小學三年級數(shù)學教案

九年級數(shù)學上冊第23章旋轉教案（共12套新人教版）。

第二十三章旋轉
23.1圖形的旋轉
第1課時旋轉的概念及性質(zhì)
※教學目標※
【知識與技能】
了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應用它們解決一些實際問題．
從生活中的數(shù)學開始，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念，應用概念解決一些實際問題.
【過程與方法】
讓學生感受生活中的幾何，通過不同的情景設計歸納出圖形旋轉的有關概念，并用這些概念來解決一些問題．
通過復習圖形旋轉的有關概念從中歸納出“對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前后的圖形全等”等重要性質(zhì)，并運用它解決一些實際問題．
【情感態(tài)度】
讓學生經(jīng)歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉的概念，從事圖形旋轉基本性質(zhì)的探索活動，進一步發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)運動幾何的觀點，增強審美意識．讓學生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉的數(shù)學內(nèi)涵，獲得知識，體驗成功，享受學習樂趣．
【教學重點】
旋轉及對應點的有關概念及其應用．
【教學難點】
從活生生的數(shù)學中抽出概念．
※教學過程※
一、復習導入
問題我們以前學過圖形的平移、對稱等變換，它們有哪些特征？
生活中是否還有其他運動變化呢？回答是肯定的，下面我們就來研究．
二、探索新知
探索1請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞什么點呢？從現(xiàn)在到下課時鐘轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？教師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的中心．如果從現(xiàn)在到下課時針轉了_______度，分針轉了_______度，秒針轉了______度．
再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動．如何轉到新的位置？
以上兩種現(xiàn)象有什么共同特點呢？
共同特點是如果我們把時針、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固定點轉動一定的角度．
歸納總結
像這樣，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉動一個角度，叫做圖形旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點．
試一試請你舉出一些現(xiàn)實生活中旋轉的實例，并指出旋轉中心和旋轉角.
探索2如圖，在硬紙板上，挖一個三角形洞，再另挖一個小洞O作為旋轉中心，硬紙板下面放一張白紙.先在紙上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉中心轉動硬紙板，再描出這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板．
根據(jù)圖回答下面的問題：
（1）線段OA與OA′，OB與OB′，OC與OC′有什么關系？
（2）∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么關系？
（3）△ABC與△A′B′C′的形狀和大小有什么關系？
答案：（1）OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是對應點到旋轉中心相等．（2）∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心所連線段的夾角稱為旋轉角．（3）△ABC和△A′B′C′形狀相同和大小相等，即全等．
歸納總結旋轉的性質(zhì)：（1）對應點到旋轉中心的距離相等.（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.（3）旋轉前、后的圖形全等．
三、掌握新知
例如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形.
分析：關鍵是確定△ADE三個頂點的對應點，即它們旋轉后的位置.
解：

四、鞏固練習
1.如圖，它可以看作是由一個菱形繞某一點旋轉一個角度后，順次按這個角度同向旋轉而得到的：①請你在圖中用字母O標注出這一點；②每次旋轉了_______度；③一共旋轉了_______次．
2.將圖形繞點O旋轉，且圖形上點P，Q旋轉后的對應點分別為P′，Q′，若∠POP′=80°，則∠QOQ′=，若OQ=2.5cm，則OQ′=.
3.從3點到5點，鐘表上時針轉過的角度是.
4.如圖，四邊形OACB繞點O旋轉到四邊形DOEF，在這個旋轉過程中，旋轉中心是，旋轉角是，AO與DO的關系是，∠AOD與∠BOE的關系是．
五、歸納小結
通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲和體會？
※布置作業(yè)※
從教材習題23.1中選?。?br> ※教學反思※
積極創(chuàng)設情境，激發(fā)學生學習的好奇心和求知欲.以“豐富的生活中的旋轉”作為情境引入，這一活動的設計，極大地吸引了學生的注意力，引發(fā)了學生的好奇心和求知欲，接著，讓學生說出它們的共同點，在讓學生舉一些旋轉的例子，激發(fā)學生主動參與探索新知的興趣.完成本課時教學時，教師需給學生充分思考的時間，幫助學生養(yǎng)成良好的思考、分析習慣.

23．1第1課時旋轉的概念及性質(zhì)
01教學目標
1．了解旋轉及旋轉中心和旋轉角的概念．
2．了解旋轉對應點的概念及應用它們解決一些實際問題．
3．通過觀察具體實例認識旋轉，探索它的基本性質(zhì)．
4．了解圖形旋轉的特征，并能根據(jù)這些特征繪制旋轉后的幾何圖形．

02預習反饋
閱讀教材P59內(nèi)容，思考和完成教材上的練習．
觀察：讓學生看轉動的鐘表和風車等．
(1)上面情境中的轉動現(xiàn)象，有什么共同的特征？(指針、風車葉片分別繞中間軸旋轉)
(2)鐘表的指針、秋千在轉動過程中，其形狀、大小、位置是否發(fā)生變化呢？(形狀、大小不變，位置發(fā)生變化)
問題：
(1)從3時到5時，時針轉動了多少度？(60°)
(2)風車每片葉輪轉到與下一片原來的位置重合時，風車旋轉了多少度？(60°)
(3)以上現(xiàn)象有什么共同特點？(物體繞固定點旋轉)
思考：在數(shù)學中如何定義旋轉？

知識探究
1．把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．
2．如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點．
3．旋轉的性質(zhì)：(1)對應點到旋轉中心的距離相等；
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；
(3)旋轉前、后的圖形全等．
自學反饋
1．下列物體的運動不是旋轉的是(C)
A．坐在摩天輪里的小朋友B．正在走動的時針
C．騎自行車的人D．正在轉動的風車葉片
2．如圖，如果把鐘表的指針看成四邊形AOBC，它繞著O點旋轉到四邊形DOEF位置，在這個旋轉過程中：旋轉中心是點O，旋轉角是∠AOD(∠BOE)，經(jīng)過旋轉，點A轉到點D，點C轉到點F，點B轉到點E，線段OA，OB，BC，AC分別轉到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分別與∠D，∠E，∠F是對應角．
【點撥】旋轉角指對應點與旋轉中心的連線的夾角．

03新課講授
例1如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正方形．
(1)這個圖案可以看作是哪個“基本圖案”通過旋轉得到的？
(2)請畫出旋轉中心和旋轉角；
(3)經(jīng)過旋轉，點A，B，C，D分別移到什么位置？
【解答】(1)可以看作是由正方形ABCD的基本圖案通過旋轉而得到的．
(2)畫圖略．
(3)點A，點B，點C，點D移到的位置分別是點E，點F，點G，點H.
【點撥】這個旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉角和對應點都是不唯一的．

【跟蹤訓練1】如圖，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.
(1)此圖能否旋轉某一部分得到一個正方形？若能，指出由哪一部分旋轉而得到的？并說明理由；
(2)它的旋轉角多大？并指出它們的對應點．
解：(1)能，由△BCQ繞B點旋轉得到．理由：連接AB，易證四邊形ABCD為正方形．再證△ABP≌△CBQ.可知△CBQ可繞B點旋轉與△ABP重合，從而得到正方形ABCD.(2)90°，點C對應點A，點Q對應點P.
例2已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AC＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，連接BE，交AD于點F，求BE的長．
【思路點撥】關鍵在于連接BD，然后利用旋轉的性質(zhì)得出△ADB是等邊三角形，從而得到BE垂直平分AD，將BE的長轉化為EF＋FB的長．
【解答】連接BD，
∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，AC＝2，
∴AB＝22.
∵將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°.
∴△ADB是等邊三角形．∴AB＝BD.
∵AE＝DE，∴BE垂直平分AD.
∴由勾股定理得AF＝EF＝2，BF＝6.
∴BE＝EF＋BF＝2＋6.

【跟蹤訓練2】(23.1第1課時習題)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到(點B′與點B是對應點，點C′與點C是對應點)，連接CC′，則∠CC′B′的度數(shù)是15°．
例3(教材P60例題)如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形．
【解答】圖略．
【點撥】關鍵是確定△ADE三個頂點的對應點的位置．

04鞏固訓練
1．下列屬于旋轉現(xiàn)象的是(C)
A．空中落下的物體
B．雪橇在雪地里滑動
C．擰緊水龍頭的過程
D．火車在急剎車時向前滑動
2．將左圖按逆時針方向旋轉90°后得到的是(D)
3．如圖所示，將四邊形ABOC繞O點按順時針方向旋轉得到四邊形DFOE，則下列角中，不是旋轉角的是(D)

A．∠BOF
B．∠AOD
C．∠COE
D．∠AOF
4．如圖，將左邊的“心形”繞點O順時針旋轉95°得到右邊的“心形”，如果∠BOC＝75°，則A，B，C三點的對應點分別是E，D，F(xiàn)，∠DOF＝75°，∠COD＝20°．
5．如圖，把△ABC繞著點C順時針旋轉35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D.若∠A′DC＝90°，則∠A＝55°．
05課堂小結
1．旋轉及旋轉中心、旋轉角的概念．
2．旋轉的對應點及其應用．
3．旋轉的基本性質(zhì)．
4．旋轉變換與平移、軸對稱兩種變換有哪些共性與區(qū)別．

延伸閱讀

九年級數(shù)學上冊第25章概率初步教案（共9套新人教版）

25．1.1隨機事件
01教學目標
1．理解必然事件、不可能事件和隨機事件的特點，并會判斷．
2．了解和體會隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的．

02預習反饋
1．在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件．必然事件與不可能事件統(tǒng)稱確定性事件．
2．在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．
3．下列事件：①打開電視正在播放電視劇；②投擲一枚普通的骰子，擲得的點數(shù)小于9；③射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)；④在一個只裝有紅球的袋中摸出白球．其中必然事件有②，不可能事件有④，隨機事件有①③．
4．一副去掉大小王的撲克牌(共52張)，洗勻后，摸到紅桃的可能性＞摸到K的可能性．(填“＜”“＞”或“＝”)

03新課講授
類型1事件的分類
例1(教材P127問題1變式)五名同學參加演講比賽，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序．為了抽簽，我們在盒中放五個大小相同的簽，每個簽上面分別標有表示出場順序的數(shù)字1，2，3，4，5，在看不到數(shù)字的情況下，小軍先抽，他任意(隨機)從盒中抽取一個簽．請思考以下問題：
(1)抽到的數(shù)字有幾種可能的結果？
(2)抽到的數(shù)字大于0嗎？是什么事件？
(3)抽到的數(shù)字會是6嗎？是什么事件？
(4)抽到的數(shù)字會是3嗎？是什么事件？
【解答】(1)1，2，3，4，5，共5種．
(2)必然大于0；是必然事件．
(3)不可能是6；是不可能事件．
(4)可能是3，也可能不是3；是隨機事件．
思考：確定性事件和隨機事件的特點各是什么呢？
確定性事件：在發(fā)生之前可以預測結果．
隨機事件：事先不能預料事件是否發(fā)生，即事件的發(fā)生具有不確定性．

【跟蹤訓練1】下列事件中，是必然事件的是(B)
A．購買一張彩票，中獎
B．通常溫度降到0℃以下，純凈的水結冰
C．明天一定是晴天
D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

【跟蹤訓練2】不透明的口袋中裝有形狀、大小與質(zhì)地都相同的紅球2個，黃球1個，下列事件為隨機事件的是(C)
A．隨機摸出1個球，是白球
B．隨機摸出2個球，都是黃球
C．隨機摸出1個球，是紅球
D．隨機摸出1個球，是紅球或黃球
類型2事件發(fā)生的可能性大小
例2(教材P129練習2變式)一只不透明的袋子中有2個紅球，3個綠球和5個白球，每個球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出一個球．
(1)會有哪些可能的結果？
(2)你認為摸到哪種顏色的球的可能性最大？哪種顏色的球的可能性最小？
(3)能否通過改變某種顏色球的數(shù)量，使“摸到紅球”和“摸到白球”的可能性大小相同？
【解答】(1)從袋子中任意摸出一個球，可能是紅球，也可能是綠球或白球．
(2)∵白球最多，紅球最少，
∴摸到白球的可能性最大，摸到紅球的可能性最小．
(3)拿出3個白球，或放入3個紅球即可．
思考：我們?nèi)绾伪容^隨機事件發(fā)生的可能性大小呢？
事件發(fā)生的可能性大小往往是由發(fā)生事件的條件來決定的，因此我們可以通過比較各事件發(fā)生的條件及其對事件發(fā)生的影響來比較事件發(fā)生的可能性大?。?/p>

【跟蹤訓練3】(25.1.1練習)如圖，一個任意轉動的轉盤被均勻分成六份，隨意轉動一次，停止后指針落在陰影部分的可能性比指針落在非陰影部分的可能性(A)
A．大
B．小
C．相等
D．不能確定

04鞏固訓練
1．下列事件是必然事件的是(D)
A．打開手機就有未接電話
B．乘坐公共汽車恰好有空座
C．明天會下雨
D．將油滴入水中，油會浮在水面上
2．下列事件中，不可能事件是(C)
A．兩點確定一條直線
B．五邊形的內(nèi)角和為540°
C．實數(shù)的絕對值小于0
D．如果a2＝b2，那么a＝b
3．下列事件中，是隨機事件的為(B)
A．水漲船高B．冬天下雪
C．水中撈月D．冬去春來
4．小明同學參加“獻愛心”活動，買了2元一注的愛心福利彩票5注，則“小明中獎”的事件為隨機事件(填“必然”“不可能”或“隨機”)．
5．一個袋中裝有10個紅球，6個黃球，4個白球，每個球除顏色外都相同，攪勻后，任意摸出一個球，摸到紅球的可能性最大．

05課堂小結
事件確定性事件必然事件不可能事件隨機事件
隨機事件的特點：
(1)事先不能預料事件是否發(fā)生，即事件的發(fā)生具有不確定性；
(2)一般地，隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小可能不同.

25.1.2概率
01教學目標
1．理解有限等可能事件概率的意義，掌握其計算公式．
2．利用概率公式求簡單事件的概率．

02預習反饋
1．一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．
2．一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝mn．
3．當A是必然事件時，P(A)＝1；當A是不可能事件時，P(A)＝0；當A是隨機事件時，P(A)的取值范圍是0＜P(A)＜1．
4．對“某市明天下雨的概率是75%”這句話，理解正確的是(D)
A．某市明天將有75%的時間下雨
B．某市明天將有75%的地區(qū)下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性較大
5．在一個不透明的口袋中裝有5張完全相同的卡片，卡片上面分別寫有數(shù)字－2，－1，0，1，3，從中隨機抽出一張卡片，卡片上面的數(shù)字是負數(shù)的概率為(C)
A.45B.35C.25D.15

03新課講授
類型1簡單概率的計算
例1(教材P131例1變式)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上一面的點數(shù)，求下列事件的概率：
(1)點數(shù)為1；
(2)點數(shù)為偶數(shù)；
(3)點數(shù)大于3且小于6.
【解答】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子時，向上一面的點數(shù)可能是1，2，3，4，5，6，共6種．這些點數(shù)出現(xiàn)的可能性相等．
(1)點數(shù)為1有1種可能，因此P(點數(shù)為1)＝16.
(2)點數(shù)為偶數(shù)有3種可能，即點數(shù)為2，4，6，
因此P(點數(shù)為偶數(shù))＝12.
(3)點數(shù)大于3且小于6有2種可能，即點數(shù)為4，5，
因此P(點數(shù)大于3且小于6)＝13.
思考：如何求簡單隨機事件的概率？
(1)要清楚關注的是發(fā)生哪個或哪些結果；
(2)要清楚所有等可能出現(xiàn)的結果；
(3)上面兩個結果個數(shù)之比就是關注的結果發(fā)生的概率，即P＝事件發(fā)生的結果數(shù)所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù).

【跟蹤訓練1】在一個不透明袋子中裝有5個紅球、3個綠球，這些球除了顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，摸出紅球的概率是(D)
A.13B.35C.38D.58

【跟蹤訓練2】把分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張同樣的小卡片放進不透明的盒子里，攪拌均勻后隨機取出一張小卡片，則取出的卡片上的數(shù)字大于3的概率是25．

類型2幾何概率的計算
例2(教材P132例2變式)如圖是一個材質(zhì)均勻的轉盤，轉盤分成8個全等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止(若指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形)，轉動一次轉盤：
(1)求指針指向紅色扇形的概率；
(2)指針指向紅色扇形的概率大，還是黃色扇形概率大？為什么？
【解答】按顏色把8個扇形分別記為紅1，紅2，綠1，綠2，綠3，黃1，黃2，黃3，所有可能結果的總數(shù)為8，并且它們出現(xiàn)的可能性相等．
(1)指針指向紅色扇形(記為事件A)的結果有2種，即紅1，紅2，因此P(A)＝28＝14.
(2)指針指向黃色扇形的概率大．理由：
指針指向黃色扇形(記為事件B)的結果有3種，即黃1，黃2，黃3，因此P(B)＝38.
∵14＜38，
∴P(A)＜P(B)，即指針指向黃色扇形的概率大．
歸納：幾何概率的公式P(A)＝構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）.

【跟蹤訓練3】如圖，一個正六邊形轉盤被分成6個全等的三角形，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止時，指針指向陰影區(qū)域的概率是(C)
A.16B.14C.13D.12
【跟蹤訓練4】一只小狗跳來跳去，然后隨意落在如圖所示的某一方格中(每個方格除顏色外完全相同)，則小狗停留在黑色方格中的概率是13．
04鞏固訓練
1．在四張完全相同的卡片上，分別畫有圓、菱形、等腰三角形、正六邊形，現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是(C)
A.14B.13C.34D．1
2．一個十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時是綠燈的概率是(B)
A.14B.512C.13D.12
3．一個不透明的口袋中有6個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，5，6，從中隨機摸取一個小球，取出的小球標號恰好是偶數(shù)的概率是12．
4．某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤(轉盤被平均分成16份)，并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色或綠色區(qū)域，顧客就可以分別獲得玩具熊、童話書、水彩筆．小明和媽媽購買了125元的商品，請你分析計算：
(1)小明獲得獎品的概率是多少？
(2)小明獲得玩具熊、童話書、水彩筆的概率分別是多少？
解：(1)∵轉盤被平均分成16份，其中有顏色部分占6份，
∴P(獲得獎品)＝616＝38.
(2)∵轉盤被平均分成16份，其中紅色、黃色、綠色部分分別占1份、2份、3份，
∴P(獲得玩具熊)＝116，P(獲得童話書)＝216＝18，P(獲得水彩筆)＝316.

05課堂小結
1．當A為必然事件時，P(A)＝1；當A為不可能事件時，P(A)＝0；當A為隨機事件時，0＜P(A)＜1.
2．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.
3．一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝mn，即事件A發(fā)生的概率P(A)＝事件A發(fā)生的結果數(shù)所有可能的結果總數(shù).

九年級數(shù)學上冊第22章二次函數(shù)教案（共14套新人教版）

22．1.1二次函數(shù)
01教學目標
1．結合具體情境體會二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的有關概念．
2．能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系．

02預習反饋
閱讀教材P28～29，理解二次函數(shù)的意義及有關概念，完成下列內(nèi)容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為a，b，c．
(1)下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是(D)
A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1
C．y＝12(x＋1)(x－1)D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函數(shù)y＝x2＋4x中，二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是4，常數(shù)項是0．
【點撥】判斷二次函數(shù)要緊扣定義．
2．現(xiàn)在我們已學過的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)，它們的表達式分別是y＝ax＋b(a，b是常數(shù)，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)．
如：一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關系式．
解：S表＝4πr2.

03新課講授
例1(教材P28問題1)n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽．寫出比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)n之間的關系式．
【解答】每個球隊要與其他(n－1)個球隊各比賽一場，甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以比賽的場次數(shù)是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.

【跟蹤訓練1】(22.1.1習題)某校九(1)班共有x名學生，在畢業(yè)典禮上每兩名同學都握一次手，共握手y次，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函數(shù)．

例2(教材P28問題2)某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？
【解答】這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20t，一年后的產(chǎn)量是20(1＋x)t，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是20(1＋x)(1＋x)t，即兩年后的產(chǎn)量y＝20(1＋x)2．

【跟蹤訓練2】(22.1.1習題)國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設平均每次降價的百分率為x，該藥品原價為18元，降價后的價格為y元，則y與x的函數(shù)關系式為(C)
A．y＝36(1－x)B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)

例3(教材P29練習T2的變式)一個正方形的邊長是12cm，若從中挖去一個長為2xcm，寬為(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面積為ycm2.
(1)寫出y與x之間的關系式，并指出y是x的什么函數(shù)？
(2)當小矩形中x的值分別為2和4時，相應的剩余部分的面積是多少？
【解答】(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函數(shù)．
(2)當x＝2和4時，相應的y的值分別為132和104.
【點撥】幾何圖形的面積一般需畫圖分析，相關線段必須先用x的代數(shù)式表示出來．
【跟蹤訓練3】用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，寫出場地面積S(m2)與矩形一邊長a(m)之間的關系式．
解：S＝a（60－2a）2＝－a2＋30a.

04鞏固訓練
1．下列方程是一元二次方程的是(A)
A．(5－a)2＝2B．3x2＋x－y2＝0
C．y2＝5－(2y－y3)D．x－1x2＋1＝0
2．若y＝(b－1)x2＋3是二次函數(shù)，則b≠1．
3．有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，則y與x之間的函數(shù)關系式為y＝x2＋2x＋1．
4．如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB邊長為xm，則菜園的面積y(m2)與x(m)的函數(shù)解析式為y＝－12x2＋15x(不要求寫出自變量x的取值范圍)．
5．已知函數(shù)y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常數(shù))．m為何值時，它是二次函數(shù)？
解：m＝4.
【點撥】不要忽視m＋1≠0.

05課堂小結
1．二次函數(shù)的定義．
2．熟記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c為常數(shù)．
3．如何表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系？

22.1.2二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)
01教學目標
1．能夠用描點法畫函數(shù)y＝ax2的圖象，并能根據(jù)圖象認識和理解其性質(zhì)．
2．初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)與形的結合與轉化．

02預習反饋
閱讀教材P30～32，自學“例1”“思考”“探究”“歸納”，掌握用描點法畫函數(shù)y＝ax2圖象的方法，理解其性質(zhì)，完成下列內(nèi)容．
1．一般地，當a0時，拋物線y＝ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越?。?br> 2．一般地，當a0時，拋物線y＝ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越?。?br> 3．從二次函數(shù)y＝ax2的圖象可以看出：如果a0，當x0時，y隨x的增大而減小，當x0時，y隨x的增大而增大；如果a0，當x0時，y隨x的增大而增大，當x0時，y隨x的增大而減小．
4．(1)拋物線y＝2x2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點；
(2)拋物線y＝－3x2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點；
(3)在拋物線y＝2x2對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；
(4)在拋物線y＝－3x2對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。?/p>

03新課導入
回顧：一次函數(shù)的圖象是一條直線．
思考：二次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？還記得如何用描點法畫一個函數(shù)的圖象嗎？
畫函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點、連線．
導入：你能畫出二次函數(shù)y＝x2的圖象嗎？
第一步：列表：

x…－3－2－10123…
y＝x2…9410149…
第二步：描點，在平面直角坐標系中描出表中各點，如圖1.
圖1
圖2

第三步：連線，用平滑的曲線順次連接各點，就得到二次函數(shù)y＝x2的圖象，如圖2.
思考：觀察函數(shù)y＝x2的圖象，它有什么特點？
總結：(1)二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，這條曲線叫做拋物線；
(2)拋物線y＝x2的對稱軸是y軸，拋物線與它的對稱軸的交點是(0，0)，它是圖象的最低點，叫做拋物線的頂點；
(3)在對稱軸的左側，拋物線y＝x2從左到右下降；在對稱軸的右側，拋物線y＝x2從左到右上升．也就是說，當x0時，y隨x的增大而減小；當x0時，y隨x的增大而增大．

04新課講授
例1(教材P30例1)在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝12x2，y＝2x2的圖象．
【解答】分別列表，畫出它們的圖象，如圖．

x…－4－3－2－101234…
y＝12x2
…84.520.500.524.58…

x…－2－1.5－1－0.500.511.52…
y＝2x2…84.520.500.524.58…
思考：函數(shù)y＝12x2，y＝2x2的圖象與函數(shù)y＝x2的圖象相比，有什么共同點和不同點？
總結：共同點是開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點；不同點是開口大小不同，x2的系數(shù)越大，拋物線的開口越?。?/p>

例2(教材P30例1的變式)在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的圖象，并考慮這些拋物線有什么共同點和不同點？
【解答】畫出圖象如圖．
思考：當a＜0時，二次函數(shù)y＝ax2的圖象有什么特點？
【點撥】可從開口方向、對稱軸、頂點、開口大小去比較和尋找規(guī)律．

【跟蹤訓練1】(1)函數(shù)y＝－2x2的圖象是拋物線，頂點坐標是(0，0)，對稱軸是y軸，開口方向是向下；
(2)函數(shù)y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的圖象如圖所示，請指出三條拋物線的解析式．
解：根據(jù)拋物線y＝ax2中a的值來判斷，上面最外面的拋物線為y＝12x2，中間為y＝x2，在x軸下方的為y＝－2x2.
【點撥】拋物線y＝ax2，當a0時，開口向上；當a0時，開口向下，|a|越大，開口越?。?/p>

例3(補充例題)已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2＋m－4是關于x的二次函數(shù)．
(1)求滿足條件的m的值；
(2)當m為何值時，拋物線有最低點？求這個最低點；
(3)當x為何值時，y隨x的增大而增大？當x為何值時，y隨x的增大而減?。?br> 【解答】(1)由題意，得
m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.
∴當m＝2或m＝－3時，函數(shù)為二次函數(shù)．
(2)若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，
∴m＋20，即m－2.∴m＝2.
這個最低點為拋物線的頂點，其坐標為(0，0)，
(3)當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減?。?br> 【點撥】也可結合圖象來分析完成此題．

【跟蹤訓練2】已知函數(shù)y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函數(shù)，且開口向上．求m的值及二次函數(shù)的解析式，并回答y隨x的變化規(guī)律．
解：由題意有m－10，m2－2m＋2＝2.
解得m＝0(舍去)，m＝2.
所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2.
所以當x0時，y隨x的增大而減小，
當x0時，y隨x的增大而增大．

05鞏固訓練
1．拋物線y＝－13x2的開口向下，頂點坐標是(0，0)，頂點是拋物線的最高(填“低”或“高”)點．

2．在同一直角坐標系中，拋物線y＝13x2與拋物線y＝－13x2的形狀相同，開口方向相反，兩條拋物線關于x軸對稱．
3．當m＝－2時，拋物線y＝(m－1)xm2＋m開口向下，對稱軸為y軸，當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減?。?br> 4．二次函數(shù)y＝－6x2，當x1x20時，y1與y2的大小關系是y1y2．
5．一個二次函數(shù)，它的圖象的頂點是原點，對稱軸是y軸，且經(jīng)過點(－1，14)．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)圖象指出，當x＞0時，若x增大，y怎樣變化？當x＜0時，若x增大，y怎樣變化？
解：(1)由題意，設二次函數(shù)解析式為y＝ax2，
將(－1，14)代入，得y＝14x2。
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象如圖．
(3)當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減?。?/p>

06課堂小結
1．畫二次函數(shù)y＝ax2的圖象時，應注意些什么？
2．你是如何理解并熟記拋物線y＝ax2的性質(zhì)的？

拋物線y＝ax2(a0)y＝ax2(a0)
頂點坐標(0，0)(0，0)
對稱軸y軸y軸
位置在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)
開口方向向上向下
增減性在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小
在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大
在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小
開口大小a越大，開口越小
a越大，開口越小

九年級數(shù)學上冊第21章一元二次方程教案（共19套新人教版）

第二十一章一元二次方程
21．1一元二次方程
※教學目標※
【知識與技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式，能將一個一元二次方程化為一般形式.
2.理解二次根式的根的概念，會判斷一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根.
【過程與方法】
1.通過根據(jù)實際問題列方程，向?qū)W生滲透知識來源于生活.
2.通過觀察，思考，交流，獲得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三種特殊形式.
3.經(jīng)歷觀察，歸納一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感態(tài)度】
通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情．
【教學重點】
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教學難點】
通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．
※教學過程※
一、情境導入
（課件展示問題）雷鋒紀念館前的雷鋒雕像高為2m，設計者當初設計它的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部與全部的積，如果設此雕像的下部高為xm，則其上部高為(2-x)m，由此可得到的等量關系如何？它是關于x的方程嗎？如果是，你能看出它和我們以往學過的方程有什么不同嗎?
二、探索新知
由上述問題，我們可以得到，即.顯然這個方程只含有一個未知數(shù)，且x的最高次數(shù)為2，這類方程在現(xiàn)實生活中有廣泛的應用.
探究問題1如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四角突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

教師設置如下問題學生討論：
如果設四角折起的正方形的邊長為xcm，則制成的無蓋方盒的底面長為多少？寬為多少？由底面積為3600m2可得到的方程又是怎樣的？
討論結果：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(100-2x)cm，
寬為(50-2x)cm.根據(jù)方盒的底面積為3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得.化簡得.由次方程可以得出所切正方形的具體尺寸.
探究問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據(jù)場地和時間條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
教師提出以下問題，引導學生思考方程的建模過程：
（1）這次比賽共安排多少場？
（2）若設應邀請x個隊參賽，則每個隊與其他幾個隊各賽一場？這樣共應有多少場比賽？
（3）由此可列出的方程是什么？化簡后的方程是什么？
討論結果：全部比賽的場數(shù)為.設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x-1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共場.列方程.整理，得.化簡，得，即.
觀察思考，口答下面的問題：
（1）上面的方程整理后含有幾個未知數(shù)？
（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？
（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？
老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程．
歸納總結
像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．
想一想
二次項系數(shù)a為什么不能為0？在指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時，a、b、c一定是正數(shù)嗎？
探究問題3探究問題2中可以看出，由于參賽球隊的支數(shù)x只能是正整數(shù)，由此可列下表：
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得，當x=8時，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
學生思考
方程有一個根為x=8，它還有其他的根嗎？
當x=-7時，，故x=-7也是方程的一個根.
歸納總結
使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的根.一個一元二次方程如果有實數(shù)根，則必然有兩個實數(shù)根，通常記為，．
三、掌握新知
例1求證：關于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明即可．
證明：
∵，
∴，即．
∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
例2將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等．
解：去括號，得．
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式．
其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10．
四、鞏固練習
1.在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（）
①,②,③,④.
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.已知方程的一個根是，則m的值為________．
3.關于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍是_________.
4.根據(jù)下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
（1）4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x;
（2）一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x.
答案：1.A2.-133.a≠14.（1），其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為-25；（2），其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為12，常數(shù)項為-100.
五、歸納小結
1.本節(jié)課要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用．
2.通過這節(jié)課的學習，你還有那些收獲？
※布置作業(yè)※
從教材習題21．1中選取.
※教學反思※
1.注重知識的前后練習，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學生理解的難度.
2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.
3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，鞏固知識.
4.對于一元二次方程的根的概念形成過程，要讓學生大膽猜測，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，讓學生在交流中體會成功.

21．1一元二次方程
01教學目標
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程轉化為一般形式，確定出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
2．理解一元二次方程的根的意義，能夠運用代入法檢驗根的正確性．

02預習反饋
1．等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．
3．使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的過程，叫做解方程．
如：下面哪些數(shù)是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

03新課講授
類型1一元二次方程的一般形式
例1(教材P3例)將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化為一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
【解答】去括號，得3x2－3x＝5x＋10.
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為－8，常數(shù)項為－10.
【方法歸納】1.把一元二次方程化為一般形式，就是把一元二次方程化為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項均包括數(shù)字前的符號．
2．將一元二次方程化為一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整．

【跟蹤訓練1】方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)
A．x2－5x＋5＝0B．x2＋5x＋5＝0
C．x2＋5x－5＝0D．x2＋5＝0

【跟蹤訓練2】(21.1習題)一個關于x的一元二次方程，它的二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為3，常數(shù)項為－5，則這個一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．

類型2一元二次方程的解的意義
例2(教材補充例題)關于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a－1＝0的一個根為0，則a＝1．
【思路點撥】將x＝0代入一元二次方程，得到關于a的方程，解方程即可．注意二次項系數(shù)a＋1≠0.
【跟蹤訓練3】已知關于x的方程x2＋bx＋a＝0的一個根是x＝－a(a≠0)，則a－b的值為(A)
A．－1B．0C．1D．2

04鞏固訓練

1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是關于x的一元二次方程，則(D)
A．p＝2B．p≠0C．p＞2D．p≠2
2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是(D)
A．5、－4、6B．1、－5、0C．5、－2、1D．5、－4、－3
3．若x＝3是關于x的方程2x2＋ax－6＝0的一個根，則a的值是－4．
4．根據(jù)題意，列出方程(不必解答)：
(1)兩個連續(xù)整數(shù)的積是210，求這兩個數(shù)；
(2)在一塊長250m、寬150m的草地四周修一條路，路修好后草地的面積減少1191m2，求這條路的寬度．
解：(1)設其中一個整數(shù)為x，則另一個整數(shù)為(x＋1)，依題意，得x(x＋1)＝210.
(2)設這條路的寬為xm，則(250－2x)(150－2x)＝250×150－1191.

05課堂小結