高中向量的教案

高中數(shù)學(xué)必修四2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導(dǎo)學(xué)案。

2.4平面向量的數(shù)量積
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
編審：周彥魏國慶
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；
【自學(xué)新知】
知識回顧：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作＝，＝，則
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角.
說明：（1）當(dāng)θ＝０時，與同向；
（2）當(dāng)θ＝π時，與反向；
（3）當(dāng)θ＝時，與垂直，記⊥；
新知梳理：
1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則叫與的數(shù)量積，記作，即有=，（０≤θ≤π）.并規(guī)定向量與任何向量的數(shù)量積為.

思考感悟：
1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？

2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？
（1）兩個向量的數(shù)量積是一個，不是向量，符號由的符號所決定.
（2）向量的數(shù)量積寫成；符號“”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實數(shù)中，若，且，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能為0.

2．“投影”的概念：
作圖：
定義：||cos叫做向量在方向上的投影.

思考感悟：
投影不是向量，是一個數(shù)量。當(dāng)為銳角時投影為值；當(dāng)為鈍角時投影為值，當(dāng)為直角時投影為；當(dāng)=0時投影為||；當(dāng)=180時投影為||

3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積等于與||cos的乘積.

4.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)，為兩個非零向量，
(1)=
(2)當(dāng)與同向時，=，
當(dāng)與反向時，=
特別的：=||2或；
||≤||||；
cos=
5.平面向量數(shù)量積的運算律
①交換律：=
②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()③分配律：(+)=+
說明：
（1）一般地，()≠（）
（2）＝＝
對點練習(xí)
1．下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律
B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律
D.是一個實數(shù)
2．||=3，||=4，向量+與-的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直
C.夾角為D.不平行也不垂直
3.已知|m→|=，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9，則m→,n→的夾角為（）
A.150B.120
C.60D.30

4.已知，，，則向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。

【合作探究】
典例精析：
例1．證明：

變式1．已知||=6，||=4，與的夾角為60o，求：
（1）(+2)(-3).
（2）|+|與|-|.

例2．已知||=12，||=9，，求與的夾角。
【zw5000.coM 作文5000網(wǎng)】

變式2．已知||=3，||=4，且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1．下列命題中：①若≠，且=，則=；②若=，則3＜4;
③()=(),對任意向量，，都成立；④22=()2；正確命題的個數(shù)為____

2．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夾角為30°，則為（）
A．B．
C．D．

3．若||=||=|－|,則與+的夾角為（）
A．30°B．60°
C．150°D．120°

4.．已知、均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|+3|=（）
A．B．
C．D．4

【課時作業(yè)】
1.已知||=1，||=，且(-)與垂直，則與的夾角是（）
A.60°B.30°
C.135°D.４５°2.若向量的夾角為，，則向量的模
為

3．向量、滿足（－）（2+）=－4，且||=2，||=4，則與夾角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→BC→.

5．已知||=8，||=10，|+|=16，求與的夾角.

6*.向量互相垂直，向量互相垂直，求與夾角。

7*.已知||=3，||=3，與夾角為，求使向量的夾角為銳角時，的取值范圍。

8．(2012全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.

【延伸探究】
已知平面上三個向量的模都是1，他們互相之間的夾角均是，
（1）求證：
（）若，求得取值范圍。

精選閱讀

2018人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義講義

2．4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
預(yù)習(xí)課本P103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？
(2)向量b在a方向上的投影怎么計算？數(shù)量積的幾何意義是什么？
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？
(4)向量數(shù)量積的運算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．
(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．
2．向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
[點睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零．
3．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|，
當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點睛]對于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．
4．向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[點睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，則一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，則a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，則a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，則a與b的夾角為()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，則a·b＝________；
(2)若a∥b，則a·b＝________；
(3)若a⊥b，則a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量數(shù)量積的運算

[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．

(2)如圖，正三角形ABC的邊長為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法
運算．

[活學(xué)活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
與向量的模有關(guān)的問題

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
從而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．

[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.

兩個向量的夾角和垂直
題點一：求兩向量的夾角
1．(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：選C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
題點二：證明兩向量垂直
2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b)．
證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
題點三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：選B∵3a＋2b與ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值．

層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：選B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：選B∵＝，即一組對邊平行且相等，·＝0，即對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
6．給出以下命題：
①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0；
③a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.
其中，正確命題的序號是________．
解析：上述三個命題中只有③正確，因為|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時，有a·b＝0，顯然①②錯誤．
答案：③
7．設(shè)e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的
夾角．
解：因為|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a與b的夾角為120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當(dāng)λ為何值時，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
層級二應(yīng)試能力達標(biāo)
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，則向量m＝a－4b的模為()
A．2B．23
C．6D．12
解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：選D法一：因為cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.
法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故選D.

3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因為|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點，則·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如圖，作＝＝a，
＝b，則＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍負)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．
解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化簡即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
當(dāng)夾角為π時，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此時夾角不是鈍角，
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求實數(shù)t的取值范圍是
－7，－142∪－142，－12.

高中數(shù)學(xué)必修四2.4平面向量的數(shù)量積小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

2.4平面向量的數(shù)量積小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解數(shù)量積的含義掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．
2．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．
3．會用向量方法解決某些簡單的實際問題．
【新知自學(xué)】
知識梳理：
1．向量的夾角
已知兩個________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，則_________稱作向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉．
向量夾角〈a，b〉的范圍是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，則a與b垂直，記作__________．
2．平面向量的數(shù)量積
__________叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab＝__________.可見，ab是實數(shù)，可以等于正數(shù)、負數(shù)、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
數(shù)量積的記號是ab，不能寫成a×b，也不能寫成ab.
向量數(shù)量積滿足下列運算律：
①ab＝__________(交換律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(數(shù)乘結(jié)合律)．
3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性質(zhì)幾何表示坐標(biāo)表示
定義ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝

a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夾角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

|ab|與|a||b|的關(guān)系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22

對點練習(xí)：
1．已知下列各式：
①|(zhì)a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正確的有()．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
2．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝12，12，則下列結(jié)論中正確的是()．
A．|a|＝|b|B．a(chǎn)b＝22
C．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)－b與b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2且a與b的夾角為π3，則|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，則a與b的夾角是__________．

【合作探究】
典例精析：
一、平面向量數(shù)量積的運算
例1、（1)在等邊△ABC中，D為AB的中點，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.

變式練習(xí)：
如圖，在菱形ABCD中，若AC＝4，則CA→AB→＝________.

規(guī)律總結(jié)：
向量數(shù)量積的運算與實數(shù)運算不同：
(1)若a，b為實數(shù)，且ab＝0，則有a＝0或b＝0，但ab＝0卻不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，則由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0卻不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結(jié)合律)成立，但對于向量a，b，c，而(ab)c與a(bc)一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．
(4)若a，b∈R，則|ab|＝|a||b|，但對于向量a，b，卻有|ab|≤|a||b|，等號當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時成立．
二、兩平面向量的夾角與垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面積．
規(guī)律總結(jié)：
1．?dāng)?shù)量積大于0說明兩向量的夾角為銳角或共線同向；數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角；數(shù)量積小于0說明兩向量的夾角為鈍角或反向．
2．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．
變式練習(xí)：
已知平面內(nèi)A，B，C三點在同一條直線上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求實數(shù)m，n的值．

三、求平面向量的模
例3、（1）設(shè)單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

規(guī)律總結(jié)：
利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x2＋y2.
變式練習(xí)：
已知a與b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．

四、平面向量的應(yīng)用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O為坐標(biāo)原點，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面積S.

變式練習(xí)：
△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設(shè)點P，Q滿足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，則λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在長江南岸渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為__________．
4．給出以下四個命題：
①對任意兩個向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是兩個不共線的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A，B，C共線λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則a＋b與a－b的夾角為90°；
④若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，則a，b的夾角為60°.
以上命題中，錯誤命題的序號是__________．

【課時作業(yè)】
1.已知向量a和b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知兩個非零向量a與b，定義|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a與b的夾角是銳角，則實數(shù)m的取值范圍是________．
5.已知向量a，b滿足|2a＋b|＝7，且a⊥b，則|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，則邊c的長為________．
7、已知a=(4,2)，（1）求與a垂直的單位向量；
（2）與垂直的單位向量；（3）與平行的單位向量

8、已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三點A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三點A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件；
(2)若△ABC為直角三角形，求k的值．

高二數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義

高中數(shù)學(xué)必修四2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角導(dǎo)學(xué)案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；能利用數(shù)量積的性質(zhì)解決有關(guān)問題；
2.掌握向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，能解決一些簡單問題.
【知識梳理】
知識回顧：
1．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)與為兩個非零向量.
(1)、=
(2)、當(dāng)與同向時，=，
當(dāng)與反向時，=
特別的：=_____或，
||≤||||，
cos=________
新知探究：
已知非零向量，，怎樣用和的坐標(biāo)表示？
1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：
=
即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

2.平面內(nèi)兩點間的距離公式
（1）設(shè)，
則或.
（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么
(平面內(nèi)兩點間的距離公式)

3.向量垂直的判定：設(shè)，，則

4.兩向量夾角的余弦（）
cos==

思考感悟:
向量不能比較大小，也不能與數(shù)0比較大小，但能否有0（0）？

對點練習(xí)：
1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),則a→b→等于()
A.—14B.—7
C.7D.8

2.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1),則(a→b→)c→等于()
A.—14B.—7
C.(7,—7)D.(—7,7)

3.已知A(—1,1),B(1,2),則|AB→|等于()
A.5B.
C.—1D.7

4.已知a→=(3,4),b→=(5,12),則a→,b→夾角的余弦為()
A.6365B.65
C.135D.13

【合作探究】
典例精析：
例1.已知向量，；
（1）求，；
（2）求的值；
（3）求的值；

變式1：已知向量，；
（1）求向量與的夾角；
（2）若向量與垂直，求的值；

例2.設(shè)=(5，7)，=(6，4)，求及、間的夾角θ的余弦值。

變式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.

【課堂小結(jié)】
夾角為銳角（鈍角）

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1．已知向量＝(1，－1)，＝(2，x)，若＝1，則x等于()
A．－1B．－12
C.12D．1
2.已知a→=(—4,3),b→=(5,6),則3|a→|2—4a→b→=()
A.23B.57C.63D.83

3.與a→=(3,4)垂直的單位向量是()
A.(45,35)B.(—45,—35)
C.(45,—35)或(—45,35)
D.(45,35)或(—45,—35)

4.已知|m→|=6,n→=(cosθ,sinθ),m→n→=9,則m→,n→的夾角為()
A.150B.120
C.60D.30

【課時作業(yè)】
1、已知A(—1,1),B(1,2),C(3,12),則AB→AC→等于()
A.52B.152C.—52D.—152

2.若a→=(—2,1)與b→=(—1,—m5)互相垂直，則m的值為()
A.—6B.8C.—10D.10

3.a→=(2,3),b→=(—3,5),則a→在b→方向上的投影為______.

4.已知三個點A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a→=BC→,b→=CA→，則a→與b→的夾角為

5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點P(x，-)在線段AB的中垂線上，則x=.

6.已知，，對以下兩種情況分別求出m值，
(1)⊥，(2)∥。

8*．已知向量,向量求的最值，
9*.a→=(1,2),b→=(—3,2),當(dāng)k為何值時：
(1)ka→+b→與a→—3b→垂直?
(2)ka→+b→與a→—3b→平行嗎？平行時它們是同向還是反向？

10*、以原點和A(5，2)為頂點作等腰直角△OAB，使B=90，求點B和向量的坐標(biāo).

【延伸探究】
已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|AD→|與點D的坐標(biāo)．