小學(xué)三角形教案

2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形。

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編為大家整理的“2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

第四篇三角函數(shù)、解三角形
第1講弧度制及任意角的三角函數(shù)
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí)：40分鐘)
一、填空題
1．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第________象限角．
解析∵sinα＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案三
2．若1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于________．
解析設(shè)圓的半徑為r，由題意知rsin12＝1，
∴r＝1sin12，∴弧長(zhǎng)l＝αr＝1sin12.
答案1sin12
3．(2014蘇中聯(lián)考)若α角與8π5角終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與α4角終邊相同的角是________．
解析由題意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.
答案2π5，9π10，7π5，19π10
4．已知點(diǎn)Psin3π4，cos3π4落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為_(kāi)_______．
解析由sin3π4＞0，cos3π4＜0知角θ是第四象限的角，
∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案7π4
5．有下列命題：
①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；
②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；
③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－xx2＋y2.
其中正確的命題是________．
解析①正確，②不正確，
∵sinπ3＝sin2π3，而π3與2π3角的終邊不相同．
③不正確．sinα＞0，α的終邊也可能在y軸的正半軸上．
④不正確．在三角函數(shù)的定義中，cosα＝xr＝xx2＋y2，不論角α在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立．
答案①
6．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－255，則y＝______.
解析因?yàn)閟inθ＝y(tǒng)42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案－8
7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為45，則cosα＝____.

解析因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝45，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－35，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－35.
答案－35
8．函數(shù)y＝2cosx－1的定義域?yàn)開(kāi)_______．
解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.
由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)
二、解答題
9．(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤α720°的元素α寫出來(lái)：
①60°；②－21°.
(2)試寫出終邊在直線y＝－3x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180°≤α180°的元素α寫出來(lái)．
解(1)①S＝{α|α＝60°＋k360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α720°的元素α為－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α720°的元素α為－21°，339°，699°.
(2)終邊在y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝k360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k180°＋120°，k∈Z}，其中適合不等式－180°≤α180°的元素α為－60°，120°.
10．(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角；
(2)一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.
解(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則
2r＋rθ＝10，12θr2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．
∴扇形的圓心角為12.
(2)設(shè)圓的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，
則12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.
∴圓心角α＝lr＝2.
如圖，過(guò)O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
能力提升題組
(建議用時(shí)：25分鐘)
一、填空題
1．(2014杭州模擬)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
答案(－2,3]
2．給出下列命題：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；
③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無(wú)關(guān)；
④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；
⑤若cosθ0，則θ是第二或第三象限的角．
其中正確命題是________．
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sinπ6＝sin5π6，但π6與5π6的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)θ＝π，cosθ＝－10時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．
答案③
3．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝________.
解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由題意知角α的終邊在第二、四象限，sinα與cosα的符號(hào)相反，所以原式＝0.
答案0
二、解答題
4．已知sinα＜0，tanα＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α2終邊所在的象限；
(3)試判斷tanα2sinα2cosα2的符號(hào)．
解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合為
α|2k＋1π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.
(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋3π2，
得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
故α2終邊在第二、四象限．
(3)當(dāng)α2在第二象限時(shí)，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，
所以tanα2sinα2cosα2取正號(hào)；
當(dāng)α2在第四象限時(shí)，tanα2＜0，sinα2＜0，cosα2＞0，
所以tanα2sinα2cosα2也取正號(hào)．
因此，tanα2sinα2cosα2取正號(hào).

延伸閱讀

2012屆高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量備考復(fù)習(xí)教案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量備考復(fù)習(xí)教案”，僅供參考，希望能為您提供參考！

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時(shí)要注意以下幾方面：
1．掌握三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；熟練掌握同角公式、誘導(dǎo)公式、和角與差角、二倍角公式，且會(huì)推導(dǎo)掌握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。掌握正弦、余弦定理，平面向量及有關(guān)的概念，向量的數(shù)量積以及坐標(biāo)形式的運(yùn)算。
2．熟練掌握解決以下問(wèn)題的思想方法
本專題試題以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊方法，如數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、代入檢驗(yàn)法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等。另外對(duì)有些具體問(wèn)題還要掌握和運(yùn)用一些基本結(jié)論（如對(duì)正弦、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心為三角函數(shù)值為零的點(diǎn)，應(yīng)熟練的寫出對(duì)稱軸的方程及對(duì)稱中心的坐標(biāo)；應(yīng)用三角函數(shù)線解三角方程、比較三角函數(shù)值的大??；對(duì)三角函數(shù)的角的限制及討論；常數(shù)1的代換等）。
3．特別關(guān)注
（1）與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)有關(guān)的選擇、填空題；
（2）向量、解三角形以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)交匯點(diǎn)命題；
（3）與測(cè)量、距離、角度有關(guān)的解三角形問(wèn)題。

第一講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【最新考綱透析】
1．了解任意角、弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化。
2．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。
3．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。
4．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，]的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及圖象與x軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性。
5．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.
6．了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。
7．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：三角函數(shù)的概念、同角誘導(dǎo)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
考情聚焦：1．三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，在近幾年高考中時(shí)常出現(xiàn)。
2．該類問(wèn)題出題背景選擇面廣，易形成知識(shí)交匯題。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中、低檔題。
考向鏈接：1．三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點(diǎn)，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。
2．同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件。
例1：（2010屆日照五蓮一中高三段檢）如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β（），它們終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）
（1）求的值；
（2）若，求。
解：（1）由三角函數(shù)定義得，
∴原式
（）=
（2），∴
∴，∴

要點(diǎn)考向2：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式、圖象問(wèn)題
考情聚焦：1．三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與解析式的問(wèn)題，年看都會(huì)在高考中出現(xiàn)。
2．試題背景大多是給出圖象或解析式中某些量滿足的一些條件下，求解析式或另處一些量。多數(shù)考查周期、頻率、振幅、最值、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸等概念以及圖象的變換。
3．三種題型都有可能出現(xiàn)，屬于中、低檔題。
考向鏈接：1．已知圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法。由圖中的最大、最小值求出A，由周期確定ω，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定φ的值。
2．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)。“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為，其他依次類推即可。
例2：已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是()
【解析】選D.對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了．
要點(diǎn)考向3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題
考情聚焦：1．有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值問(wèn)題在歷年高考中都會(huì)考查，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。
2．試題背景呈現(xiàn)多樣性、選擇面廣，往往與三角恒等變換、圖象性質(zhì)、平面向量等交匯命題。
3．三種題型都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
例3：已知函數(shù)
⑴求的最小正周期及對(duì)稱中心；
⑵若，求的最大值和最小值.
【解析】⑴
∴的最小正周期為，
令，則，
∴的對(duì)稱中心為；
⑵∵∴∴∴
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為

【高考真題探究】
1．（2010陜西高考理科Ｔ3）對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（）
（A）在（，）上是遞增的（B）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
（C）的最小正周期為2（D）的最大值為2
【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬保分題。
【思路點(diǎn)撥】是奇函數(shù)B
【規(guī)范解答】選B因?yàn)?，所以是奇函?shù)，因而的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選B
2．（2010全國(guó)卷Ⅰ理科Ｔ2）記,那么
A.B.-C.D.-
【命題立意】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí)，著重考查了三角變換中的弦切互化.
【思路點(diǎn)撥】由及求出，再利用公式
求出的值.
【規(guī)范解答】選B.【解析1】,
所以
【解析2】，
.
3．（2010重慶高考文科Ｔ１5）如題（15）圖，圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在C上）且半徑相等。設(shè)第i段弧所對(duì)的圓心角為（i=1,2,3），則
【命題立意】本小題考查圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點(diǎn)撥】第i段弧所對(duì)的圓心角轉(zhuǎn)化為與它同圓的劣弧所對(duì)的圓心角，再根據(jù)三個(gè)圓心確定的正三角形求解.
【規(guī)范解答】作三段圓弧的連心線，連結(jié)一段弧的兩個(gè)端點(diǎn)，如圖所示,△是正三角形，點(diǎn)P是其中心，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可知，第i段弧所對(duì)的圓心角為都是，
所以
【方法技巧】利用圓的對(duì)稱性等有關(guān)性質(zhì)可以快捷解答.
4．（2010福建高考文科Ｔ１0）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位。若所得圖象與原圖象重合，則的值不可能等于（）
A.4B.6C.8D.12
【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖像平移，解三角方程。
【思路點(diǎn)撥】先進(jìn)行平移后，再比較與原函數(shù)的差異，解三角方程，或采用代入法求解。
【規(guī)范解答】選B，把向左平移個(gè)單位得，
又該函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合，所以恒成立，，，所以k不可能為6。
【方法技巧】注意應(yīng)把變?yōu)槎恰D像的變換問(wèn)題，依據(jù)三角函數(shù)的圖像的變換口訣“左加右減，上加下減”即可解決。一般地，函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時(shí))或向右(當(dāng)＜0時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到。
5．（2010廣東高考文科Ｔ16）設(shè)函數(shù)，，，
且以為最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
【命題立意】本題考察三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角變換.
【思路點(diǎn)撥】（2）由已知條件求出，從而求出的解析式；
（3）由
【規(guī)范解答】（1）
（2），，所以的解析式為：
（3）由得，即
，
【方法技巧】三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，往往都要先化成的形式再求解.
6．（2010湖北高考文科Ｔ16）已經(jīng)函數(shù)
(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得出？
（Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使取得最小值的的集合。
【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變換、圖象變換以及求三角函數(shù)的最值，同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)先將函數(shù)解析式等價(jià)變形為的形式，再與的表達(dá)式對(duì)照，比較它們的振幅、周期、相位等寫出變化過(guò)程。
（Ⅱ）將函數(shù)變形為或的形式再利用正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值。
【規(guī)范解答】(Ⅰ)，所以要得到的圖象只需把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可。
（Ⅱ），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合為。
【方法技巧】1、三角函數(shù)中的圖象變換問(wèn)題一般要先將表達(dá)式化簡(jiǎn)到或的形式（兩函數(shù)所用三角函數(shù)要同名），然后再通過(guò)比較兩函數(shù)的振幅、周期、相位等寫出變化過(guò)程。
2、三角函數(shù)中的最值問(wèn)題一般要先借用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式等化到或的形式，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解。

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，總分36分）
1.已知△ABC中，，則（）
(A)(B)(C)(D)
2.下列關(guān)系式中正確的是（）
A．B．
C．D．
3.已知，那么角是（）
Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角
4．已知函數(shù)，則要得到其導(dǎo)函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
（A）向左平移個(gè)單位（B）向右平移個(gè)單位
（C）向左平移個(gè)單位（D）向右平移個(gè)單位
5．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是()
（A）（B）
（C）（D）

二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，總分18分）
7．若，則.
8．（2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研）函數(shù)的最小正周期為．
9．函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=.
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．(本小題滿分12分）
已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
11．（2010廣州高三六校聯(lián)考）
已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
12．已知向量
（1）若求x的值；
（2）函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

參考答案
一、選擇題
1．【解析】選D.由知A為鈍角，cosA0排除A和B，再由選D.

2．【解析】選C.因?yàn)椋捎谡液瘮?shù)在區(qū)間上為遞增函數(shù)，因此，即.

3．【解析】選C.

4．【解析】選C.方法1：
方法2：
故選C。

5．【解析】選A.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為
，
由
令

6．【解析】選C.，由題設(shè)的周期為，∴，
由得，，故選C
二、填空題
7．【解析】由題意可知在第三象限，∴，
答案：

8．答案：

9．【解析】因?yàn)?，，所?
答案：3

三、解答題
10．【解析】（1）∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴.
（2）∵，，∴，
∴，
∴.

11．【解析】（1）由圖象知
的最小正周期,故
將點(diǎn)代入的解析式得,又,∴
故函數(shù)的解析式為
(2)
，
故為偶函數(shù).

12．解析：（1）
由
因此
（2）
則恒成立，得

【備課資源】

解三角形

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無(wú)論做什么事都有計(jì)劃和準(zhǔn)備，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編為大家整理的“解三角形”，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第二講三角變換與解三角形
【最新考綱透析】
1．會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。
2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。
3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角各的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
4．能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。
6．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：三角變換及求值
考情聚焦：1．利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值是高考必考內(nèi)容。
2．該類問(wèn)題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與新知識(shí)的交匯題。
3．該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
考向鏈接：1．在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí)，常用到如下變形
（1）；
（2）角的變換；
（3）。
2．利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值求角問(wèn)題，常見(jiàn)有以下三種類型：
（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過(guò)三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；
（2）“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；
（3）“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域
解析：（Ⅰ）由題意得mn=sinA-2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤R,所以.當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)有最小值-3
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
要點(diǎn)考向2：正、余弦定理的應(yīng)用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解決涉及三角形的問(wèn)題，在近3年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn)，預(yù)計(jì)將會(huì)成為今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
2．該類問(wèn)題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn)。
考向鏈接：1．在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它重要性：一是作為三角形問(wèn)題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問(wèn)題獲得解決的突破口。
2．在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問(wèn)題，應(yīng)盡量避免求正弦值。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且
（Ⅰ）求A的大??；
（Ⅱ）求的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值。
【思路點(diǎn)撥】（I）根據(jù)正統(tǒng)定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進(jìn)而求出最值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故當(dāng)B＝30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要點(diǎn)考向3：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1．有關(guān)解三角形及實(shí)際應(yīng)用在高考中有時(shí)出現(xiàn)。
2．該類問(wèn)題以實(shí)際問(wèn)題為背景，其建模后為解三角形問(wèn)題，與三角函數(shù)及三角變換等知識(shí)交匯。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，題目不會(huì)太難。
例3：（2010江蘇高考Ｔ１7）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)該小組已測(cè)得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；
(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，-最大？
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】（1）分別利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【規(guī)范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的電視塔的高度H是124m。
（2）由題設(shè)知，得，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
故當(dāng)時(shí)，最大。
因?yàn)?，則，由的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，-最大。
故所求的是m。

【高考真題探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）計(jì)算的結(jié)果等于（）
A.B.C.D.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降冪公式，并進(jìn)行三角的化簡(jiǎn)求值。
【思路點(diǎn)撥】直接套用倍角公式的逆用公式，即降冪公式即可。
【規(guī)范解答】選B，。
【方法技巧】對(duì)于三角公式的學(xué)習(xí)，要注意靈活掌握其變形公式，才能進(jìn)行靈活的恒等變換。如倍角公式：，的逆用公式為“降冪公式”，即為，，在三角函數(shù)的恒等變形中，降冪公式的起著重要的作用。
2．（2010海南寧夏高考理科T16）在中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=DC,=120°，AD=2，若的面積為，則=.
【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應(yīng)用.
【思路點(diǎn)撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關(guān)系式求解.
【規(guī)范解答】設(shè)，則，由的面積為可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關(guān)系，利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關(guān)系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=()
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化。
【規(guī)范解答】選A，根據(jù)正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，則a=。
【命題立意】本題考查解三角形中的余弦定理。
【思路點(diǎn)撥】對(duì)利用余弦定理，通過(guò)解方程可解出。
【規(guī)范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時(shí)，用余弦定理比較好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式；變角，
【規(guī)范解答】（1）由，得
所以函數(shù)的最小正周期為
因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又
，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1
（Ⅱ）由（1）可知又因?yàn)?，所?br> 由，得從而
所以
6．（2010陜西高考理科Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距
海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°
的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？
【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形問(wèn)題的能力，屬于中檔題。
【思路點(diǎn)撥】解三角形
【規(guī)范解答】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，總分36分）
1．（2010屆山東省實(shí)驗(yàn)高三一診（文））已知點(diǎn)在第四象限,則角的終邊在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若，則的值為()
A．B．C．D．
3．函數(shù)的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)：（1）最小正周期為π，（2）圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（3）在區(qū)間上是增函數(shù)，則y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010屆廣東高三六校聯(lián)考（理））如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在邊AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，則AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，總分18分）
7．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則的面積等于_____
8．若定義在區(qū)間上的函數(shù)對(duì)上的任意個(gè)值，，…，，總滿足≤，則稱為上的凸函數(shù)．已知函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，則在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,則A=_______.
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．（本小題滿分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo).
12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且
(Ⅰ)確定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面積為,求a＋b的值。
參考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】選A.依題意，畫出圖形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
過(guò)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，則
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的內(nèi)角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，最小值為
（2）令，得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足要求的對(duì)稱中心為
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是銳角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面積公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②變形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【備課資源】

解斜三角形

5.4解斜三角形

●知識(shí)梳理
1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）
2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：
（1）已知三邊，求三個(gè)角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.
特別提示
兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”.
●點(diǎn)擊雙基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等邊三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長(zhǎng)，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.
解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.
剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論
（1）該題若用余弦定理如何解決?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.
（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識(shí)解決?
解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因?yàn)椤螧AC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.
【例2】已知銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.
評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，則=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有兩值.
答案：C
培養(yǎng)能力
6.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面積的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，頂點(diǎn)A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動(dòng)，求的取值范圍.
解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范圍為［，］.
探究創(chuàng)新
9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計(jì)算）
解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.
因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.
則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時(shí)，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時(shí)，“=”成立.
所以當(dāng)a=b==10時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）.
●思悟小結(jié)
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.
5.用正（余）弦定理解三角形問(wèn)題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長(zhǎng).
6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ).
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高使用計(jì)算器的技能技巧和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.
拓展題例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+.
（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=.
評(píng)述：本題的第（1）問(wèn)是一道結(jié)論開(kāi)放型題，y的表達(dá)式的表面不對(duì)稱性顯示了問(wèn)題的有趣之處.第（2）問(wèn)實(shí)際上是一道常見(jiàn)題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀.
分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.