小學(xué)三角形教案

中考數(shù)學(xué)特殊三角形（2）復(fù)習(xí)教案。

作為老師的任務(wù)寫(xiě)教案課件是少不了的，大家在用心的考慮自己的教案課件。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計(jì)劃，才能促進(jìn)我們的工作進(jìn)一步發(fā)展！你們會(huì)寫(xiě)多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“中考數(shù)學(xué)特殊三角形（2）復(fù)習(xí)教案”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

教學(xué)說(shuō)明：本單元的熱點(diǎn)是等腰三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)和判定；等邊三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)和判定；勾股定理及其逆定理及相關(guān)的新穎題。

教學(xué)過(guò)程：

一．典型例題：

例1．已知：如圖，△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，使AE=BD，連結(jié)CE、DE，求證：EC=ED

例2．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個(gè)正方形，S1、S2、S3分別表示這三個(gè)正方形的面積，S1=81，S3=225，則S2=

例3．如圖（1）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，圖（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形。請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形。

（1）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫(xiě)出它是什么圖形；

（2）用這個(gè)圖形證明色股定理；

（3）假設(shè)圖（1）中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖（1）中的所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出拼后的示意圖，并能簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。

例4．在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L(zhǎng)為17cm、寬為16cm的長(zhǎng)方形紙板上，剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形的邊上）。請(qǐng)你幫助同學(xué)們計(jì)算剪下的等腰三角形的面積。

例5．四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月在北京召開(kāi)，我校的孫海洋、陳曉瑩兩同學(xué)有幸參加了此次盛會(huì)。大會(huì)的會(huì)徽如圖（1），它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形。

（1）若大正方形的面積是13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為5，求中間小正方形的面積。

（2）現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖（2），請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形。（要求：先在圖（2）中畫(huà)出分割線(xiàn)，再畫(huà)出拼成的正方形并表明相應(yīng)的數(shù)據(jù)）

例6．設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，a和b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

（1）試判斷△ABC是否為直角三角形，并說(shuō)明理由；

（2）若△ABC為等腰三角形，求a、b、c的值。

三、同步練習(xí)：

1．如圖，在正方形ABCD外作一正三角形ABE。BD、EC相交于點(diǎn)F，則∠AFD的大小是（）

A．60°B50°C45°D75°

2．已知點(diǎn)A為直線(xiàn)MN外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C分別為直線(xiàn)MN上兩點(diǎn)，且AC=5，AB=13，BC=12。若點(diǎn)E也在直線(xiàn)MN上，且AE=7，則BE=

A．B．C．D．

3．底角為15°，腰長(zhǎng)為a的等腰三角形的面積是。

4．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是中線(xiàn)，△ADE是等邊三角形，求證：BD=BE

5．如圖，∠ACB=3∠B，∠1=∠2，CD⊥AD于D，求證：AB-AC=2CD

6．將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n（0n90°），得正方形AB2C3D4，B1C1交CD于點(diǎn)E。

（1）求證：B1E=DE

（2）簡(jiǎn)要說(shuō)明四邊形AB1ED存在一個(gè)內(nèi)切圓；

（3）若n=30°，AB=，求四邊形AB1ED內(nèi)切圓的半徑r。

教后：

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中考數(shù)學(xué)三角形二復(fù)習(xí)

初三第一輪復(fù)習(xí)第26課時(shí)：三角形（二）
【知識(shí)梳理】
1．全等三角形:、的三角形叫全等三角形.
2.三角形全等的判定方法有:、、、.直角三角形全等的判定除以上的方法還有.
3.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形，.
4.全等三角形的面積、周長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)高、、相等.
【課前預(yù)習(xí)】
1、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)O，如果△ABO≌△DEO，則需要添加的條件是（圖中不能添加任何點(diǎn)或線(xiàn)）
2、如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有對(duì)全等三角形．
3、如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于點(diǎn)F.圖中與線(xiàn)段BE相等的多有線(xiàn)段是.
4、如圖所示．△ABC中，BD為∠ABC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，且DE＝2㎝，
AB＝9㎝，BC＝6㎝，則△ABC的面積為.
5、如圖所示．P是∠AOB的平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，
寫(xiě)出圖中一組相等的線(xiàn)段．
【解題指導(dǎo)】
例1如圖11-113所示，BD，CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，
點(diǎn)P在BD的延線(xiàn)上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．
（1）求證AP＝AQ；
（2）求證AP⊥AQ．
例2如圖所示，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC，∠DAB分別對(duì)折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，點(diǎn)C，D都落在AB邊上的F處，你能獲得哪些結(jié)論?
例3如圖所示，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE．請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件．余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的數(shù)學(xué)命題（用序號(hào)的形式寫(xiě)出）：．
例4兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B、C、E在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)DC．
（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；
（2）證明：．

【鞏固練習(xí)】
1、如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是.
2、如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)A、D在直線(xiàn)BE的兩側(cè)，AB∥DE，BF=CE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得AC=DF．
3、已知△ABC中，AB=BC≠AC，作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出個(gè).
4、如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=.

5、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交DC于點(diǎn)E．
求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE

【課后作業(yè)】班級(jí)姓名
一、必做題:
1．如圖1所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線(xiàn)，∠A＝80°∠ACB＝60°，那么∠BDC等于°
圖1圖2圖3圖4
2．如圖2所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，則下列結(jié)論：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△CAN≌△BAM．其中正確的有.
3．已知如圖3所示的兩個(gè)三角形全等，則∠a的度數(shù)是°
4．如圖4所示,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC,AC，BD交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有對(duì).
5．如圖5所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AD＝3，則
點(diǎn)D到BC的距離是.
圖5圖6圖7圖8
6．如圖6所示，尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線(xiàn)的方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)OP．連接CP，DP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是.
7．如圖7所示，已知CD＝AB，若運(yùn)用“SAS”判定△ADC≌△CBA，從圖中可以得到的條件是，需要補(bǔ)充的直接條件是．
8．如圖8所示，已知BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分別為F，E，且BF＝DE，又AE＝CF，則AB與CD的位置關(guān)系是．
9．如圖所示，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
（1）求證△ABC≌△DEF；（2）求證BE＝CF．

10．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．CE⊥BE，CE與AB相交于點(diǎn)F，AD⊥CF于點(diǎn)D，且AD平分∠FAC．請(qǐng)寫(xiě)出圖中的兩對(duì)全等三角形，并選擇其中一對(duì)加以證明．

二、選做題
11．如圖9所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D．E，F(xiàn)分別是CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝AF如果∠AED＝62°，那么∠DBF等于（）
12．如圖10，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2．按以下步驟作圖：
①以A為圓心，以小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，D；②分別以D，E為圓心，以大于DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③連接AP交BC于點(diǎn)F．那么：
（1）AB的長(zhǎng)等于；（2）∠CAF＝．
13．如圖11所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數(shù)是．
圖9圖10圖11
14．如圖所示．在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，E為AC上一點(diǎn)，連接EB，ED．
（1）求證△BEC≌△DEC；
（2）延長(zhǎng)BE交AD于F，當(dāng)∠BED＝120°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)．

15．（1）如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B，C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線(xiàn)上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證AM＝MN．
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB．下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程．（在同一三角形中，等邊對(duì)等角）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖所示），N是∠ACP的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時(shí)，結(jié)論AM＝MN是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝時(shí)，結(jié)論AM＝MN仍然成立．（直接寫(xiě)出答案，不需要證明）

相似三角形（2）中考復(fù)習(xí)教案

作為老師的任務(wù)寫(xiě)教案課件是少不了的，大家正在計(jì)劃自己的教案課件了。各行各業(yè)都在開(kāi)始準(zhǔn)備新的教案課件工作計(jì)劃了，才能更好的在接下來(lái)的工作輕裝上陣！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？以下是小編為大家收集的“相似三角形（2）中考復(fù)習(xí)教案”僅供參考，希望能為您提供參考！

教學(xué)重點(diǎn)：注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化的思考方法。

教學(xué)過(guò)程：例題分析

例1．如圖，將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線(xiàn)都在同一平面內(nèi)，回答下列問(wèn)題：

（1）圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫(xiě)出來(lái)；

（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，把它們一一寫(xiě)出來(lái)。

例2．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，連結(jié)AP，過(guò)P點(diǎn)作PE交DC于E，使得∠APE=∠B(1)求證：△ABP∽△PCE；(2)求等腰梯形的腰AB的長(zhǎng)；

(3)在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例3．已知：如圖，BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F，弦AC與BF交于點(diǎn)H，且AE=BE.

求證：（1）︵AB=︵AF；

（2）AHBC=2ABBE.

例4．如圖矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，AD=3，點(diǎn)D在直線(xiàn)上，AB在x軸上。

（1）求矩形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為E，M（x，0）為x軸上的一點(diǎn)（x＞0），若ΔEOM∽ΔCBM，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P沿y軸在原點(diǎn)O（0，0），與H（0，-6）點(diǎn)之間移動(dòng)，問(wèn)過(guò)P、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是否在此矩形的內(nèi)部，請(qǐng)說(shuō)名理由。

例5．已知如圖，ΔABC的內(nèi)接矩形EFGH的一邊在BC上，高AD=16，BC=48。

（1）若EF：FH=5：9，求矩形EFGH的面積；

（2）設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為y，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）按題設(shè)要求得到的無(wú)數(shù)多個(gè)矩形中，是否能夠找到兩個(gè)不同的矩形，使它們的面積之和等于ΔABC的面積？若能找到，請(qǐng)你求出它們的邊長(zhǎng)EH，若找不到，請(qǐng)你說(shuō)明理由。

例6．如圖（1），AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明成立（不要求證明），若將圖中的垂直改為斜交，如圖（2），AB∥CD，AD，BC，相交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF∥AB，交BD于F，則：

（1）還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若AB、CD是方程的兩根，設(shè)EF為y，求y與m之間的關(guān)系式及m的取值范圍。

（3）請(qǐng)給出，，間的關(guān)系式，并給出證明。

例7.如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AB垂直于弦CD，垂足為M，弦AE與CD交于F，則有結(jié)論AD2=AEAF成立(不要求證明)．

(1)若將弦CD向下平移至與⊙O相切于B點(diǎn)時(shí)，如圖2，則AE．AF是否等于AG2?如果不相等，請(qǐng)?zhí)角驛EAF等于哪兩條線(xiàn)段的積?并給出證明．

(2)當(dāng)CD繼續(xù)向下平移至與⊙O相離時(shí)，如圖3，在(1)中探求的結(jié)論是否還成立，并說(shuō)明理由

二．同步檢測(cè)

1．在梯形ABCD中AD∥BC,AC與BD交于點(diǎn)O，如果AD:BC=1:3，下列結(jié)論正確（）

A.B.C.D.

2．已知一個(gè)梯形被一條對(duì)角線(xiàn)分成兩個(gè)相似三角形，如果兩腰的比為1：4，那么兩底的比為（）

A.1:2B.1:4C.1:8D:1:16

3．一油桶高0.8m，桶內(nèi)未盛滿(mǎn)油，一根木棒長(zhǎng)1m，從桶該小口斜插入桶內(nèi)，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長(zhǎng)0.8m，則桶內(nèi)油面的高度為_(kāi)_________m。

4．如圖，PA為圓的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC為割線(xiàn)，∠APC的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求證：(1)AD=AE；(2)ABAE=ACDB．

5．已知如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD于點(diǎn)H，P為AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），CP與BD交于點(diǎn)E，若CH=60/13，DH：CD=5：13，設(shè)AP=x，四邊形ABEP的面積為y。

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)四邊形ABEP的面積是ΔPED面積的5倍時(shí)，連接PB，判斷ΔPAB與ΔPDC是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。

6．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥EC交AB于F，連接FC（AB＞AE）。

（1）ΔAEF與ΔEFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）設(shè)，是否存在這樣的k值，使得ΔAEF∽ΔBCF？若存在，證明你的結(jié)論并求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

7．如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B。請(qǐng)?jiān)谏渚€(xiàn)BF上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似（請(qǐng)注意：全等三角形是相似圖形的特例）。

8．如圖，在ABC中，點(diǎn)E、F在BC邊上，點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，四邊形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面積與ADG的面積相等，設(shè)ABC的BC邊上的高AH與DG相交于點(diǎn)K。求的值。

9．如圖，正ABC的邊長(zhǎng)為a，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點(diǎn)P。

（1）求證：DP=PE；

（2）若D為AC的中點(diǎn)，求BP的長(zhǎng)。

10．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，垂足為E，

AD=BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AD于F。

求證：（1）AF=BE；

（2）

中考數(shù)學(xué)三角形專(zhuān)題總復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題基礎(chǔ)知識(shí)回顧四三角形

一、單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

二、考試目標(biāo)要求：

1．了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)），會(huì)畫(huà)出任意三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)

和高，了解三角形的穩(wěn)定性.

2．探索并掌握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì).

3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件.

4．了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件；

了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì).

5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件.

6．體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

三、知識(shí)考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)

1．三角形的概念

由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2．三角形的分類(lèi)

(1)按邊分類(lèi)：

(2)按角分類(lèi)：

3．三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰

的內(nèi)角.

4．三角形三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5．三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系

在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊.

6．三角形具有穩(wěn)定性.

知識(shí)點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線(xiàn)

三角形中的四條特殊的線(xiàn)段是：高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn).

1．內(nèi)心：

三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.

2．外心：

三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

3．重心：

三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.

4．垂心：

三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn).

5．三角形的中位線(xiàn)：

連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段是三角形的中位線(xiàn).

中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.

(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.

(3)直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn).

(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內(nèi)部.

知識(shí)點(diǎn)三、全等三角形

1．定義：

能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

2．性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)邊相等

(2)對(duì)應(yīng)角相等

(3)對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)邊的中線(xiàn)和高相等

(4)周長(zhǎng)、面積相等

3．判定：

(1)邊角邊(SAS)

(2)角邊角(ASA)

(3)角角邊(AAS)

(4)邊邊邊(SSS)

(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

判定三角形全等至少必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.

知識(shí)點(diǎn)四、等腰三角形

1．定義：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)

(3)頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊上的高互相重合(三線(xiàn)合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3．判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

知識(shí)點(diǎn)五、直角三角形

1．定義：

有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

2．性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余；

(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；

(7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.

3．判定：

(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

(2)一條邊上的中線(xiàn)等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，則這個(gè)三角形是直角三角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.

知識(shí)點(diǎn)六、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)

1．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：

經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理：

(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

(2)與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)可以看作是與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

2．角平分線(xiàn)的性質(zhì)：

(1)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上；

(3)角的平分線(xiàn)可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.

四、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

本單元中所學(xué)的三角形性質(zhì)、角平分線(xiàn)性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、直角三角形中的勾股定理等，都是在結(jié)合圖形的基礎(chǔ)上，求線(xiàn)段或角的度數(shù)，證明線(xiàn)段或角相等.在幾何學(xué)習(xí)中，應(yīng)會(huì)利用幾何圖形解決實(shí)際問(wèn)題.

2．分類(lèi)討論思想

在沒(méi)給圖形的前提下，畫(huà)三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時(shí)要考慮分類(lèi)：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

3.化歸與轉(zhuǎn)化思想

在解決利用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算、證明問(wèn)題時(shí)，通過(guò)做輔助線(xiàn)、利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確推理等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)相對(duì)較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問(wèn)題，已知與未知之間的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化.

4．注意觀察、分析、總結(jié)

應(yīng)將三角形的判定及性質(zhì)作為重點(diǎn)，對(duì)于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運(yùn)用，注重積累解題思路和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題的能力和培養(yǎng)，淡化純粹的幾何證明.

學(xué)會(huì)演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

經(jīng)典例題透析

考點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)

1．（1）（2010山東濟(jì)寧）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2︰3︰4，那么這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

思路點(diǎn)撥：三角形的內(nèi)角和為180°，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的份數(shù)和是9，每一份度數(shù)是20，則三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.

答案：B

（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是()

A．-6＜a＜-3B．-5＜a＜-2C．2＜a＜5D．a(chǎn)＜-5或a＞-2

思路點(diǎn)撥：涉及到三角形三邊關(guān)系時(shí)，盡可能簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應(yīng)選B.

舉一反三：

【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡(jiǎn)得_________.

思路點(diǎn)撥：本題利用三角形三邊關(guān)系，使問(wèn)題代數(shù)化，從而化簡(jiǎn)得出結(jié)論.

解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊∴a-b-c＜0，b-a-c＜0

∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

【變式2】有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現(xiàn)任取其中的三根木棒，組成一個(gè)三角形，問(wèn)有幾種可能()

A.1種B.2種C.3種D.4種

解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應(yīng)選C.

【變式3】等腰三角形中兩條邊長(zhǎng)分別為3、4，則三角形的周長(zhǎng)是_________.

思路點(diǎn)撥：要分類(lèi)討論，給出的邊長(zhǎng)中，可能分別是腰或底.注意滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系.

解析：(1)當(dāng)腰為3時(shí)，周長(zhǎng)=3+3+4=10；(2)當(dāng)腰為4時(shí)，周長(zhǎng)=3+4+4=11.所以答案為10或11.

2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線(xiàn)，則圖中的等腰三角形有（）

A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)

考點(diǎn)：等腰三角形

答案：A

（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是______.

考點(diǎn)：直角三角形兩銳角互余.

解析：△ABC中，∠C=∠ABC-∠A=90°-50°=40°

又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.

3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿(mǎn)足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中()

A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45°B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°

C.一定是直角三角形D.一定是鈍角三角形

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和180°.

思路點(diǎn)撥：會(huì)靈活運(yùn)和三角形內(nèi)角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.

解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴∠A=45°，∴選A，其它三個(gè)答案不能確定.

舉一反三：

【變式1】下圖能說(shuō)明∠1＞∠2的是()

考點(diǎn)：三角形外角性質(zhì).

思路點(diǎn)撥：本類(lèi)題目考查學(xué)生了解三角形外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.

解析：A中∠1和∠2是對(duì)頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線(xiàn)平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個(gè)外角，∠2是和它不相鄰的內(nèi)角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.

總結(jié)升華：三角形內(nèi)角和180°以及邊角之間的關(guān)系，在習(xí)題中往往是一個(gè)隱藏的已知條件，在做題時(shí)要注意審題，并隨時(shí)作為檢驗(yàn)自己解題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).

【變式2】如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

思路點(diǎn)撥：理解直角三角形定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和得出結(jié)論.

解析：若△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.

【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和；(3)三角形中最大的內(nèi)角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內(nèi)角之和必大于90°，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

思路點(diǎn)撥：本題的解題關(guān)鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數(shù)的確定.

解析：(2)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形中最大的內(nèi)角若小于60°，則三個(gè)角的和就小于180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內(nèi)角之和若不大于90°，則另一個(gè)內(nèi)角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯(cuò)，故選B.

考點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線(xiàn)

4．（1）與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的()

A.二條中線(xiàn)的交點(diǎn)B.二條高線(xiàn)的交點(diǎn)

C.三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)

考點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理.

思路點(diǎn)撥：三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.答案D若改成二邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)也正確.

（２）（2010四川眉山）如圖，將第一個(gè)圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖②）；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖③）；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個(gè)圖中，共有________個(gè)正三角形．

考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)找規(guī)律

思路點(diǎn)撥：圖①有１個(gè)正三角形；圖②有（１＋４）個(gè)正三角形；

圖③有（１＋４＋４）個(gè)正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；

圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；…．

答案：17

5．一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線(xiàn)上，則這個(gè)三角形一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

考點(diǎn)：三角形角平分線(xiàn)定理.

思路點(diǎn)撥：本題考查三角形的內(nèi)心是三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，若內(nèi)心在一條高線(xiàn)上，又符合三線(xiàn)合一的性質(zhì).所以該三角形是等腰三角形.故選B.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內(nèi)心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數(shù).

考點(diǎn)：三角形外心、內(nèi)心、垂心性質(zhì).

解析：∠A是銳角時(shí)，(1)O為外心時(shí)，∠BOC=2∠A=116°；

(2)O為內(nèi)心時(shí)，∠BOC=90°+∠A=119°；

(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.

【變式2】如果一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形是()

A.銳角三角形B.只有兩邊相等的銳角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形或直角三角形

解析：三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部；銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點(diǎn)上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.

【變式3】能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的線(xiàn)段，是三角形的()

A.中線(xiàn)B.高線(xiàn)C.邊的中垂線(xiàn)D.角平分線(xiàn)

思路點(diǎn)撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.

解析：三角形的一條中線(xiàn)分得的兩個(gè)三角形底相等，高相同.應(yīng)選A.

6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是（）

A、15米B、20米C、25米D、30米

考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理.

思路點(diǎn)撥：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０

答案：C