高中向量的教案

第二章平面向量第2課時(shí)2.2向量的加法教案。

第2課時(shí)§2.2向量的加法
【教學(xué)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
（1）理解向量加法的含義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和；
（2）掌握兩個(gè)向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算
二、過程與方法
從物體位移變化規(guī)律的探知中總結(jié)出向量加法規(guī)律
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】：：1．如何作兩向量的和向量；
2．向量加法定義的理解。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知點(diǎn)是正六邊形的中心，則下列向量組中含有相等向量的是（）
（）、、、（）、、、
（）、、、（）、、、

二、創(chuàng)設(shè)情景
利用向量的表示，從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A的位移為OA，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的位移為AB，那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之間有何關(guān)系？
三、講解新課：
1．向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：
作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（如圖（2）），作，，則.

（1）（2）
2．向量加法的法則：
（1）三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：．
（2）平行四邊形法則：以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。
3．向量的運(yùn)算律：
交換律：．
結(jié)合律：．
說明：多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行：
例如：；．
四、例題分析：
例1、如圖，一艘船從點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，求船實(shí)際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。

例2、已知矩形中，寬為，長(zhǎng)為，，，，
試作出向量，并求出其模的大小。
例3、一架飛機(jī)向北飛行千米后，改變航向向東飛行千米，
則飛行的路程為400千米；兩次位移的和的方向?yàn)楸逼珫|，
大小為千米．

例4、在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地度過長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？

變式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影響，渡船的實(shí)際航向如何？

例5、已知兩個(gè)力，的夾角是直角，且知它們的合力與的夾角是，
牛，求和的大小

五、課時(shí)小結(jié)：
1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；
2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則
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延伸閱讀

第二章平面向量

第二章平面向量
本章內(nèi)容介紹
向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.
向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題.
本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念.（讓學(xué)生對(duì)整章有個(gè)初步的、全面的了解.）

第1課時(shí)
§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念
教學(xué)目標(biāo)：
1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.
2.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
3.通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.
教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.
學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.
教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)思路：

一、情景設(shè)置：
如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.
分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實(shí)際上都是有方向、有長(zhǎng)短的量.
引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
二、新課學(xué)習(xí)：
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量
（二）請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）
1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？
2、如何表示向量？
3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？
4、長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量？
5、滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？
6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？
7、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O，這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？
（三）探究學(xué)習(xí)
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；
④向量的大小――長(zhǎng)度稱為向量的模，記作||.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.
注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定義：
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).
7、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
（四）理解和鞏固：
例1書本86頁例1.
例2判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）
例3下列命題正確的是（）?
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線?
B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)?
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量?
D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.
例4如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量.
變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）
變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量共線的向量有哪些？（）
課堂練習(xí)：
1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.?
①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；?
②單位向量都相等；?
③任一向量與它的相反向量不相等；?
④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝
⑤一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；?
⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.
2．書本88頁練習(xí)
三、小結(jié)：
1、描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向.
2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比.
3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn).

第二章平面向量第1課時(shí)2.1向量的概念及表示教案

第1課時(shí)§2.1向量的概念及表示
【教學(xué)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（長(zhǎng)度、方向），能正確地表示向量；
2．注意向量的特點(diǎn)：可以平行移動(dòng)（長(zhǎng)度、方向確定，起點(diǎn)不確定）；
3．理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念。
二、過程與方法
（1）從對(duì)不同問題的思考中感受什么是向量。
（2）通過師生互動(dòng)、交流與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探求新知識(shí)的學(xué)習(xí)品質(zhì).
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
（1）通過向量包含大小和方向，概念的學(xué)習(xí)感知數(shù)學(xué)美。
（2）向量的方向包含正反兩方面，正反關(guān)系的對(duì)照培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義思維
【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】：1．向量、相等向量、共線向量等概念；
2．向量的幾何表示
【教學(xué)過程】
一、問題情境：
問題1、湖面上有3個(gè)景點(diǎn)O，A，B，如圖所示.一游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A，半小時(shí)后，游艇再將游客送至景點(diǎn)B，從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A有一個(gè)位移，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B也有一個(gè)位移.位移與距離這兩個(gè)量有什么不同？

問題2、下列物理量中，那些量分別與位移和距離這兩個(gè)量類似：
（1）物體在重力作用下發(fā)生位移，重力所做的功；
（2）物體所受重力；
（3）物體的質(zhì)量為a千克；
（4）1月1日的4級(jí)偏南風(fēng)的風(fēng)速。
問題3、上述的物理量中有什么區(qū)別嗎？
二、新課講解：
（一）概念辨析：
（1）向量的定義：

（2）向量的表示：

（3）向量的大小及表示
（4）零向量：

（5）單位向量：

（二）向量的關(guān)系：
問題4：在平行四邊形ABCD中，向量與，與有什么關(guān)系？
（1）平行向量

（2）相等向量

（3）相反向量

說明：（1）規(guī)定：零向量與任一向量平行，記作；
（2）零向量與零向量相等，記作；
（3）任意二個(gè)非零相等向量可用同一條有向線段表示，與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。
問題5：1.向量能否平移？

2.要確定一個(gè)向量必須確定什么？要確定一個(gè)有向線段必須確定什么？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？

二、例題分析：
例1、已知O為正六邊形ABCDEF的中心，如圖，所標(biāo)出的向量中：
（1）試找出與FE共線的向量；
（2）確定與FE相等的向量；
（3）OA與BC向量相等么？
例2、判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？
（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？

例3、如圖，在4×5的方格紙中有一個(gè)向量AB，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與AB相等的向量有多少個(gè)？與AB長(zhǎng)度相等的共線向量有多少個(gè)？（AB除外）
課時(shí)小結(jié)：
（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有兩個(gè)要素：方向和長(zhǎng)度，稱為自由向量；有向線段具有三個(gè)要素：起點(diǎn)，方向和長(zhǎng)度；
（2）數(shù)量（標(biāo)量）與向量的區(qū)別與聯(lián)系：向量不同于數(shù)量。數(shù)量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模可以比較大?。挥浱?hào)“”是沒有意義的，而||＞||才有意義。

第二章平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)人教版

必修4第二章平面向量
內(nèi)容：《平面向量》
課型：新授課

第二部分教學(xué)設(shè)計(jì)
2.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算
授課人：蘇仕劍
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
2、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；
3、掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；
4、了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。
【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，記作；長(zhǎng)度為______的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
規(guī)定：與______向量平行；長(zhǎng)度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。
3、向量減法
向量加上的相反向量叫做與的差，記作_________________________，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。
4、實(shí)數(shù)與向量的積
實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關(guān)。
5、兩向量共線的充要條件
向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得__________。
【典型例題】

例1在四邊形ABCD中，等于（）
A、B、C、D、
例2若平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且，，則、表示向量為（）
A、+B、—C、—+D、——
例3設(shè)、是兩個(gè)不共線的向量，則向量與向量共線的充要條件是（）
A、0B、C、1D、2
例4下列命題中：
（1）=，=則=
（2）||=||是=的必要不充分條件
（3）=的充要條件是
（4）=（）的充要條件是=
其中真命題的有__________________。
例5如圖5-1-1，以向量，
為邊作平行四邊形AOBD，又，
，用、表示、和。
圖5-1-1
【課堂練習(xí)】
1、（）
A、B、C、D、
2、“兩向量相等”是“兩向量共線”的（）
A、充分不必要條件B、必要不充分條件
C、充要條件D、既不充分也不必要條件
3、已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等于（）
A、
B、
C、
D、
4、若||=1，||=2，=且，則向量與的夾角為（）
A、300B、600C、1200D、1500
【課堂反思】

2.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
授課人：陳銀輝
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、知識(shí)與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
2、能力目標(biāo)：會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；
3、情感目標(biāo)：通過對(duì)平面向量的基本定理來理解坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)從圖形到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程，鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。
【學(xué)習(xí)過程】
1、平面向量基本定理
如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使，其中不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組。
2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸正方向相同的兩個(gè)向量、作為基底，對(duì)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使得，則實(shí)數(shù)對(duì)（，）叫做向量的直角坐標(biāo)，記作=，其中、分別叫做在軸、軸上的坐標(biāo)，叫做向量的表示。相等向量其坐標(biāo)，坐標(biāo)相同的向量是向量。
3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）若=，=，則=
（2）若A，B，則
（3）若=（，），則
4、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若=，=，則//的充要條件是
5、若，其中，則有：
；
。
【典型例題】
例1設(shè)、分別為與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，若則向量的坐標(biāo)是（）
A、（2，3）B、（3，2）C、（—2，—3）D、（—3，—2）
例2已知向量，且//則等于()
A、B、—C、D、—
分析同共線向量的充要條件易得答案。
例3若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()
A、與—B、3與2C、+與—D、與2
例4已知當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，+2與2—4平行？

【課堂練習(xí)】
1、已知=（1，2），=（—2，3）若且
則____________,_________________。
2、已知點(diǎn)A（，1）、B（0，0）、C（，0），設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有其中等于()
A、2B、C、—3D、
3、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A若點(diǎn)C滿足，其中、且+則點(diǎn)C的軌跡方程為()
A、B、
C、D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。
【課堂反思】

2.3平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算
授課人：曾俊杰
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：
（1）理解向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；
（2）理解一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義；
（3）掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律；
（4）理解兩個(gè)向量的夾角定義；
2．過程與方法：
（1）能用投影的定義求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影；
（2）能區(qū)別數(shù)乘向量與向量的數(shù)量積；
（3）掌握兩向量垂直、平行和反向時(shí)的數(shù)量積；
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
（1）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想理解向量的數(shù)量積及它的幾何意義；
（2）使學(xué)生體會(huì)周圍事物周期變化的奧秘，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；
（3）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
【學(xué)習(xí)過程】
1、請(qǐng)寫出平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式：
（1）若=，=，則=
（2）若A，B，則
（3）若=（，），則
2、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若=，=，則//的充要條件是

3、兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量與，作＝，＝，則_________________________叫與的夾角.
4、我們知道，如果一個(gè)物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W=

5、數(shù)量積的概念：
（1）兩個(gè)非零向量、，過O作=，=，則∠AOB叫做向量與的夾角，顯然，夾角
（2）若與的夾角為90，則稱與垂直，記作⊥
（3）、是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。
即=||||cos
規(guī)定=0，顯然，數(shù)量積的公式與物理學(xué)中力所做功的運(yùn)算密切相關(guān)。
特別提醒：
（1）（０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，
1)=0
2)當(dāng)與同向時(shí)，=||||；當(dāng)與反向時(shí)，=||||
特別的=||2或.
3)cos=；
4)||≤||||

6、“投影”的概念：如圖
定義：____________叫做向量b在a方向上的投影
特別提醒：
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|

3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
交換律：=______
數(shù)乘結(jié)合律：=_________=__________
分配律：=_____________

【典型例題】
例1邊長(zhǎng)為的正三角形ABC中，設(shè)，，則
=

例2已知△ABC中，，，，ABC的面積，且||=3，||=5，則與的夾角為
例3已知=（1，2），=（6，—8）則在上的投影為

【課堂練習(xí)】
1、已知、均為單位向量，它們的夾角為那么=

2、已知單位向量與的夾角為，且，，求及與的夾角。
3、若，，且向量與垂直，則一定有()
A、B、C、D、且
4、設(shè)是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題
①
②
③不與垂直
④
其中正確的有（）
A、①②B、②③C、③④D、②④
5、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足，則
的值等于__________
【課后反思】

2.4平面向量的應(yīng)用
授課人：劉曉聰
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力
2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)物理中的問題進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算，并在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力
二、過程與方法
1.通過例題，研究利用向量知識(shí)解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”等問題
2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用向量知識(shí)處理平面幾何問題、力學(xué)問題與其它一些實(shí)際問題是一種行之有效的工具；和同學(xué)一起總結(jié)方法，鞏固強(qiáng)化.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
1.以學(xué)生為主體，通過問題和情境的設(shè)置，充分調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.
2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)用向量研究幾何以及其它學(xué)科有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)；提高學(xué)生遷移知識(shí)的能力、運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.

【學(xué)習(xí)過程】
請(qǐng)認(rèn)真思考后，回答下列問題：
1、判斷：
（1）若四點(diǎn)共線，則向量（）
（2）若向量，則四點(diǎn)共線（）
（3）若，則向量（）
（4）只要向量滿足，就有（）
2、提問：
（1）兩個(gè)非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達(dá)形式）

（2）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達(dá)形式）

【典型例題】
例1已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC長(zhǎng)．

變式已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D在線段BC
上，且BD=2DC求AD長(zhǎng)．

例２如圖，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN．
【課堂練習(xí)】
⊿ABC中，AD，BE是中線，AD，BE相交于點(diǎn)G
（1）求證：AG=2GD
（2）若F為AB中點(diǎn)，求證G、F、C三點(diǎn)共線．

第二章2.32．3.1平面向量基本定理講義

2．3.1平面向量基本定理
預(yù)習(xí)課本P93～94，思考并完成以下問題
(1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？
(2)如何定義平面向量基底？
(3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？

[新知初探]
1．平面向量基本定理
條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量
結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
[點(diǎn)睛]對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底．
2．向量的夾角
條件兩個(gè)非零向量a和b
產(chǎn)生過程
作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角

范圍0°≤θ≤180°
特殊情況θ＝0°a與b同向
θ＝90°a與b垂直，記作a⊥b
θ＝180°a與b反向

[點(diǎn)睛]當(dāng)a與b共線同向時(shí)，夾角θ為0°，共線反向時(shí)，夾角θ為180°，所以兩個(gè)向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底．()
(2)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()
(3)零向量不可以作為基底中的向量．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案：B
3．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()
A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______．
答案：135°

用基底表示向量

[典例]如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，.
[解]法一：由題意知，＝＝12＝12a，＝＝12＝12b.
所以＝＋＝－＝12a－12b，
＝＋＝12a＋12b，
法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，
又＋＝，－＝，則x＋y＝a，y－x＝b，
所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，
即＝12a－12b，＝12a＋12b.
用基底表示向量的方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活學(xué)活用]
如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴＝13＝13b.
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴＝＝12＝16b.
∵＝12，∴＝12b，
∴＝＋＋
＝－16b－a＋12b＝13b－a，
＝＋＝－16b＋13b－a＝16b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－16b－a＋12b
＝a－23b.

向量夾角的簡(jiǎn)單求解
[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b.
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.

求兩個(gè)向量夾角的方法
求兩個(gè)向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角．過程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”．

[活學(xué)活用]
如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角．
解：(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則＝，
∴∠DBC為向量與的夾角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量與的夾角為120°.
(2)∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
∴與的夾角為90°.
平面向量基本定理的應(yīng)用
[典例]如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN.
[解]設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.
∴＝45，＝35，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝25，
＝＋＝＋25＝b＋25(－)
＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
2．[變條件]若本例中的點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.
解：如圖，設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.
∴＝23，＝23，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：選D如圖，與的夾角為∠ABC＝150°.
2．設(shè)點(diǎn)O是?ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()
①與；②與；③與；④與.
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：選B尋找不共線的向量組即可，在?ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底．
3．若AD是△ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝()
A．12(a－b)B．12(a＋b)
C．12(b－a)D．12b＋a
解析：選B如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝，即－＝－，從而＝12(＋)＝12(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝e1，＝e2，則＝()
A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)
解析：選A因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，＝e1，＝e2，所以＝12(＋)＝12(e1＋e2)，故選A.
5．(全國Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則()
A．＝－13＋43
B．＝13－43
C．＝43＋13
D．＝43－13
解析：選A由題意得＝＋＝＋13＝＋13－13＝－13＋43.
6．已知向量a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______．
解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，a＝k2e1＋1－5k2e2與b＝2e1＋3e2共線，則實(shí)數(shù)k＝______.
解析：由題設(shè)，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或13.
答案：－2或13
8．如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基底時(shí)，可表示為______，在以a，c為基底時(shí)，可表示為______．
解析：以a，c為基底時(shí)，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得．
答案：a＋b2a＋c
9.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且＝13，＝13，＝13，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來．
解：＝－
＝13－23＝13a－23b，
＝－＝－13－23＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
＝－＝－(＋)＝13(a＋b)．
10．證明：三角形的三條中線共點(diǎn)．
證明：如圖所示，設(shè)AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a.
設(shè)G在AD上，且AGAD＝23，則有＝＋＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
＝－＝12b－a.
∴＝－＝23－
＝13(a＋b)－a＝13b－23a
＝2312b－a＝23.
∴G在BE上，同理可證＝23，即G在CF上．
故AD，BE，CF三線交于同一點(diǎn)．
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，設(shè)＝a，＝b，則可用基底a，b表示為()
A．12(a＋b)B．23a＋13b
C．13a＋23bD．13(a＋b)
解析：選C∵＝2，∴＝23.
∴＝＋＝＋23＝＋23(－)＝13＋23＝13a＋23b.
2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝()
A．43a＋23bB．23a＋43b
C．23a－23bD．－23a＋23b
解析：選B設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F，則＝13a，＝23b.所以＝＋＝23b＋13a，所以＝2＝23a＋43b.
3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()
A．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0
B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R
D．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì)
解析：選BA中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對(duì)．
4．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是()
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
解析：選A由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.
5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b
＝23a＋－13b.
答案：23－13
6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________．
解析：由題意可畫出圖形，
在△OAB中，
因?yàn)椤螼AB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a與c的夾角為90°.
答案：90°
7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得λ＝1，3λ＝－2λ＝1，λ＝－23.
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分別為3和1.
8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：＝34＋14.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比．
(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如圖，由＝34＋14可知M，B，C三點(diǎn)共線，
令＝λ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λλ＝14，所以S△ABMS△ABC＝14，即面積之比為1∶4.
(2)由＝x＋y＝x＋y2，＝x4＋y，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線x＋y2＝1，x4＋y＝1x＝47，y＝67.