小學數(shù)學角教案

中考數(shù)學專題：線段角的計算證明問題。

老師工作中的一部分是寫教案課件，大家在著手準備教案課件了。是時候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個新的規(guī)劃了，才能使接下來的工作更加有序！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“中考數(shù)學專題：線段角的計算證明問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學專題1線段角的計算證明問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，梯形中，，．求的長．

【思路分析】線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知條件當中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個有大量已知條件的直角三角形當中.于是有解如下.

【解析】

作于于

，

四邊形是矩形．

是的邊上的中線．

在中，

【例2】已知：如圖，在直角梯形中，∥，，于點O，，求的長.

【思路分析】這道題給出了梯形兩對角線的關系.求梯形上底.對于這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關系(例如對角線平分某角)的題,一般思路是將對角線提出來構造一個三角形.對于此題來說,直接將AC向右平移,構造一個以D為直角頂點的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一,而另一條線段BC是已知的.于是問題迎刃而解.

【解析】

過點作交的延長線于點.

∴.

∵于點,[教師范文大全 www.JK251.cOM]

∴四邊形為平行四邊形.

∴

此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互余關系，證明△ACD和△DBC相似，從而利用比例關系直接求出CD。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究。

【例3】如圖，在梯形中，，，，為中點，．求的長度

．

【思路分析】這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過D做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢?答案就隱藏在E是中點這個條件中.在梯形中,一腰中點是很特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點,另一方面中點和其他底,腰的中點連線就是一些三角形的中線,利用中點的比例關系就可以將已知條件代入.比如這道題,過中點E做BC的垂線,那么這條垂線與AD延長線,BC就構成了兩個全等的直角三角形.并且這兩個直角三角形的一個銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.

【解析】

過點作的垂線交于點，交的延長線于點.

在梯形中，，是的中點，

∴

∵，∴.

在中，，

∴.

在中，

【總結】以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類:

1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+一矩形

2、平移一腰，分梯形為平行四邊形+三角形

3、延長梯形兩腰交于一點構造三角形

4、平移對角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形

5、連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構筑兩個全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關的計算。我們接下來看看和角度有關的計算與證明問題。

【例4】如圖，在梯形中，，平分，過

點作，交的延長線于點，且，，，

求的長．

【思路分析】此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角，然后有角度之間的關系。面對這種題目還是需要將已知的角度關系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角C與角1，2，3以及角E的關系。于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解。

【解析】：

∵

∴

∴梯形是等腰梯形

【例5】已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB

的兩側(cè).

如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；

【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并不會太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求AB比較容易，過A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將△APB分成兩個有很多已知量的RT△。但是求PD時候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個鈍角三角形，所以就需要我們將PD放在一個直角三角形中試試看。構筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過P做DA延長線的垂線交DA于F，DF交PB于G。這樣一來，得到了△PFA△AGE等多個RT△。于是與已求出的AB等量產(chǎn)生了關系，得解。

【解析】：

如圖，作AE⊥PB于點E．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴．

如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，

（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關系）

，．

在Rt△PFG中，可得，．

【總結】由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關系過度給未知角度。所以，構建輔助線一般也是從這個思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來達到求解的目的。

第二部分發(fā)散思考

通過以上的一模真題，我們對線段角的相關問題解題思路有了一些認識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，

AD+BC=，且，求CD的長．

【思路分析】前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個RT三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構造更大的一個RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。

[解法見后文]

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點，已知BC=7，MN=3，求EF

【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關計算方法，也對三點共線提出了要求。若求EF，因為BC已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B，角C的度數(shù)，應該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。

（解法見后）

【思考3】已知，延長到，使．取的中點，連結交于點．

⑴求的值；

⑵若，，求的長．

【思路分析】求比例關系，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有一個等量關系BC=CD，又有F中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關系來構造數(shù)個相似三角形就成了獲得比例的關鍵。

（解法見后）

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長．

【思路分析】中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構造出兩個全等三角形，很多問題就可以輕松求解。本題中，D為中點，所以大家可以看看如何在這個里面構造倍長中線。

（解法見后）

【思考5】如圖，在四邊形中，為上一點，和都是等邊三角形，、、、的中點分別為、、、，試判斷四邊形為怎樣的四邊形，并證明你的結論．

【思路分析】此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對各個特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。

（解法見后）

第三部分思考題答案

思考1

【解析】：作DE⊥BC于E，過D作DF∥AC交BC延長線于F．

則四邊形ADFC是平行四邊形，∴，DF=AC．

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD．∴

又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．

∴ΔBDF是等腰直角三角形

∴

在中，

思考2

【解析】：

延長BA，CD交于點H，連接HN，

因為∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°

所以HN=DN（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）

∠NHD=∠NDH=60°

連接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。

所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當然認為他們共線，其實還是要證明一下）

所以HM=3.5，NH=0.5AN=0.5

所以AD=1EF=（1+7）/2=4

思考3

【解析】⑴過點作，交于點．

∵為的中點

∴為的中點，

由，得，

∴

⑵∵，∴

又，∴

∵，∴．

思考4

【解析】：

延長ED至點G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G．

則△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．

因為∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．

因為DF垂直平分EG，所以FG=EF．

在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF=5．

思考5

【解析】：

證明：如圖，連結、．

∵為的中位線，

∴，．

同理，．

∴，，

∴四邊形為平行四邊形．（有些同學做到這一步就停了，沒有繼續(xù)發(fā)現(xiàn)三角形全等這一特點，從而漏掉了菱形的情況，十分可惜）

在和中，

，，，

即．

∴．

∴．

∴

∴四邊形為菱形．

延伸閱讀

中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何問題

一般給學生們上課之前，老師就早早地準備好了教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。在寫好了教案課件計劃后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫多少教案課件范文呢？小編特地為您收集整理“中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何問題”，希望對您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學專題3動態(tài)幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設運動的時間為（秒）．

（1）當時，求的值；

（2）試探究：為何值時，為等腰三角形．

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關系的。所以當題中設定MN//AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結果。

【解析】

解：（1）由題意知，當、運動到秒時，如圖①，過作交于點，則四邊形是平行四邊形．

∵，．

∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題）

∴．（這個比例關系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關鍵）

∴．解得．

【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當時，如圖②作交于，則有即．（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）

∵，

②當時，如圖③，過作于H．

則，

③當時，

則．

．

綜上所述，當、或時，為等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45．點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如圖①，且點D在線段BC上運動．試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論．

（2）如果AB≠AC，如圖②，且點D在線段BC上運動．（1）中結論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC＝，，CD=，求線段CP的長．（用含的式子表示）

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運動產(chǎn)生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞，就可以得解。

【解析】：

（1）結論：CF與BD位置關系是垂直；

證明如下：AB=AC，∠ACB=45，∴∠ABC=45．

由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．

【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。

（2）CF⊥BD．(1)中結論成立．

理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD

【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關系即可求出CP.

（3）過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

①點D在線段BC上運動時，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，

易證△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

②點D在線段BC延長線上運動時，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．

過A作交CB延長線于點G，則．CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴，∴，

【例3】已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形．

（1）求證：梯形是等腰梯形；

（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變．設求與的函數(shù)關系式；

（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由．

【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定∠MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關系.怎么證相似三角形呢?當然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

（1）證明：∵是等邊三角形

∴

∵是中點

∴

（2）解：在等邊中，

∴(這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩)

∵∴

∴∴(設元以后得出比例關系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求△PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。

（3）解：為直角三角形

∵

∴當取最小值時，

∴是的中點，而

以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.

【例4】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接．

（1）直接寫出線段與的數(shù)量關系；

（2）將圖1中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點，連接，．

你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

（3）將圖1中繞點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）

【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將△BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關系，如何構建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。

（1）

（2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即．

證明：連接，過點作于，與的延長線交于點．

在與中，

∵，

∴．

∴．

在與中，

∵，

∴．

∴

在矩形中，

在與中，

∵，

∴．

∴．

∴

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果△BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在△BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H，從而構造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了。

（3）（1）中的結論仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B′處．

（1）當=1時，CF=______cm，

（2）當=2時，求sin∠DAB′的值；

（3）當=x時（點C與點E不重合），請寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式，（只要寫出結論，不要解題過程）．

【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延長之后一眼看出，EAZY）

（2）①如圖1，當點E在BC上時，延長AB′交DC于點M，

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．

∵=2，∴CF=3．

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．

設MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62，解得k=MA=．∴DM=．（設元求解是這類題型中比較重要的方法）

∴sin∠DAB′=；

②如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B′E于點N，

同①可得NA=NE．

設NA=NE=m，則B′N=12-m．

在Rt△AB′N中，由勾股定理，得

m2=(12-m)2+62，解得m=AN=．∴B′N=．

∴sin∠DAB′=．

（3）①當點E在BC上時，y=；

（所求△AB′E的面積即為△ABE的面積，再由相似表示出邊長）

②當點E在BC延長線上時，y=．

【總結】通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結這種問題的一般思路如下：

第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關系，如何建立這種關系。

第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關系。如果沒有靜止狀態(tài)，通過比例，相等等關系建立變量間的函數(shù)關系來研究。

第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學丟分就丟在沒有討論，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當中的比例關系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關鍵。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點、分別在、上運動（點與點不重合、點與點不重合），是邊上的動點（點與、不重合），在運動過程中始終保持，且．

（1）求證：∽；

（2）如圖（2），當點為邊的中點時，求證：；

（3）設，請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關？若有關，請用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關，請說明理由．

【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關系當中，看是否為定值，如果是關于M的函數(shù)，那么就是有關，如果是一個定值，那么就無關，于是就可以得出結論了。

【思考2】△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，

且∠PBC平分線上的一點D滿足DB=DA，

（1）當BP與BA重合時（如圖1），∠BPD=°；

（2）當BP在∠ABC的內(nèi)部時（如圖2），求∠BPD的度數(shù)；

（3）當BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出∠BPD的度數(shù)，并畫出相應的圖形．

【思路分析】本題中，和動點P相關的動量有∠PBC，以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考一下~

【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．

點O為BC邊上的一個動點，連結OD，以O為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連結MN．

（1）當BO=AD時，求BP的長；

（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明理由；

（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作⊙C，請直接寫出當⊙C存在時，⊙O與⊙C的位置關系，以及相應的⊙C半徑CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關圓的動點問題。在和圓有關的問題當中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。

【思考4】在中，過點C作CE⊥CD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)

（1）在圖1中畫圖探究：

①當P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時，連結EP1繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關系，并加以證明；

②當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結EP2,將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.

（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的條件下，設CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關系建立函數(shù)式，但是實際過程中很多同學依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上А＝ㄗh大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

（1）證明：∵，∴．∴．

又∵，∴．

∴．∴∽．

（2）證明：如圖，過點作，交于點，

∵是的中點，容易證明．

在中，∵，∴．

∴．

∴．

（3）解：的周長，．

設，則．

∵，∴．即．

∴．

由（1）知∽，

∴．

∴的周長的周長．

∴的周長與值無關．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD=30°；

（2）如圖8，連結CD．

解一：∵點D在∠PBC的平分線上，

∴∠1=∠2．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵BD=BD，

∴△PBD≌△CBD．

∴∠BPD=∠3．-----------------3分

∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，

∴△BCD≌△ACD．

∴．

∴∠BPD=30°．

解二：∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC．

∵DB=DA，

∴CD垂直平分AB．

∴．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵點D在∠PBC的平分線上，

∴△PBD與△CBD關于BD所在直線對稱．

∴∠BPD=∠3．

∴∠BPD=30°．

（3）∠BPD=30°或150°．

圖形見圖9、圖10．

【思考3解析】

解：（1）過點A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．

∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

當BO=AD=3時，在⊙O中，過點O作OH⊥AB,則BH=HP

∵,∴BH=．

∴BP=．

（2）不存在BP=MN的情況-

假設BP=MN成立，

∵BP和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC.

過P作PQ⊥BC，過點O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DOC-

設BO=x，則PO=x,由，得BH=,

∴BP=2BH=.

∴BQ=BP×cosB=，PQ=．

∴OQ=．

∵△PQO∽△DOC，∴即，得．

當時，BP==＞5=AB，與點P應在邊AB上不符，

∴不存在BP=MN的情況.

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時，0＜CN＜6；------7分

情況二：⊙O與⊙C相內(nèi)切，此時，0＜CN≤.-------8分

【思考4解析】

解：（1）①直線與直線的位置關系為互相垂直．

證明：如圖1，設直線與直線的交點為．

∵線段分別繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段，

②按題目要求所畫圖形見圖1，直線與直線的位置關系為互相垂直．

（2）∵四邊形是平行四邊形，

∴．

∴．

可得．

由（1）可得四邊形為正方形．

∴．

①如圖2，當點在線段的延長線上時，

∵，

∴．

∴．

②如圖3，當點在線段上（不與兩點重合）時，

∵，

∴．

③當點與點重合時，即時，不存在．

綜上所述，與之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍是或．

中考數(shù)學操作型問題專題復習

初三第二輪復習專題二：操作型問題

【知識梳理】

操作型問題主要借助三角板、紙片等工具進行圖形的折與展、割與補、平移與旋轉(zhuǎn)等變換，通過動手操作和理性的思考，考查學生的空間想象、推理和創(chuàng)新能力。

解決這類問題需要通過觀察、操作、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等實踐活動和思維過程，靈活運用所學知識和生活經(jīng)驗，探索和發(fā)現(xiàn)結論，從而解決問題．關鍵是抓住圖形變化中的不變性。

【課前預習】

1、如圖，在一張△ABC紙片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個角為銳角的菱形；④正方形，以上圖形一定能被拼成的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

2．如圖，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個直角三角形，展開后得到一個等腰三角形，那么展開后三角形的周長是()

A．2＋B．2＋2C．12D．18

3．將兩個形狀相同的三角尺放置在一張矩形紙片上，按如圖所示畫線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是_______．

【例題精講】

例1、動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如圖①所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為______．

例2、如圖，在一塊正方形ABCD木板上需貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價分別為每平方米60元、80元、40元．

【探究1】如果木板邊長為2米，F(xiàn)C＝1米，則一塊木板用墻紙的費用需________元；

【探究2】如果木板邊長為1米，求一塊木板需用墻紙的最省費用；

【探究3】設木板的邊長為a(a為整數(shù))，當正方形EFCG的邊長為多少時，墻紙費用最省？如果用這樣的多塊木板貼一堵墻(7×3平方米)進行裝飾，要求每塊木板A型的墻紙不超過1平方米，且盡量不浪費材料，則需要這樣的木板多少塊？

例3、如下圖，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片如圖②，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角形紙片擺成如圖③的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合(在圖③至圖⑥中統(tǒng)一用F表示)．

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決．

(1)將圖③中的△ABF沿BD向右平移到圖④的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離．

(2)將圖③中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖⑤的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度．

(3)將圖③中的△ABF沿直線AF翻折到圖⑥的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH＝DH.

例4．如圖所示，有一張長為5，寬為3的矩形紙片ABCD，要通過適當?shù)募羝?，得到一個與之面積相等的正方形．

(1)該正方形的邊長為______(結果保留根號)；

(2)現(xiàn)要求只能用兩條裁剪線，請你設計一種裁剪的方法，在圖中畫出裁剪線，并簡要說明剪拼的過程．

【鞏固練習】

1、七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形．請你用七巧板中標號為①②③的三塊板（如圖①）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形．

(1)拼成矩形，在圖②中畫出示意圖；

(2)拼成等腰直角三角形．在圖③中畫出示意圖．

注意：相鄰兩塊板之間無空隙，無重疊；示意圖的頂點畫在小方格的頂點上．

2、如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)實踐與操作:利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母

(保留作圖痕跡，不寫作法)．

①作△ABC的外接圓，圓心為O；

②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊△ACD；

③連接BD，交⊙O于點E，連接AE.

(2)綜合與運用:在你所作的圖中，若AB＝4，BC＝2，

則：①AD與⊙O的位置關系是_______．②線段AE的長為_______．

【課后作業(yè)】班級姓名

一、必做題：

1、如圖，沿著虛線將長方形剪成兩部分，那么由這兩部分既能拼成平行四邊形，又能拼成三角形和梯形的是()

2、如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；…，根據(jù)以上操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()A．669B．670C．671D．672

3、如圖，從邊長為(a＋4)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a＋1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則矩形的面積為()

A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2

4、請將含60°頂角的菱形分割成至少含一個等腰梯形且面積相等的六部分，用實線畫出分割后的圖形．

5．如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．

(1)請直接寫出點A關于y軸對稱的點的坐標；

(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°.畫出圖形，

直接寫出點B的對應點的坐標；

(3)請直接寫出:以A,B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.

6、如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°，正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動．

(1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；

(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

二、選做題：

7、在二行三列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子(相對面上分別標有1點和6點，2點和5點，3點和4點)，在每一種翻動方式中，骰子不能后退．開始時骰子如圖①那樣擺放，朝上的點數(shù)是2；最后翻動到如圖②所示的位置，此時骰子朝上的點數(shù)不可能是下列數(shù)中的()

A．5B．4C．3D．1

8、正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝b(b2a)，且邊AD和AE在同一直線上．小明發(fā)現(xiàn)：當b＝a時，如圖①，在BA上選取中點G，連接FG和CG，移動△FAG和△CBG的位置可構成正方形FGCH.

(1)類比小明的剪拼方法，請你就圖②和圖③兩種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．

⑵要使(1)中所剪拼的新圖形是正方形須滿足BG:AE=.

9、閱讀下面的材料：

小偉遇到這樣一個問題，如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O．若梯形ABCD的面積為1，試求以AC、BD、AD＋BC的長度為三邊長的三角形的面積．

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題，他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的長度為三邊長的三角形（如圖②）．

請你回答：圖②中△BDE的面積等于_______．

參考小偉同學思考問題的方法，解決下面的問題：

如圖③，△ABC的三條中線分別為AD、BE、CF．

(1)在圖③中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；

(2)若△ABC的面積為1，則以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于_______．

中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題

做好教案課件是老師上好課的前提，大家在認真準備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題》，希望對您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學專題8動態(tài)幾何與函數(shù)問題

【前言】

在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結合代數(shù)知識來考察。而另一個則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數(shù)，方程的應用上。其中通過圖中已給幾何圖形構建函數(shù)是重點考察對象。不過從近年中考的趨勢上看，要求所構建的函數(shù)為很復雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學的考試說明當中“減少復雜性”“增大靈活性”的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復雜計算題僅供參考。

【例1】

如圖①所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線.將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E.

（1）將直線向右平移，設平移距離CD為（t≥0），直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關于的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.

（2）當時，求S關于的函數(shù)解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非常考驗考生對于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學感覺，反應不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動過了0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個構造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動與函數(shù)的變化之間的對應關系，然后利用對應關系去分段求解。

【解】

（1）由圖（2）知，點的坐標是（2，8）

∴由此判斷：；

∵點的橫坐標是4，是平行于軸的射線，

∴

∴直角梯形的面積為：.....(3分)

（2）當時，

陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積(基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關系)

∴

∵

∴.

∴

.

【例2】

已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上△AOE和△FOB這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點的橫坐標和縱坐標，而這個乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設點即可輕松證出結果。第二問有些同學可能依然糾結這個△EOF的面積該怎么算，事實上從第一問的結果就可以發(fā)現(xiàn)這個矩形中的三個RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小RT△面積即可，經(jīng)過一系列化簡即可求得表達式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.

【解析】

（1）證明：設，，與的面積分別為，，

由題意得，．

，．

，即與的面積相等．

（2）由題意知：兩點坐標分別為，，(想不到這樣設點也可以直接用X去代入,麻煩一點而已)

，

．

當時，有最大值．

．

（3）解：設存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．

由題意得：，，，

，．

又，

．(將已知和所求的量放在這一對有關聯(lián)的三角形當中)

，，

．

，，解得．

．

存在符合條件的點，它的坐標為．

【例3】

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。

（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

【思路分析】本題是一道和一元二次方程結合較為緊密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經(jīng)探討過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對于該題來說，當P,Q運動時，△BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關注變化的底邊BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學畫出圖形以后就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量—高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個直角三角形直角邊的比例關系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關，利用這個不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關系才能拿到全分。

【解析】

解：（1）如圖1，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。

∴PM＝DC＝12

∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

（2）由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。熱以B、P、Q三點

為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2

得，解得t＝；

②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：

即。

由于Δ＝－704＜0

∴無解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得

整理，得。解得（舍）（想想看為什么要舍？函數(shù)自變量的取值范圍是多少？）

綜合上面的討論可知：當t＝秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。

（3）設存在時刻t，使得PQ⊥BD。如圖2，過點Q作QE⊥ADS，垂足為E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，

得，即。解得t＝9

所以，當t＝9秒時，PQ⊥BD。

【例4】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當t=2時，AP=，點Q到AC的距離是；

（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與

t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成

為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）當DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值．

【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了思考的難度,但是這個條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應當注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長度,據(jù)此估計出運動可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關系去求解.

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于點F，如圖3，AQ=CP=t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

①當DE∥QB時，如圖4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠AQP=90°．

由△APQ∽△ABC，得，

即．解得．

②如圖5，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠APQ=90°．

由△AQP∽△ABC，得，

即．解得．

（4）或．

【注：①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C．

方法一、連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖6．

，．

由，得，解得．

方法二、由，得，進而可得

，得，∴．∴．

②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7．

，

【例5】

如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于

，當點與點重合時，點停止運動．設，．

（1）求點到的距離的長；

（2）求關于的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算DH的長度實際上就是后面PQ的長度，在構建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關系得出結果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.

解：（1），，，．

點為中點，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關于的函數(shù)關系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當時，過點作于，則．

，，

．

，，

，．

②當時，，

．

③當時，則為中垂線上的點，

于是點為的中點，

．

，

，．

綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．

【總結】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數(shù)的計算能力。解決這類問題需要注意這么幾個點：首先和純動態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函數(shù)的變量放在同一組關系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構造比例關系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節(jié)認真細心，做好每一步。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】

如圖所示，菱形的邊長為6厘米，．從初始時刻開始，點、同時從點出發(fā)，點以1厘米/秒的速度沿的方向運動，點以2厘米/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘米（這里規(guī)定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題：

（1）點、從出發(fā)到相遇所用時間是秒；

（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是秒；

（3）求與之間的函數(shù)關系式．

【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數(shù)。需要將x運動分成三個階段,第一個階段是0≤X≤3，到3時剛好Q到B.第二階段是3≤X≤6，Q從B返回來.第三階段則是再折回去.根據(jù)各個分段運動過程中圖形性質(zhì)的不同分別列出函數(shù)式即可.

【思考2】

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

(1)填空：菱形ABCD的邊長是、面積是、高BE的長是；

(2)探究下列問題：

①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式，以及S的最大值；

②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨攖=4秒時的情形，并求出k的值.

【思路分析】依然是面積和時間的函數(shù)關系，依然是先做垂線，然后利用三角形的比例關系去列函數(shù)式。注意這里這個函數(shù)式的自變量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問翻折后若要構成菱形，則需三角形APQ為等腰三角形即可，于是繼續(xù)分情況去討論就行了。

【思考3】

已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒．

（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為．求四邊形的面積隨運動時間變化的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．

【思路分析】第一問就是看運動到特殊圖形那一瞬間的靜止狀態(tài)，當成正常的幾何題去求解。因為要成為矩形只有一種情況就是PM=QN，所以此時MN剛好被三角形的高線垂直平分，不難。第二問也是較為明顯的分段函數(shù)問題。首先是N過AB中點之前，其次是N過中點之后同時M沒有過中點，最后是M,N都過了中點，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個梯形，且高MN是不變的，所以PM和QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。

這一類題目計算繁瑣，思路多樣，所以希望大家仔細琢磨這8個經(jīng)典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面對它們的時候思路上來的就快，做題自然不在話下了。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）6．

（2）8．

（3）①當0時，

．

②當3時，

=

③當時，設與交于點．

(解法一)

過作則為等邊三角形．

．

（解法二）

如右圖，過點作于點，，于點

過點作交延長線于點．

【思考2解析】

解：（1）5,24,

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.

如圖1,過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=,…………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).（這個自變量的范圍很重要）

∴當t=時，S最大值為6.

②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組

成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可.

當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.

以下分兩種情況討論:

第一種情況：當點Q在CB上時,∵PQ≥BEPA，∴只存在點Q1,使Q1A=Q1P.

如圖2,過點Q1作Q1M⊥AP，垂足為點M，Q1M交AC于點

F,則AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得

,∴,

∴.

∴CQ1==.則,∴.

第二種情況：當點Q在BA上時,存在兩點Q2,Q3,

分別使AP=AQ2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如圖3,CB+BQ2=10-4=6.

則,∴.

②若PA=PQ3，如圖4,過點P作PN⊥AB，垂足為N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE=,∴AN＝.

∴AQ3=2AN=,∴BC+BQ3=10-

則.∴.

綜上所述，當t=4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.

【思考3解析】

過點作垂足為點，

在中，

若不小于，

則

即

踏板離地面的高度至少等于3.5cm．

26．（10分）

（1）過點作，垂足為．

則，

當運動到被垂直平分時，四邊形是矩形，

即時，四邊形是矩形，

秒時，四邊形是矩形．

，

（2）當時，