高中三角函數(shù)的教案

高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，到寫教案課件的時(shí)候了。我們制定教案課件工作計(jì)劃，才能更好地安排接下來的工作！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？下面是小編精心為您整理的“高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
教學(xué)目的
【知識(shí)與技能】
1.掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:(1)根據(jù)圖象建立解析式;(2)根據(jù)解析式作出圖象;
(3)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.
2.利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.
【過程與方法】
一、練習(xí)講解：《習(xí)案》作業(yè)十三的第3、4題
3、一根為Lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，組成一個(gè)單擺，小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是，（1）求小球擺動(dòng)的周期和頻率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期恰好是1秒，線的長度l應(yīng)當(dāng)是多少？
解：（1）；（2）.
4、略（學(xué)生看書）
二、應(yīng)用舉例：
例1如圖，某地一天從6~14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(wx＋j)＋b
(1)求這一天6~14時(shí)的最大溫差；
(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

本題是研究溫度隨時(shí)間呈周期性變化的問題.問題給出了某個(gè)時(shí)間段的溫度變化曲線，要求這一天的最大溫差，并寫出曲線的函數(shù)解析式.也就是利用函數(shù)模型來解決問題.要特別注意自變量的變化范圍.
例2畫出函數(shù)y＝|sinx|的圖象并觀察其周期.
本題利用函數(shù)圖象的直觀性，通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法.顯然，函數(shù)與正弦函數(shù)有緊密的聯(lián)系.
練習(xí)：教材P65面1題
例3如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為q，d為此時(shí)太陽直射緯度，j為該地的緯度值，那
么這三個(gè)量之間的關(guān)系是q＝90－|j－d|.當(dāng)?shù)叵陌肽阣取正值，冬半年d取負(fù)值.
如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午
的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？
本題是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問題。應(yīng)當(dāng)注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題。
例4海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通
常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)
每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表：
時(shí)刻水深/米時(shí)刻水深/米時(shí)刻水深/米
0:005.09:002.518:005.0
3:007.512:005.021:002.5
6:005.015:007.524:005.0
(1)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值
(精確到0.001).
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船
底與洋底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？
(3)若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3
米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
本題的解答中，給出貨船的進(jìn)、出港時(shí)間，一方面要注意利用周期性以及問題的條件，另一方面還要注意考慮實(shí)際意義。關(guān)于課本第64頁的“思考”問題，實(shí)際上，在貨船的安全水深正好與港口水深相等時(shí)停止卸貨將船駛向較深的水域是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳。
練習(xí)：教材P65面3題
三、小結(jié)：1、三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:
(1)根據(jù)圖象建立解析式;
(2)根據(jù)解析式作出圖象;
(3)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.
2、利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.
四、作業(yè)《習(xí)案》作業(yè)十四及十五。
補(bǔ)充例題：
一半徑為3m的水輪如右圖所示,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈,如果當(dāng)水輪上P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中P0)點(diǎn)開始計(jì)算時(shí)間.
(1)求P點(diǎn)相對于水面的高度h(m)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)P點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)約要多長時(shí)間?

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三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，有效的提高課堂的教學(xué)效率。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

難點(diǎn)17三角函數(shù)式模型的簡單應(yīng)用
三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點(diǎn)磁場
(★★★★★)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.
●案例探究
［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。
(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；
(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.
錯(cuò)解分析：考生對方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).
技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACBcos30°－cosACBsin30°.
在△ACD中，據(jù)正弦定理得，
∴
答：此時(shí)船距島A為千米.
［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；
(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，//屬★★★★級題目.
知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.
錯(cuò)解分析：考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.
技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時(shí)要注意||的范圍.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］.
(2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
=，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞.
●錦囊妙計(jì)
本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；
(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；
(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.
●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、選擇題
1.(★★★★★)給出四個(gè)命題：(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形.以上正確命題的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
二、填空題
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，//則的值為__________.
3.(★★★★)在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________.
三、解答題
4.(★★★★)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.
5.(★★★★★)如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即I=k，其中k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.
(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，試求∠A、∠B、∠C的值.
8.(★★★★★)在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
參考答案
難點(diǎn)磁場
解法一：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°.
設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依題設(shè)條件有
整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)
(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，
∴2cosα－=0.從而得cos.
解法二：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°
①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC②，
利用和差化積及積化和差公式，②式可化為
③，
將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：
④
將cos(A－C)=2cos2()－1代入④：4cos2()+2cos－3=0，(*)，
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析：其中(3）(4）正確.
答案：B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案：
3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=.
∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=.故cosB=.
即sin(A+C)=，cos(A+C)=－.
∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=.
答案：
三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：
S=S△ABD+S△CDB=ABADsinA+BCCDsinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S=(ABAD+BCCD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2ABADcosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CBCDcosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8.
5.解：R=rcosθ，由此得：，

7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinCsinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］
即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－.
∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=.
8.解：按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?
由正弦定理知：.∴BP=
在△PBD中，,
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當(dāng)60°+2θ=90°，即θ=15°時(shí)，
sin(60°+2θ)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3.

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用案例探究

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編為大家整理的“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用案例探究”，希望對您的工作和生活有所幫助。

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點(diǎn)磁場
(★★★★★)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.
●案例探究
［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。
(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；
(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.
錯(cuò)解分析：考生對方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).
技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACBcos30°－cosACBsin30°.
在△ACD中，據(jù)正弦定理得，
∴
答：此時(shí)船距島A為千米.

［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；
(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，屬★★★★級題目.
知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.
錯(cuò)解分析：考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.
技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時(shí)要注意||的范圍.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］.
(2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
=，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞.
●錦囊妙計(jì)
本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；
(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；
(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.
參考答案
難點(diǎn)磁場
解法一：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°.
設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依題設(shè)條件有
整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)
(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，
∴2cosα－=0.從而得cos.
解法二：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°
①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC②，
利用和差化積及積化和差公式，②式可化為
③，
將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：
④
將cos(A－C)=2cos2()－1代入④：4cos2()+2cos－3=0，(*)，

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用---潮汐問題

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用---潮汐問題”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用---潮汐問題

教學(xué)目標(biāo)：

1、能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，能根據(jù)問題的實(shí)際意義，利用模型解釋有關(guān)實(shí)際問題，為決策提供依據(jù)。

2、鞏固三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，會(huì)初步利用圖象解三角不等式，鞏固二分法求相應(yīng)方程近似解。

3、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計(jì)算的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化的實(shí)際問題

教學(xué)難點(diǎn)：

對問題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實(shí)際問題中抽象出三角函數(shù)模型。

教學(xué)媒體：幾何畫板

教學(xué)流程：

給出出港口水深數(shù)據(jù)，提出問題

根據(jù)散點(diǎn)圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合

求解函數(shù)模型

利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題

反思解題過程，總結(jié)解題方法，提煉數(shù)學(xué)思想

教學(xué)過程：

1．情景展示，新課導(dǎo)入

2．問題提出，探究解決

【師】若干年后，如果在座的各位有機(jī)會(huì)當(dāng)上船長的話，當(dāng)你的船只要到某個(gè)港口去，你作為船長，你希望知道關(guān)于那個(gè)港口的一些什么情況？

【生】水深情況。

【師】是的，我們要到一個(gè)陌生的港口時(shí)，是非常想得到有關(guān)那個(gè)港口的水深與時(shí)間的對應(yīng)關(guān)系。

請同學(xué)們看下面這個(gè)問題。

問題探究1：如圖所示，下面是錢塘江某個(gè)碼頭在今年春季每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表：

時(shí)間

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？

小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言。可能結(jié)果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

2）水的深度開始由5.0米增加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。

3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。

4）學(xué)生活動(dòng)：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式）

安全水深，即：

，

討論求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（電腦作圖并呈現(xiàn)）

通過圖象可以看出，當(dāng)快要到P時(shí)刻的時(shí)候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點(diǎn)的坐標(biāo)如何求得呢？（學(xué)生思考，討論，交流）求P點(diǎn)橫坐標(biāo)即解方程

數(shù)形結(jié)合，二分法求近似解：

由圖得點(diǎn)P點(diǎn)橫坐標(biāo)在[6，7]，故我們只需要算出6，6.5，7三個(gè)時(shí)刻的安全水深與實(shí)際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。

時(shí)間

實(shí)際水深

安全水深

是否安全

6．0

5米

4．3米

安全

6．5

4．2米

4．1米

較安全

7．0

3．8米

4．0米

危險(xiǎn)貨船應(yīng)該在6時(shí)30分左右駛離港口。（可能有的同學(xué)有些異議，可以討論）

從這這個(gè)問題可以看出，如果有時(shí)候時(shí)間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會(huì)出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時(shí)駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上漲后在駛回來。這樣對公司來說就會(huì)造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？那該怎么來做呢？（學(xué)生討論）

可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。

問題探究4：若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2米，為了保證進(jìn)入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時(shí)吃水深度至少要以多少速度減少？---探究3的變式（學(xué)生課后探究）

3．課時(shí)小結(jié)，認(rèn)識(shí)深化

（師生一起歸納）

3-1回顧整個(gè)探究過程，經(jīng)歷了第一階段：收集數(shù)據(jù)-----畫散點(diǎn)圖

第二階段：根據(jù)圖象特征---選模、求模、驗(yàn)?zāi)?p>第三階段：函數(shù)模型應(yīng)用

3-2在整個(gè)探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些思想方法：

（1）對實(shí)際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；

（2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想；

（3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；

（4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。

4．教師演示激發(fā)學(xué)生思考并進(jìn)一步探究：生活中哪些現(xiàn)象與三角函數(shù)模型有關(guān)？-----周期性

5．作業(yè)布置，延時(shí)探究

4-1電視臺(tái)的不同欄目播出的時(shí)間周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一個(gè)星期播出一次。請查閱當(dāng)?shù)氐碾娨暪?jié)目預(yù)告，統(tǒng)計(jì)不同欄目的播出周期。

4-2請調(diào)查我們杭州某個(gè)地區(qū)的每天的用電情況，制定一項(xiàng)“消蜂平谷”的電價(jià)方案。

4-3一個(gè)城市所在的經(jīng)度和緯度是如何影響日出和日落的時(shí)間的？收集其他有關(guān)數(shù)據(jù)，并提供理論證據(jù)支持你的結(jié)論。

高中數(shù)學(xué)必修四1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．
2.讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力。
【新知自學(xué)】
知識(shí)回顧：
1．三角函數(shù)的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的性質(zhì)
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________確定，其中周期T可觀察圖象獲得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一個(gè)確定φ的值．
3．三角函數(shù)模型的應(yīng)用
三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中________現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．

新知梳理：
1、創(chuàng)設(shè)情境、激活課堂
生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替四季輪回，潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開花謝，一切都逃不過數(shù)學(xué)的眼睛！這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。

2、結(jié)合三角函數(shù)圖象的特點(diǎn)，思考后寫出下列函數(shù)的周期．
(1)y＝|sinx|的周期是________；
(2)y＝|cosx|的周期是________；
(3)y＝|tanx|的周期是________；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是__________；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是__________．

對點(diǎn)練習(xí)：
1、如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin100πt＋π6，那么單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為()
A.150sB.1100s
C．50sD．100s

2．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，則fπ6等于()
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3

3.如圖所示，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧AP的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()

【合作探究】
典例精析：
題型一、由圖象探求三角函數(shù)模型的解析式
例1．如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)．
（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式

變式練習(xí)：
某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其總量在此兩值之間變化，且總量與月份的關(guān)系可以用函數(shù)來刻畫，試求該函數(shù)表達(dá)式。

題型二、由解析式作出圖象并研究性質(zhì)
例2．畫出函數(shù)的圖象并觀察其周期．

變式練習(xí)：
的周期是．
的周期是．
的周期是．

規(guī)律總結(jié)：
利用圖象的直觀性，通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法；本題也可用代數(shù)方法即周期性定義驗(yàn)證：
∴的周期是．（體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想！）

題型三、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題
例3．如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時(shí)太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是．當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值．
如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？

變式練習(xí)：
交流電的電壓E(單位：伏)與時(shí)間t(單位：秒)的關(guān)系可用E＝2203sin100πt＋π6來表示，求：
(1)開始時(shí)的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；
(3)電壓的最大值和第一次取得最大值的時(shí)間．

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為()
A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
2、如圖所示為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h.
(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式．
3、如圖表示電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期內(nèi)的圖象．
(1)據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)為使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？

【課時(shí)作業(yè)】
1、函數(shù)y＝2sinm3x＋π3的最小正周期在23，34內(nèi)，則正整數(shù)m的值是________．

2．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時(shí)間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是________．

3．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式時(shí)s＝3cosglt＋π3，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線長l等于________．

4、如圖所示，一個(gè)摩天輪半徑為10m，輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每30s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同)時(shí)開始計(jì)時(shí)．
(1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，約有多長時(shí)間此人相對于地面的高度不小于17m.

5.如圖，一個(gè)水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間．
(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；
(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？

【延伸探究】
如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,23)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？