一元二次方程高中教案

九年級數(shù)學上冊《一元二次方程》知識點總結(jié)人教版。

九年級數(shù)學上冊《一元二次方程》知識點總結(jié)人教版

21.1一元二次方程

知識點一一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接

開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=a,x2=?a.

（2）直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可

以利用直接開平方法。

（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方

根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)

的式子的平方項的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；⑵方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

⑶方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；⑷若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。21.2.2公式法

知識點一公式法解一元二次方程

（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個

根為x=

?b?b

2a

2

?4ac

，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。

（3）公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；

③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數(shù)根。知識點二一元二次方程根的判別式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根

△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根根的判別式

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根

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一、學生知識狀況分析

學生已經(jīng)學習了一元二次方程及其解法，對于方程的解及解方程并不陌生，實際問題的應(yīng)用，有些抽象，雖然學生在七、八年級已經(jīng)進行了有關(guān)的訓練，但還是有一定的難度。

本節(jié)內(nèi)容針對的學生是才進入九年級的學生，他們已經(jīng)具備了一定的抽象思維和建模能力，也具備一定的生活經(jīng)驗和初步的解一元二次方程的經(jīng)驗。

二、教學任務(wù)分析

本節(jié)課的主要是發(fā)展學生抽象思維，強化學生的應(yīng)用意識，使學生能通過抽象思維將一個應(yīng)用題抽象成一元二次方程使問題得以解決，這也是方程教學的重要任務(wù)。但學生抽象意識和能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過大量的應(yīng)用實例，在實際問題的解決中讓學生感受到其廣泛應(yīng)用，并在具體應(yīng)用中增強學生的應(yīng)用能力。因此，本節(jié)教學中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進學生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及抽象思維的初步形成。顯然，這個任務(wù)并非某個教學活動所能達成的，而應(yīng)在教學活動中創(chuàng)設(shè)大量的問題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學生的有關(guān)能力。為此，本節(jié)課的教學目標是：

知識目標：

通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象出方程解決問題，認識方程模型的重要性，并總結(jié)運用方程解決實際問題的一般過程。

能力目標：

1、經(jīng)歷分析，抽象和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效的數(shù)學模型；

2、能夠抽象出一元二次方程解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力；

情感態(tài)度價值觀：

在問題解決中，經(jīng)歷一定的合作交流活動，進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力。

三、學法指導

本課是學生學習完一元二次方程的解法后的應(yīng)用課，雖然學生在七八年級已經(jīng)進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度。本課采用啟發(fā)式、問題串討論式、合作學習相結(jié)合的方式,引導學生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，以教材提供的素材為基礎(chǔ)，引導學生對對問題中的數(shù)量進行分析從而抽象出方程解決問題；學生之間的合作交流、互助學習，能更好地調(diào)動學生的學習積極性，更符合學生的認知規(guī)律。無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中發(fā)現(xiàn)學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區(qū)，更好地進行學法指導。

四、教學過程分析

本課時分為以下五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回憶鞏固，情境導入；第二環(huán)節(jié)：做一做，探索新知；第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)；情境導入

活動內(nèi)容：提出問題：還記得梯子下滑的問題嗎？

一元二次方程教學設(shè)計在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？如果梯子長度是13米，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？

分組討論：

怎么設(shè)未知數(shù)？在這個問題中存在怎樣的等量關(guān)系？如何利用勾股定理抽象出方程？

活動目的：以學生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學的勾股定理為切入點，用熟悉的情境激發(fā)學生解決問題的欲望，用學生已有的知識為支點抽象出一元二次方程使問題得以解決，進一步讓學生體會數(shù)形結(jié)合的思想。

活動的實際效果：大部分學生能夠聯(lián)系以前學過的勾股定理的三邊關(guān)系抽象出方程對上述問題進行思考，能夠在老師的引導下主動地探究問題，取得了比較理想的效果，而且也調(diào)動了學生的學習熱情，激發(fā)了學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎(chǔ)。

第二環(huán)節(jié)探索新知

活動內(nèi)容：見課本P53頁例1：

如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。

已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）

在教學中要給學生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關(guān)系，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：審清題意；找準各條有關(guān)線段的長度關(guān)系；通過抽象思維建立方程模型，之后求解。

一元二次方程教學設(shè)計實際應(yīng)用問題比較抽象，因此教學中老師要給學生充分的時間去審清題意，讓學生自己反復審題，弄清各量之間的關(guān)系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抽象出圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關(guān)系，從而抽象出方程模型解決問題。

在學生分析題意遇到困難時，教學中可設(shè)置問題串分解難點：

（1）要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？

（2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？

（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？

（4）選定后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？

學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后抽象出題目中的等量關(guān)系即：

速度等量：V軍艦=2×V補給船

時間等量：t軍艦=t補給船

三邊數(shù)量關(guān)系：一元二次方程教學設(shè)計

弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補給船的路程，AB＋BE表示軍艦的路程。

學生在此基礎(chǔ)上選準未知數(shù)，用未知數(shù)表示出線段：DE、EF的長，根據(jù)勾股定理抽象出方程求解，并判斷解的合理性。

鞏固練習：1、一個直角三角形的斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那么這個直角三角的面積是多少？

文本框:8cm一元二次方程教學設(shè)計2、如圖：在RtACB中，∠C=90°，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半？

一元二次方程教學設(shè)計3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方米，問道路應(yīng)為多寬？

說明：三個題目的設(shè)計從簡單問題入手，第一題通過勾股定理抽象出一元二次方程解決直角三角形邊長問題；第2題構(gòu)造了一個可變的直角三角形，抽象出方程解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設(shè)道路寬為x米，通過平移道路使六塊田地變成一塊田地，從而根據(jù)矩形面積公式抽象出方程解決問題。

活動目的：一元二次方程的應(yīng)用題的類型較多，像數(shù)字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點，作為素材來呈現(xiàn)，可以將應(yīng)用類型作適當?shù)耐卣?，在練習中將教材中的?yīng)用問題歸類呈現(xiàn)出來，便于學生理解和掌握。本課由數(shù)形結(jié)合問題拓展到面積問題，后面可以在練習中增加數(shù)字問題，為學生呈現(xiàn)更多的應(yīng)用類型，讓學生在不同的情境中體會數(shù)學抽象和建模的重要性。

活動實際效果：應(yīng)用問題設(shè)置都經(jīng)過精心準備。通過問題串的設(shè)立，將比較復雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學生在不知不覺中克服困難，體會到通過抽象出方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意；尋找等量關(guān)系；正確求解并檢驗解的合理性。采取的是一講一練，從鞏固練習的準確程度上來看，學生掌握得比較好，能夠達到預(yù)期的效果。

第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知

活動內(nèi)容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800cm2。求原正方形鋼板的面積。

2、有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？

3、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠？

活動目的：通過三道問題的解決，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用知識的程度。在教學過程中要以學生為主體，引導學生自主發(fā)現(xiàn)、合作交流?；顒訉嶋H效果：學生在前面活動中積累的經(jīng)驗，可以幫助學生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學生在合作交流中解決，學生在訓練過程中更加理解數(shù)學抽象和建模的重要性．大部分學生能夠獨立解決問題。

第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟

活動內(nèi)容：提問：

1、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；2、列方程解應(yīng)用題的步驟；3、列方程應(yīng)注意的一些問題。

學生在學習小組中回顧與反思，并進行組間交流發(fā)言。

活動目的：鼓勵學生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，還有什么疑難問題希望得到解決；通過對三個問題的解決，加深學生通過抽象思維抽象出方程解決實際問題的意識和能力；并且通過學生間的合作學習幫助不同層次的孩子解決實際困難，增強孩子學好數(shù)學的信心。

活動實際效果：學生通過回顧本節(jié)課的學習過程，體會利用抽象思維抽象出一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進一步提高自己解決問題的能力。

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等于45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？

2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路，已知小路的面積為246，求小路的寬度。

3、一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)比個位數(shù)小2，求這兩位數(shù)。

解一元二次方程

每個老師在上課前需要規(guī)劃好教案課件，是時候?qū)懡贪刚n件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，才能更好的在接下來的工作輕裝上陣！你們會寫適合教案課件的范文嗎？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“解一元二次方程”，僅供參考，大家一起來看看吧。

28.2解一元二次方程
教學目的知識技能認識形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，并會用直接開平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
數(shù)學思考用直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是用平方根的定義來進行降次的，直接開平方法解一元二次方程，必須化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式來求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再應(yīng)用直接開平方法求解
解決問題通過兩邊同時開平方，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，向?qū)W生滲透數(shù)學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉(zhuǎn)化，這是研究數(shù)學問題常用的方法，化未知為已知．
情感態(tài)度通過本節(jié)學習，使學生感覺到由未知向已知的轉(zhuǎn)化美.
教學難點用配方法解一元二次方程
知識重點選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?br> 教學過程設(shè)計意圖

教
學
過
程
問題一：填空
如果，那么.
教師活動：引導學生運用開平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
學生活動：在老師的引導下，初步了解一元二次方程的直接開平方法.
問題二：解方程
教師活動：與學生一起探究此種形式的方程的解法.
學生活動：仿照上題，解此問題，并總結(jié)出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
練習：解下列方程：
（1）(2)
問題三：解方程：
師生一起探究解法，通過配方把該方程轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接開平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例題1：解方程
教師活動：給學生作出配方法解方程的示范.重點在配方的方法：在方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解.
學生總結(jié)配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.

從學生已知的知識入手，解決形如x2＝p（p≥0）類型的方程，引導進入直接開平法法.

解決并練習形如（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，

在解決形如x2＝p（p≥0）和（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程的基礎(chǔ)上，給學生設(shè)置懸念，探究這個方程的解法.
引出配方法.

在轉(zhuǎn)化的同時，給學生講解配方的方法，為配方法解一元二次方程作準備.

提高學生的總結(jié)歸納能力.
課堂練習解下列方程：
課本24頁習題2
學生完成后，交流結(jié)果，交流配方法解一元二次方程的步驟、方法

使學生體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性.

小結(jié)與作業(yè)
課堂
小結(jié)引導學生對直接開平方法和配方法進行總結(jié).

本課
作業(yè)34頁習題1、3把學習延伸到課外，鞏固課上所學.

課后隨筆（課堂設(shè)計理念，實際教學效果及改進設(shè)想）