高中復(fù)數(shù)教案

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案。

石油中學(xué)高二文科數(shù)學(xué)選修1-2導(dǎo)學(xué)案---復(fù)數(shù)
§3-1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i
2、理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律
3、理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部)理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
復(fù)數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)的分類(實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復(fù)數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
虛數(shù)單位i的引進(jìn)及復(fù)數(shù)的概念是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).復(fù)數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時(shí)規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立
自主學(xué)習(xí)
一、知識(shí)回顧：
數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒(méi)有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù).所謂無(wú)理數(shù)，就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集
因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無(wú)理數(shù)解決了開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無(wú)解的，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復(fù)數(shù)
二、新課研究：
1、虛數(shù)單位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.
2.與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程x2=－1的一個(gè)根，方程x2=－1的另一個(gè)根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*
4、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
5、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.
6、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.
7、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
這就是說(shuō)，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)值，在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現(xiàn)有一個(gè)命題：“任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小”對(duì)嗎？不對(duì)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

例題講解
例1請(qǐng)說(shuō)出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，有沒(méi)有純虛數(shù)？
答：它們都是虛數(shù)，它們的實(shí)部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數(shù).
例2復(fù)數(shù)－2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么？
答：實(shí)部是3.14，虛部是－2.
易錯(cuò)為：實(shí)部是－2，虛部是3.14！
例3實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是:
(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
［分析］因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.
解：(1)當(dāng)m－1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；
(2)當(dāng)m－1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；
(3)當(dāng)m+1=0，且m－1≠0時(shí)，即m=－1時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4
課堂鞏固
1、設(shè)集合C=｛復(fù)數(shù)｝，A=｛實(shí)數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、復(fù)數(shù)z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R;(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i.
歸納反思

課后探究
1、設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值.

延伸閱讀

高二文科數(shù)學(xué)選修1-2數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案

石油中學(xué)高二文科數(shù)學(xué)選修1-2導(dǎo)學(xué)案---復(fù)數(shù)
§3-1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i
2、理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律
3、理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部)理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
復(fù)數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)的分類(實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復(fù)數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
虛數(shù)單位i的引進(jìn)及復(fù)數(shù)的概念是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).復(fù)數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時(shí)規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立
自主學(xué)習(xí)
一、知識(shí)回顧：
數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒(méi)有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù).所謂無(wú)理數(shù)，就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集
因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無(wú)理數(shù)解決了開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無(wú)解的，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復(fù)數(shù)
二、新課研究：
1、虛數(shù)單位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.
2.與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程x2=－1的一個(gè)根，方程x2=－1的另一個(gè)根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*
4、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
5、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.
6、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.
7、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
這就是說(shuō)，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)值，在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現(xiàn)有一個(gè)命題：“任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小”對(duì)嗎？不對(duì)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

例題講解
例1請(qǐng)說(shuō)出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，有沒(méi)有純虛數(shù)？
答：它們都是虛數(shù)，它們的實(shí)部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數(shù).
例2復(fù)數(shù)－2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么？
答：實(shí)部是3.14，虛部是－2.
易錯(cuò)為：實(shí)部是－2，虛部是3.14！
例3實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是:
(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
［分析］因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.
解：(1)當(dāng)m－1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；
(2)當(dāng)m－1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；
(3)當(dāng)m+1=0，且m－1≠0時(shí)，即m=－1時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4
課堂鞏固
1、設(shè)集合C=｛復(fù)數(shù)｝，A=｛實(shí)數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、復(fù)數(shù)z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R;(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i.
歸納反思

課后探究
1、設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.

2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值.

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用.
2、理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件
3、了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

重視復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，注意復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化.
第1課時(shí)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1．復(fù)數(shù)：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別叫它的和．
2．分類：設(shè)復(fù)數(shù)：
(1)當(dāng)＝0時(shí)，z為實(shí)數(shù)；
(2)當(dāng)0時(shí)，z為虛數(shù)；
(3)當(dāng)＝0,且0時(shí)，z為純虛數(shù).
3．復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)相等且相等就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.
4．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部，虛部時(shí)．這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．(當(dāng)虛部不為零時(shí)，也可說(shuō)成互為共軛虛數(shù))．
5．若z＝a＋bi,(a,bR),則|z|＝；z＝.
6．復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做，叫虛軸．
7．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,bR)與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
8．兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小、但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，就比較它們的大小.

例1.m取何實(shí)數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋是實(shí)數(shù)？是純虛數(shù)？
解：①z是實(shí)數(shù)
②z為純虛數(shù)
變式訓(xùn)練1：當(dāng)m分別為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？（4）零？
解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．
例2.已知x、y為共軛復(fù)數(shù)，且，求x．
解：設(shè)代入由復(fù)數(shù)相等的概念可得
變式訓(xùn)練2：已知復(fù)數(shù)z=1＋i，如果=1－i,求實(shí)數(shù)a,b的值．
由z=1＋i得
==（a＋2)－(a＋b)i
從而，解得．
例3.若方程至少有一個(gè)實(shí)根，試求實(shí)數(shù)m的值.
解：設(shè)實(shí)根為，代入利用復(fù)數(shù)相等的概念可得＝
變式訓(xùn)練3：若關(guān)于x的方程x2＋(t2＋3t＋tx)i=0有純虛數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的值和該方程的根．
解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：設(shè)出方程的純虛數(shù)根，分別令實(shí)部、虛部為0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解方程組．
例4.復(fù)數(shù)滿足，試求的最小值.
設(shè)，則，
于是
變式訓(xùn)練4：已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是、，其中，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線上，求的值.
解：(1)
(2)將代入
可得.

1．要理解和掌握復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、零時(shí)，對(duì)實(shí)部和虛部的約束條件.
2．設(shè)z＝a＋bi(a，bR)，利用復(fù)數(shù)相等和有關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法.
第2課時(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算

1．復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行：
設(shè)，則
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝().
2．幾個(gè)重要的結(jié)論：
⑴
⑵＝＝.
⑶若z為虛數(shù)，則＝
3．運(yùn)算律
⑴＝.
⑵＝.
⑶＝.

例1．計(jì)算：
解：提示：利用
原式＝0
變式訓(xùn)練1：求復(fù)數(shù)
（A）（B）（C）（D）
解：故選C；
例2.若，求
解：提示：利用
原式＝
變式訓(xùn)練2：已知復(fù)數(shù)z滿足z2＋1＝0，則（z6＋i）（z6－i）＝▲．
解：2
例3.已知，問(wèn)是否存在復(fù)數(shù)z，使其滿足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，說(shuō)明理由
解：提示：設(shè)利用復(fù)數(shù)相等的概念有
變式訓(xùn)練3：若，其中是虛數(shù)單位，則a＋b＝__________
解：3
例4.證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程（為虛數(shù)單位）無(wú)解．
證明：原方程化簡(jiǎn)為
設(shè)、y∈R，代入上述方程得
將（2）代入（1），整理得無(wú)實(shí)數(shù)解，∴原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.
變式訓(xùn)練4：已知復(fù)數(shù)z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R,若，求a的取值范圍.
解：由題意得z1＝＝2＋3i,
于是==,=.
由，得a2－8a＋70，1a7.

1．在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加減乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實(shí)數(shù)化，必須準(zhǔn)確熟練地掌握.
2．記住一些常用的結(jié)果，如的有關(guān)性質(zhì)等可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟提高運(yùn)算速度.
3．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)有密切聯(lián)系但又有區(qū)別，在運(yùn)算中要特別注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否適用.
復(fù)數(shù)章節(jié)測(cè)試題
一、選擇題
1．若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為（）
A、-6B、13C.D.
2．定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限；
3．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）
A.－4；B.4；C.－1；D.1；
4．復(fù)數(shù)=（）
A．－IB．IC．2－iD．－2+i
6．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（）
(A)－1+i(B)1+i(C)1－i(D)－1－i
8．若復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為()
A．1B．-1C．1或-1D．0
9．如果復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)等于（）
（A）（B）（C）（D）
10．若z是復(fù)數(shù)，且，則的一個(gè)值為（）
A．1-2B．1+2C．2-D．2+
11．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則=（）
A．B．C．D．
12．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）
A．12B．22C．1D．2
二、填空題
13．設(shè)，a，b∈R，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲兩次，第一次得到的點(diǎn)數(shù)為a，第二次得到的點(diǎn)數(shù)為b，則使復(fù)數(shù)z2為純虛數(shù)的概率為．
14．設(shè)i為虛數(shù)單位，則．
15．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則z=．

16．．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，（為虛數(shù)單位），則的最小值是．
17．復(fù)數(shù)z=,則|z|=．
18．虛數(shù)（x－2）+y其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí)，的取值范圍是（）
A．[－，]B．∪（
C．[－，]D．[－，0∪（0，
19．已知(a0)，且復(fù)數(shù)的虛部減去它的實(shí)部所得的差等于，求復(fù)數(shù)的模.

20．．復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)、，且，，
，若可以與任意實(shí)數(shù)比較大小，求的值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

復(fù)數(shù)章節(jié)測(cè)試題答案
一、選擇題
1．A2．答案：A3．答案：B
4．答案：B
6．答案：A
7．A
8．B
9．B
10．B
11．D
12．B
二、填空題
13．
14．2i
15．
16．答案：22
17．答案：
18．答案：B∵,設(shè)k=,
則k為過(guò)圓（x－2）2+y2=1上點(diǎn)及原點(diǎn)
的直線斜率，作圖如下,k≤,
又∵y≠0,∴k≠0.由對(duì)稱性選B．
【幫你歸納】本題考查復(fù)數(shù)的概念,以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思維能力，利用復(fù)數(shù)與解析幾何、平面幾何之間的關(guān)系求解.虛數(shù)一詞又強(qiáng)調(diào)y≠0，這一易錯(cuò)點(diǎn).
【誤區(qū)警示】本題屬于基礎(chǔ)題，每步細(xì)心計(jì)算是求解本題的關(guān)鍵，否則將會(huì)遭遇“千里之堤，潰于蟻穴”之尷尬.
19．解：
20．解：依題意為實(shí)數(shù)，可得

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1．“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)”是“a＝0”的()
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．下列命題正確的是()
A．若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)
B．若a，b∈R且ab，則a＋ib＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±1
D．兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小
3．以－5＋2i的虛部為實(shí)部，以5i＋2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()
A．2－2iB．－5＋5i
C．2＋iD.5＋5i
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為()
A.12B．2C．0D．1
5．若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()
A．－1B．0C．1D．－1或1
二、能力提升
6．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是純虛數(shù)，則θ的值為()
A．2kπ－π4(k∈Z)B．2kπ＋π4(k∈Z)
C．2kπ±π4(k∈Z)D.k2π＋π4(k∈Z)
7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，則實(shí)數(shù)m＝______，n＝______.
8．給出下列幾個(gè)命題：
①若x是實(shí)數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)；
②若z是虛數(shù)，則z不是實(shí)數(shù)；
③一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；
④－1沒(méi)有平方根．
則其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
9．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，
則實(shí)數(shù)a＝________.
10．實(shí)數(shù)m分別為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．

11．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求實(shí)數(shù)x，y的值．

12．設(shè)z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1z2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

高二數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充學(xué)案練習(xí)題

§3.1數(shù)系的擴(kuò)充
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.復(fù)數(shù)的概念；
2.復(fù)數(shù)的表示；
3.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件；
4.兩個(gè)虛數(shù)只有相等與不等關(guān)系，不能比較大小.
二、典型例題
例1.寫(xiě)出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？

例2.實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是
①實(shí)數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？

例3.已知，求實(shí)數(shù)的值.

例4.已知復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.

三、鞏固練習(xí)
1.下列結(jié)論中，正確的是（）
A.B.
C.D.
2.實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù).

3.求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的值.
四、小結(jié)
五、作業(yè)
1.是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件.
2.復(fù)數(shù)的虛部是.
3.如果復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則滿足的條件是.
4.以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是.
5.當(dāng)實(shí)數(shù)=時(shí)，是純虛數(shù).
6.若復(fù)數(shù)和相等，則的值為.
7.若，則是的條件.
8.若，則實(shí)數(shù)的值(或范圍)是.
9.若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.

10.已知.①求實(shí)數(shù)；②求復(fù)數(shù).

訂正欄：