高中三角函數(shù)教案

高一數(shù)學(xué)必修二第五章三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案（湘教版）。

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高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)：

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點(diǎn)：通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換

重點(diǎn)：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會(huì)三角變換的特點(diǎn).

難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用.

三角函數(shù)幾點(diǎn)說明：

1.對(duì)弧長(zhǎng)公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計(jì)算，熟練配角和sin和cos的計(jì)算.

3.已知三角函數(shù)值求角問題，達(dá)到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)、特殊點(diǎn)和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習(xí)，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習(xí)題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

高中數(shù)學(xué)必修四3.2三角恒等變換小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

3.2三角恒等變換小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
2．能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。
【知識(shí)梳理】
1．熟練掌握公式：
兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．幾個(gè)公式變形：
=__________=_______________
tan±tan
=tan(±)(1tantan)
；

3．形如asinα＋bcosα的化簡(jiǎn)：
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝_____，sinφ＝______，
即tanφ＝ba.

【自學(xué)探究】
一、兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用
例1:在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB的值為()．
A．14B．13C．12D．53

例2：化簡(jiǎn)：.

思考感悟：要熟練、準(zhǔn)確地運(yùn)用和、差、倍角公式，同時(shí)要熟悉公式的逆用及變形。
二、角的變換
例3、已知sin＝－34，則sin2x＝__________.

例4、已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos＝35，sin＝513，求sin(α＋β)的值．

思考感悟：
1．應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，把“所求角”用“已知角”來表示，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式．
2．常見的配角技巧：
α＝(α＋β)－β；π4＋α＝π2－；α＝12；β＝12；
三、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值
例5：化簡(jiǎn)：(π＜α＜2π)．
例6：已知34π＜α＜π，，求的值．

思考感悟：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則．
(1)一看“角”，找到之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分；
(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱間的差異與聯(lián)系，常見有“切化弦”；
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，可以幫我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等．
四、三角恒等式的證明
例7：求證：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.

例8：已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，證明：α＋β＝π4.

思考感悟：
1．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的的化繁為簡(jiǎn)、左右歸一。
2．三角恒等式的證明主要有兩種類型：絕對(duì)恒等式與條件恒等式．
(1)證明絕對(duì)恒等式要根據(jù)兩邊的特征，化繁為簡(jiǎn)，左右歸一，變更論證，化異為同．
(2)條件恒等式的證明則要比較已知條件與求證等式間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)途徑．常用代入法、消元法、兩頭湊等方法．

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．化簡(jiǎn)：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.

2．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________.

3．已知sinβ＝msin(2α＋β)(m≠1)，求證：tan(α＋β)＝1＋m1－mtanα.

【課后作業(yè)】
1．cos2π8－12的值為()
A.1B.12C.22D.24

2．cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12的值等于()
A.62B.32
C.54D.1＋34

3．已知π＜α＜3π2，且sin(3π2＋α)＝45，則tanα2等于()
A.3B.2
C.－2D.－3

4．如果tanα2＝13，那么cosα的值是()
A.35B.45
C.－35D.－45

5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，則此三角形為()
A.等邊三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6．已知sinα＝13，2π＜α＜3π，那么sinα2＋cosα2＝_____.

7．cos5π8cosπ8＝_____.

8．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.

9．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.

10．已知sin(x－3π4)cos(x－π4)＝－14，求cos4x的值.
【延伸探究】
11．已知函數(shù)
（1）求的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)的集合．

12．把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）

高二數(shù)學(xué)三角恒等變換34

第三章三角恒等變換

一、課標(biāo)要求：
本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.
三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.
1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；
2.理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；
3.運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.
二、編寫意圖與特色
1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡(jiǎn)單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識(shí)來予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；
2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；
3.本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會(huì)變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部?jī)?nèi)容的安排上，特別注意恰時(shí)恰點(diǎn)的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí)；
4.本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).
三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議
本章教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下：
3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式約3課時(shí)
3.2簡(jiǎn)單的恒等變換約3課時(shí)
復(fù)習(xí)約2課時(shí)

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
一、課標(biāo)要求：
本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征及作用.
二、編寫意圖與特色
本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)；
2.難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)
掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；
2.教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
1.學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)
2.教學(xué)用具：多媒體
四、教學(xué)設(shè)想：
（一）導(dǎo)入：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道，，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式
（二）探討過程：
在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）
展示多媒體動(dòng)畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索與、、、之間的關(guān)系，由此得到，認(rèn)識(shí)兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).
思考：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？
提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？
2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？
展示多媒體課件
比較用幾何知識(shí)和向量知識(shí)解決問題的不同之處，體會(huì)向量方法的作用與便利之處.
思考：，，再利用兩角差的余弦公式得出
（三）例題講解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.
點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因?yàn)椋纱说?br> 又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?br> 所以
點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題.
（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
（五）作業(yè)：

高中數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變換章末小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

第三章三角恒等變換章末小結(jié)

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明：
【知識(shí)與方法】
1、熟練記憶三角恒等變換公式：

2、三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對(duì)三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即:
（1）找差異：角、名、形的差別；
（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個(gè)公式聯(lián)系起來；
（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式。
如：升降冪公式；
；
；
tan±tan=tan(±)(1tantan)；
1=sin2+cos2（1的代換）；
拆角cos=coscos(-)-sinsin(-)；
切化弦等。

3．a(chǎn)sin＋bcos＝sin(＋φ)，其中cosφ＝___，sinφ＝___，即tanφ＝ba.

【題型總結(jié)】
題型1、化簡(jiǎn)求值：綜合使用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、公式，求出三角函數(shù)式的值。
化簡(jiǎn)要求：________、________、__________、__________、__________、__________；
1、化簡(jiǎn)（1）；

（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。

2、求值：

題型2、條件求值：綜合考慮要求值的式子和條件式的關(guān)聯(lián)，對(duì)于已知條件式的應(yīng)用及其變形是解決此類問題的關(guān)鍵。
3、已知=，=，求的值。
4.已知
求的值。
題型3、知值求角：
（1）先求角的某一個(gè)三角函數(shù)值：要注意象限角的范圍與三角函數(shù)值的符號(hào)之間聯(lián)系；
（2）盡量小的確定角的范圍：通過已知的角的范圍及其函數(shù)值的大小。
5．已知在中，
求角的大小。

6.設(shè)、為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=。

題型4、恒等式的證明：是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等。
7．已知，
求證：

8．求證

題型5、化成一個(gè)角的形式：
9.函數(shù)有最大值，最小值，則實(shí)數(shù)____，___。

10．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）
A.B.
C.D.

題型6、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，
11．已知△ABC的內(nèi)角滿足，若，且滿足：，，為的夾角.求。

12．如圖所示，某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面。若水渠斷面面積設(shè)計(jì)為定值m，渠深8米。則水渠壁的傾角應(yīng)為多少時(shí)，方能使修建的成本最低？

【課時(shí)練習(xí)】
1．當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，，則△ABC為）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．無法判定
3．函數(shù)的最小正周期是()
A．B．
C．D．
4．已知那么的值為,的值為

5．已知，，則=__________。

6．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且，當(dāng)為何值時(shí)，為偶函數(shù)．

8.已知函數(shù)
（1）求取最大值時(shí)相應(yīng)的的集合；
（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到的圖象
【延伸探究】
9．已知函數(shù)
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)設(shè)，的最小值是，最大值是，求實(shí)數(shù)的值．