高中復(fù)數(shù)教案

第十五章復(fù)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)。

第十五章復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來(lái)表示。
2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見(jiàn)圖15-1，連接OZ，設(shè)∠x(chóng)OZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。
4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開(kāi)方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。
9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。
11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac0時(shí)方程的根為
二、方法與例題
1．模的應(yīng)用。
例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明]若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。
例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號(hào)成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復(fù)數(shù)相等。
例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。
[解]若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ0無(wú)實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為λ≠2。
3．三角形式的應(yīng)用。
例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？
[解]由題設(shè)得
，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。
4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。
例5計(jì)算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100==)+()i，比較實(shí)部和虛部，得=-250，=0。
5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。
[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。
例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：ABAD+BCAD≥ACBD。
[證明]用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。
6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復(fù)數(shù)與三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).
求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[證明]記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.單位根的應(yīng)用。
例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。
[證明]取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3…An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n-
=2n-命題得證。
10．復(fù)數(shù)與幾何。
例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
[證明]以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。
例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則__________。
4．已知，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程-Λz=w的解為z=__________。
7.設(shè)0x1，則2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個(gè)虛根且，則__________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________條件。
10．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。
13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點(diǎn)p1,p2,…,pn都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．復(fù)數(shù)z和cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對(duì)稱，則z=__________。
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一個(gè)人在草原上漫步，開(kāi)始時(shí)從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過(guò)n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=__________。
4.若，則|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實(shí)數(shù)λ的最大值為_(kāi)_________。
6．已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形OPQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為_(kāi)_________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕?。則點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)_________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________。
10．設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則+…+a3k-__________。
11.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)z.
13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)_________。
3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。
4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為_(kāi)_________。
5．設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=900，|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。
6．設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開(kāi)式為_(kāi)_________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=__________。
9.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)，的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。
10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足，且，，，則的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問(wèn)：集合C中有多少個(gè)不同的元素？
12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程的所有根都是不相等的實(shí)根（n∈N+）.
13.對(duì)于適合|z|≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0|αz+β|2總能成立，試問(wèn)：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足
其中S為實(shí)數(shù)且|S|≤2，求證：復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上。
2．求證：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復(fù)變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且|p(i)|1，求證：存在實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個(gè)數(shù)a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。
5．已知復(fù)數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1.
6.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，求證：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第五章數(shù)列)

第五章數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。
定理1若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1,當(dāng)n1時(shí)，an=Sn-Sn-1.
定義2等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d,則a=b-d,c=b+d.
定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.
定義3等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。
定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sn=；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的0，存在M，對(duì)任意的nM(n∈N),都有|an-A|，則稱A為n→+∞時(shí)數(shù)列{an}的極限，記作
定義5無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{an}的公比q滿足|q|1，則稱之為無(wú)窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得）。
定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理
定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。
定理5對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若αβ，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始條件x1,x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。
例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2已知數(shù)列{an}滿足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通項(xiàng)an.
【解】因?yàn)閍1=,又a1+a2=22a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
證明；1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)猜想成立。
當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以
例3設(shè)0a1，數(shù)列{an}滿足an=1+a,an-1=a+，求證：對(duì)任意n∈N+,有an1.
【證明】證明更強(qiáng)的結(jié)論：1an≤1+a.
1)當(dāng)n=1時(shí)，1a1=1+a，①式成立；
2)假設(shè)n=k時(shí)，①式成立，即1an≤1+a，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有
由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得an+
【證明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=
+an(pqn+1+qan)]=q().
若=0，則對(duì)任意n,+=0，取c=0即可.
若0，則{+}是首項(xiàng)為，公式為q的等比數(shù)列。
所以+=qn.
取即可.
綜上，結(jié)論成立。
例5已知a1=0,an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.
【證明】因?yàn)閍1=0,a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n≥1時(shí)an+1an.
又由an+1=5an+移項(xiàng)、平方得
①
當(dāng)n≥2時(shí)，把①式中的n換成n-1得，即
②
因?yàn)閍n-1an+1，所以①式和②式說(shuō)明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個(gè)不等根。由韋達(dá)定理得an+1+an-1=10an(n≥2).
再由a1=0,a2=1及③式可知，當(dāng)n∈N+時(shí)，an都是整數(shù)。
3．?dāng)?shù)列求和法。
數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。
例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】因?yàn)閍n+a100-n=+=，
所以S99=
例7求和：+…+
【解】一般地，
，
所以Sn=

例8已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Sn2。
【證明】由遞推公式可知，數(shù)列{an}前幾項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13。
因?yàn)?，?br> 所以。②
由①-②得，
所以。
又因?yàn)镾n-2Sn且0,
所以Sn,所以，
所以Sn2，得證。
4．特征方程法。
例9已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.
【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設(shè)an=(α+βn)2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=32n-1.
例10已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.
【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,
所以an=α3n+β(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以3]。
5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。
例11正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。
【解】由得=1，
即
令bn=+1，則{bn}是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=…a0=
注：C1C2…Cn.
例12已知數(shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通項(xiàng)。
【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動(dòng)點(diǎn)，由=x得x=
因?yàn)閤1=2,xn+1=,可知{xn}的每項(xiàng)均為正數(shù)。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
Xn+1-==,①
Xn+1+==,②
由①÷②得。③
又0，
由③可知對(duì)任意n∈N+，0且,
所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。
所以，所以，
解得。
注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.
2.數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
3.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a10,Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.
5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.
6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，則S100=_________.
7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若，并且x1+x2+…+xn=8，則x1=_________.
9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則=_________.
10.若n!=n(n-1)…21,則=_________.
11．若{an}是無(wú)窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通項(xiàng)。
12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2006=_____________.
2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=.
3.若an=n2+,且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.
5.已知，則a的取值范圍是______________.
6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。
7．已知(n∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.
8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為_(kāi)___________.
9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.
10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).
11．已知數(shù)列{an}中，an0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),當(dāng)a1=p,b1=q(p0,q0)且p+q=1時(shí)，（1）求證：an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列
13．是否存在常數(shù)a,b,c，使題設(shè)等式
122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。
2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=，則通項(xiàng)xn=__________.
3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an0，且，則通項(xiàng)an=__________.
4.已知數(shù)列a0,a1,a2,…,an,…滿足關(guān)系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，則=__________.
5.等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比為=__________.
6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).
7.數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,且=2，則
________.
8.數(shù)列{an}稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0,{an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).
9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1,an+1=。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？
10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無(wú)限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。
11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得
a1=1,a21,an+1(an+1-1)=

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1,2,….
2．設(shè)a1,a2,…,an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。
試問(wèn)f(2007)能否被3整除？
3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且
求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。
4．無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1xi(i=0,1,2,…),
（1）求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n≥1，使≥3.999均成立；
（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式4對(duì)任一n均成立。
5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？
6．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=,
(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：是整數(shù)的平方。
7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求證：存在無(wú)窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m,k，有|xm-xk|≥
9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0q1，求證：n個(gè)實(shí)數(shù)b0,b1,…，bn和滿足：（1）akbk(k=1,2,…,n)；
（2）q(k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn(a0+a1+…+an).

第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，依對(duì)應(yīng)法則f，若對(duì)A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f:A→B為一個(gè)映射。
定義2單射，若f:A→B是一個(gè)映射且對(duì)任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對(duì)任意y∈B，都有一個(gè)x∈A使得f(x)=y，則稱f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對(duì)應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對(duì)應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閧x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫(xiě)作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過(guò)程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對(duì)任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，若對(duì)于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。
（3）周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實(shí)數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開(kāi)區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開(kāi)半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開(kāi)區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開(kāi)區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開(kāi)半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點(diǎn)集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過(guò)畫(huà)圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).
【解】分別畫(huà)出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點(diǎn)P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。
因?yàn)閨PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長(zhǎng)線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時(shí)為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因?yàn)閤∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域?yàn)閇2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當(dāng)y1時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域?yàn)閇，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(wàn)(x)定義域?yàn)椋?∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡(jiǎn)得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因?yàn)閤≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對(duì)任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個(gè)。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個(gè)；若f為滿射，則f有_______個(gè)；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個(gè)。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個(gè)交點(diǎn)。
4．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域?yàn)開(kāi)______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域?yàn)開(kāi)______。
6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對(duì)稱。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對(duì)任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開(kāi)______。
2．設(shè)0≤a1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域?yàn)開(kāi)______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個(gè)。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域?yàn)镽，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_(kāi)______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(wàn)(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(wàn)(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對(duì)任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，得到的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對(duì)任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域?yàn)開(kāi)_______.
9．設(shè)f(x)=,
對(duì)任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對(duì)任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對(duì)任意x≠0,f(x)=xf；（2）對(duì)所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對(duì)一切x0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x,y,x+y∈[0,1]時(shí)，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對(duì)給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當(dāng)x∈時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第十一章圓錐曲線)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫(xiě)好我們的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第十一章圓錐曲線)”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第十一章圓錐曲線

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即
(0e1).
第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過(guò)P引y軸的平行線，過(guò)Q引x軸的平行線，兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。
2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(ab0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(ab0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
，
a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a,0),(0,±b),(±c,0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0e1.
橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長(zhǎng)軸、短軸。
4．橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．幾個(gè)常用結(jié)論：1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過(guò)焦點(diǎn)F2(c,0)傾斜角為θ的弦的長(zhǎng)為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的點(diǎn)P的軌跡；
第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點(diǎn)的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
(a,b0),
a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a,0),(a,0).左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）,F2(c,0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2)過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長(zhǎng)是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0,y0)為拋物線上任一點(diǎn)，
1）焦半徑|PF|=；
2）過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為。
12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ,∠x(chóng)OP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若0e1，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e1，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問(wèn)題。
例1已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
[解]見(jiàn)圖11-1，由題設(shè)a=5,b=4,c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過(guò)P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為
例2已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長(zhǎng)線交雙曲線于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明]記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?/PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問(wèn)題。
例3已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。
[解法一]利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（ab0）.F坐標(biāo)為(-c,0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二]相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(x1,y1)，則，即x1=2x+c,y1=2y.又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。
例4長(zhǎng)為a,b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。
[解]設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA||OB|=|OC||OD|，用坐標(biāo)表示為，即
當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)ab時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)ab時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。
例5在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l:x=3上移動(dòng)，求三角形AOB的外心的軌跡方程。
[解]設(shè)∠x(chóng)OB=θ,并且B在A的上方，則點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M。
由外心性質(zhì)知再由得
×tanθ=-1。結(jié)合上式有
tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。
3．定值問(wèn)題。
例6過(guò)雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明]設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,),(c,)，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。
[證明]設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，，，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因?yàn)?，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
例8橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。
[證明]設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠x(chóng)OA=θ,∠x(chóng)OB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值問(wèn)題。
例9設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。
[解]由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因?yàn)?，且a2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。
例10設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。
[解]設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因?yàn)?；所以可設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t,則當(dāng)sinθ=時(shí)，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。
[解]拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。
例12若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí)，求b的值。
[解]二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ0，得b；設(shè)兩交點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韋達(dá)定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時(shí)，|PQ|最大。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．A為半徑是R的定圓⊙O上一定點(diǎn)，B為⊙O上任一點(diǎn)，點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是________.
2．一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(0)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________.
3．橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為_(kāi)_______.
7．ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為_(kāi)_______.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_(kāi)_______.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T(mén)，設(shè)|AT|=2a(2a)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2，求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。
四、高考水平測(cè)試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.
2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_(kāi)________.
4．橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_(kāi)________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_________.
8．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長(zhǎng)為6的直線有_________條.
9．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_(kāi)________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個(gè).
11．求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
（2）問(wèn)：是否存在過(guò)C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說(shuō)明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.
2．設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過(guò)F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_(kāi)________.
3．給定橢圓，如果存在過(guò)左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_(kāi)________.
5．ΔABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R+),則|AT|的最小值為_(kāi)________.
6．長(zhǎng)為l(l1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_________.
7．已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1，M2，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.
8．已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_(kāi)________.
9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過(guò)左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D，E，直線DB與直線CE交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P的軌跡。
10．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0a時(shí)，試求ΔOAP面積的最大值（用a表示）。
11．已知直線l過(guò)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線的方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G，求證：∠GAC=∠EAC。
2．求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，每段長(zhǎng)都為1的閉折線，它的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。
3．以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與ΔAB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長(zhǎng)線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長(zhǎng)線于P1；B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長(zhǎng)線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1，交AB0的延長(zhǎng)線于。求證：（1）點(diǎn)與點(diǎn)P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圓。
4．在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間的夾角）α(α∈[0,π],α≠)射出的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個(gè)拋物線族，若兩條拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這個(gè)交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明：此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變量取值范圍）。
5．直角ΔABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點(diǎn)，AD交內(nèi)切圓于P點(diǎn)。若CPBP，求證：PD=AE+AP。
6．已知BCCD，點(diǎn)A為BD中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點(diǎn)R，使BR=2RQ，CQ上找一點(diǎn)S，使QS=RQ，求證：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．圓。設(shè)AO交圓于另一點(diǎn)是A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。則因?yàn)锳B，所以P在以為直徑的圓上。
2．圓或橢圓。設(shè)給定直線為y=±kx(k0),P(x,y)為軌跡上任一點(diǎn)，則?；?jiǎn)為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)k=1時(shí)，表示圓。
3．12．由題設(shè)a=10,b=6,c=8，從而P到左焦點(diǎn)距離為10e=10×=8,所以P到右焦點(diǎn)的距離為20-8=12。
4．-2k2或k5.由(|k|-2)(5-k)0解得k5或-2k2.
5.設(shè)兩條焦半徑分別為m,n，則因?yàn)閨F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則兩式相減得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由，得。故方程y+1=(x-3).
7.-4.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則=0，所以y1+y2=-8，故直線BC的斜率為
8．=1。由漸近線交點(diǎn)為雙曲線中心，解方程組得中心為(2,1)，又準(zhǔn)線為，知其實(shí)軸平行于y軸，設(shè)其方程為=1。其漸近線方程為=0。所以y-1=(x-1).由題設(shè)，將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為=1。由平移公式平移后準(zhǔn)線為，再結(jié)合，解得a2=9，b2=16，故雙曲線為=1。
9．2．曲線y2=ax關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱曲線為(2-y)2=a(2-x),
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,從而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。設(shè)P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。因，所以，所以即2t≤2.
11.解：由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題設(shè)|F1F2|2=4=4c2，又根據(jù)橢圓與雙曲線定義
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
從而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直線AB為x軸，AT的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則由定義知M，N兩點(diǎn)既在拋物線y2=4ax上，又在圓[x-(a+r)]2+y2=r2上，兩方程聯(lián)立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，設(shè)點(diǎn)M，N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得證。
13．解：若直線l垂直于x軸，因其過(guò)點(diǎn)A(2,1)，根據(jù)對(duì)稱性，P1P2的中點(diǎn)為（2，0）。
若l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k.①
將①代入雙曲線方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.②
這里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)0,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根，由韋達(dá)定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=④
設(shè)P1P2的中點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y)，由中點(diǎn)公式及③，④得
消去k得
點(diǎn)（2，0）滿足此方程，故這就是點(diǎn)P的軌跡方程。
高考水平測(cè)試題
1．由橢圓方程得焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程，漸近線為由題設(shè)，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。見(jiàn)圖1，由定義得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，M為PF1中點(diǎn)，則|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以兩圓外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時(shí)，同理得兩圓內(nèi)切。
4．與F1對(duì)應(yīng)的另一條準(zhǔn)線為x=-11，因|MF1|與M到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①
若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，則直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)。
6．y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m)2=4(x-m)，焦點(diǎn)為它在直線y=2(x-1)上。
7．1≤m5。直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以0≤1.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以5m,所以1≤m5。
8．3．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為6，通徑為4，故線段端點(diǎn)在異支上一條，在同支上有二條，一共有三條。
9．或。設(shè)直線l:y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韋達(dá)定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以傾斜角為或
10．3．首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè)A，B分別位于y軸左、右兩側(cè)，設(shè)CA斜率為k(k0)，CA的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由題設(shè)，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對(duì)于①，當(dāng)1a時(shí)，①無(wú)解；當(dāng)時(shí)，k=1；當(dāng)a時(shí)，①有兩個(gè)不等實(shí)根，故最多有3個(gè)。
11．解設(shè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上任一點(diǎn)為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，則4c2=(2a)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),再將|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ為減函數(shù)，故0
當(dāng)2b2a2即時(shí)，，arccos，sinθ為增函數(shù)，sinθ取最大值；當(dāng)2b2≤a2時(shí)，arccos,θ∈[0,π]，則sinθ最大值為1。
12．解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不為0，設(shè)為k，直線AB方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①
則x1,x2為方程①的兩根，由韋達(dá)定理得
②
③
因?yàn)閥1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)0，即k2(a2c2-b4)-a2b20對(duì)任意k∈R成立，等價(jià)于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0e≤
若斜率不存在，問(wèn)題等價(jià)于即，綜上
13．解（1）由雙曲線方程得，所以F1(,0)，拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a20，所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根，設(shè)為x1,x2,由韋達(dá)定理得x1x2=-a20，所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為x1,把x1代入①得y2=,所以（因?yàn)閤1≠0），所以C1，C2總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（2）設(shè)過(guò)F1(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因?yàn)棣?48m2a2+48a20，設(shè)y1,y2分別為A，B的縱坐標(biāo)，則y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2||OF1|=aa，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，SΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時(shí)，SΔAOB→+∞，無(wú)最大值。所以存在過(guò)F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．m5.由已知得，說(shuō)明(x,y)到定點(diǎn)（0,-1）與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù)，由橢圓定義1，所以m5.
2.因?yàn)閎=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-r2sinθ,r2cosθ)，因?yàn)镻，Q在橢圓上，可得，RtΔOPQ斜邊上的高為≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1.
4.以O(shè)為圓心，a為半徑的圓。延長(zhǎng)F1M交PF2延長(zhǎng)線于N，則F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]時(shí)|AT|min=,t1時(shí)|AT|min=|t-2|.由題設(shè)kABkAC=-,設(shè)A(x,y)，則(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因?yàn)閨x|≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時(shí)取x=2t,|AT|取最小值。當(dāng)t1時(shí)，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，直線AB傾斜角為θ，并設(shè)A(x0-),B(x0+),因?yàn)锳，B在拋物線上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因?yàn)閘21，所以函數(shù)f(x)=.在（0，1]在遞減，
所以。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時(shí)，距離取最小值
7．設(shè)，由A，M，M1共線得y1=，同理B，M，M2共線得，設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點(diǎn)，則y1y2=y(y1+y2)-2px，將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y=時(shí)上式恒成立，即定點(diǎn)為
8．。由題設(shè)且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解設(shè)A(2cosθ,),B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，這里α≠β，則過(guò)A，B的直線為lAB：，由于直線AB過(guò)點(diǎn)F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2,故，即。又lBD:(x+2)=，同理得。lCE:(x-2)=
(x-2).
兩直線方程聯(lián)立，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，消去得點(diǎn)P(x,y)在橢圓上（除去點(diǎn)(-2,0),(2,0)）.
10.解（1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：
10．Δ=0，得，此時(shí)xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a-a2a即0a1時(shí)適合；20。f(a)f(-a)0，當(dāng)且僅當(dāng)-ama時(shí)適合；30。f(-a)=0得m=a，此時(shí)xp=a-2a2，當(dāng)且僅當(dāng)-aa-2a2a即0a1時(shí)適合。令f(a)=0得m=-a，此時(shí)xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，從而m≠-a.綜上當(dāng)0a1時(shí)，或-am≤a；當(dāng)a≥1時(shí)，-ama.
(2)ΔOAP的面積因?yàn)?a,故當(dāng)-am≤a時(shí)，0-a2+,由唯一性得xp=-a2+.當(dāng)m=a時(shí)，xp取最小值。由于xp0，從而時(shí)取值最大，此時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，xp=-a2，yp=,此時(shí)以下比較與的大小。令，得，故當(dāng)0a≤時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)
11．解：設(shè)A，B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1(x2,y2),B1(x1,y1)，則AA1中點(diǎn)在l上，
所以y2=k(x2-1)①
又lAA1,所以
②
由①，②得
同理，由BB1中點(diǎn)在l上，且lBB1,解得
設(shè)拋物線方程為y2=2px，將A1，B1坐標(biāo)代入并消去p得k2-k-1=0.
所以，由題設(shè)k0，所以，從而
所以直線l的方程為，拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．以A為原點(diǎn)，直線AC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，則直線DF的方程為
①
直線BC的方程為②
c×①-f×②得
(c-f)x+③
③表示一條直線，它過(guò)原點(diǎn)，也過(guò)DF與BC的交點(diǎn)G，因而③就是直線AG的方程。
同理
，直線AE的方程為
(c-f)x+④
③，④的斜率互為相反數(shù)，所以∠GAC=∠EAC。
2．證明假設(shè)這樣的閉折線存在，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)是其中一個(gè)頂點(diǎn)，記它為A0，其他頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，…，，其中都是既約分?jǐn)?shù)，并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同，則記p≡q，否則記p≠q，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時(shí)，由，得，因?yàn)閍1,b1互質(zhì)，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，從而不可能都是偶數(shù)（否則b1也是偶數(shù)，與互質(zhì)矛盾）；不可能都是奇數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對(duì)k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
這里是既約分?jǐn)?shù)，因?yàn)槊恳欢蔚拈L(zhǎng)為1，所以=1，與k=1情況類似：a≡c,d≡b≡1，又因?yàn)?，分?jǐn)?shù)既約，所以bm是bbm-1的一個(gè)因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，結(jié)論成立，于是在頂點(diǎn)數(shù)n+1為奇數(shù)時(shí)，an+1+cn+1≠a0+c0，故折線不可能是閉的。
3．證明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點(diǎn)Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延長(zhǎng)線上，有B0P0=B0，從而可知點(diǎn)與點(diǎn)P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0，圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點(diǎn)P0。
（2）現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T。又過(guò)點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點(diǎn)R1和S1，連接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圓。
4．證明引理：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明：設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.①
又
故①可化簡(jiǎn)成(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②
因?yàn)棰谥挥幸粋€(gè)實(shí)根，所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點(diǎn)，則它是由線y=xtanx2與y=xtanx2的交點(diǎn)，則兩條切線的斜率分別為（由引理）
又由題設(shè)k1k2=-1，所以
③
又因?yàn)镻(x0,y0)在兩條拋物線上，所以代入③式得
（※）
又因?yàn)閠anα1,tanα2是方程t2-t+=0的兩根，所以
tanα1+tanα2=④
tanα1tanα2=。⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．證明以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠ADC=θ，|PD|=r.各點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為，即x1x+x0cotθy-x1x0=0,因?yàn)閘AB與圓相切，可得x1=x0x1cotθ-x1x0|，約去x1,再兩邊平方得
，所以x1.①
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化簡(jiǎn)得r=2x1sin.②
要證DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.③
又因?yàn)?，所?br> 因?yàn)?(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.④
把②代入④化簡(jiǎn)得
⑤
由①得x0=x1
代入⑤并約去x1,化簡(jiǎn)得4sin22-3sin2=0，因?yàn)閟in2≠0，所以sin2=，又因?yàn)閟in==cos，所以sin-cos0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．證明設(shè)BC=d，CD=b，BD=c，則AC=CQ=，取BC中點(diǎn)M，則AMBC，以M為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)，所以
因?yàn)?∠DRC，0∠ASQπ，所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化簡(jiǎn)得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，顯然成立。所以命題得證。

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)nm且n∈N時(shí)，恒有|un-A|ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。
2．極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)g(x)]=ab,
3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。
6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）
7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則
（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。
8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[(x)]=.
9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。
10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則
11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對(duì)任意x∈(a,b)，.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值mf(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]令F(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。
16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1．極限的求法。
例1求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）當(dāng)a1時(shí)，
當(dāng)0a1時(shí)，
當(dāng)a=1時(shí)，
（3）因?yàn)?br> 而
所以
（4）
例2求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|1)；
（2）；（3）。
[解]（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=
（2）
=
（3）
=
2．連續(xù)性的討論。
例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。
[解]當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。
3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解]因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。
例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。
[解]（1）3cos(3x+1).
(2)
（3）
（4）
（5）
5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6設(shè)a0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解]，因?yàn)閤0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+0.
（1）當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≠1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0a1時(shí)，令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-x2-a+時(shí)，x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。
6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
例7設(shè)，求證：sinx+tanx2x.
[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?cosx1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)f(0)=0，即sinx+tanx2x.
7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。
例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解]因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，所以f(x)在(0,1]上遞減；
當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，，所以f(x)在[1，2]上遞增；
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。
例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時(shí)，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,
當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanxx，所以；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanx0,x-tanx0，所以；
又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因?yàn)?(1-y)xxπ，所以g[(1-y)x]g(x)，即，
又因?yàn)?，所以?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)0.
其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx≥0.
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．=_________.
2．已知，則a-b=_________.
3．_________.
4．_________.
5．計(jì)算_________.
6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________.
7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且，則_________.
8．若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________.
9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________.
11．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13．設(shè)0ba,求證：
四、高考水平練習(xí)題
1．計(jì)算=_________.
2．計(jì)算_________.
3．函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.。
4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_________.
5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù)，若，則_________.
6．函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域?yàn)開(kāi)________.
7．過(guò)拋物線x2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________.
8．當(dāng)x0時(shí)，比較大?。簂n(x+1)_________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________.
10．曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_(kāi)________.
11．若x0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)Mn={（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________.
2．若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則_________.
3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，
，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)0的解集為_(kāi)________.
4．曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.
5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________.
6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________.
7．當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_(kāi)________.
8．已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[]0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.
10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)正數(shù)p1,p2,…,滿足p1+p2+p3+…+=1，求證：p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥-n.
11.若函數(shù)gA(x)的定義域A=[a,b)，且gA(x)=,其中a,b為任意的正實(shí)數(shù)，且ab，（1）求gA(x)的最小值；
（2）討論gA(x)的單調(diào)性；
（3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，證明：
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．證明下列不等式：（1）；
（2）。
2．當(dāng)0a≤b≤c≤d時(shí)，求f(a,b,c,d)=的最小值。
3．已知x,y∈(0,1)求證：xy+yx1.