高中向量的教案

發(fā)表時間：2020-02-19

向量的數(shù)乘。

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是小編幫大家編輯的《向量的數(shù)乘》，但愿對您的學習工作帶來幫助。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）
班級：姓名：學號：第學習小組
【學習目標】
1、理解兩個向量共線的含義，并掌握向量共線定理；
2、能運用實數(shù)與向量的積解決有關(guān)問題。
【課前預(yù)習】
1、填空：
（1）；
（2）當時，與方向；當時，與方向；
當時，=；當時，=。
（3）；；。
（4）若向量與方向相反，且，則與的關(guān)系是。
（5）設(shè)是已知向量，若，則。
2、如圖，，分別是的邊、的中點，求證：與共線，
并將用線性表示。

3、共線向量定理：如果存在一個實數(shù)，使，，那么。
反之，如果與是共線向量，那么。
注意：可寫成，但不能寫成或。
4、提問：上述定理中，若無條件，會有什么結(jié)果？

5、向量共線定理如何用來解決點共線或線共點問題。

【課堂研討】
例1、設(shè)是非零向量，若，試問：向量與是否共線？

例2、如圖，中，為直線上一點，，
求證：。

思考：上例證明的結(jié)論表明：起點為，終點為直線上一點的向量可以用表示。那么兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎？

【學后反思】
共線向量定理及其運用；若，則時，三點共線。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）檢測案
班級：姓名：學號：第學習小組
【課堂檢測】
1、已知向量，求證：與是共線向量。

2、已知向量，求證：三點共線。

3、如圖，在△中，記求證：。

4、如圖，設(shè)點是線段的三等分點，若，試用表示向量

【課后鞏固】
1、點在線段上，且，設(shè)，則（）
A、B、C、D、
2、若是平行四邊形的中心，且，則()
A、B、C、D、
3、已知向量，則與（填“共線”或“不共線”）。
4、給出下列命題：①若，則；②若，則∥；③若，則；④則∥。其中，正確的序號是。
5、若是△的重心，則。
6、已知，則三點共線。
7、已知非零向量和不共線，若和共線，求實數(shù)的值。
8、設(shè)分別是的邊上的點，且，，
。若記，試用表示。

9、如圖，平行四邊形中，是的中點，交于，
試用向量的方法證明：是的一個三等分點。

5、向量共線定理如何用來解決點共線或線共點問題。

【課堂研討】
例1、設(shè)是非零向量，若，試問：向量與是否共線？

例2、如圖，中，為直線上一點，，
求證：。

思考：上例證明的結(jié)論表明：起點為，終點為直線上一點的向量可以用表示。那么兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎？

【學后反思】
共線向量定理及其運用；若，則時，三點共線。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）檢測案
班級：姓名：學號：第學習小組
【課堂檢測】
1、已知向量，求證：與是共線向量。

2、已知向量，求證：三點共線。

3、如圖，在△中，記求證：。

4、如圖，設(shè)點是線段的三等分點，若，試用表示向量

8、設(shè)分別是的邊上的點，且，，
。若記，試用表示。
9、如圖，平行四邊形中，是的中點，交于，
試用向量的方法證明：是的一個三等分點。

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從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量

從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量
【學習目標】
1.掌握數(shù)與向量積的定義以及運算律，理解其幾何意義；
2.了解向量的線性運算及其幾何意義；了解兩個向量共線的判定定理及性質(zhì)定理；
3.了解平面向量的基本定理及其意義
【學習重點】理解實數(shù)與向量積的定義、運算律，向量共線的判定、性質(zhì)以及基本定理；
【學習難點】理解向量共線的判定定理和性質(zhì)定理以及平面向量基本定理
【知識銜接】
1.實數(shù)與向量的積；實數(shù)λ與向量的積，記作：λ
定義：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ
①▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁
②▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
2.實數(shù)與向量的積滿足運算定律：
結(jié)合律：
第一分配律：
第二分配律：
3.向量與非零向量共線的充要條件是：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.
【學習過程】
1．思考：
①．是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？
②．對于平面上兩個不共線向量，是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？
2．設(shè)，是不共線向量，是平面內(nèi)任一向量

==λ1==+=λ1+λ2
==λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.
[注意幾個問題]：
①、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
②這個定理也叫共面向量定理.
③λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量.
④同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合.
例題講評
例4.如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，
用，表示，，和
解：

第4課時2.2向量的數(shù)乘教案

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務(wù)。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《第4課時2.2向量的數(shù)乘教案》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第4課時§2.2向量的數(shù)乘
【教學目標】
一、知識與技能
（1）向量數(shù)乘定義。
（2）向量數(shù)乘的運算律。
二、過程與方法
在對有關(guān)數(shù)乘問題的解決中理解數(shù)乘概念和實際意義.
三、情感、態(tài)度與價值觀
聯(lián)系生活實際學習向量的數(shù)乘讓學生感受數(shù)學美
【教學重點難點】向量的數(shù)乘的定義和運算律
一、復(fù)習：
已知非零向量，求作和．
如圖：，
二、講解新課：
1．實數(shù)與向量的積的定義：
一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：
（1）；
（2）當時，的方向與的方向相同；
當時，的方向與的方向相反；
當時，．
2．實數(shù)與向量的積的運算律：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．向量共線定理：
內(nèi)容：
三、例題分析：
例1、計算：（1）；
（2）；
（3）
例2、如圖，已知，．試判斷與是否共線．

例3、判斷下列各題中的向量是否共線：
（1），；
（2），，且，共線．
（3）當，中至少有一個為零向量時，顯然與共線．

例4、設(shè)是兩個不共線的向量，已知，，，
若，，三點共線，求的值．

五、課時小結(jié)：
1．掌握實數(shù)與向量的積的定義；
2．掌握實數(shù)與向量的積的運算律，并進行有關(guān)的計算；
3．理解向量共線定理，并會判斷兩個向量是否共線

第二章2.22．2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

一名優(yōu)秀負責的教師就要對每一位學生盡職盡責，作為教師就要好好準備好一份教案課件。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務(wù)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“第二章2.22．2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義”，僅供參考，希望能為您提供參考！

2．2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義
預(yù)習課本P87～90，思考并完成以下問題
(1)向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？
(2)向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？
(3)向量共線定理是怎樣表述的？
(4)向量的線性運算是指的哪三種運算？

[新知初探]
1．向量的數(shù)乘運算
(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝|λ||a|；
②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；
當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．
(2)運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[點睛](1)實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ＋a，λ－a均無法運算．
(2)λa的結(jié)果為向量，所以當λ＝0時，得到的結(jié)果為0而不是0.
2．向量共線的條件
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
[點睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0時，雖有a與b共線，但不存在實數(shù)λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a與b顯然共線，但實數(shù)λ不唯一，任一實數(shù)λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，這時0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不為零的實數(shù)．
3．向量的線性運算
向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a，b及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)λa的方向與a的方向一致．()
(2)共線向量定理中，條件a≠0可以去掉．()
(3)對于任意實數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b.()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是()
A．b＝2aB．b＝－2a
C．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)＝－2b
答案：A
3．在四邊形ABCD中，若＝－12，則此四邊形是()
A．平行四邊形B．菱形
C．梯形D．矩形
答案：C
4．化簡：2(3a＋4b)－7a＝______.
答案：－a＋8b

向量的線性運算

[例1]化簡下列各式：
(1)3(6a＋b)－9a＋13b；
(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量線性運算的方法
向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，共線向量可以合并，即“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”指的是向量．

[活學活用]
化簡下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)1622a＋8b－44a－2b.
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
用已知向量表示未知向量
[典例]如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.
[解]由三角形中位線定理，知DE綊12BC，故＝12，即＝12a.
＝＋＋＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.
＝＋＋＝12＋＋12
＝－14a－b＋12a＝14a－b.
用已知向量表示未知向量的方法
用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實質(zhì)是向量的線性運算的反復(fù)應(yīng)用．

[活學活用]
如圖，四邊形OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形．又＝13，＝13，試用a，b表示，，.
解：∵＝13＝16＝16(－)＝16(a－b)，
∴＝＋
＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
∵＝13＝16，
∴＝＋＝12＋16
＝23＝23(＋)＝23(a＋b)．
∴＝－
＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.

共線向量定理的應(yīng)用
題點一：判斷或證明點共線
1．已知兩個非零向量a與b不共線，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線．
證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共線，
又∵它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線．
題點二：利用向量的共線確定參數(shù)
2．已知a，b是不共線的兩個非零向量，當8a＋kb與ka＋2b共線時，求實數(shù)k的值．
解：∵8a＋kb與ka＋2b共線，
∴存在實數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a與b不共線，∴8－λk＝0，k－2λ＝0，
解得λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
題點三：幾何圖形形狀的判定
3.如圖所示，正三角形ABC的邊長為15，＝13＋25，＝15＋25AC.
求證：四邊形APQB為梯形．
證明：因為＝＋＋＝－13－25＋＋15＋25＝1315，所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠|(zhì)|，于是四邊形APQB為梯形．
用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若向量＝λ，則，共線，又與有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．

層級一學業(yè)水平達標
1．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝()
A．57bB．－57b
C．75bD．－75b
解析：選Bb與a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，則5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a＝57b.
2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，則2a－3b＋c＝()
A．5eB．－5e
C．23eD．－23e
解析：選C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.

3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則()
A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線D．B，C，D三點共線
解析：選B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
又∵與有公共點B，∴A，B，D三點共線．
4．在△ABC中，點P是AB上一點，且＝23＋13，又＝t，則t的值為()
A．13B．23
C．12D．53
解析：選A由題意可得＝－＝23＋13－＝13(－)＝13，又＝t，∴t＝13.
5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線交DC于點F，若＝a，＝b，則＝()
A．13a＋bB．12a＋b
C．a(chǎn)＋13bD．a(chǎn)＋12b
解析：選A由已知條件可知BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴＝＋＝＋13＝13a＋b.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．下列向量中a，b共線的有________(填序號)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－25e2＝4e1－110e2＝4b；④中，當e1，e2不共線時，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實數(shù)m的值為________．
解析：因為向量ma－3b與a＋(2－m)b共線且向量a，b是兩個不共線的向量，所以存在實數(shù)λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因為a與b不共線，所以m＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
9．計算：
(1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)；
(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n為實數(shù))．
解：(1)原式＝25－23＋415a＋－25－43＋2615b＝0.
(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb
＝ma－nb.
10．已知e1，e2是兩個非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實數(shù)k的值．
解：∵a與b是共線向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴λk＝2，λ＝－1，
∴k＝－2，λ＝－1，
∴k＝－2.
層級二應(yīng)試能力達標
1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
A．a(chǎn)與λa的方向相同
B．a(chǎn)與－λa的方向相反
C．a(chǎn)與λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
解析：選C只有當λ0時，a與λa的方向相同，a與－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因為λ20，所以a與λ2a的方向相同．
2．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為邊BC的中點，且2＋＋＝0，則()
A．＝B．＝2
C．＝3D．2＝
解析：選A∵在△ABC中，D為邊BC的中點，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，從而＝.
3．已知向量a，b不共線，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()
A．λ1＝λ2＝1B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1D．λ1＋λ2＝1
解析：選C∵A，B，C三點共線，
∴＝k(k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共線，
∴λ1＝k，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.
4．已知平面內(nèi)有一點P及一個△ABC，若＋＋＝，則()
A．點P在△ABC外部B．點P在線段AB上
C．點P在線段BC上D．點P在線段AC上
解析：選D∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴點P在線段AC上．
5．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝______.
解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴k＝8λ，2＝λk，解得λ＝12，k＝4或λ＝－12，k＝－4.
∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，
∴λ＝－12，k＝－4.
答案：－4
6.如圖所示，在ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M為BC的中點，則＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝12－14
＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．
答案：14(b－a)
7．已知：在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求證：四邊形ABCD為梯形．
證明：如圖所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴與共線，且||＝2||.
又∵這兩個向量所在的直線不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四邊形ABCD是以AD，BC為兩條底邊的梯形．
8.如圖，已知△OCB中，點A是BC的中點，D是將OB分成2∶1的一個內(nèi)分點，DC和OA交于點E，設(shè)＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中點，則有＝12(＋)，
從而＝2－＝2a－b.
由D是將OB分成2∶1的一個內(nèi)分點，得＝23，
從而＝－＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)由于C，E，D三點共線，則＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－53b，
從而(2－λ)a－b＝μ2a－53b，
又a，b不共線，則2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.

高中數(shù)學必修四2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義導(dǎo)學案

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義
編審：周彥魏國慶
【學習目標】
1．掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義；
2．理解兩個向量共線的含義，并能證明簡單的平行及共線問題；3.了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義；
【新知自學】
知識回顧：
已知非零向量，求作和．

新知梳理：
1．實數(shù)與向量的積的定義：
一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：
（1）；
（2）當時，的方向與的方向；
當時，的方向與的方向；
當時，．
2．實數(shù)與向量的積的運算律：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
對點練習
1、下面給出四個命題：
①對于實數(shù)和向量,,恒有
(—)=—；
②對于實數(shù),和向量，恒有
(—)=m—n；
③若=(∈R),則有
=；
④若=(,∈R,≠0→),則有=.
其中正確命題的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
2、將化簡成最簡形式為()
A.B.
C.D.
3．向量共線定理：
定理：如果有一個實數(shù)，使（），那么向量與是共線向量；反之，如果向量與（）是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)，使得．
對點練習3、
與非零向量同向的單位向量是；
與非零向量反向的單位向量是；
與非零向量共線的單位向量是.
【合作探究】
典型精析
例1計算：（1）