高中向量的教案

高中數(shù)學(xué)必修四2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念導(dǎo)學(xué)案。

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念
編審：周彥魏國(guó)慶

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念，掌握向量的幾何表示，學(xué)會(huì)用字母表示向量；
2.理解向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念.
【新知自學(xué)】
新知梳理
1.向量的概念：我們把既有又有的量叫向量.
2、叫做有向線段.以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作.有向線段包括三個(gè)要素:、、.
3、向量的表示方法有兩種，即或
4、向量的大小，也就是向量的（或模），記作.長(zhǎng)度為0的向量叫做；長(zhǎng)度為1的向量叫做.
5、的向量叫做平行向量.向量與向量平行，通常記作.規(guī)定零向量與向量平行.
6、的向量叫做相等向量，若向量與向量相等，記作
7、共線向量與相等向量的關(guān)系是
思考感悟
1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？

2、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

3、共線向量用有向線段表示時(shí)必須在同一直線上嗎？

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1.判斷正誤：
（1）不相等的向量一定不平行.
（2）平行向量一定方向相同.
（3）共線向量一定在同一直線上.
2.填空：
（1）與零向量相等的向量必定是________向量
（2）與任意向量都平行的向量是_________向量
（3）兩個(gè)非零向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)__________
（4）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是_______向量

3．給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是()
A.①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C.①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量

4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
A.向量與的長(zhǎng)度相同
B.單位向量的長(zhǎng)度都相等
C.向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)
D.非零向量與是平行向量，則直線與直線平行

【合作探究】
典例精析：
例1．如圖，設(shè)是正六邊形的中心，
分別寫(xiě)出圖中與向量、、相等的向量.

變式練習(xí)1：例1中，與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？

變式練習(xí)2：例1中，是否存在與向量、、長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？

例2..如圖，D、E、F分別是ΔABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，寫(xiě)出以A、B、C、D、E、F這六個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與平行的所有向量.

變式練習(xí)3：例2中，與向量共線的向量有哪些？

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.關(guān)于零向量，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()
A.零向量是沒(méi)有方向的
B.零向量的長(zhǎng)度是0
C.零向量與任一向量平行
D.零向量的方向是任意的

2.若向量與任意向量都平行，則=___；若||=1,則向量是.

3.把平面上一切單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是.

4.把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_______.

5.如圖，ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,則在以A、B、C、D、O這五個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與和都不平行的向量有哪些？

【課時(shí)作業(yè)】
1.給出下列命題：
①向量的大小是實(shí)數(shù)②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向線段表示④單位向量都相等正確的有.

2.給出下列命題：①若||=0,則=0；②若是單位向量，則||=1；③與不平行，則與都是非零向量.④如果//,//,那么//其中真命題是
(填序號(hào))

3.下列各組中的兩個(gè)量是不是向量？如果是向量，說(shuō)明它們是不是平行向量.
(1)兩個(gè)平面圖形各自的面積.

(2)停放在廣場(chǎng)上的兩輛小汽車(chē)各自受到的重力.

(3)小船駛向河對(duì)岸的速度與水流速度.

(4)浮在水面的物體受到的重力與與浮力.

4.如圖所示，已知矩形，對(duì)角線上向量與的關(guān)系是

5.如圖所示，四邊形ABCD和BCED都是平行四邊形,
（1）寫(xiě)出與BC→相等的向量：_______.
（2）寫(xiě)出與BC→共線的向量：_______.
*（3）寫(xiě)出與的模相等的向量:

*6.如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，寫(xiě)出與向量的模相等的所有向量.
*7.某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，向西偏北的方向走450m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走200m到達(dá)D點(diǎn).
（1）做出向量(1cm表示200米)；
（2）求的模.

【延伸探究】
在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M、N分別是AB和CD的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、M、N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，回答下列問(wèn)題：
（1）與向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（2）與向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（3）在模為的向量中，相等的向量有幾對(duì)？
（4）在模為1的向量中，相等的向量有幾對(duì)？

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第二章2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念講義

平面向量的實(shí)際背景及基本概念

預(yù)習(xí)課本P74～76，思考并完成以下問(wèn)題
(1)向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？
(2)怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？
(3)兩個(gè)向量(向量的模)能否比較大??？
(4)如何判斷相等向量或共線向量？向量與向量是相等向量嗎？
(5)零向量與單位向量有什么特殊性？0與0的含義有什么區(qū)別？

[新知初探]
1．向量的概念和表示方法
(1)概念：既有大小，又有方向的量稱為向量．
(2)向量的表示：
表示法
幾何表示：用有向線段來(lái)表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)字母表示，如，…

字母表示：用小寫(xiě)字母a，b，c，…表示，手寫(xiě)時(shí)必須加箭頭
[點(diǎn)睛]向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段．向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段．
2．向量的長(zhǎng)度(或稱模)與特殊向量
(1)向量的長(zhǎng)度定義：向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度．
(2)向量的長(zhǎng)度表示：向量，a的長(zhǎng)度分別記作：||，|a|.
(3)特殊向量：
①長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0；
②長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量．
[點(diǎn)睛]定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．
3．向量間的關(guān)系
(1)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，記作：a＝b.
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作a∥b；規(guī)定零向量與任一向量平行．
[點(diǎn)睛]共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)向量能比較大?。?)
(2)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)．()
(3)單位向量的模都相等．()
(4)向量與向量是相等向量．()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速．
其中可以看成是向量的個(gè)數(shù)()
A．1B．2C．3D．4
答案：B
3．已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是()
A．也可以用表示B．方向是由M指向N
C．始點(diǎn)是MD．終點(diǎn)是M
答案：D
4.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與相等的向量有______．
答案：，
向量的有關(guān)概念
[典例]有下列說(shuō)法：①向量和向量長(zhǎng)度相等；②方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量是有向線段；④向量0＝0，其中正確的序號(hào)為_(kāi)_______．
[解析]對(duì)于①，||＝||＝AB，故①正確；
對(duì)于②，平行向量包括方向相同或相反兩種情況，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，向量可以用有向線段表示，但不能把二者等同起來(lái)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，0是一個(gè)向量，而0是一個(gè)數(shù)量，故④錯(cuò)誤．
[答案]①
(1)判斷一個(gè)量是否為向量應(yīng)從兩個(gè)方面入手
①是否有大??；②是否有方向．
(2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

[活學(xué)活用]
有下列說(shuō)法：
①若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；
②若向量，滿足||＞||，且與同向，則＞；
③若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行．
其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：選A對(duì)于①，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向一定不相同，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由|a|＝|b|，只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等，確定不了它們的方向，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，故④錯(cuò)誤．
向量的表示

[典例]在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：
①，使||＝42，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
②，使||＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
③，使||＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
[解](1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝42，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．
(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且||＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．
(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且||＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．
用有向線段表示向量的方法
用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)．
必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)求出向量的方向(即夾角)或長(zhǎng)度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量．
[活學(xué)活用]
一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，向北偏西40°方向行駛了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)D點(diǎn)．作出向量，，，.
解：如圖所示．
共線向量或相等向量

[典例]如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)與a共線的向量有哪些？
(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．
[解](1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)與a共線的向量有，，，，，，，，.
(3)與a相等的向量有，，；與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試寫(xiě)出與向量相等的向量．
解：與向量相等的向量有，，.
2．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？
解：由正六邊形性質(zhì)知，△FOA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF＝|a|＝1.
尋找共線向量或相等向量的方法
(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列說(shuō)法正確的是()
A．向量∥就是所在的直線平行于所在的直線
B．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，則a＝c
D．共線向量是在一條直線上的向量
解析：選C向量∥包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯(cuò)；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故B錯(cuò)；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò)．
2.如圖，在圓O中，向量，，是()
A．有相同起點(diǎn)的向量
B．共線向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：選C由圖可知，，是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.
3．向量與向量共線，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的為()
A．向量與向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共線
C．向量與向量一定相等
D．以上說(shuō)法都不正確
解析：選B根據(jù)共線向量定義，可知，，這三個(gè)向量一定為共線向量，故選B.
4.如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與平行的向量有()
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
解析：選C根據(jù)向量的基本概念可知與平行的向量有，，，共3個(gè)．
5．已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，，分別是與a，b同方向的單位向量，則下列各式正確的是()
A．＝B．＝或＝－
C．＝1D．||＝||
解析：選D由于a與b的方向不知，故與無(wú)法判斷是否相等，故A、B選項(xiàng)均錯(cuò)．又與均為單位向量．∴||＝||，故C錯(cuò)D對(duì)．
6．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，則||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以||＝3.
答案：3
7．設(shè)a0，b0是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因?yàn)閍0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
8．給出下列四個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的條件是________(填序號(hào))．
解析：若a＝b，則a與b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；零向量與任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，則a∥b.
答案：①③④
9.如圖，O是正方形ABCD的中心．
(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；
(2)寫(xiě)出與的模相等的向量．
解：(1)與向量相等的向量是.
(2)與的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一輛消防車(chē)從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達(dá)B地．
(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出，，，.
(2)求B地相對(duì)于A地的位移．
解：(1)向量，，，如圖所示．
(2)由題意知＝.
所以AD綊BC，
則四邊形ABCD為平行四邊形．
所以＝，則B地相對(duì)于A地的位移為“在北偏東60°的方向距A地6千米”．
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.如圖所示，梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式成立的是()
A．＝B．＝
C．＝D．＝
解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得：
A中，與方向不同，故＝錯(cuò)誤；
B中，與方向不同，故＝錯(cuò)誤；
C中，與方向相反，故＝錯(cuò)誤；
D中，與方向相同，且長(zhǎng)度都等于線段EF長(zhǎng)度的一半，故＝正確．
2．下列說(shuō)法正確的是()
A．若a∥b，b∥c，則a∥c
B．終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線
C．若a≠b，則a一定不與b共線
D．單位向量的長(zhǎng)度為1
解析：選DA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行．B中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，對(duì)于兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，但方向相同或相反，所以a與b可能共線．
3．若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：
①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.
其中正確的是()
A．①④B．③
C．③④D．②③
解析：選Ba為任一非零向量，所以|a|＞0，故③正確；由向量、單位向量、平行向量的概念易判斷其他式子均錯(cuò)誤．故選B.
4．在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中相等向量有()

A．一組B．二組
C．三組D．四組
解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.
5．四邊形ABCD滿足＝，且||＝||，則四邊形ABCD是______(填四邊形ABCD的形狀)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又||＝||知該平行四邊形對(duì)角線相等，故四邊形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量相等的向量為_(kāi)_______；與向量共線的向量為_(kāi)_________；與向量的模相等的向量為_(kāi)_______．(填圖中所畫(huà)出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，∴與相等的向量為；與共線的向量為，；與的模相等的向量為，，，，.
答案：，，，，，
7．如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出圖中所示向量與向量長(zhǎng)度相等的向量．
(2)寫(xiě)出圖中所示向量與向量相等的向量．
(3)分別寫(xiě)出圖中所示向量與向量，共線的向量．
解：(1)與長(zhǎng)度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)與相等的向量是，.
(3)與共線的向量是，，；
與共線的向量是，，.
8．如圖，已知函數(shù)y＝x的圖象l與直線m平行，A0，－22，B(x，y)是m上的點(diǎn)．求
(1)x，y為何值時(shí)，＝0；
(2)x，y為何值時(shí)，為單位向量．
解：(1)要使＝0，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，于是x＝0，y＝－22.
(2)如圖，要使得是單位向量，必須且只需||＝1.
由已知，l∥m且點(diǎn)A的坐標(biāo)是0，－22，
所以B1點(diǎn)的坐標(biāo)是22，0.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝222＋222＝1，
即||＝1.
上式表示，向量是單位向量．
同理可得，當(dāng)B2的坐標(biāo)是－22，－2時(shí)，向量AB2―→也是單位向量．
綜上有，當(dāng)x＝22，y＝0或x＝－22，y＝－2時(shí)，向量是單位向量．

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.1平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1平面向量基本定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法；
3.能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)選取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).

【新知自學(xué)】
知識(shí)回顧：
1、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)，記作；規(guī)定：
（1）|λ|=
（2）λ0時(shí)，λ與方向；
λ0時(shí)，λ與方向；
λ=0時(shí)，λ=
2．運(yùn)算定律：
結(jié)合律：λ(μ)=；
分配律：(λ+μ)=，
λ(+)=

3.向量共線定理：向量與非零向量共線，則有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ.

新知梳理：
1．給定平面內(nèi)兩個(gè)向量，，請(qǐng)你作出向量3+2，-2，

2.由上，同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使
不共線的向量，叫做這一平面內(nèi)表示所有向量的一組基底。
思考感悟：
(1)基底不惟一，關(guān)鍵是；不同基底下，一個(gè)向量可有不同形式表示；
(2)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù).

3.向量的夾角:平面中的任意兩個(gè)向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？

已知兩個(gè)非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角。

當(dāng)=，、同向；
當(dāng)=，、反向；統(tǒng)稱為向量平行，記作
如果=，與垂直，記作⊥。

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1.設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共線，則+與＝6-2的關(guān)系（）
A.不共線B.共線
C.相等D.無(wú)法確定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一組基底，且＝λ1+λ2，則與，
與．(填共線或不共線).

【合作探究】
典例精析：
例1：已知向量，求作向量2.5+3

變式1：已知向量、(如圖),求作向量：
（1）+2.?（2）-+3

例2:如圖，，不共線，且
，用，來(lái)表示

變式2：已知G為△ABC的重心,設(shè)=,=,試用、表示向量.

【課堂小結(jié)】
知識(shí)、方法、思想

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,其中所列述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,有如下四個(gè)命題：
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量和,總存在實(shí)數(shù)和,使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使;
④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;
上述命題中的則真命題的個(gè)數(shù)是()（）
A．1B．2C．3D

2.如圖，正六邊形ABCDEF中，=
A．B．C．D．

3.在中，，，，為的中點(diǎn)，則____________.（用表示）

【課時(shí)作業(yè)】
1、若、不共線，且λ+μ=（λ、μ），則（）
A．=,=B．=0,=0
C．=0,=D．=,=0
2．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE與AC相交于點(diǎn)E，M是BC的中點(diǎn)，AM與DE相交于點(diǎn)N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，則x＋y等于()
A．1B.12C.14D.18

3．在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M為BC的中點(diǎn)，則MN→＝________.(用a，b表示)．

4.如圖ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且=，=，用，表示，，和

5.設(shè)與是兩個(gè)不共線向量,=3+4,=-2+5,若實(shí)數(shù)λ、μ滿足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如圖，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一點(diǎn)，若AP→＝mAB→＋211AC→，求實(shí)數(shù)m的值．

7.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，設(shè)Q為CP延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn)，令CP→＝p，用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證：+++=4

高中數(shù)學(xué)必修四2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
2．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的線性運(yùn)算；會(huì)用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

【知識(shí)重溫】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)______向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使＝__________.向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2．平面向量的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸______的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得＝__________，則有序數(shù)對(duì)(x、y)叫做向量的坐標(biāo)，記作__________，其中x，y分別叫做在x軸、y軸上的坐標(biāo)，＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，則
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，故基底的選取是不唯一。
平面內(nèi)任意向量都可被這個(gè)平面的一組基底，線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．

2．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，則12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋與4－2平行，則實(shí)數(shù)x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(＋λ)∥，則λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各組向量中，能作為基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自學(xué)探究】
考點(diǎn)一平面向量基本定理
例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝，＝，試用，表示，.

規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．解題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．

變式1：如圖，在△ABC中，＝13，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋211，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________．

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求滿足＝m＋n的實(shí)數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．

規(guī)律總結(jié)：若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用．
變式2在ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示
例3、平面內(nèi)給定三個(gè)向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列問(wèn)題：
(1)若(＋k)∥(2－)，求實(shí)數(shù)k；
(2)設(shè)＝(x，y)滿足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
規(guī)律總結(jié)：用坐標(biāo)來(lái)表示向量平行，實(shí)際上是一種解析幾何(或數(shù)形結(jié)合)的思想，其實(shí)質(zhì)是用代數(shù)(主要是方程)計(jì)算來(lái)代替幾何證明，這樣就把抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化為了計(jì)算．
變式3、
(1)(2013陜西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，則實(shí)數(shù)m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_________．

【課堂小結(jié)】
1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．
2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理．
3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
4．要注意區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有可能。
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，則2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭陽(yáng)二模)已知點(diǎn)A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015許昌模擬)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知兩點(diǎn)在直線AB上，求一點(diǎn)P是。

【課時(shí)作業(yè)】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）與相等，已知A（1，2）和B（3，2），則x的值為()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，7），（－3，5），（3，4），則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點(diǎn)P在P1P2的延長(zhǎng)線上,,則P點(diǎn)坐標(biāo)為()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3,1），B（－1,3），若點(diǎn)C滿足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知點(diǎn)A（－1，5），若向量與向量＝（2，3）同向，且＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________

6、平面上三個(gè)點(diǎn)，分別為A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D為線段BC的中點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)______________

7、已知點(diǎn)A（－1，2），B（2，8）及，，求點(diǎn)C、D和的坐標(biāo)。

8、已知平行四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（－2，1），一組對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)分別為M（3，0）、N（－1，－2），求平行四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。
【延伸探究】
如圖，中AD是三角形BC邊上的中線且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念；掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

【新知自學(xué)】
知識(shí)回顧：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=______________
(1)不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組；
(2)由定理可將任一向量在給出基底，的條件下進(jìn)行分解；分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的實(shí)數(shù)對(duì)；
2.向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=，、同向，當(dāng)=，
、反向，當(dāng)=，與垂直，記作⊥。
3．向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，取=(1,0)，=(0,1)作為一組基底,設(shè)=x+y，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)。
新知梳理：
1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知：=(),=()，我們考慮如何得出、、的坐標(biāo)。
設(shè)基底為、，
則=
=
即=，
同理可得=
結(jié)論：(1)若=(),=()，
則，
即：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于.
（2）若=(x,y)和實(shí)數(shù)，則.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

思考感悟：
已知，，怎樣來(lái)求的坐標(biāo)？
若，，==
則=
結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1.設(shè)向量，坐標(biāo)分別是（-1，2），（3，-5）則+=__________，
-=________，3=_______，2+5=___________
2.如右圖所示，平面向量的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.

3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則2=.

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).

變式1：已知，求：
（1）
（2）
（3）

例2：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

*變式2：設(shè)，，,用表示

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、設(shè)則=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，則=（）
A．（-8，1）B．
C．（-16,2）D．(8,-1)
3、若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，向量=，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）
A．
B．
C．
D．
4、已知
則=（）
A．（6，-2）B．（5，0）
C．（-5，0）D．（0，5）

【課時(shí)作業(yè)】
1．如圖，已知，，
點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則（）
A.B.
C.D.

2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)

*3．已知
，
則

*4.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP→＝2PC→，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，則BC→＝________.

5.已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

6.已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,2)，以，為基底，試將分解為的形式．

7.已知三個(gè)力=(3，4)，=(2，5)，=(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).

8.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

9.已知點(diǎn)，若，
（1）試求為何值時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的交平分線上？
（2）試求為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限？

【延伸探究】
已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，試問(wèn)：
(1)t為何值時(shí)，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．