小學(xué)一年級(jí)的數(shù)學(xué)教案

高一數(shù)學(xué)《圓錐曲線中的最值問(wèn)題》教案。

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫(xiě)呢？下面是小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)《圓錐曲線中的最值問(wèn)題》教案”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

高一數(shù)學(xué)《圓錐曲線中的最值問(wèn)題》教案

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析
圓錐曲線的單元復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容包括橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,在掌握以上一些陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)圓錐曲線的一些綜合應(yīng)用.
在解析幾何中，運(yùn)動(dòng)是曲線的靈魂，在形的運(yùn)動(dòng)中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點(diǎn)關(guān)注變化中不變的量或關(guān)系，以及變量的變化趨勢(shì)，由此產(chǎn)生圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，圓錐曲線的中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，圓錐曲線中的最值問(wèn)題等.
圓錐曲線的最值問(wèn)題是本單元復(fù)習(xí)綜合性較強(qiáng)的內(nèi)容.重點(diǎn)研究變化的距離、弦長(zhǎng)、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關(guān)問(wèn)題.本課重點(diǎn)是借助對(duì)常見(jiàn)的距離問(wèn)題等的研究提煉出解決此類(lèi)問(wèn)題的思想方法和基本策略，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
解決圓錐曲線的最值問(wèn)題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，聯(lián)系性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個(gè)角度分析.由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來(lái)分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，難以細(xì)致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來(lái)實(shí)現(xiàn)突破.
幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識(shí)作直接論證及判斷;代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式表示,通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線的方程，將目標(biāo)表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決問(wèn)題.
二、教學(xué)問(wèn)題診斷
圓錐曲線的最值問(wèn)題的解決，涉及的知識(shí)面廣，需要綜合運(yùn)用圓錐曲線、平面幾何、代數(shù)等相關(guān)知識(shí)，還需要較強(qiáng)的運(yùn)算技能和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能存在的問(wèn)題有：知識(shí)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性較弱，難以調(diào)動(dòng)眾多的知識(shí)合理地解決問(wèn)題；運(yùn)算能力不強(qiáng)，算得慢，易算錯(cuò)，影響問(wèn)題解決的執(zhí)行力；問(wèn)題解決的策略性不強(qiáng)，就題論題，對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊等現(xiàn)象.再加上學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)課的認(rèn)識(shí)比較片面，對(duì)復(fù)習(xí)課缺乏新鮮感。
在教學(xué)中，可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題（或者教材中的問(wèn)題）出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題的提出、問(wèn)題的拓展、問(wèn)題的變式等措施，使學(xué)生對(duì)圓錐曲線最值問(wèn)題的本質(zhì)特征有更新、更深的認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；在教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的主動(dòng)思考、交流互動(dòng)、反思提煉，構(gòu)建知識(shí)體系，形成基本技能，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)與感悟問(wèn)題解決的策略。
為了更好地加強(qiáng)策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)，教學(xué)中可一題多用，減少問(wèn)題解決的運(yùn)算量,使學(xué)生在關(guān)鍵點(diǎn)加強(qiáng)思考與交流，有更多的時(shí)間進(jìn)行創(chuàng)造性的實(shí)踐與反思.
三、目標(biāo)與目標(biāo)解析：
1.進(jìn)一步理解圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，會(huì)求解橢圓、拋物線的相關(guān)變量的最值問(wèn)題，并形成一定的方法;
2.進(jìn)一步體會(huì)“解析法”思想，會(huì)從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度分析和解決曲線的最值問(wèn)題，并會(huì)進(jìn)行合理的選擇；
3.在問(wèn)題的提出、分析、解決的過(guò)程，進(jìn)一步形成圓錐曲線最值問(wèn)題的方法體系和數(shù)學(xué)思想，形成處理最值問(wèn)題的基本策略,養(yǎng)成質(zhì)疑和創(chuàng)新的意識(shí).
解決問(wèn)題后需要重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系有新的認(rèn)識(shí)，并在操作中形成技能;會(huì)通過(guò)反思與交流，感悟并提煉重要的數(shù)學(xué)思想；在具體的最值問(wèn)題中，能根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)有意識(shí)地選擇幾何或代數(shù)的策略，并進(jìn)行具體的操作.
四、教學(xué)支持條件分析
由于圓錐曲線的最值問(wèn)題涉及到圖形運(yùn)動(dòng)和數(shù)量變化，學(xué)生往往缺乏對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)把握和深切的感受，教學(xué)中可通過(guò)幾何畫(huà)板、TI—Nspire圖形計(jì)算器、GeoGebra等軟件，直觀地呈現(xiàn)數(shù)、式、形的聯(lián)動(dòng)變化，使學(xué)生逐步形成多元聯(lián)系的觀點(diǎn).
對(duì)于一些的運(yùn)算，可以利用TI—NspireCAS代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，幫助學(xué)生在課堂上降低運(yùn)算的難度，減少運(yùn)算的時(shí)間，更深入地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì).
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
（一）提出問(wèn)題——解決問(wèn)題——形成初步經(jīng)驗(yàn)
圓錐曲線中求一些變量的最值，是一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，如何根據(jù)這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，尋求相應(yīng)的解題策略是我們本課研究的重點(diǎn).
請(qǐng)大家做一做問(wèn)題一.并與同學(xué)交流，進(jìn)行解題后的反思.
問(wèn)題一已知F(0,1),M(0,3),N(3,0),P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，
（1）求|PF|的最小值；
（2）求|PM|的最小值；
（3）求|PM|+|PN|的最小值.
反思：（1）通過(guò)問(wèn)題一的解決，你能否總結(jié)出解決此類(lèi)問(wèn)題的基本策略？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？
（2）你能對(duì)每一種策略，總結(jié)出明確的操作步驟嗎？
（3）面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)如何選擇相應(yīng)的策略，你有了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？
設(shè)計(jì)意圖：
問(wèn)題一入口簡(jiǎn)單，計(jì)算容易，在方法上有回歸定義，構(gòu)造函數(shù)，幾何論證等典型方法。讓學(xué)生先做，一方面是了解學(xué)生學(xué)習(xí)水平，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題；另一方面，通過(guò)學(xué)生的做，讓學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題及其解法有切身的感受與體驗(yàn).
注重學(xué)生在解題后的反思活動(dòng)，通過(guò)相互的交流和表達(dá)，對(duì)解決的策略進(jìn)行反思提煉，并作進(jìn)一步的明確，是使策略性知識(shí)內(nèi)化的重要過(guò)程.
預(yù)設(shè)：解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題主要有兩種策略：
一是幾何方法：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，借助圓錐曲線的定義及幾何圖形的一些性質(zhì)，進(jìn)行直接判斷.
二是代數(shù)方法：核心是函數(shù)思想，具體步驟：設(shè)參變量，找關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求函數(shù)的最值.
一般地，當(dāng)條件中幾何關(guān)系比較明顯時(shí)，可借助幾何直觀，否則選用代數(shù)的方法.
（二）了解策略——簡(jiǎn)單應(yīng)用——形成基本技能
你能否用前面所總結(jié)的解題策略來(lái)解決下列問(wèn)題：
問(wèn)題二練一練
（1）點(diǎn)P是拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn),F是拋物線C的焦點(diǎn)，M(2,4),則的最小值為.
（2）若P，Q分別橢圓與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則
的最小值和最大值分別為，.
設(shè)計(jì)意圖：
題(1)是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，由于涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離,從而利用平面幾何中點(diǎn)到直線的所有距離中垂線段最短的結(jié)論得到問(wèn)題結(jié)果.解決此類(lèi)問(wèn)題，要求學(xué)生有結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的能力.
題(2)對(duì)象涉及橢圓與圓，目標(biāo)是動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，與問(wèn)題一相比在結(jié)構(gòu)上有較大差異；設(shè)計(jì)成填空題的形式可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先選擇圖形直觀解決問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)需要理性，本題先借助“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0,3)的距離的最值問(wèn)題，進(jìn)而從代數(shù)的角度，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.
實(shí)際教學(xué)中學(xué)生易憑直覺(jué)判斷，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?如“壓扁橢圓”使學(xué)生直觀地感知錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思并調(diào)整策略.
圖3
有學(xué)生用“曲率”來(lái)進(jìn)行說(shuō)明,
也可以用同心圓來(lái)直覺(jué)猜想，
最簡(jiǎn)單的方法還是用代數(shù)法——函數(shù)思想分析.
（三）問(wèn)題變式——策略?xún)?yōu)化——形成能力
問(wèn)題三.議一議
點(diǎn)M(0,3)的直線與橢圓交于P,Q兩個(gè)不同點(diǎn),若,
求數(shù)的取值范圍.
分析：先審題：（1）誰(shuí)在動(dòng)？目標(biāo)量是誰(shuí)？（2）動(dòng)直線有限制條件嗎？（3）動(dòng)直線確定時(shí)，P，Q的位置確定嗎？不同的位置對(duì)目標(biāo)量的值是否會(huì)有影響？
預(yù)設(shè)：本題若從代數(shù)的角度求解，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為參變量，則將代入，得
.
可得.
（１）若直接求出方程的兩根，
則．
（２）若設(shè)，則
但若從幾何的角度，卻有意外的驚喜！
設(shè)計(jì)意圖:可以建立與斜率的等量關(guān)系，再由的范圍求的取值范圍，也可以利用問(wèn)題2的結(jié)論從幾何的角度直接判斷.同樣的思想方法,可以訓(xùn)練學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,形成解決問(wèn)題的策略.
實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生更多選擇代數(shù)方法，只有三個(gè)同學(xué)選擇幾何法，學(xué)生一利用了練習(xí)二的結(jié)論，但這里事實(shí)上對(duì)一般的問(wèn)題有個(gè)方法上的漏洞，教師可以提出質(zhì)疑：當(dāng)橢圓足夠扁時(shí)，的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)不共線，還能用類(lèi)似的幾何方法處理嗎？
其實(shí)同樣只需再換一個(gè)角度就可以順利解決，用幾何畫(huà)板演示的變化即可.
練一練
直線y=kx(k0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),A,B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn),則四邊形APBQ面積的最大值為
你能說(shuō)明理由嗎？談?wù)勀愕慕忸}思路，并與同學(xué)議一議，了解一些不同的思路.
設(shè)計(jì)意圖：本題的目標(biāo)量是四邊形的面積，需要借助三角形的面積，轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題進(jìn)行求解.由此產(chǎn)生不同的策略.
如1：，以為參數(shù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù);
如2：，以P點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);
如3：，以P點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù).
如4：以思路2為基礎(chǔ)，可以通過(guò)幾何直觀判斷面積的最大值，即求P,Q兩點(diǎn)到直線AB的距離之和的最大值，即為平行于AB且與橢圓相切的兩直線之間的距離．
通過(guò)交流，了解不同的解法，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)兩種策略的靈活運(yùn)用，提升解題能力．
有學(xué)生提出兩種幾何法（1）如4；（2）較有創(chuàng)意：將橢圓通過(guò)伸縮變換成為圓，先解決圓中的四邊形面積最大問(wèn)題，再進(jìn)行還原！
(四)反思小結(jié)——策略?xún)?nèi)化
本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
（1）你認(rèn)為解決最值問(wèn)題有哪些策略？
（2）每種策略如何操作？
（3）這些思想體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？
（4）還有其他收獲或感想嗎？
設(shè)計(jì)意圖：
解題后，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的自主反思，才能使學(xué)生的解題技能提升為策略，并內(nèi)化成自身的能力.
（五）目標(biāo)檢測(cè)
（必做題）
1.若P，Q分別拋物線C：與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.
2.
2.若P，Q分別是兩條曲線上的任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)長(zhǎng)度的最小值為這兩曲線之間的距離.給定直線與橢圓，求直線l與橢圓D之間的距離.
（自主題）
3.給定直線與橢圓，請(qǐng)寫(xiě)出你自己設(shè)計(jì)的一個(gè)最值問(wèn)題，并選擇相應(yīng)的策略加以解決.
設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放式地提出問(wèn)題是學(xué)生地“弱點(diǎn)”，但在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，有必要給學(xué)生機(jī)會(huì)重新審視過(guò)去做過(guò)大量問(wèn)題的特征，并嘗試提出一些“自己”的具有創(chuàng)造性的問(wèn)題.同時(shí)這也是學(xué)生對(duì)問(wèn)題及問(wèn)題解決本質(zhì)理解的進(jìn)一步內(nèi)化的過(guò)

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一、問(wèn)題導(dǎo)入，引發(fā)探究
師：我在旅游時(shí)買(mǎi)回來(lái)一種磁性蛇蛋玩具（如圖），所謂生活處處皆學(xué)問(wèn)嘛，我把它運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軸截面用圖形計(jì)算器做出了以下有趣的現(xiàn)象：
兩個(gè)全等的橢圓形卵，相互依偎旋轉(zhuǎn)（動(dòng)畫(huà)）。你能通過(guò)所學(xué)解析幾何知識(shí)，構(gòu)造出這種有趣的現(xiàn)象嗎？
二、實(shí)驗(yàn)探究，交流發(fā)現(xiàn)
探究1：卵之由來(lái)——橢圓的形成
(1)單個(gè)定橢圓的形成
橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。（即若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)(大于)，則點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓。）
思考1：如何使為定值？
（不妨將兩條線段的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)化為一條線段，即在線段的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，此時(shí)，為定值則可轉(zhuǎn)化為為定值。）
思考2：若為定值，則點(diǎn)的軌跡是什么？定點(diǎn)與點(diǎn)軌跡的位置關(guān)系？
（以定點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。由于，則點(diǎn)在圓內(nèi)。）
思考3：如何確定點(diǎn)的位置，使得，且？
（線段的中垂線與線段的交點(diǎn)為點(diǎn)。）
揭示思路來(lái)源：(高中數(shù)學(xué)選修2-1P497)如圖，圓的半徑為定長(zhǎng)，是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么？為什么？
(設(shè)圓的半徑為，由橢圓定義，(常數(shù))，且，所以當(dāng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓。)
圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證：以圓與定點(diǎn)所在直線為軸，中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓半徑，，即圓，點(diǎn)，則點(diǎn)軌跡是以以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓方程為。
(2)單個(gè)動(dòng)橢圓的形成
思考4：構(gòu)造一種動(dòng)橢圓的方式
（由于橢圓形狀不變，即離心率不變，而長(zhǎng)軸長(zhǎng)為定值，則也要為定值，因此可將圓內(nèi)點(diǎn)取在圓的同心圓上，當(dāng)點(diǎn)在圓上動(dòng)時(shí)，即可得到動(dòng)橢圓。）
圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證：當(dāng)圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)取在圓的同心圓上，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，即得到動(dòng)橢圓。
(3)兩個(gè)橢圓的形成
觀察兩個(gè)橢圓相互依偎旋轉(zhuǎn)的幾個(gè)畫(huà)面，分析兩橢圓的位置關(guān)系。判斷兩個(gè)橢圓關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且直線過(guò)兩橢圓公共點(diǎn)，所以直線為兩橢圓的公切線。
因而找到公切線，作橢圓關(guān)于切線的對(duì)稱(chēng)橢圓即可。
探究2：卵之所依——切線的判斷與證明
線段的垂直平分線與橢圓的位置關(guān)系
(1)利用圖形計(jì)算器中的“圖象分析”工具直觀判斷與橢圓的位置關(guān)系．設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)，則線段的中垂線的方程為，將動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保存為變量，縱坐標(biāo)保存為變量，隨著點(diǎn)的改變，在Graphs中畫(huà)出相應(yīng)的動(dòng)直線．用圖形計(jì)算器中的“圖象分析”工具找出橢圓所在區(qū)域內(nèi)的直線與橢圓的交點(diǎn)，拖動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)觀測(cè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，發(fā)現(xiàn)無(wú)論點(diǎn)在何處，動(dòng)直線與橢圓只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，因此判斷直線與橢圓相切，并可求出該切點(diǎn)的坐標(biāo)．也可以將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，用“代數(shù)”工具中的solve（）求出方程組的解，從而判斷根的情況．
(2)證明橢圓與直線相切．
不妨設(shè)直線：，其中，，與橢圓方程聯(lián)立，得，因此
，
將，，代入上式，用“代數(shù)”工具中的expand()化簡(jiǎn)式子，得，所以橢圓與直線相切，切點(diǎn)為．
(3)證明由任意圓上的動(dòng)點(diǎn)和圓內(nèi)一點(diǎn)確定的橢圓與線段中垂線均相切(反證法)
因?yàn)闄E圓是點(diǎn)的軌跡，而點(diǎn)是直線與線段中垂線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)既在橢圓上，也在直線上。因此，直線與橢圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與橢圓相切或相交。
假設(shè)直線與橢圓相交，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為（與不重合）．因?yàn)椋?；又因?yàn)椋?br> 所以為定值，而，矛盾．因此直線與橢圓相切。
探究3：兩卵相依——對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)橢圓的形成與動(dòng)畫(huà)
當(dāng)圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)取在圓的同心圓上，作橢圓關(guān)于切線的對(duì)稱(chēng)橢圓，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，隱藏相關(guān)坐標(biāo)系與輔助圓等圖形，呈現(xiàn)兩卵相互依偎旋轉(zhuǎn)的有趣效果。
改變一些問(wèn)題條件，進(jìn)行深入探究與發(fā)現(xiàn)。
探究4：改變點(diǎn)位置，探究點(diǎn)軌跡
(1)曲線判斷：利用TI圖形計(jì)算器作圖分析，拖動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在定圓內(nèi)且不與圓心重合時(shí)，交點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)點(diǎn)在定圓外時(shí)，則，交點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓的同心圓；當(dāng)點(diǎn)在圓周上時(shí)，點(diǎn)的軌跡是是一點(diǎn)（圓心）．
(2)方程證明：圓，設(shè)點(diǎn)，可解得點(diǎn)的軌跡方程為
，
當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓心；
當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為
，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓:；
當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓；
當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線。
探究5：改變切線位置，探究由切線得到的包絡(luò)圖形
查閱有關(guān)參考書(shū)籍，了解圓錐曲線的包絡(luò)線，并利用圖形計(jì)算器作出橢圓、雙曲線的包絡(luò)圖形，自主探究拋物線的包絡(luò)線(將定圓改為定直線)。
結(jié)論：所謂包絡(luò)圖，就是指有一條曲線按照一定運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，保留其所有瞬間位置的影像，會(huì)有一條曲線能夠和該運(yùn)動(dòng)曲線所有位置相切，這條曲線就成為該運(yùn)動(dòng)曲線的包絡(luò)線。
探究6：拓展延伸：橢圓切線的幾個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用
性質(zhì)1：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則點(diǎn)的切線平分的外角。
性質(zhì)1′：點(diǎn)處的法線(過(guò)點(diǎn)且垂直于切線)平分。(即為橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。)
課后探究：閱讀數(shù)學(xué)選修2-1P75閱讀與思考——圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用，了解雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì)。
練習(xí)1：已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)向作垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡是_____________，軌跡方程是_______________。
解：(1)直觀判斷：作軌跡
(2)嚴(yán)謹(jǐn)證明：圓的定義
由此得到：
性質(zhì)2：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，過(guò)橢圓上異于的任一點(diǎn)的切線，過(guò)做切線的垂線，垂足分別為，則在以長(zhǎng)軸為直徑的圓上。
練習(xí)2：已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，直線與橢圓相切與點(diǎn)，且到的垂線長(zhǎng)分別為，求證：為定值。
解：(1)直觀判斷：作圖
(2)嚴(yán)謹(jǐn)證明：利用性質(zhì)2及圓的相交弦性質(zhì)，
由此得到：
性質(zhì)3：已知橢圓為，則焦點(diǎn)到橢圓任一切線的垂線長(zhǎng)乘積等于。
課后探究2：已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且到的垂線長(zhǎng)分別為，則
①當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的位置關(guān)系；(相交)
②當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的位置關(guān)系。(相離)
(類(lèi)比直線與圓位置關(guān)系的幾何法，此為直線與橢圓位置關(guān)系的幾何法)
課后探究：雙曲線、拋物線的切線是否有類(lèi)似性質(zhì)？

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線最經(jīng)典題型研究教案

圓錐曲線最經(jīng)典題型研究
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查

1、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那么此雙曲線的離心率為
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文數(shù)）8.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為y28x。
4、（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則．
若雙曲線-=1(b0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿(mǎn)足,則||+|的取值范圍為_(kāi)______，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____。
6、已知點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重慶理數(shù)）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對(duì)稱(chēng)圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點(diǎn)，排除B
9、（2010四川理數(shù)）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是
（A）（B）（C）（D）
解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，
即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理數(shù)）若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀區(qū)2010年4月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶}）已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.
12、（2010年4月北京市西城區(qū)高三抽樣測(cè)試?yán)砜疲┮阎p曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.
13、（北京市東城區(qū)2010屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)理科）直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是．

14、（2010全國(guó)卷1文數(shù)）已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠=，則
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全國(guó)卷1理數(shù)）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重慶理數(shù)）(14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿(mǎn)足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)__________.
解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知
中，AC=2m,AB=4m,
直線AB方程為
與拋物線方程聯(lián)立消y得
所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為
17、（2010上海文數(shù)）已知橢圓的方程為，、和為的三個(gè)頂點(diǎn).
（1）若點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過(guò)中點(diǎn)的直線，使得與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)、滿(mǎn)足？令，，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點(diǎn)、滿(mǎn)足，求點(diǎn)、的坐標(biāo).
解析：(1)；
(2)由方程組，消y得方程，
因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，
所以0，即，
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，
則，
由方程組，消y得方程(k2k1)xp，
又因?yàn)?，所以?br> 故E為CD的中點(diǎn)；
(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線OF的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（21）（本小題滿(mǎn)分12分）
己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．

19、（2010安徽文數(shù)）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，
焦點(diǎn)在軸上，離心率。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、（2010全國(guó)卷1理數(shù)）（21）(本小題滿(mǎn)分12分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D.
（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；
（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.

21、（2010江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。

22、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當(dāng)時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn).
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長(zhǎng)軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為…………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得
…………5分
因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，
所以①
設(shè)，則
②…………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①
當(dāng)b=2k時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，0）點(diǎn).
即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與題意不符.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)…………13分

23、（北京市朝陽(yáng)區(qū)2010年4月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜疲ū拘☆}滿(mǎn)分13分）
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3））是否存過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿(mǎn)足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為.……………………4分
（Ⅱ）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由得.①
因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以
整理，得解得[
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為…………9分
（Ⅲ）若存在直線l1滿(mǎn)足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得
因?yàn)橹本€l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
所以.
又，
因?yàn)榧矗?br> 所以.
即
所以，解得
因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以.
于是存在直線1滿(mǎn)足條件，其方程為………………………………13分
24、直線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.
答案：.解：（Ⅰ）將直線
……①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由①式得
……②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）.
則由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化簡(jiǎn)得
解得
可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn).

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問(wèn)題復(fù)習(xí)教案

§9.8圓錐曲線的綜合問(wèn)題
★知識(shí)梳理★
1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系：
將直線的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①當(dāng)a＝0或a≠0，⊿＝0時(shí),曲線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)a≠0,⊿0時(shí),曲線和直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)⊿0時(shí),曲線和直線沒(méi)有交點(diǎn)。
(2)弦長(zhǎng)公式：
2.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：
曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱(chēng)的條件：①曲線上兩點(diǎn)所在的直線與已知直線垂直（得出斜率）②曲線上兩點(diǎn)所在的直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)（⊿0）③曲線上兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線上。
3.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
①軌跡類(lèi)型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類(lèi)型未知的,一般用直接法；③一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn)：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法及弦長(zhǎng)公式；掌握弦中點(diǎn)軌跡的求法；理解和掌握求曲線方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值
難點(diǎn)：軌跡方程的求法及圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值問(wèn)題
重難點(diǎn)：綜合運(yùn)用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題
1.體會(huì)“設(shè)而不求”在解題中的簡(jiǎn)化運(yùn)算功能
①求弦長(zhǎng)時(shí)用韋達(dá)定理設(shè)而不求;②弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求.
2.體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運(yùn)用
問(wèn)題1：已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則的最小值為.
點(diǎn)撥：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，利用定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，，當(dāng)共線時(shí)最小，最小值為
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
題型1：交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
[例1]設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解題思路】解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的通法為判別式法
[解析]易知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q(－2,0)，
于是，可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(－2,0)的直線的方程為，
聯(lián)立
其判別式為，可解得，應(yīng)選C.
【名師指引】（1）解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線與圓錐曲線有唯一交點(diǎn)，不等價(jià)于直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行于對(duì)稱(chēng)軸（拋物線）或平行于漸近線（雙曲線）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對(duì)進(jìn)行討論，還要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論
【新題導(dǎo)練】
1.（09摸底）已知將圓上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的,對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C；設(shè)，平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),直線與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求曲線的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)為壓縮后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，
代入圓的方程得曲線C的方程：
（2）∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m,又,
∴直線的方程為.由,得
∵直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴
解得.∴m的取值范圍是.
題型2：與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，.直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為－2.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn),且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線的方程.
【解題思路】弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解
[解析](Ⅰ)設(shè)，
因?yàn)?所以化簡(jiǎn)得:
(Ⅱ)設(shè)
當(dāng)直線⊥x軸時(shí),的方程為,則,它的中點(diǎn)不是N,不合題意
設(shè)直線的方程為將代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直線的方程為即所求直線的方程為
解法二:當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,
其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,
將其代入化簡(jiǎn)得
由韋達(dá)定理得,
又由已知N為線段CD的中點(diǎn),得,解得,
將代入(1)式中可知滿(mǎn)足條件.
此時(shí)直線的方程為,即所求直線的方程為
【名師指引】通過(guò)將C、D的坐標(biāo)代入曲線方程，再將兩式相減的過(guò)程，稱(chēng)為代點(diǎn)相減．這里，代點(diǎn)相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求（即點(diǎn)差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用明顯，用“點(diǎn)差法”解決弦中點(diǎn)問(wèn)題更簡(jiǎn)潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓的弦被點(diǎn)所平分，求此弦所在直線的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
，，兩式相減得：，
化簡(jiǎn)得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
3.已知直線y＝－x＋1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析]設(shè)，AB的中點(diǎn)為,
代入橢圓方程得，,兩式相減,得.
AB的中點(diǎn)為在直線上，，
，而
題型3：與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為20，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）問(wèn)點(diǎn)位于拋物線弧上何處時(shí)，△面積最大？

【解題思路】用“韋達(dá)定理”求弦長(zhǎng)；考慮△面積的最大值取得的條件
[解析]（1）將代入得，
由△可知，弦長(zhǎng)AB，解得；
（2）當(dāng)時(shí)，直線為，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，
則只須使得，即，即位于（4，4）點(diǎn)處．
【名師指引】用“韋達(dá)定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4.(山東省濟(jì)南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦的長(zhǎng)度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以橢圓方程為：
（2），由，得
∴∴
（文）已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)．
（文）解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為．設(shè)，，
聯(lián)立得．則．
所以．
故線段DE的長(zhǎng)為．
考點(diǎn)2：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
題型：對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求法（以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)為主線，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4]若直線l過(guò)圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓＝1于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程．
[解析]，設(shè)，則
又，，兩式相減得：，
化簡(jiǎn)得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
所以直線l的方程為：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
[解析]設(shè)，，，
，即，
，，，故點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
6.在拋物線y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍.
[解析]（1）當(dāng)時(shí)，曲線上不存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)拋物線y2＝4x上關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為，則直線直線的斜率為直線，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點(diǎn)3圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題
題型：求某些變量的范圍或最值
[例5]已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)橢圓的離心率滿(mǎn)足，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．
【解題思路】通過(guò)“韋達(dá)定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由，得
由，得此時(shí)
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為
【名師指引】求范圍和最值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問(wèn)題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的最值．
【新題導(dǎo)練】
7.已知P是橢圓C：的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，若|PB|的最小值為，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。

[解析]由，設(shè)
，
，，解得或
又或
8.定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
[解析]設(shè)，，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為，
將它代入得
由得即
，
將代入得
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以，點(diǎn)M為或時(shí)，到y(tǒng)軸的最短距離最小，最小值為．
9.直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)P（－2，0）和線段AB的中點(diǎn)M，求在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析]由消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點(diǎn)共線
令上為減函數(shù).
10.已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值為
（2）最大值為10＋|BC|＝；最小值為10－|BC|＝．
考點(diǎn)4定點(diǎn)，定值的問(wèn)題
題型：論證曲線過(guò)定點(diǎn)及圖形（點(diǎn)）在變化過(guò)程中存在不變量
[例6]已知P、Q是橢圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上一定點(diǎn)，是其左焦點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動(dòng)點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè)知
同理
①當(dāng)，
從而有設(shè)PQ的中點(diǎn)為，
得線段PQ的中垂線方程為
②當(dāng)
線段PQ的中垂線是x軸，也過(guò)點(diǎn)
【名師指引】定點(diǎn)與定值問(wèn)題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)和定值，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān);
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，則拋物線C恒過(guò)定點(diǎn)
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
[解析]雙曲線上任意一點(diǎn)為，
它到兩漸近線的距離之積
考點(diǎn)6曲線與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線C：y2＝4x，若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；
【解題思路】探求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線y2＝4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[名師指引]求曲線方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是.
[解析][相關(guān)點(diǎn)法]
14.過(guò)雙曲線C:的右焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，,求點(diǎn)M的軌跡方程．
[解析]右焦點(diǎn)（2，0），設(shè)
得，，直線l的斜率
又,,兩式相減得,
把，，代入上式得
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中半焦距為，
點(diǎn)P在y軸上時(shí)最大，由余弦定理得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
16.(廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知圓C:.
(1)直線過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；
(2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
(3)若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值.
解析（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿(mǎn)足題意……1分
②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即…2分
設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得
∴，，………4分故所求直線方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線為3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直線m//y軸，所以，,∴點(diǎn)的軌跡方程是()……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示
（A）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（B）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
（C）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（D）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
1.[解析]B.由知，
2.已知點(diǎn)M（3，4）在一橢圓上，則以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（）
（A）12（B）24（C）48（D）與橢圓有關(guān)
2.[解析]C[由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知];
3.已知點(diǎn)F（，直線，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過(guò)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（）
A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣的直線有___________條.
4.[解析]3；垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為4,實(shí)軸長(zhǎng)為2.
5.是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若雙曲線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
6.[解析][]
綜合提高訓(xùn)練
7.已知拋物線的弦AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB所在直線的方程為
7.[解析]12x—23y—2＝0記住結(jié)論：
8.已知橢圓，直線l到原點(diǎn)的距離為求證：直線l與橢圓必有兩上交點(diǎn).
8.[解析]證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：
不妨取代入曲線E的方程得：
即G（，），H（，－）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：
由題意知：
由
∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn),綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
9.求過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)A（1，1）的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為，設(shè)P（），Q（），M（），則：①②
①－②得：
當(dāng)時(shí)，
由題意知，即③
③式與聯(lián)立消去k，得④
當(dāng)時(shí)，k不存在，此時(shí)，，也滿(mǎn)足④．
故弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為：
10.已知拋物線．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B．若,求a的取值范圍．
10.[解析]直線的方程為，將，
得:．
設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，
則又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿(mǎn)足：①弦長(zhǎng)不超過(guò)8；②弦所在的直線與橢圓3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范圍．
11.解析：拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)弦所在直線方程為
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范圍是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)A（－2，0）及B（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡T的方程；

12.解：）連結(jié)PB∵線段BQ的垂直平分線與AQ交于點(diǎn)P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB||AB|，從而P點(diǎn)的軌跡T是中心在原點(diǎn)，以A、B為兩個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為

圓錐曲線

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更容易聽(tīng)懂所講的內(nèi)容，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問(wèn)題。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫(xiě)呢？下面是小編為大家整理的“圓錐曲線”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。