小學數(shù)學復習教案

2012屆高考數(shù)學知識要點平面向量的數(shù)量積復習教案。

平面向量的數(shù)量積
一．復習目標：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)和運算率，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運用．
二．主要知識：
1．平面向量數(shù)量積的概念；
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：、；
3．向量垂直的充要條件：．
三．課前練習：
1.下列命題中是正確的有
①設向量與不共線，若，則；②；
③，則；④若，則
2．已知為非零的平面向量.甲：（）
甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件
甲是乙的充要條件甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．已知向量，如果向量與垂直，則的值為（）
2
4．平面向量中，已知，且，則向量_________.
5．已知||=||=2，與的夾角為600，則+在上的投影為。
6．設向量滿足，則。
7．已知向量的方向相同，且，則_______。
8．已知向量和的夾角是120°，且，，則=。
四．例題分析：
例1．已知平面上三個向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，
（1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍.

小結(jié)：
例2．已知：、、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中=（1，2）
（1）若||，且，求的坐標；
（2）若||=且與垂直，求與的夾角.

小結(jié)：
例3．設兩個向量、，滿足，，、的夾角為60°，若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.
小結(jié)：
例4．如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問
的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。

小結(jié)：
五．課后作業(yè)：班級學號姓名
1．已知向量,向量則的最大值，最小值分（）
16，04，0
2．平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點，，若點滿足
，其中，且，則點的軌跡方程為：（）
3．已知向量，，那么的值是（）
1
4．在中，，的面積是，若，，則()
5．已知為原點，點的坐標分別為，，其中常數(shù)，點在線段上，且有，則的最大值為（）
6．設是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且，則的值等于（）
248
7.設是任意的非零平面向量，且相互不共線，則（）
①；②
③不與垂直④
中，是真命題的有()
（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
8．設為平面上四個點，，，，且，=，則＝___________________。
9．若對個向量存在個不全為零的實數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”．依此規(guī)定，能說明，，“線性相關(guān)”的實數(shù)依次可以??；（寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況）．
10．向量都是非零向量，且，求向量與的夾角.

11．已知向量，，
（1）當，求；
（2）若≥對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。

12．設,,,，與軸正半軸的夾角為,與軸正半軸的夾角為，且,求．

相關(guān)知識

《平面向量的數(shù)量積》學案

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為高中教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師能夠井然有序的進行教學。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《平面向量的數(shù)量積》學案”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

《平面向量的數(shù)量積》學案

教學目標：掌握平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及簡單應用
教學重點：平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及應用
教學難點：對平面向量數(shù)量積應用的準確把握
教學過程：
題型一：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算
【例題1】.關(guān)于平面向量，有下列5個命題：
①若，則
②‖
③
④
⑤非零向量和滿足，則與的夾角為
其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）
【例題2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，滿足條件(8－)＝30，則x＝__________.

題型二：向量的夾角與模
【例題3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求與的夾角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面積．

變式訓練1：已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是

變式訓練2：已知平面向量且。
題型三：向量數(shù)量積的應用
【例題4】.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值為。

變式訓練：已知

課堂練習：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，則在方向上的投影為______．
2、設x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，則|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE→CB→的值為__________
DE→DC→的最大值為________．
4、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB→AF→＝2，則AE→BF→的值是________．
課堂小結(jié)：

平面向量數(shù)量積的坐標表示

2012屆高考數(shù)學備考復習平面向量教案

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以更好的幫助學生們打好基礎(chǔ)，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習平面向量教案”，希望能為您提供更多的參考。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第三講平面向量
【最新考綱透析】
1．平面向量的實際背景及基本概念
（1）了解向量的實際背景。
（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3）理解向量的幾何意義。
2．向量的線性運算
（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義。
（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3）了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。
3．平面向量的基本定理及坐標表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意義。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。
（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算。
（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
4．平面向量的數(shù)量積
（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。
（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
5．向量的應用
（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題。
【核心要點突破】
要點考向1：向量的有關(guān)概念及運算
考情聚焦：1．向量的有關(guān)概念及運算，在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，考查有關(guān)概念及其基本運算；有時作為一種數(shù)學工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有關(guān)會滲透在解答題中。
考向鏈接：向量的有關(guān)概念及運算要注意以下幾點：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤。
（2）正確理解平面向量的運算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎(chǔ)，除了用向量的加減法、實數(shù)與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯(lián)系其他知識。
例1：（2010山東高考理科Ｔ12）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是（）
A.若與共線，則⊙B.⊙⊙
C.對任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命題立意】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據(jù)所給定義逐個驗證.
【規(guī)范解答】選B，若與共線，則有⊙，故A正確；因為⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故選項B錯誤，故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
要點考向2：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
考情聚焦：1．與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時會滲透在解答題中。
考向鏈接：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
1．解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題：，特別地。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據(jù)
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，則等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數(shù)量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由于=90，因此選向量CA，CB為基底.
【規(guī)范解答】選D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.
2.（2010廣東高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)=30，則x=()
A．6B．5C．4D．3
【命題立意】本題考察向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】選.，所以
.即：，解得：，故選.
要點考向3：向量與三角函數(shù)的綜合
考情聚集：1．向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)。
例3．在直角坐標系
（I）若；
（II）若向量共線，當
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量與三角函數(shù)的綜合，實質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。

【高考真題探究】
1．（2010重慶高考理科Ｔ2）已知向量，滿足，則（）
A．0B．C．4D．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎(chǔ)知識、數(shù)量積的運算及性質(zhì)，考查向量運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點撥】根據(jù)公式進行計算，或數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B（方法一）
；（方法二）數(shù)形結(jié)合法：由條件知，以向量
，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為，所以，
則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應用公式，
方法二：熟記向量及向量和的三角形法則
2．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，點D在
邊AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，則=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD=CB:CA=1:2
這樣可以用向量,表示。
【規(guī)范解答】選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量則的值是。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知，結(jié)合，解得，
所以2=，開方可知答案為.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若則=．
【解析】因為所以.
答案：
5．（2009廣東高考）已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵與互相垂直，則，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，則，
∴.
6．（2009海南寧夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因為，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
從而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.若，且，則向量與的夾角為()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B為平面上四點，且，則（）
A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上
C．點A在線段BM上D．O、A、M、B四點一定共線
3.平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若=（2，4），=（1，3），則等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知為不共線的非零向量，且，則以下四個向量中模最小者為……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夾角為120°，且則等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中為常向量．若映射f滿足f()f()＝對任意的，∈A恒成立，則的坐標可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7.已知e1、e2是兩個不共線的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是兩個共線向量，則實數(shù)k=
8.已知向量，滿足，，與的夾角為，則_________，若，則實數(shù)_________．
9.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動。若其中，則的最大值是．
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11.設函數(shù)，其中向量，.
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）設，
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應的函數(shù)成為奇函數(shù)？
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8.3，3
9.2
三、解答題
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因為，
所以．
因為，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
則.
．

11.解：（I）
（II）由，
得

12.解：（I）若，則
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的單調(diào)增區(qū)間
(2)將函數(shù)的圖像向上平移1個單位，再向左平移個單位，即得函數(shù)
的圖像，而為奇函數(shù)
(左、右平移的單位數(shù)不唯一，只要正確，就給分.)

【備課資源】

平面向量數(shù)量積的運算律

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為高中教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助高中教師能夠井然有序的進行教學。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“平面向量數(shù)量積的運算律”，希望對您的工作和生活有所幫助。

平面向量數(shù)量積的運算律
教學目的：
1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；
2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；
3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.
教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.
教學難點：平面向量數(shù)量積的應用
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì).?
教學過程：
一、復習引入：
1．兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
3．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為|b|；當=180時投影為|b|.
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3當a與b同向時，ab=|a||b|；當a與b反向時，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運算律
1．交換律：ab=ba
證：設a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．數(shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)
證：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面內(nèi)取一點O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、講解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
兩式相減：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
設a、b的夾角為，則cos=∴=60
例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.
解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量.
解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
綜上所述，四邊形ABCD是矩形.
評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.
四、課堂練習：
1.下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.ab是一個實數(shù)
2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０°，則(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.
6.設|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設計（略）
八、課后記：