一元二次方程高中教案

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（2）導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）。

第7課時一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（2）
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．已知一元二次方程兩根的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍；
2．已知一元二次方程兩根的關(guān)系會求參數(shù)；
3．會求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值.
二、知識回顧1．一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
（）
3.判別式與一元二次方程根的情況：
是一元二次方程的根的判別式，設(shè)，則
（1）當(dāng)時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2與系數(shù)a,b,c的關(guān)系是什么？
，
三、新知講解幾種常見的求值：
1.

四、典例探究

1．已知一元二次方程兩根的關(guān)系求參數(shù)或參數(shù)的范圍
【例1】已知關(guān)于x的方程設(shè)方程的兩個根為x1,x2，若求k的取值范圍.

總結(jié)：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根，則有．這是著名的韋達定理.
已知一元二次方程兩根x1，x2的不等關(guān)系求原方程中的字母參數(shù)時，一般考慮韋達定理和根的判別式，尤其是根的判別式不要忘記，這是保證方程有根的基本條件.
練1．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的兩個實數(shù)根，且x1，x2滿足x1x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范圍.

【例2】（2015丹江口市一模）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0
（1）當(dāng)m取何值時，方程有兩個實數(shù)根？
（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．

總結(jié)：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與判別式△的關(guān)系如下：
（1）△＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0方程沒有實數(shù)根．
2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）兩實數(shù)根x1，x2又有如下關(guān)系：，所以已知關(guān)于x1，x2的關(guān)系等式可以求原方程中的字母參數(shù).
3.注意使用的前提是原方程有根，所以必須保證判別式△≥0.
練2（2015廣水市模擬）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的兩個實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）如果x1、x2滿足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m為負(fù)整數(shù)，求出m的值，并解出方程的根．

3．根據(jù)一元二次方程求含兩根的代數(shù)式的值
【例3】（2015大慶）已知實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1=0的兩根，求+的值．

總結(jié)：
在應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題時，先要把一元二次方程化為它的一般形式，以便確定各項的系數(shù)和常數(shù)的值.
注意中兩根之和、兩根之積的符號，即和是﹣，積是，不要記混.
如果待求式中沒有出現(xiàn)兩根之和或兩根之積的形式，注意適當(dāng)變形.常見變形如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
練3（2015合肥校級自主招生）已知：關(guān)于x的方程x2+2x﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若α，β是這個方程的兩個實數(shù)根，求的值.

五、課后小測一、選擇題
1.（2011江蘇南通，7，3分）已知3是關(guān)于x的方程x2－5x＋c＝0的一個根，則這個方程的另一個根是
－2B.2C.5D.6
2.（2011湖北荊州，9，3分）關(guān)于的方程有兩個不相等的實根、，且有，則的值是
A．1B．－1C．1或－1D．2
3.（2013四川瀘州）設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）
A．5B．－5C．1D．－1
二、填空題
4．（2015瀘州）設(shè)x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的兩實數(shù)根，則x12+x22的值為________．
5．（2013貴州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是．
6.（2015日照）如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2015=___________．
三、解答題
7．（2015梅州）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．
8.已知，關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根、滿足，求實數(shù)的值.

9．（2015南充）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p為實數(shù)．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）p為何值時，方程有整數(shù)解．（直接寫出三個，不需說明理由）

10．（2015華師一附中自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的兩根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．

11．（2015孝感校級模擬）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由．

12．（2014廣東模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有兩個實數(shù)根x1、x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x1+x2=2（k﹣1），；
（3）求（x1﹣1）（x2﹣1）的最小值．

13.（2010黃州區(qū)校級自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的兩實根x1，x2滿足|x1|+|x2|≤3，試求m的取值范圍．

14.（2015黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．
典例探究答案：
【例1】分析：先考慮判別式0，根據(jù)題意得，這說明k取任意實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=3k，x1x2=-6，代入即可求得k的取值范圍.
解：根據(jù)題意，得，
所以k為任意實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
∵x1+x2=3k，x1x2=-6，且，
∴，解得k-1.
綜上，k的取值范圍是k-1.
點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.注意：對于含參數(shù)的一元二次方程，已知兩根關(guān)系求參數(shù)的范圍時，除了用到韋達定理之外，還要考慮根的判別式.
練1．【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，變形后代入即可得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2，
∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22≥0成立，
∴x1x2﹣（x12+x22）≥0，即x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]≥0，
∴k2+2k﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0，
∴k≤﹣或k≥1.
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于k的不等式．
【例2】【解析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到4（m+1）2﹣4（m2﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，代入（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，計算即可求解．
解：（1）根據(jù)題意，得△=4（m+1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
解得m≥﹣2；
（2）當(dāng)m≥﹣2時，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3．
則（x1﹣x2）2﹣x1x2=（x1+x2）2﹣5x1x2=[2（m+1）]2﹣5（m2﹣3）=26，
即m2﹣8m+7=0，
解得m1=1＞﹣2，m2=7＞﹣2，
所以m1=1，m2=7．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．
練2．【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，然后解不等式；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=1，x1x2=，把7+4x1x2＞x12+x22變形得7+6x1x2＞（x1+x2）2，所以7+6×＞1，解得m＞﹣3，于是得到m的取值范圍﹣3＜m≤﹣，由于m為負(fù)整數(shù)，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m的值分別代入原方程，再解方程．
解：（1）根據(jù)題意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，
解得m≤﹣；
（2）根據(jù)題意得x1+x2=1，x1x2=，
∵7+4x1x2＞x12+x22，
∴7+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴7+6×＞1，解得m＞﹣3，
∴﹣3＜m≤﹣，
∵m為負(fù)整數(shù)，
∴m=﹣2或m=﹣1，
當(dāng)m=﹣2時，方程變形為2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；
當(dāng)m=﹣1時，方程變形為x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．
點評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
【例3】【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式變形得到+==，然后利用整體代入的方法進行計算．
解：∵實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1=0的兩根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴+===﹣3．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．
練3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范圍；
（2）欲求的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可．
解：（1）△=4+4k，
∵方程有兩個不等實根，
∴△＞0，即4+4k＞0
∴k＞﹣1
（2）由根與系數(shù)關(guān)系可知α+β=﹣2，
αβ=﹣k，
∴=，
點評：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
課后小測答案：
一、選擇題
1.B
2.B
3.【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，則
原式＝＝＝－5．
故選B．
點評：本題著重考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，同時也考查了代數(shù)式變形、求值的方法．
二、填空題
4．【解析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22轉(zhuǎn)化為x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整體代值計算．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的兩實數(shù)根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案為：27．
點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，此題難度不大．
5.【解析】將x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代數(shù)式的值即可．
解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
故答案為：1．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式的值．
6.【解析】由于m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個不相等的實數(shù)根．則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它們可以化簡2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值．
解：由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個不相等的實數(shù)根，
則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
則2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案為：2026．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是把所求代數(shù)式化成兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系式求值．
三、解答題
7．【解析】（1）關(guān)于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac＞0．即可得到關(guān)于a的不等式，從而求得a的范圍．
（2）設(shè)方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a的值和方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，解得：，
則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0方程沒有實數(shù)根．
8.【解析】：先把原方程變形，得到一個一元二次方程的形式，利用已知條件，兩根或是相等，或是互為相反的數(shù)，從而找到關(guān)于m的方程，從而得到m的值，但前提條件是方程得有實數(shù)根.
解：原方程可變形為：.
∵、是方程的兩個根，
∴△≥0,即：4（m+1）2-4m2≥0,∴8m+4≥0,m≥.
又、滿足,∴=或=-,即△=0或+=0,
由△=0,即8m+4=0,得m=.
由+=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合題意，舍去)
所以,當(dāng)時，m的值為.
點評：本題是考查一元二次方程有根的情況求字母的值.首先在保證方程有實數(shù)的前提下，再利用兩根之間的關(guān)系找到含有字母的方程，從而得到字母的值.
9．【解析】（1）要證明方程總有兩個不相等的實數(shù)根，那么只要證明△＞0即可；
（2）要是方程有整數(shù)解，那么x1x2=4﹣p2為整數(shù)即可，于是求得當(dāng)p=0，±1時，方程有整數(shù)解．
解；（1）原方程可化為x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）∵方程有整數(shù)解，
∴x1x2=4﹣p2為整數(shù)即可，
∴當(dāng)p=0，±1時，方程有整數(shù)解．
點評：本題考查了一元二次方程的根的情況，判別式△的符號，把求未知系數(shù)的范圍的問題轉(zhuǎn)化為解不等式的問題是解題的關(guān)鍵．
10．【解析】（1）首先求出m和n的值，進而判斷出m和n均小于0，然后進行分式的化簡，最后整體代入求值；
（2）根據(jù)m和n小于0化簡+為（），然后根據(jù)m+n=﹣3，mn=1整體代值計算．
解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的兩根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式=﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的兩根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、分式的化簡求值以及代數(shù)求值等知識，解答本題的關(guān)鍵是能求出m和n的判斷出m和n均小于0，此題難度一般．
11．【解析】由x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，可得x1+x2=﹣，x1x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．
解：存在．
∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，
∴a＞0，
∵﹣x1+x1x2=4+x2，
∴x1x2=4+x2+x1，
即=4﹣，
解得：a=24．
點評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式．此題難度適中，注意掌握若二次項系數(shù)不為1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
12．【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解不等式即可；
（2）利用求根公式得到x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣，然后分別計算x1+x2，x1x2的值即可；
（3）利用（2）中的結(jié)論得到（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1，然后利用配方法確定代數(shù)式的最小值．
（1）解：依題意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，
解得k≤；
（2）證明：∵△=4﹣8k，
∴x=，
∴x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣
∴x1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；
x1x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；
（3）解：（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+2≥2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）的最小值為2．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判別式．
13.【解析】由于方程x2﹣2x+m+2=0的有實根，由此利用判別式可以得到m的一個取值范圍，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系討論|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范圍，最后取它們的公共部分即可求出m的取值范圍．
解：根據(jù)題意可得
△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，
解得m≤﹣1，
而x1+x2=2，x1x2=m+2，
①當(dāng)m≤﹣2時，x1、x2異號，
設(shè)x1為正，x2為負(fù)時，x1x2=m+2≤0，
|x1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，
∴m≥﹣，而m≤﹣2，
∴﹣≤m≤﹣2；
②當(dāng)﹣2＜m≤﹣1時，x1、x2同號，而x1+x2=2，
∴x1、x2都為正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，
符合題意，m的取值范圍為﹣2＜m≤﹣1．
故m的取值范圍為：﹣≤m≤﹣1．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．同時也利用分類討論的思想方法．
14.【解析】（1）本題可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后將m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．進行化簡，得出a，b的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a，b的值，進而得出三角形的面積．
解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．
∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，
設(shè)x1，x2是此方程的兩個根，
∴x1x2==，
∴也是正整數(shù)，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，
又m為正整數(shù)，
∴m=2；
（2）把m=2代入兩等式，化簡得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0
當(dāng)a=b時，
當(dāng)a≠b時，a、b是方程x2﹣4x+2=0的兩根，而△＞0，由韋達定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，則a＞0、b＞0．
①a≠b，時，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2
故△ABC為直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．
②a=b=2﹣，c=2時，因＜，故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去．
③a=b=2+，c=2時，因＞，故能構(gòu)成三角形．
S△ABC=×（2）×=

綜上，△ABC的面積為1或．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識點，本題中分類對a，b的值進行討論，并通過計算得出三角形的形狀是解題的關(guān)鍵．

延伸閱讀

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
1.設(shè)是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程的兩根的平方.
3.已知一元二次方程的兩根分別是，求的值.

4．已知方程的兩根之比為，求的值。

5.已知關(guān)于x的方程，根據(jù)下列條件，分別求出m的值：①兩根互為相反數(shù)；②兩根互為倒數(shù)；③有一根為零；④有一根為1.

6.已知是關(guān)于x的方程的兩個實根，且，求m的值.

7.已知是關(guān)于x的方程的兩個實根，k取什么值時，.

8.當(dāng)k為何值時，一元二次方程的兩實根的絕對值相等，求出與k值相應(yīng)的實數(shù)根.

9.已知關(guān)于x的方程有兩個正實根，求k的取值范圍.

10．若矩形的長和寬是方程的兩根，求矩形的周長和面積。

11．若方程的兩根的絕對值相等，求的值及這個方程的根。

12．已知方程
（1）求證方程必有相異實根
（2）取何值時，方程有兩個正根
（3）取何值時，兩根相異，并且負(fù)根的絕對值較大？
（4）取何值時，方程有一根為零？

參考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.時，時，時，；
9.（提示：需，兩根和大于0，兩根積也大于0）.
10．周長，面積6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案新版湘教版

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
課題*2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系授課人
教
學(xué)
目
標(biāo)知識技能掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會初步應(yīng)用．
數(shù)學(xué)思考通過根與系數(shù)的教學(xué)，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．
問題解決根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定兩根之和與兩根之積，并能根據(jù)這一關(guān)系解決簡單的數(shù)學(xué)問題．
情感態(tài)度通過情景教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學(xué)活動中的成功感．
教學(xué)重點
根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)過程.
教學(xué)難點
根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用．

授課類型新授課課時
教具多媒體

教學(xué)活動
教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖
回顧提出問題：
(多媒體展示問題)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？
3．當(dāng)Δ0，Δ＝0，Δ0時，一元二次方程的根的情況如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？通過對一元二次方程相關(guān)知識的復(fù)習(xí)鞏固舊知識，并為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊.
活動
一：
創(chuàng)設(shè)
情境
導(dǎo)入
新課【課堂引入】
(多媒體展示)
問題：解下表中的方程，并完成填空：
方程x1x2x1＋x2x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
師生活動：學(xué)生自主選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋⑼瓿商羁?，然后交流答?
問題：觀察、思考方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
學(xué)生通過計算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)方程中根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認(rèn)識，體會由特殊到一般的認(rèn)識過程.
活動
二：
實踐
探究
交流新知1.填寫上表后思考：
(1)兩根之和、兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系？
(2)你能運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題嗎？
已知方程2x2－3x－2＝0的兩根是x1和x2，則x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？
2.教師與學(xué)生共同整理證明過程.
證明：當(dāng)Δ0時，由求根公式得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，
所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；
x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.
當(dāng)Δ＝0時，x1＝x2＝－b2a，
所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.

歸納：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根為x1和x2，則x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
1.進一步分析、驗證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關(guān)系，為從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識打好基礎(chǔ).
2.通過設(shè)置問題(2)使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行計算需要滿足Δ≥0.
3.探究根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.
活動
三：
開放
訓(xùn)練
體現(xiàn)
應(yīng)用【應(yīng)用舉例】
例1(多媒體展示)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩個根x1和x2的和與積．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
師生活動：學(xué)生自主進行解答，教師做好評價和總結(jié)．
注意：把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值．
變式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
變式二若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩根，求x1＋x2－x1x2的值.設(shè)置問題，針對本課時的重點所學(xué)進行及時鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和記憶公式的能力．

【拓展提升】
例2解答下列問題：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一個根為2，求另一個根和c的值．
(2)關(guān)于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的兩根互為倒數(shù)，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的兩根分別為x1，x2，求1x1＋1x2的值．
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進行交流、討論，確定解決問題的方法，并適時點撥，提示能否用多種方法進行解答．
拓展提升是根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用，利于提高學(xué)生思考的廣度和深度，能夠給予學(xué)生必要的知識補充.
活動
四：
課堂
總結(jié)
反思【達標(biāo)測評】
1．兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的兩個根分別為2和3，則a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一個根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的兩個根分別為x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.
學(xué)生進行當(dāng)堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解．

通過設(shè)置達標(biāo)測評，進一步鞏固所學(xué)新知識，同時檢測學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.
【當(dāng)堂訓(xùn)練】
1．(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？
(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！
2．布置作業(yè)：
教材P48習(xí)題2.4中的T1，T2，T3.指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的好習(xí)慣，加強教學(xué)反思，進一步提高教學(xué)效果.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
提綱挈領(lǐng)，重點突出.
【教學(xué)反思】
①[授課流程反思]
在新知探究環(huán)節(jié)中，關(guān)于兩根之和與兩根之積的計算看似復(fù)雜，教師進行板演后，能夠使學(xué)生清晰認(rèn)識到結(jié)論的來由，能夠順利地進行應(yīng)用．課堂訓(xùn)練中，學(xué)生運用新知識解答問題不甚靈活，教師的必要引導(dǎo)起了關(guān)鍵作用．
②[講授效果反思]
重點應(yīng)用過程中，注意到：(1)運用根與系數(shù)的關(guān)系前首先要保證方程有實數(shù)根；(2)運用根與系數(shù)的關(guān)系解答問題能方便運算．
③[師生互動反思]
從教學(xué)過程來看，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下進行探索和交流，并能夠運用知識解答問題，應(yīng)增加其興趣和思維敏捷性的訓(xùn)練．
④[習(xí)題反思]
好題題號_______________________________________
錯題題號_______________________________________反思，更進一步提升.