小學(xué)三角形教案

三角恒等變形復(fù)習(xí)。

復(fù)習(xí)課2
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
（一）兩角和與差公式
（二）倍角公式
2cos2α=1+cos2α2sin2α=1-cos2α
注意：倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降冪的變化。
注：（1）兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題。
（2）對(duì)公式會(huì)“正用”，“逆用”，“變形使用”；
（3）掌握“角的演變”規(guī)律，
（4）將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用。
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：幾組三角恒等式的應(yīng)用
難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式
【精典范例】
例1已知
求證：
例2已知求的取值范圍
分析難以直接用的式子來(lái)表達(dá)，因此設(shè)，并找出應(yīng)滿足的等式，從而求出的取值范圍.

例3求函數(shù)的值域.
例4已知
且、、均為鈍角，求角的值.
分析僅由，不能確定角的值，還必須找出角的范圍，才能判斷的值.由單位圓中的余弦線可以看出，若使的角為或若則或
【選修延伸】
例5已知
求的值.
例6已知，
求的值.

例7已知
求的值.

例8求值：（1）（2）

【追蹤訓(xùn)練】
1．等于（）
A．B．C．D．
2．已知，且
，則的值等于（）
A．B．C．D．
3．求值：=.

4．求證：（1）

相關(guān)閱讀

幾個(gè)三角恒等式

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“幾個(gè)三角恒等式”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。

3．3幾個(gè)三角恒等式
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
幾組三角恒等式：
1．二倍角公式:
2．倍角降冪公式
3．半角公式
4．積化和差公式
5．和差化積公式
6．萬(wàn)能公式
7．派生公式：
(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α．
(2)1＋cosα＝2cos2，
(3)1－cosα＝2sin2，
(4)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
（5）
學(xué)習(xí)要求
1.掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式、半角公式和萬(wàn)能公式的方法，知道它們的互化關(guān)系
2.注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
幾組三角恒等式的應(yīng)用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式
【自學(xué)評(píng)價(jià)】
1．積化和差公式的推導(dǎo)
因?yàn)楹褪俏覀兯鶎W(xué)習(xí)過的知識(shí)，因此我們考慮
；
.
兩式相加得
即；
2．和差化積公式的推導(dǎo)
在上式中若令+=，=φ，則，代入得：
∴
3．萬(wàn)能公式的推導(dǎo)
1
2
3
【精典范例】
例1已知，求3cos2+4sin2的值.

例2已知，化簡(jiǎn).

例3已知，，tan=，tan=，求2+.
例4已知sincos=，，求和tan的值.

例5已知coscos=，sinsin=，求sin(+)的值.
例6已知A、B、C是三角形的內(nèi)角，.
（1）問任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化？試證明你的結(jié)論。
（2）求y的最大值。

思維點(diǎn)拔：
1、公式正用要善于拆角；逆用要構(gòu)造公式結(jié)構(gòu)；變用要抓住公式結(jié)構(gòu).
2、化簡(jiǎn)
（1）化簡(jiǎn)目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡量少、次數(shù)盡量低、盡量不含分母和根號(hào).
（2）化簡(jiǎn)基本方法：異角化同角；異名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代換.
3、求值
（1）求值問題的基本類型：給角求值；給值求值；給值求角；給式求值.
（2）技巧與方法：切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換
4、證明
（1）證明基本方法：化繁為簡(jiǎn)法、左右歸一法、變更命題法.
（2）條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的差異與聯(lián)系.
【追蹤訓(xùn)練】：
1.如果｜c(diǎn)osθ｜＝，＜θ＜3π,則sin的值等于()
2.設(shè)5π＜θ＜6π且cos＝a,則sin等于()
3.已知tan76°≈4，則tan7°的值約為()
4.tan－cot的值等于
5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，則tan＝.
6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的兩根，則tan＝
7.設(shè)25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan.

8.已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值.

9.求證
【師生互動(dòng)】
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)：

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點(diǎn)：通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換

重點(diǎn)：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會(huì)三角變換的特點(diǎn).

難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用.

三角函數(shù)幾點(diǎn)說明：

1.對(duì)弧長(zhǎng)公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計(jì)算，熟練配角和sin和cos的計(jì)算.

3.已知三角函數(shù)值求角問題，達(dá)到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)、特殊點(diǎn)和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習(xí)，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習(xí)題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

高二數(shù)學(xué)三角恒等變換34

第三章三角恒等變換

一、課標(biāo)要求：
本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.
三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.
1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；
2.理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；
3.運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.
二、編寫意圖與特色
1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡(jiǎn)單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識(shí)來(lái)予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；
2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來(lái)推導(dǎo)其它的公式；
3.本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會(huì)變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部?jī)?nèi)容的安排上，特別注意恰時(shí)恰點(diǎn)的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí)；
4.本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).
三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議
本章教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下：
3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式約3課時(shí)
3.2簡(jiǎn)單的恒等變換約3課時(shí)
復(fù)習(xí)約2課時(shí)

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
一、課標(biāo)要求：
本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征及作用.
二、編寫意圖與特色
本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)；
2.難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)
掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；
2.教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
1.學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)
2.教學(xué)用具：多媒體
四、教學(xué)設(shè)想：
（一）導(dǎo)入：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道，，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式
（二）探討過程：
在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來(lái)表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來(lái).）
展示多媒體動(dòng)畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索與、、、之間的關(guān)系，由此得到，認(rèn)識(shí)兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).
思考：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)證明？
提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？
2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？
展示多媒體課件
比較用幾何知識(shí)和向量知識(shí)解決問題的不同之處，體會(huì)向量方法的作用與便利之處.
思考：，，再利用兩角差的余弦公式得出
（三）例題講解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.
點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因?yàn)?，由此?br> 又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?br> 所以
點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題.
（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
（五）作業(yè)：

2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理復(fù)習(xí)三角恒等變換教案

學(xué)生們有一個(gè)生動(dòng)有趣的課堂，離不開老師辛苦準(zhǔn)備的教案，大家開始動(dòng)筆寫自己的教案課件了。用心制定好教案課件的工作計(jì)劃，才能更好地安排接下來(lái)的工作！你們會(huì)寫教案課件的范文嗎？請(qǐng)您閱讀小編輯為您編輯整理的《2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理復(fù)習(xí)三角恒等變換教案》，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

教案42三角恒等變換
一、課前檢測(cè)
1.若為第三象限角，且，則等于__________。答案：

2.函數(shù)的最大值是____________。答案：3

3.函數(shù)的值域是___________。答案：

二、知識(shí)梳理
1．基本公式
解讀：

2．二倍角切化弦公式

解讀：

3．降冪公式

解讀：

三、典型例題分析
例1．已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－β∈(0，π)
得β∈(,π)①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝α∈(0，π)
得0＜α＜∴0＜2α＜π
由tan2α＝＞0∴知0＜2α＜②
∵tan(2α－β)＝＝1
由①②知2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－
(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)

變式訓(xùn)練：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面積．
解：∵sinA＋cosA＝①
∵2sinAcosA＝－
從而cosA＜0A∈()
∴sinA－cosA＝
＝②
據(jù)①②可得sinA＝cosA＝
∴tanA＝－2－
S△ABC＝

小結(jié)與拓展：

例2．求證：＝
證明：左邊＝
＝＝右邊

變式訓(xùn)練：化簡(jiǎn)sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.
解方法一（復(fù)角→單角，從“角”入手）
原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)
=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-
=sin2sin2+cos2sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二（從“名”入手，異名化同名）
原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2
=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2cos2
=cos2-sin2cos2-cos2cos2
=cos2-cos2
=-cos2
=-cos2=.
方法三（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）
原式=+-cos2cos2
=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.

方法四（從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方）
原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2
=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2
=cos2(+)-cos(2+2)
=cos2(+)-［2cos2(+)-1］=.

小結(jié)與拓展：

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）

1.知識(shí)：

2.思想與方法：

3.易錯(cuò)點(diǎn)：

4.教學(xué)反思（不足并查漏）：