型》說課稿
俗話說，磨刀不誤砍柴工。高中教師要準備好教案為之后的教學(xué)做準備。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)必修一《幾類不用增長的函數(shù)模型》說課稿”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
高中數(shù)學(xué)必修一《幾類不用增長的函數(shù)模型》說課稿
一、說課標
課程標準中明確指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展“數(shù)學(xué)建模”的學(xué)習(xí)活動．數(shù)學(xué)建模就是引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中提出問題，并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，嘗試用數(shù)學(xué)思想和方法去解決問題．在教學(xué)中，要特別注意以下兩點：（1）數(shù)學(xué)建模的問題應(yīng)是多樣的，開放的，同時解決問題所涉及的知識、技能、方法、思想應(yīng)與高中數(shù)學(xué)課程緊密相關(guān)；（2）學(xué)生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并提出問題，對同樣的問題，可以發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的途徑．
二、說教材
1.本節(jié)課在教材中的地位和作用
本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修1第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”，教學(xué)安排為四課時，在這里主要研究的是第一課時的內(nèi)容：幾類不同增長的函數(shù)模型．
在義務(wù)教育階段，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模就已經(jīng)積累了一定的研究經(jīng)驗．到了高中階段，通過第二章的學(xué)習(xí)，學(xué)生有了利用函數(shù)知識解決實際問題的經(jīng)歷，熟悉了幾種基本初等函數(shù)的概念，掌握了對應(yīng)函數(shù)圖象的基本特征，這是本節(jié)課的知識基礎(chǔ)．而本節(jié)課在探求解決實際問題的過程中，體驗到幾種常見函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點,從不同的方面對實際問題多視點、寬角度地進行了探究，始終貫穿著函數(shù)模型的應(yīng)用這條主線，從而拉開高中階段數(shù)學(xué)建模活動的帷幕．
2.教學(xué)目標：
知識與技能目標：
①嘗試從實際問題中建構(gòu)出數(shù)學(xué)問題的技能；
②體驗用簡單的函數(shù)模型解決實際問題的經(jīng)歷；
③結(jié)合實例體會直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)模型的增長差異．
過程與方法目標：
①使學(xué)生經(jīng)歷建立和運用函數(shù)模型的過程，初步體驗數(shù)學(xué)建模的基本思想；
②通過三種表示方法的恰當運用，認識函數(shù)問題的研究方法．
情感、態(tài)度與價值觀目標：
在認真分析實際背景，抽象概括現(xiàn)實問題，轉(zhuǎn)化整合數(shù)學(xué)模型的過程中，養(yǎng)成嚴謹、求真、奮進的科學(xué)態(tài)度，學(xué)會交流、分享、合作，增強團隊意識．3.教學(xué)目標的重點與難點：
教學(xué)重點：
①培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識描述實際問題的數(shù)學(xué)化能力；
②在比較不同函數(shù)模型的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸等不同類型函數(shù)的增長差異；
③通過小組內(nèi)部的合作，使學(xué)生學(xué)會交流、分享、展示，增強團隊意識．
教學(xué)難點：
結(jié)合實際問題讓學(xué)生體會不同函數(shù)模型的增長差異，增強合作意識．
三、說學(xué)情
知識基礎(chǔ)：
①熟悉了幾種基本函數(shù)的概念；
②掌握了這些函數(shù)圖象的基本特征；
②具有利用函數(shù)知識解決實際問題的初步體驗．
認知特點：
建模思想對學(xué)生的應(yīng)用、合作、探究、創(chuàng)新意識都有較高要求，在這方面尚需要教師精心的組織引導(dǎo)．
四、說教法
選用合作探究與嘗試概括相結(jié)合的教學(xué)方法．
在教學(xué)中，從精心創(chuàng)設(shè)的問題情境出發(fā)，為學(xué)生提供更多的機會和時間，提問質(zhì)疑、嘗試探究、討論交流、歸納總結(jié)等，促使學(xué)生的思維空間充分開放；積極營造出一個有利于人際溝通與合作的環(huán)境，使學(xué)生學(xué)會交流和分享自己的成果，并能把每個人的成果進行有效的整合，增強團隊意識；豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)與日常生活緊密聯(lián)系的體驗，感受數(shù)學(xué)的實際價值，增強應(yīng)用意識，發(fā)展創(chuàng)新意識，真正做到學(xué)有所思、思有所得、得有所悟，悟有所獲，獲有所用．
五、說設(shè)計
1.挖掘背景，提出問題
請同學(xué)們根據(jù)下面的兩個實驗，提出數(shù)學(xué)問題：
模擬實驗1、動畫演示摞磚游戲，
模擬實驗2、師生一起動手做折紙游戲.
設(shè)計意圖：這兩個實驗都源于學(xué)生熟悉的生活背景，在認真觀察、實際操作中，要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的特長與個性，從不同角度、層次挖掘其中所蘊涵的數(shù)學(xué)問題，最終獲得數(shù)學(xué)建模的初步體驗．這樣做，不僅要求學(xué)生能夠自己發(fā)現(xiàn)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題的不同；也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是自然的”這一新課程理念．
2.閱讀問題，嘗試建模
請同學(xué)們閱讀下面的問題，并建立相關(guān)的函數(shù)模型：
問題1張女士給今年上大學(xué)的兒子花5400元買了一部“蘋果”手機．由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，手機成本不斷降低，每隔一年手機的價格降低30﹪，四年后大學(xué)畢業(yè)時此人這部手機還值多少錢？
設(shè)計意圖：這個問題選自學(xué)生關(guān)注的日常生活，其背景對學(xué)生來說非常熟悉，在已有知識的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過認真的閱讀，能夠用指數(shù)型函數(shù)來解決這個問題，這樣的設(shè)計可以使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，提高實踐能力．
問題2某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的
問題3已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，把汽車與A地的距離x表示為時間t（小時）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象．設(shè)計意圖：這兩個問題的處理都交給學(xué)生完成，目的在于培養(yǎng)學(xué)生收集、分析和加工信息的能力．學(xué)生通過數(shù)據(jù)分析、模型整合、獨立思考、合作交流，真正成為學(xué)習(xí)的踐行者，課堂的主人．.另外，通過小組內(nèi)部的合作，還增強了學(xué)生的合作意識，這也是現(xiàn)代人所必須具備的基本素質(zhì)．
3.探究模型，回歸說明
數(shù)學(xué)建模思想：①從一個實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題；
②用相關(guān)的函數(shù)知識來描述數(shù)學(xué)問題；
③對函數(shù)模型進行分析
④回歸說明實際問題.
例題我們公司有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案可供選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
如果你作為公司的一員，會選擇哪種投資方案呢？
請同學(xué)們根據(jù)下面的分析，解決這個問題：
（1）選擇投資方案的標準是什么？
（2）“翻一番”的含義怎樣理解？
（3）研究函數(shù)問題的方法有幾種，分別是什么？
設(shè)計意圖：面對精心創(chuàng)設(shè)的問題情境，通過恰點恰時而又層層遞進的問題串，讓學(xué)生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型，借助三種不同的表示方法，弄清幾個函數(shù)間的增長差異．這種處理方式，一方面可以使學(xué)生學(xué)會如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析，另一方面也提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
4.歸納體會，類比應(yīng)用
（1）今天你學(xué)到了什么？
（2）請同學(xué)們針對新課引入中的兩個實驗，建立相關(guān)的函數(shù)模型，并分析它的增長特點．
設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)以討論的形式展開，在熱烈的討論過程中，再現(xiàn)本節(jié)課的知識體系，梳理整個探究過程中體現(xiàn)的思想方法，優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，使之系統(tǒng)化、條理化，加強對知識間內(nèi)在聯(lián)系的理解和認識.
5.布置作業(yè)，課外延伸
鞏固性作業(yè)：P107習(xí)題3.2A組:1、2、3
課外探究：收集身邊有關(guān)分期付款的信息，建立并分析相關(guān)的數(shù)學(xué)模型課后作業(yè)分為兩種形式,體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則,鞏固性作業(yè)用于檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,而課外探究采用開放性問題，供學(xué)生課后研究，有利于擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高實踐能力，它也是新課標里研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容的一部分.六、說評價
要注意：過程與結(jié)果并重；自評與互評并重；建立學(xué)生的成長檔案.
在評價學(xué)生課堂活動中的表現(xiàn)時，不苛求數(shù)學(xué)建模過程的嚴密，結(jié)果的準確，要重過程，重參與，其內(nèi)容應(yīng)關(guān)注：創(chuàng)新性、現(xiàn)實性、真實性、合理性、有效性，有一項做得好就要給與充分的肯定.
七、說開發(fā)
作為數(shù)學(xué)建模的起始課，本節(jié)課可以開發(fā)出豐富的課程資源，要重點關(guān)注兩個方面：
1.研究性學(xué)習(xí)課題數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用；
線性規(guī)劃的實際應(yīng)用；
定積分在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用
2.相關(guān)的選修專題3-2信息安全與密碼
3-3球面上的幾何
3-5歐拉公式與閉曲面分類
4-3數(shù)列與差分
4-7優(yōu)化法與試驗設(shè)計初步
4-10開關(guān)電路與布爾代數(shù)
