高中復數(shù)教案

數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入。

數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

1、了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用.
2、理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件
3、了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.www.lvshijia.net

重視復數(shù)的概念和運算，注意復數(shù)問題實數(shù)化.
第1課時復數(shù)的有關概念

1．復數(shù)：形如的數(shù)叫做復數(shù)，其中a,b分別叫它的和．
2．分類：設復數(shù)：
(1)當＝0時，z為實數(shù)；
(2)當0時，z為虛數(shù)；
(3)當＝0,且0時，z為純虛數(shù).
3．復數(shù)相等：如果兩個復數(shù)相等且相等就說這兩個復數(shù)相等.
4．共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)實部，虛部時．這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)．(當虛部不為零時，也可說成互為共軛虛數(shù))．
5．若z＝a＋bi,(a,bR),則|z|＝；z＝.
6．復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做，叫虛軸．
7．復數(shù)z＝a＋bi(a,bR)與復平面上的點建立了一一對應的關系．
8．兩個實數(shù)可以比較大小、但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，就比較它們的大小.

例1.m取何實數(shù)值時，復數(shù)z＝＋是實數(shù)？是純虛數(shù)？
解：①z是實數(shù)
②z為純虛數(shù)
變式訓練1：當m分別為何實數(shù)時，復數(shù)z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？（4）零？
解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．
例2.已知x、y為共軛復數(shù)，且，求x．
解：設代入由復數(shù)相等的概念可得
變式訓練2：已知復數(shù)z=1＋i，如果=1－i,求實數(shù)a,b的值．
由z=1＋i得
==（a＋2)－(a＋b)i
從而，解得．
例3.若方程至少有一個實根，試求實數(shù)m的值.
解：設實根為，代入利用復數(shù)相等的概念可得＝
變式訓練3：若關于x的方程x2＋(t2＋3t＋tx)i=0有純虛數(shù)根，求實數(shù)t的值和該方程的根．
解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：設出方程的純虛數(shù)根，分別令實部、虛部為0，將問題轉化成解方程組．
例4.復數(shù)滿足，試求的最小值.
設，則，
于是
變式訓練4：已知復平面內的點A、B對應的復數(shù)分別是、，其中，設對應的復數(shù)為.
(1)求復數(shù)；
(2)若復數(shù)對應的點P在直線上，求的值.
解：(1)
(2)將代入
可得.

1．要理解和掌握復數(shù)為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、零時，對實部和虛部的約束條件.
2．設z＝a＋bi(a，bR)，利用復數(shù)相等和有關性質將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法.
第2課時復數(shù)的代數(shù)形式及其運算

1．復數(shù)的加、減、乘、除運算按以下法則進行：
設，則
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝().
2．幾個重要的結論：
⑴
⑵＝＝.
⑶若z為虛數(shù)，則＝
3．運算律
⑴＝.
⑵＝.
⑶＝.

例1．計算：
解：提示：利用
原式＝0
變式訓練1：求復數(shù)
（A）（B）（C）（D）
解：故選C；
例2.若，求
解：提示：利用
原式＝
變式訓練2：已知復數(shù)z滿足z2＋1＝0，則（z6＋i）（z6－i）＝▲．
解：2
例3.已知，問是否存在復數(shù)z，使其滿足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，說明理由
解：提示：設利用復數(shù)相等的概念有
變式訓練3：若，其中是虛數(shù)單位，則a＋b＝__________
解：3
例4.證明：在復數(shù)范圍內，方程（為虛數(shù)單位）無解．
證明：原方程化簡為
設、y∈R，代入上述方程得
將（2）代入（1），整理得無實數(shù)解，∴原方程在復數(shù)范圍內無解.
變式訓練4：已知復數(shù)z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R,若，求a的取值范圍.
解：由題意得z1＝＝2＋3i,
于是==,=.
由，得a2－8a＋70，1a7.

1．在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加減乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化，必須準確熟練地掌握.
2．記住一些常用的結果，如的有關性質等可簡化運算步驟提高運算速度.
3．復數(shù)的代數(shù)運算與實數(shù)有密切聯(lián)系但又有區(qū)別，在運算中要特別注意實數(shù)范圍內的運算法則在復數(shù)范圍內是否適用.
復數(shù)章節(jié)測試題
一、選擇題
1．若復數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實數(shù)的值為（）
A、-6B、13C.D.
2．定義運算，則符合條件的復數(shù)對應的點在（）
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限；
3．若復數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位），則實數(shù)（）
A.－4；B.4；C.－1；D.1；
4．復數(shù)=（）
A．－IB．IC．2－iD．－2+i
6．若復數(shù)在復平面上對應的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．已知復數(shù)z滿足，則z＝（）
(A)－1+i(B)1+i(C)1－i(D)－1－i
8．若復數(shù)，且為純虛數(shù)，則實數(shù)為()
A．1B．-1C．1或-1D．0
9．如果復數(shù)的實部和虛部相等，則實數(shù)等于（）
（A）（B）（C）（D）
10．若z是復數(shù)，且，則的一個值為（）
A．1-2B．1+2C．2-D．2+
11．若復數(shù)為純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則=（）
A．B．C．D．
12．復數(shù)在復平面中所對應的點到原點的距離為（）
A．12B．22C．1D．2
二、填空題
13．設，a，b∈R，將一個骰子連續(xù)拋擲兩次，第一次得到的點數(shù)為a，第二次得到的點數(shù)為b，則使復數(shù)z2為純虛數(shù)的概率為．
14．設i為虛數(shù)單位，則．
15．若復數(shù)z滿足方程，則z=．

16．．已知實數(shù)x，y滿足條件，（為虛數(shù)單位），則的最小值是．
17．復數(shù)z=,則|z|=．
18．虛數(shù)（x－2）+y其中x、y均為實數(shù)，當此虛數(shù)的模為1時，的取值范圍是（）
A．[－，]B．∪（
C．[－，]D．[－，0∪（0，
19．已知(a0)，且復數(shù)的虛部減去它的實部所得的差等于，求復數(shù)的模.

20．．復平面內，點、分別對應復數(shù)、，且，，
，若可以與任意實數(shù)比較大小，求的值（O為坐標原點）.

復數(shù)章節(jié)測試題答案
一、選擇題
1．A2．答案：A3．答案：B
4．答案：B
6．答案：A
7．A
8．B
9．B
10．B
11．D
12．B
二、填空題
13．
14．2i
15．
16．答案：22
17．答案：
18．答案：B∵,設k=,
則k為過圓（x－2）2+y2=1上點及原點
的直線斜率，作圖如下,k≤,
又∵y≠0,∴k≠0.由對稱性選B．
【幫你歸納】本題考查復數(shù)的概念,以及轉化與化歸的數(shù)學思維能力，利用復數(shù)與解析幾何、平面幾何之間的關系求解.虛數(shù)一詞又強調y≠0，這一易錯點.
【誤區(qū)警示】本題屬于基礎題，每步細心計算是求解本題的關鍵，否則將會遭遇“千里之堤，潰于蟻穴”之尷尬.
19．解：
20．解：依題意為實數(shù)，可得

相關知識

數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念

3.1.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念
【教學目標】
（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求在數(shù)系擴充過程中的作用理解復數(shù)的基本概念
（2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件
（3）了解復數(shù)的代數(shù)表示方法
【教學重難點】
重點：引進虛數(shù)單位i的必要性、對i的規(guī)定、復數(shù)的有關概念
難點：實數(shù)系擴充到復數(shù)系的過程的理解，復數(shù)概念的理解
【教學過程】
一、創(chuàng)設情景、提出問題
問題1：我們知道，對于實系數(shù)一元二次方程，沒有實數(shù)根．我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？

問題2：類比引進，就可以解決方程在有理數(shù)集中無解的問題，怎么解決在實數(shù)集中無解的問題呢？

問題3：把實數(shù)和新引進的數(shù)i像實數(shù)那樣進行運算，并希望運算時有關的運算律仍成立，你得到什么樣的數(shù)？
二、學生活動
1.復數(shù)的概念：
⑴虛數(shù)單位：數(shù)＿＿叫做虛數(shù)單位，具有下面的性質：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵復數(shù)：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做復數(shù)，常用字母＿＿＿表示，全體復數(shù)構成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶復數(shù)的代數(shù)形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做復數(shù)的實部，＿＿＿叫做復數(shù)的虛部，復數(shù)的實部和虛部都是＿＿＿數(shù)．
(4)對于復數(shù)a+bi(a,b∈R),
當且僅當＿＿＿＿＿時,它是實數(shù);
當且僅當＿＿＿＿＿時,它是實數(shù)0;
當＿＿＿＿＿＿＿時,叫做虛數(shù);
當＿＿＿＿＿＿＿時,叫做純虛數(shù);
2.學生分組討論
⑴復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關系?

⑵如何對復數(shù)a+bi(a,b∈R)進行分類?

⑶復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系，可以用韋恩圖表示出來嗎？
3.練習：
(1).下列數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？并分別指出這些復數(shù)的實部與虛部各是什么？
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判斷下列命題是否正確：
（1）若a、b為實數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)
（2）若b為實數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)
（3）若a為實數(shù)，則Z=a一定不是虛數(shù)
三、歸納總結、提升拓展
例1實數(shù)m分別取什么值時，復數(shù)
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
解：

歸納總結：
確定復數(shù)z＝a＋bi是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件是：練習：實數(shù)m分別取什么值時，復數(shù)
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
兩個復數(shù)相等，即兩個復數(shù)相等的充要條件是它們的實部與虛部分別對應相等．也就是
a+bi=c+di_______________________（a、b、c、d為實數(shù)）
由此容易出：a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中，x,y為實數(shù)，求x與y．

四、反饋訓練、鞏固落實
1、若x,y為實數(shù)，且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x與y.

2、若x為實數(shù)，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.

數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念導學案

石油中學高二文科數(shù)學選修1-2導學案---復數(shù)
§3-1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
學習目標：
1、了解引進復數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i
2、理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律
3、理解并掌握復數(shù)的有關概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部)理解并掌握復數(shù)相等的有關概念
學習重點：
復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類(實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學重點.
學習難點：
虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念是本節(jié)課的教學難點.復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立
自主學習
一、知識回顧：
數(shù)的概念是從實踐中產生和發(fā)展起來的，由于計數(shù)的需要，就產生了1，2及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集N為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù).這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負整數(shù)集合并在一起，構成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構成實數(shù)集R.因為有理數(shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)集實際上就是小數(shù)集
因生產和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴到實數(shù)集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數(shù)的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位.并由此產生的了復數(shù)
二、新課研究：
1、虛數(shù)單位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
2.與－1的關系:就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*
4、復數(shù)的代數(shù)形式:復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式
5、復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.
6、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：NZQRC.
7、兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等
這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
復數(shù)相等的定義是求復數(shù)值，在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù)一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”對嗎？不對如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小

例題講解
例1請說出復數(shù)的實部和虛部，有沒有純虛數(shù)？
答：它們都是虛數(shù)，它們的實部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數(shù).
例2復數(shù)－2i+3.14的實部和虛部是什么？
答：實部是3.14，虛部是－2.
易錯為：實部是－2，虛部是3.14！
例3實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m－1)i是:
(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
［分析］因為m∈R，所以m+1，m－1都是實數(shù)，由復數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.
解：(1)當m－1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù)；
(2)當m－1≠0，即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù)；
(3)當m+1=0，且m－1≠0時，即m=－1時，復數(shù)z是純虛數(shù).
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4
課堂鞏固
1、設集合C=｛復數(shù)｝，A=｛實數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結論正確的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、復數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、復數(shù)z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復數(shù)z=+(m2+2m－3)i，當m為何值時，(1)z∈R;(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i.
歸納反思

課后探究
1、設復數(shù)z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數(shù)根，試求實數(shù)m的值.

2019年選修1-2數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案（蘇教版）

俗話說，凡事預則立，不預則廢。高中教師要準備好教案，這是高中教師需要精心準備的。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助高中教師營造一個良好的教學氛圍。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《2019年選修1-2數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案（蘇教版）》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

選修1-2第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入測試題及答案

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以保證學生們在上課時能夠更好的聽課，使教師有一個簡單易懂的教學思路。教案的內容要寫些什么更好呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“選修1-2第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入測試題及答案”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1.是復數(shù)為純虛數(shù)的（）
A．充分條件B.必要條件C.充要條件D.非充分非必要條件
2.設，則在復平面內對應的點位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．（）
A．B．C．D．
4．復數(shù)z滿足，那么＝（）
A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i
5.如果復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)b等于（）
A.2B.23C.2D.－23
6.集合｛Z︱Z＝｝，用列舉法表示該集合，這個集合是（）
A｛0，2，－2｝B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2｝D.｛0，2，－2，2，－2｝
7.設O是原點，向量對應的復數(shù)分別為，那么向量對應的復數(shù)是（）
8、復數(shù)，則在復平面內的點位于第（）象限。
A．一B.二C.三D.四
9.復數(shù)不是純虛數(shù)，則有（）
10.設i為虛數(shù)單位，則的值為（）
A．4B.－4C.4iD.－4i
二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上。）
11.設（為虛數(shù)單位），則z=；|z|=.
12.復數(shù)的實部為，虛部為。
13.已知復數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù),則z=
14.設，，復數(shù)和在復平面內對應點分別為A、B，O為原點，則的面積為。
三.解答題（本大題共6小題，每小題74分，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15.（本小題滿分12分）
已知復數(shù)z=(2+)).當實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z是:
（1）零；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）復平面內第二、四象限角平分線上的點對應的復數(shù)。

（本小題滿分13分）

17．（本小題滿分13分）
設R，若z對應的點在直線上。求m的值。

18．（本小題滿分14分）
已知關于的方程組有實數(shù)，求的值。

19.（本小題滿分14分）

20（本小題滿分13分）
若復數(shù)，求實數(shù)使。（其中為的共軛復數(shù)）

第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
1.解析：B
2.解析：D點撥：。
3.解析：B點撥：原式＝＝
4.解析：B點撥：化簡得
5.解析：D點撥：，由因為實部與虛部互為相反數(shù)，即，解得。
6.解析：A點撥：根據(jù)成周期性變化可知。
7.解析：B點撥：
8.解析：D點撥：
9.解析：C點撥：需要，即。
10.解析：B點撥：=－4
11.解析：，點撥：
12.解析：1，點撥：
13.解析：點撥：設代入解得，故
14.解析：1點撥：
16．解：
將上述結果代入第二個等式中得
20.解析：由，可知，代入得：
，即
則，解得或。