閩教版小學(xué)英語教案

2.4正態(tài)分布教案（新人教A版選修2-3）。

2．4正態(tài)分布
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：掌握正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義和作用。
過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。
教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0，1)。
教學(xué)難點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。
教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。
教學(xué)設(shè)想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。
內(nèi)容分析：
1．在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布
2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成：
，（σ＞0）
由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為
3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的
4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征
5．由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點(diǎn)研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化
6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)
教學(xué)過程：
學(xué)生探究過程：
復(fù)習(xí)引入：
總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．
它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．
觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：
式中的實(shí)數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．
講解新課：

一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足
,
則稱X的分布為正態(tài)分布（normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～.
經(jīng)驗(yàn)表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗(yàn)中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo)X是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位．
說明:1參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．
2.早在1733年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布．之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．
2．正態(tài)分布）是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布
通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響
3．通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)
4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：
（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交
（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱
（3）當(dāng)x=μ時，曲線位于最高點(diǎn)
（4）當(dāng)x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)）并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近
（5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定
σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；
σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中：
五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué)
5．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-∞＜x＜+∞）
其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題
講解范例：
例1．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ
（１）
（２）
（３）
答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率．
解：利用等式有
==0.9772＋0.8413－1=0.8151．
1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題:
對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率，
即，
其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，Φ（0）=0.5
2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”．在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即，．
若，則．
利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積．
3．非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可在這里重點(diǎn)掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化
4.小概率事件的含義
發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生
假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析
假設(shè)檢驗(yàn)方法的操作程序，即“三步曲”
一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)總體是正態(tài)總體；
二是確定一次試驗(yàn)中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；
三是作出判斷
講解范例：
例1.若x～N(0,1),求(l)P(-2.32x1.2)；(2)P(x2).
解：(1)P(-2.32x1.2)=F(1.2)-F(-2.32)
=F(1.2)-[1-F(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)P(x2)=1-P(x2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228.
例2．利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：
(1)在N(1,4)下，求
（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）
解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413
（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413
Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587
Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342
Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997
對于正態(tài)總體取值的概率：
在區(qū)間（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7%因此我們時常只在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分
例3．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率
解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明μ＝0，的最大值為＝，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
鞏固練習(xí)：書本第74頁1,2,3
課后作業(yè)：書本第75頁習(xí)題2.4A組1,2B組1,2
教學(xué)反思：
1．在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布
2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成：
，（σ＞0）
由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為
3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的
4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點(diǎn)研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化。結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)。
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2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用教案一（新人教A版選修2-3）

2．2．3獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡單的實(shí)際問題。
過程與方法：能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。
教學(xué)重點(diǎn)：理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡單的實(shí)際問題
教學(xué)難點(diǎn)：能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1事件的定義：隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；
必然事件：在一定條件下必然發(fā)生的事件；
不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件
2．隨機(jī)事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率總是接近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．
3.概率的確定方法：通過進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；
4．概率的性質(zhì)：必然事件的概率為，不可能事件的概率為，隨機(jī)事件的概率為，必然事件和不可能事件看作隨機(jī)事件的兩個極端情形
5基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果（事件）稱為一個基本事件
6．等可能性事件：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個基本事件的概率都是，這種事件叫等可能性事件
7．等可能性事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件包含個結(jié)果，那么事件的概率
8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法
9.事件的和的意義:對于事件A和事件B是可以進(jìn)行加法運(yùn)算的
10互斥事件:不可能同時發(fā)生的兩個事件．
一般地：如果事件中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件彼此互斥
11．對立事件:必然有一個發(fā)生的互斥事件．
12．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么
＝
13．相互獨(dú)立事件：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件
若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立
14．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率：
一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，
二、講解新課：
1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：
指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)
2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：
一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生次的概率．
它是展開式的第項(xiàng)
3.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P
…
…

由于恰好是二項(xiàng)展開式
中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布（binomialdistribution)，
記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．

三、講解范例：
例1．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8.求這名射手在10次射擊中，
(1)恰有8次擊中目標(biāo)的概率；
(2)至少有8次擊中目標(biāo)的概率．（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字．)
解：設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～B(10,0.8).
(1)在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為
P(X=8)＝.
(2)在10次射擊中，至少有8次擊中目標(biāo)的概率為
P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
.
例2．（2000年高考題）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布．
解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，
P()=(5%)=0.0025．
因此，次品數(shù)ξ的概率分布是
ξ012
P0.90250.0950.0025
例3．重復(fù)拋擲一枚篩子5次得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為ξ，求P(ξ3)．
解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B．
∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．
∴P(ξ3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
例4．某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）：
（1）5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；
（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率
解：（1）記“預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件．預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式，5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率
答：5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率約為0.41.
（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率，就是5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率與5次預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率的和，即
答：5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率約為0.74．
例5．某車間的5臺機(jī)床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是，求1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率是多少？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）
解：記事件＝“1小時內(nèi)，1臺機(jī)器需要人照管”，1小時內(nèi)5臺機(jī)器需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1小時內(nèi)5臺機(jī)床中沒有1臺需要工人照管的概率，
1小時內(nèi)5臺機(jī)床中恰有1臺需要工人照管的概率，
所以1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率為
答：1小時內(nèi)5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率約為．
點(diǎn)評：“至多”，“至少”問題往往考慮逆向思維法
例6．某人對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應(yīng)射擊幾次？
解：設(shè)要使至少命中1次的概率不小于0.75，應(yīng)射擊次
記事件＝“射擊一次，擊中目標(biāo)”，則．
∵射擊次相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
∴事件至少發(fā)生1次的概率為．
由題意，令，∴，∴，
∴至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應(yīng)射擊5次
例7．十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？
解：依題意，從低層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴從低層到頂層停不少于3次的概率
設(shè)從低層到頂層停次，則其概率為，
∴當(dāng)或時，最大，即最大，
答：從低層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次概率最大．
例8．實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽）．
（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率．
（2）按比賽規(guī)則甲獲勝的概率．
解：甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．
記事件=“甲打完3局才能取勝”，記事件=“甲打完4局才能取勝”，
記事件=“甲打完5局才能取勝”．
①甲打完3局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝
∴甲打完3局取勝的概率為．
②甲打完4局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第4局比賽取勝，前3局為2勝1負(fù)
∴甲打完4局才能取勝的概率為．
③甲打完5局才能取勝,相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負(fù)
∴甲打完5局才能取勝的概率為．
(2)事件＝“按比賽規(guī)則甲獲勝”，則，
又因?yàn)槭录?、、彼此互斥?br> 故．
答：按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為．
例9．一批玉米種子，其發(fā)芽率是0.8.（1）問每穴至少種幾粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于？（2）若每穴種3粒，求恰好兩粒發(fā)芽的概率．（）
解：記事件＝“種一粒種子，發(fā)芽”，則，，
（1）設(shè)每穴至少種粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于．
∵每穴種粒相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件＝“每穴至少有一粒發(fā)芽”，則
．
∴．
由題意，令，所以，兩邊取常用對數(shù)得，
．即，
∴，且，所以取．
答：每穴至少種3粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于．
（2）∵每穴種3粒相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
∴每穴種3粒，恰好兩粒發(fā)芽的概率為，
答：每穴種3粒，恰好兩粒發(fā)芽的概率為0.384

四、課堂練習(xí)：
1．每次試驗(yàn)的成功率為，重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為（）
2．10張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中，恰有一人中獎的概率為（）
3．某人有5把鑰匙，其中有兩把房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪兩把，只好逐把試開，則此人在3次內(nèi)能開房門的概率是（）
4．甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為，比賽時均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為（）
5．一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，則該射手打3發(fā)得到不少于29環(huán)的概率為．（設(shè)每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù)）
6．一名籃球運(yùn)動員投籃命中率為，在一次決賽中投10個球，則投中的球數(shù)不少于9個的概率為．
7．一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為．
8．某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺車床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為，求：（1）在任一時刻車間有3臺車床處于停車的概率；（2）至少有一臺處于停車的概率
9．種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：
⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率
10．（1）設(shè)在四次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件至少發(fā)生一次的概率為，試求在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率（2）某人向某個目標(biāo)射擊，直至擊中目標(biāo)為止，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，求在第次才擊中目標(biāo)的概率
答案：1.C2.D3.A4.A5.0.7846.0.046
7.8.（1）（2）
9.⑴；⑵；
⑶；⑷
10.(1)(2)
五、小結(jié)：1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生
2．如果1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生次的概率為對于此式可以這么理解：由于1次試驗(yàn)中事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，所以在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次，則在另外的次中沒有發(fā)生，即發(fā)生，由，所以上面的公式恰為展開式中的第項(xiàng)，可見排列組合、二項(xiàng)式定理及概率間存在著密切的聯(lián)系
六、課后作業(yè)：課本58頁練習(xí)1、2、3、4第60頁習(xí)題2.2B組2、3
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、課后記：
教學(xué)反思：
1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡單的實(shí)際問題。
2.能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算。
3.承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。

新人教A版選修2-3離散型隨機(jī)變量及其分布列教案1

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助高中教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？以下是小編為大家收集的“新人教A版選修2-3離散型隨機(jī)變量及其分布列教案1”僅供參考，希望能為您提供參考！

2．1．2離散型隨機(jī)變量的分布列
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的概率分布。
過程與方法：認(rèn)識概率分布對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)識概率分布對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性。
教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列的概念
教學(xué)難點(diǎn)：求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示
2.離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量
3．連續(xù)型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出
若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）
請同學(xué)們閱讀課本P5-6的內(nèi)容，說明什么是隨機(jī)變量的分布列？
二、講解新課：
1.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列
2.分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1．
對于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和即
3.兩點(diǎn)分布列:
例1.在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令
如果針尖向上的概率為，試寫出隨機(jī)變量X的分布列．
解：根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是（)．于是，隨機(jī)變量X的分布列是
ξ01
P

像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列．
兩點(diǎn)分布列的應(yīng)用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布列來研究．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布(two一pointdistribution)，而稱=P(X=1）為成功概率．
兩點(diǎn)分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利（Bernoulli)試驗(yàn)，所以還稱這種分布為伯努利分布．
，
，
，．
4.超幾何分布列：
例2．在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，試求：
(1)取到的次品數(shù)X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
解：(1)由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為，從100件產(chǎn)品中任取3件，
其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為，那么從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為
。
所以隨機(jī)變量X的分布列是
X0123
P

(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率
P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
≈0.13806+0.00588+0.00006
=0.14400.
一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件{X=k｝發(fā)生的概率為
,
其中，且．稱分布列
X01…

P

為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布（hypergeometriCdistribution).
例3．在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．
解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N=30,M=10,n=5．于是中獎的概率
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4）十P(X=5)
=≈0.191.
思考：如果要將這個游戲的中獎率控制在55%左右，那么應(yīng)該如何設(shè)計(jì)中獎規(guī)則？

例4.已知一批產(chǎn)品共件，其中件是次品，從中任取件，試求這件產(chǎn)品中所含次品件數(shù)的分布律。
解顯然，取得的次品數(shù)只能是不大于與最小者的非負(fù)整數(shù)，即的可能取值為：0，1，…，，由古典概型知
此時稱服從參數(shù)為的超幾何分布。
注超幾何分布的上述模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重貝努利試驗(yàn)，這時概率分布就是二項(xiàng)分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是不放回地抽樣，還是有放回地抽樣.若產(chǎn)品總數(shù)很大時，那么不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣.因此，當(dāng)時，超幾何分布的極限分布就是二項(xiàng)分布，即有如下定理.
定理如果當(dāng)時，，那么當(dāng)時（不變），則
。
由于普阿松分布又是二項(xiàng)分布的極限分布，于是有：
超幾何分布二項(xiàng)分布普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列．
分析：欲寫出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值時的概率．
解：設(shè)黃球的個數(shù)為n，由題意知
綠球個數(shù)為2n，紅球個數(shù)為4n，盒中的總數(shù)為7n．
∴，，．
所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列為
ξ10－1

說明：在寫出ξ的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為1．
例6．某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率為P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
四、課堂練習(xí)：
某一射手射擊所得環(huán)數(shù)分布列為
45678910
P0．020．040．060．090．280．290．22
求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率
解：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有：
P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88
注：求離散型隨機(jī)變量的概率分布的步驟:
（1）確定隨機(jī)變量的所有可能的值xi
（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi
（3）畫出表格
五、小結(jié)：⑴根據(jù)隨機(jī)變量的概率分步（分步列），可以求隨機(jī)事件的概率；⑵兩點(diǎn)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，它是概率論中最重要的幾種分布之一(3)離散型隨機(jī)變量的超幾何分布
六、課后作業(yè)：
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、課后記：
預(yù)習(xí)提綱：
⑴什么叫做離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望？它反映了離散型隨機(jī)變量的什么特征？
⑵離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望有什么性質(zhì)？

（新人教A版選修2-3）二項(xiàng)式定理教案

1.3二項(xiàng)式定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
2.能靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．二項(xiàng)式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：
3．求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對的限制；求有理項(xiàng)時要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性
4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和
5．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點(diǎn)（如圖）
（1）對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）．
直線是圖象的對稱軸．
（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)，取得最大值．
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：
∵，
令，則
二、講解范例：
例1．設(shè)，
當(dāng)時，求的值
解：令得：
，
∴，
點(diǎn)評：對于，令即可得各項(xiàng)系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系
例2．求證：．
證（法一）倒序相加：設(shè)①
又∵②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為
，
∴．
例3．已知：的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)
解：令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，
又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，
∴，．
（1）∵，展開式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
∴，，
（2）設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，
∴，∴，
即展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，．
例4．已知，
求證：當(dāng)為偶數(shù)時，能被整除
分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡，再把變形，化為含有因數(shù)的多項(xiàng)式
∵，
∴，∵為偶數(shù)，∴設(shè)（），
∴
（），
當(dāng)=時，顯然能被整除，
當(dāng)時，（）式能被整除，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，能被整除

三、課堂練習(xí)：
1．展開式中的系數(shù)為，各項(xiàng)系數(shù)之和為．
2．多項(xiàng)式（）的展開式中，的系數(shù)為
3．若二項(xiàng)式（）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（）
A.4B.5C.6D.8
4．某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng)（）
A.低于5％B.在5％～6％之間
C.在6％～8％之間D.在8％以上
5．在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于（）
A.0B.C.D.
6．求和：．
7．求證：當(dāng)且時，．
8．求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)
答案：1.45,02.0．提示：
3.B4.C5.D6.
7.(略)8.
四、小結(jié)：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問題，只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對條件進(jìn)行逐個節(jié)破，對于與組合數(shù)有關(guān)的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項(xiàng)式定理的逆用

五、課后作業(yè)：
1．已知展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而展開式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于，求的值
答案：
2．設(shè)
求：①②．
答案：①；②
3．求值：．
答案：
4．設(shè)，試求的展開式中：
（1）所有項(xiàng)的系數(shù)和；
（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和
答案：（1）；
（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和為；
所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為
六、板書設(shè)計(jì)（略）
七、課后記：

2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差教案一（新人教A版選修2-3）

2．3．2離散型隨機(jī)變量的方差
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。
過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。
教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
教學(xué)難點(diǎn)：比較兩個隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題
教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。
教學(xué)設(shè)想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中取值的平均值，所以又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值．今天，我們將對隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進(jìn)行研究．其實(shí)在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差.
回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，，…，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均值得差的平方分別是，，…，，那么＋＋…＋
叫做這組數(shù)據(jù)的方差
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示
2.離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量
3．連續(xù)型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出
5.分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
7.二項(xiàng)分布:ξ～B(n，p)，并記＝b(k；n，p)．
ξ01…k…n
P
…
…

8.幾何分布：g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
ξ123…k…
P
…
9.數(shù)學(xué)期望:一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱……為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
10.數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
11平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值
12.期望的一個性質(zhì):
13.若ξB（n,p），則Eξ=np
二、講解新課：
1.方差:對于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望．
2.標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．
3.方差的性質(zhì)：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p)
4.其它：
⑴隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
⑵隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；
⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛
三、講解范例：
例1．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為
ξ123456

從而

例2．有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：
甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800
獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000
獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1
根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？
解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得
EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1
=1400,
DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3
+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1
=40000;
EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,
DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.l
=160000.
因?yàn)镋X1=EX2,DX1DX2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．

例3．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ12…n
P
…

求Dξ
解：（略）,
例4．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為
1234567

P

離散型隨機(jī)變量的概率分布為
3．73．83．944．14．24．3
P

求這兩個隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差
解：；
；
；
=0.04,.
點(diǎn)評：本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出這兩個隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差
例5．甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平
解：
+（10-9）；
同理有
由上可知，，所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．
點(diǎn)評：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時就通過=0.4和=0.8來比較和的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況
例6．A、B兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：
A機(jī)床B機(jī)床
次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123
概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10
問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好
解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它們的期望相同，再比較它們的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1Dξ2故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.
四、課堂練習(xí)：
1.已知，則的值分別是（）
A．；B．；C．；D．
答案：1.D
2.一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望．
分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件．
解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3
當(dāng)ξ=0時，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=0）=
當(dāng)ξ=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=1）=
當(dāng)ξ=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=2）=
當(dāng)ξ=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξB（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算
解：因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以ξB（200，1%）因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4.設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4
分析：這是一道純數(shù)學(xué)問題．要求學(xué)生熟悉隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論
證明：因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)
5.有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度．在使用時要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好
分析：兩個隨機(jī)變量ξA和ξB都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個不同的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不一定正確，需要通過計(jì)算來證明我們猜想的正確性
解：先比較ξA與ξB的期望值，因?yàn)?br> EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因?yàn)?br> DξA=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξADξB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好
6.在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？
分析：這是同學(xué)們身邊常遇到的現(xiàn)實(shí)問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運(yùn)彩票等等．一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費(fèi)用
解：設(shè)一張彩票中獎額為隨機(jī)變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100依題
意，可得ξ的分布列為
ξ0525100
P

答：一張彩票的合理價(jià)格是0．2元．
五、小結(jié)：⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可．
⑵對于兩個隨機(jī)變量和，在和相等或很接近時，比較和
，可以確定哪個隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要
六、課后作業(yè)：P69練習(xí)1,2,3P69A組4B組1,2
1.設(shè)～B(n、p)且E=12D=4，求n、p
解：由二次分布的期望與方差性質(zhì)可知E=npD=np（1－p）
∴∴
2.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布即~B(6、)求b(2；6，)
解：p(=2)=c62()2()4
3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和，已知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
123
pA0.10.6
123
p0.3b0.3

試分析甲、乙技術(shù)狀況
解：由0.1+0.6+a+1a=0.3
0.3+0.3+b=1a=0.4
∴E=2.3,E=2.0
D=0.81,D=0.6
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：
①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；
④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可．
⑵對于兩個隨機(jī)變量和，在和相等或很接近時，比較和，可以確定哪個隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要