小學三角形教案

《相似三角形的復習》教案。

《相似三角形的復習》教案

一、教學目標
知識目標：
①掌握三角形相似的判定方法。
②會用相似三角形的判定方法和性質來判斷及計算。
能力目標：
①通過相似三角形的判定方法培養(yǎng)學生的動手操作能力。
②利用相似三角形的判定及其性質進行有關判斷及計算，培養(yǎng)培養(yǎng)學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力。
情感目標：使學生認識數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體驗在數(shù)學學習活動中探索與創(chuàng)造的樂趣，通過合作交流學習，培養(yǎng)他們的團隊合作精神，增強學習數(shù)學的興趣和信心。
二、教學重點與難點：
重點：三角形相似的判定性質及其應用。
難點：三角形相似的判定和性質的靈活運用。
三、教學過程：
（一）知識回顧
1、三角形相似的判定方法有哪幾種?
2、相似三角形的性質有哪些？
一、練一練
1.如圖，P是△ABC中AB邊上的一點，要使△ACP∽△ABC需添加一個條件為
2.在□ABCD中,AE:BE=1:2，若S△AEF=6cm2，則S△CDF=cm2，S△ADF=cm2
《相似三角形的復習》教案《相似三角形的復習》教案《相似三角形的復習》教案
二、知識應用
1、如圖,正方形ABCD中,E是DC中點,《相似三角形的復習》教案.求證:AE⊥EF
《相似三角形的復習》教案
2、如圖,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36，求△ABC的面積.
《相似三角形的復習》教案
3、如圖,⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，求證:AB2=AE·AD
《相似三角形的復習》教案
4、在方格紙中，每個小格的頂點叫做格點,以格點為頂點的三角形叫做格點三角形，在如圖4x4的格紙中，△ABC是一個格點三角形。
(1)在圖1中,請你畫一個格點三角形,使它與△ABC相似(相似比不為1)
(2)在圖2中,請你再畫一個格點三角形,使它與△ABC相似(相似比不為1),但與圖1中所畫的三角形大小不一樣.
三、拓展提高
如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°
（1）求證：△ABD∽△DCE
《相似三角形的復習》教案（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍，并求出當BD為何值時AE取得最小值
（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長
（四）回顧和小結
（五）作業(yè)：試卷
反思：相似三角形與函數(shù)的綜合學生要多練。

相關閱讀

相似三角形的條件

第四章相似圖形
6.探索三角形相似的條件（二）
一、學生知識狀況分析
學生知識技能基礎：
學生的知識技能基礎：學生在七年級下冊第五章《三角形》里，已學習過三角形的基礎知識掌握了基本的概念；在本章前面幾節(jié)課中，又學習了線段的比，黃金分割，形狀相同的圖形，相似多邊形，相似三角形，并理解了它們的概念；現(xiàn)已具有了初步的平面圖形知識，本節(jié)課是要在以前學習的基礎上加深相似三角形部分的知識。本節(jié)知識的難點在于對兩個相似三角形相似上的判定，本節(jié)課需要在上一節(jié)課的基礎上增加“三邊對應成比例的兩個三角形相似”及“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這兩條判定定理，在教學方法上建議采用學生自主探索、分組討論、總結，教師參與討論并最后點評總結的方法。
學生活動經(jīng)驗基礎：
學生在上節(jié)課學習的基礎上，進一步探索相似三角形的條件，已經(jīng)有一定的探索經(jīng)驗；因此，本課時對學生來說，難度不是很大，關鍵是老師要用正確的方法，啟發(fā)學生進行探索，做到師生互動，教師參加學生討論并充分調動學生的學習積極性。使學生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能結合本節(jié)知識點，進行一些問題的解決，以鞏固所學知識的運用。

二、教學任務分析
在復習上一節(jié)課所學的判定方法的基礎上進一步學習三角形相似的條件，增加“三邊對應成比例的兩個三角形相似”及“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這兩條判定定理，并對所學的各種三角形相似的判定方法進行梳理；使學生能掌握和綜合利用相似三角形的判定條件和性質來判定兩個三角形的相似，讓學生結合實際再次體會數(shù)學中的幾何圖形在生活中廣泛存在并起到重要的作用；在教學中再輔以適量的練習使學生對所學的知識加深印象和增加解決問題的能力。
教學內容：三角形相似的條件（2）

教學目標：
1、知識與技能：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三邊對應成比例的兩個三角形相似”及“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。
2、過程與方法：以問題的形式引入，創(chuàng)設一個有利于學生動手和探究的情景，師生互動，從而達到掌握相似三角形判定的方法的目的。
3、情感與價值觀要求
（1）、培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值。
（2）、在進行探索的活動過程中發(fā)展學生的探索發(fā)現(xiàn)歸納意識并養(yǎng)成合作交流的習慣。
教學重點
掌握相似三角形的兩個判定定理：“三邊對應成比例的兩個三角形相似”及“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。
教學難點
理解和應用相似三角形判定，“三邊對應成比例的兩個三角形相似”這條判定定理的教學難點在于使學生明白對應邊的比必須相等；而“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這條判定定理的教學難點在于向學生強調相等的角必須是在兩條成比例的線段之間。
教學關鍵
正確地把握幾何圖形的結構和特點
教學方法：探索發(fā)現(xiàn)歸納法
教具準備：教師：多媒體課件。
學生：自制相似三角形

三、教學過程分析
本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準備——自制相似三角形；第二環(huán)節(jié)：情景引入、合作探討；第三環(huán)節(jié)：教師點睛；第四環(huán)節(jié)：練習提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結。

第一環(huán)節(jié)：課前準備
活動內容：自制相似三角形（提前一天布置）；
以四人為一個活動小組，制作相似三角形；
活動目的：通過學生自制相似三角形，希望學生從活動中了解怎樣的情況下能制作出一組相似的三角形；從而讓學生復習上一節(jié)課學習過的相似三角形的判定定理：“:如果一個三角形的兩個角與另一個三形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似?？梢院唵握f成：兩角對應相等，兩個三角形相似?！?；并讓學生自主探索三角形相似的其他定理，培養(yǎng)學生善于觀察生活、樂于探索研究的學習品質及與他人合作交流的意識。
活動效果：
學生通過自主制作相似三角形，發(fā)現(xiàn)通過“:如果一個三角形的兩個角與另一個三形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似?！眮碇谱飨嗨迫切螘r，有一個角相同的兩個三角形不一定相似；有兩個角相同和三個角相同是一樣的；在探索“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”時學生發(fā)現(xiàn)：如果相等的不是夾角，那么這兩個三角形不一定相似。

第二環(huán)節(jié)：情景引入、合作探討
活動內容：各個小組派代表展示制作的相似三角形，并說明在制作相似三角形時所探索出的相似三角形的有關信息
活動目的：給學生一個表現(xiàn)自己的舞臺，增強學生的自信心；將學習空間還給學生，讓學生在相互合作的過程中發(fā)現(xiàn)知識，掌握知識。
活動效果：在一個開放的環(huán)境下展示、講解親自搜集到的相似三角形全等的判定，學生們以這樣的方式，以自己的思維引入；而且引入的過程是學生們自己探索的過程，使用的結論是學生自己探索的結果；就讓學生對學習有很高的興趣，而且講解中小組之間互相補充、互相競爭，氣氛熱烈,同時培養(yǎng)了學生們的合作交流精神和語言表達能力。

第三環(huán)節(jié)：教師點睛
活動內容：
學生根據(jù)小組制作的相似三角形的圖形及在制作相似三角形中的“發(fā)現(xiàn)”進行相互交
流，教師給予適當?shù)膸椭趯W生探索的基礎上進行教學提高：
[師]我們上一節(jié)課學過什么定理?
師生共同回憶并得出答案，我們上節(jié)課學習了三角形的判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。可以簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似。
[師](演示課件)
[師]提出問題;是否有△ABC∽△ABC？
(1)讓學生通過探索比較兩個三角形對應三個角的大小然后得出結論:
1
2
∴△ABC∽△ABC
所以通過發(fā)現(xiàn)歸納總結有下面的結論
判定定理2：三條邊對應成比例的兩個三角形相似。
[師]（演示課件）讓學生觀察幻燈片然后提出問題：兩個三角形兩邊對應成比例且夾角相等,它們是否相似?
判定定理3：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

判斷：已知△ABC和△A’B’C’,根據(jù)下列條件判斷它們是否相似？

1、[師]（演示課件）如圖：△ABC與△ABC相似嗎？你有哪些判斷方法？

其中，第四種不成立。

活動目的：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三邊對應成比例的兩個三角形相似”及“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。特別是在“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這條判定定理的教學中要向學生強調相等的角必須是在兩條成比例的線段之間
活動效果：通過學生活動后教師的點睛之筆般的教學，學生對三角形相似的判定有了系統(tǒng)的了解，通過學生自己的探索和教師對知識的系統(tǒng)教學，在學生思維中自己探索而獲得的知識重疊，進而加深了記憶。

第四環(huán)節(jié)：練習提高
活動內容：
1、課本123頁隨堂練習第1題
2、一個三角形三邊長分別為BC=4㎝，AB=6㎝，AC=7㎝，另一個三角形三邊長分別為BC=2㎝，AB=3㎝，AC=3.5㎝，這兩個三角形相似嗎？
活動目的：通過練習，鞏固對本節(jié)知識的理解；并讓學生將上一節(jié)課：相似三角形的判定1，與本課知識：相似三角形的判定2、3的內容系統(tǒng)的掌握。
活動效果：學生基本都能對兩個三角形是否還是相似作出正確的判斷并在“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這條判定定理中學生理解了相等的角必須是在兩條成比例的線段之間這個重點和難點。

第五環(huán)節(jié)：課堂小結
活動內容：師生互相交流本節(jié)課學習的兩個三角形相似的判別方法：
1、三條邊對應成比例的兩個三角形相似。
2、兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。
綜合上一節(jié)課學習過三角形相似的判定方法，得到如下的關系圖：

布置作業(yè)：課本125頁習題4.8第1題、第2題

活動目的：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習及課前的相似三角形的制作過程，談自己的收獲與感想（學生暢所欲言，教師給予鼓勵）
活動效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲：相似三角形進行判斷的三種方法；特別是在運用相似三角形判定3“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”來判斷三角形相似中，需注意：相等的角必須是在兩條成比例的線段之間的角！

四、教學反思
1、教師要給予學生自主探索三角形相似條件的時間，同時要為學生提供表現(xiàn)自我的舞臺；讓學生在探索中自己總結、提高；當然，教師需要進行點睛般的教學。
（1）本課時我們共同學習探索了三角形相似的第二個條件，即：兩邊對應成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似；由于學生有了上一節(jié)課的基礎，因此，大部分學生能夠正確理解和掌握。
（2）三角形相似的第二個條件，由于要用到三角形的邊、角，部分學生容易忽略條件的要求，即：“兩邊且夾角”，老師務必在學生學習時加以強調，避免出現(xiàn)“兩邊且對角”的錯誤。
2、注意改進的內容：
在教師總結性的教學之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓思維活躍的部分學生的回答代替其他學生的思考；教師應該對小組討論給予指導，并參與學生小組的討論，對部分思維不活躍的學生要啟發(fā)性的提出一些問題，幫助學生思考。

相似三角形的應用

作為老師的任務寫教案課件是少不了的，大家在認真寫教案課件了。我們制定教案課件工作計劃，就可以在接下來的工作有一個明確目標！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編收集整理的“相似三角形的應用”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

29.8相似三角形的應用

一、教材分析：

教學背景分析教學內容本節(jié)主要探索的是應用相似三角形的識別、性質等知識去解決某些簡單的實際問題（計算不能直接測量物體的長度和高度）。

學情分析學生已經(jīng)學過了相似三角形的概念、識別及性質，在次基礎上通過本課的學習將對前面所學知識進行全面應用。

教

學

目

標知識目標1、學生通過探索實際問題來體驗測量中對相似三角形有關知識的應用。

2、經(jīng)歷應用相似三角形的有關知識去解決簡單的實際問題的全過程。

能力目標1、全力培養(yǎng)學生的應用意識，和把實際問題轉化為數(shù)學問題并用數(shù)學方

法去分析、解決實際問題的能力。

2、通過開放的設計題來發(fā)展學生的思維，培養(yǎng)創(chuàng)造力。

情感目標1、通過著名的科學家名句和如何測量神秘的金字塔的高度來激發(fā)學生學數(shù)學的興趣，使全體學生積極參與探索，體驗成功的喜悅。

2、力求培養(yǎng)學生科學，正確的數(shù)學觀，體現(xiàn)探索精神。

教學

重點

難點教學重點1、引導學生根據(jù)題意構建出相似三角形模型，從而可以把實際問題轉化為純數(shù)學問題來解決。

2、面對已設計出來的測量方案，應注意在實際操作中所出現(xiàn)的錯誤。

教學難點通過審題、思考后，如何在實際問題中抽象出相似三角形的模型。

教學策略針對以上教學難點、重點的分析，本節(jié)課將應用啟發(fā)式教學與探究式教學相結合來展開分解難點、突出重點。始終體現(xiàn)以學生自主學習及合作交流為主的新課程理念，從學生的經(jīng)驗、生活實際出發(fā)，創(chuàng)設情景，引導學生去發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題。

教學關鍵在實際生活中，面對不能直接測量出長度和寬度的物體，我們可以應用相似三角形的知識來測量，只要將實際問題轉化為數(shù)學問題，建立相似三角形模型，再利用線段成比例來求解。

二、教學流程：

流程內容呈現(xiàn)師生活動意圖設計

一、

創(chuàng)

設

情

景

激

發(fā)

興

趣

⑴創(chuàng)設情景：

師：（出示圖片）著名的科學家阿基米德曾講過如果給我一個支點我可以撬起整個地球。我們真佩服偉人的大氣，其實這個杠桿圖中有著一個數(shù)學知識，而且這個知識在生活中很常見。

生：觀察圖片，聽教師講述。

⒈通過圖片的展示及教師的娓娓講述一開始就把學生的視覺、聽覺深深的吸引牢了。

2、杠桿原理圖中就隱藏著相似三角形的模型，因此可以自然的引出有關的實際問題。

3、選擇學生熟知的生活情景引入，激發(fā)興趣，產(chǎn)生“要學習”的欲望。

二、

授

人

以

魚，

給

出

模

型

⑴如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高m?

⑵小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h.(設網(wǎng)球是直線運動)

師：給出兩個小題，要求學生獨立完成，完成后思考兩題在解題過程中有何異同？

生：獨立完成，并思考異同點。

由學生來講解過程，并分析異同點。

師：兩題都是通過構建相似三角形模型來解決的。

目的在于既可對相似三角形的識別與性質進行有效的復習,又可讓學生形成初步應用相似三角形知識來解決實際問題的意識。

流程內容呈現(xiàn)師生活動意圖設計

三、

抽

象

模

型，

感

受

過

程感受建模過程：

小結：

在解決次類實際問題時，可構建相似三角形的模型，再利用對應邊成比例建立等式，已知三個量去求第四個量。

師：教師利用電腦課件演示抽模過程。

生：去直觀感受過程，留下印象，形成經(jīng)驗。

要想很好的解決實際問題就必須轉化為數(shù)學問題。具體的就是構建數(shù)學模型。本題我先借助電腦來抽象模型讓學生感受過程，即授人于魚。在培養(yǎng)學習興趣，逐步展開思維的同時，使學生形成將生活問題數(shù)學化意識。

四、

授

人

于

漁，

動

手

實

踐

之

一

1、同學們，若有一瓶牛奶，喝了一部分，如何來測量出剩余牛奶液面的高度呢？

2、若小明在測量時，將木棒一不小心滑到了底面的D處，那又該如何測量呢？

3、如果木棒底端在瓶底上的任意處，是否都可測量呢？

4、在測量和計算時應注意什么？

師：創(chuàng)設一個有趣的情景給學生，同時，給出實踐的目標。這三個問題是呈現(xiàn)遞進關系的。并能充分的應用到相似三角形的知識。

生：以同桌合作的形式動手操作（課前已讓學生準備好易拉罐、筷子、刻度尺），在操作中進行探索和思考。

教師來回巡視，觀察學生操作進程，然后由學生上講臺來講解過程。

師：需測量那幾個量？測量時應注意什么？

小結：

在構建好模型后，成比例的四個量中，必須想方設法測出三個量才能解的第四個量。1、本題是一道操作性強，且是半開放題型，是在前面“授人于魚”基礎上，讓學生合作探索以達到“授人于漁”的效果，三個問題層層遞進，直至最后規(guī)律的得出：無論木棒底端放在那里，都可以通過建立相似三角形模型來測量。

2、充分培養(yǎng)了學生的動手實踐能力及數(shù)學建模思想。

流程內容呈現(xiàn)師生活動意圖設計

五、

延

伸

拓

展，

動

手

實

踐

之

二

利用所給的工具如何測量零件的內徑呢？

師：亮出題目，講清任務。

生：四人一組進行動手操作，尋求解決問題的方法。

最后，由學生來講解解決方法的過程。教師與其他同學再補充。

如果前面一題側重的于對“A”字形相似三角形的應用，那么這一題更側重于對“X”字形相似三角形的應用。兩題相互補充。完善了學生的知識結構。

六、

悟

其

漁

識，

設

計

方

案

教師簡單的介紹一下由于金字塔經(jīng)過幾千年的風化，高度下降了，所以要重新測量。

如果給你一根2米高木棒，一把皮尺，一面平面鏡。同學們，你能利用所學知識選擇適當?shù)墓ぞ邅頊y出塔高嗎？（自主設計方案）

內容呈現(xiàn)

師：娓娓講述題目，并對題目作簡單的解釋。

生：四人一組進行合作探索。

師：教師下講臺與學生一起交流，并匯總方案。

由學生來講解設計的步驟，并講清需要測量那些量及在測量時應注意什么？

師生活動1、本題是一道完全開放的題目，可以讓他們的思想插上翅膀，能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與探索精神。

2、單憑自己的力量是不夠的，遇到困難自然想到要合作，這樣可以培養(yǎng)學生的合作交流意識。

3、這是本課的最高境界——悟其漁識。在前面得到“魚”，又學會了“漁”的基礎與過程中，悟出了真正的“漁識”，全面引導學生進行開創(chuàng)性的思考和探索

預測說明

七、

1、學生可能首先想到方案一

當方案一應注意的是木棒影子的頂端F應該在金字塔影子的外面。

2、測量時，應讓木棒頂端影子與金字塔頂端的影子相互重合于A點。

3、測量BC時

應該測量人的目高。

4、抽象出的兩個基本模型。

八、

聆

聽

學

生

心

聲

課堂聚焦：

通過本堂課的探索,你學會了什么?

有何收獲?（最想說的一句話是什么？）

在學生回答的基礎上，教師最后指出：

1、本課重點是把實際問題轉化為數(shù)學問題，即構建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性質來解決實際問題。（當物體的高度和長度不能直接測量時）

2、數(shù)學思想：轉化思想、建模思想。

師：同學們可以先在小組內交流一下心得。

生：暢所欲言，表達心聲。

1、體現(xiàn)以學生為本的真正理念。

2、聆聽學生心聲，隨時反思和總結。

3、學生的心理素質和提高表達能力。

九、

作

業(yè)布置

1、完成課本的練習及作業(yè)本的練習。

2、課后，同學們可以去設計一些方案來測量學校的旗桿、樹木。

完成作業(yè)可以很好的對本課的知識進行有效的鞏固和加深。

課本的練習和作業(yè)本的練習注重的純理論的，而第二個作業(yè)則注重培養(yǎng)學生的動手實踐能力。

相似三角形的性質

第二十一講相似三角形的性質
兩個相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊之比稱為它們的相似比，可以想到這兩個相似三角形中其他一些對應元素也與相似比有一定的關系．
1．相似三角形對應高的比、對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；
2．相似三角形周長之比等于相似比；
3．相似三角形面積之比等于相似比的平方．
以上諸多相似三角形的性質，豐富了與角、面積等相關的知識方法，開闊了研究角、面積等問題的視野．

例題求解
【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC(ADBC)，AC、BD交于點O，若S△OAB=S梯形ABCD，則△AOD與△BOC的周長之比是．
(浙江省紹興市中考題)
思路點撥只需求的值，而題設條件與面積相關，應求出的值，注意圖形中隱含的豐富的面積關系．
注相似三角形的性質及比例線段的性質，在生產(chǎn)、生活中有廣泛的應用．
人類第一次運用相似原理進行測量，是2000多年前泰勒斯測金字塔的高度，泰勒斯是古希臘著名學者，有“科學之父”的美稱．他把邏輯論證引進了數(shù)學，確保了數(shù)學命題的正確
性．使教學具有不可動搖的說明力．
【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中．E為CD上一點，DE：CE=2：3，連結AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF=()
A．4：10：25B．4：9：25C．2：3：5D．2：5：25
(黑龍江省中考題)

思路點撥運用與面積相關知識，把面積比轉化為線段比．
【例3】如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3㎝，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長．

思路點撥要在三角形內裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點應落在△ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出．
注本例是一道有實際應用背景的開放性題型，通過分析、推理、構思可能的方案，再通過比較、鑒別、篩選出最佳的設計方案，問題雖簡單，但基本呈現(xiàn)了現(xiàn)實的生產(chǎn)中產(chǎn)生最佳設計方案的基本思路．
【例4】如圖．在△ABC的內部選取一點P，過P點作3條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得的3個三角形、、的面積分別為4、9和49，求△ABC的面積．
(美國數(shù)學邀請賽試題)

思路點拔圖中有相似三角形、平行四邊形，通過相似三角形性質建立面積關系式，關鍵是恰當選擇相似比，注意等線段的代換．追求形式上的統(tǒng)一．
【例5】如圖，△ABC中．D、E分別是邊BC、AB上的點，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周長依次是、m1、m2，證明：．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

思路點撥把周長的比用相應線段比表示，力求統(tǒng)一，得到同—線段比的代數(shù)式，通過代數(shù)變形證明．
注例4還隱舍著下列重要結論：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2)；
(3)．
學力訓練
1．如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，則AD：DB=．
2．如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形ABCD的位置，它們的重疊部分(圖中的陰影部分)的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC=，則正方形移動的距離AA是．(江西省中考題)

3．若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為．(武漢市中考題)
4．閱讀下面的短文，并解答下列問題：
我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同．就把它們叫做相似體．
如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比：a：b，設S甲：S乙分別表示這兩個正方體的表面積，則，又設V甲、V乙分別表示這兩個正方體的體積，則．
(1)下列幾何體中，一定屬于相似體的是()
A．兩個球體B．兩個圓錐體C．兩個圓柱體D．兩個長方體
(2)請歸納出相似體的3條主要性質：
①相似體的一切對應線段(或弧)長的比等于；
②相似體表面積的比等于；
③相似體體積的比等于．(江蘇省泰州市中考題)
5．如圖，一張矩形報紙ABCD的長AB=acm，寬BC=b㎝，E、F分別是AB、CD的中點，將這張報紙沿著直線EF對折后，矩形AEFD的長與寬之比等于矩形ABCD的長與寬之比，則a：b于()
A．：1B．1：C．：1D．1：(2004年南京市中考題)

6．如圖，D為△ABC的邊AC上的一點，∠DBC=∠A，已知BC=，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長是()
A．B．C．D．
7．如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有()
A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考題)
8．如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于()
A．1：9：36B．l：4：9C．1：8：27D．1：8：36
9．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求證：．

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，連結AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE=∠C．
(1)求證：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；
(3)在(1)、(2)的條件下，若AD=3，求BF的長．(2003年長沙市中考題)
11．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上．
(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
(3)試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在，請簡要說明理由，若存在，請求出PQ的長．(廈門市中考題)
12．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100個不同的點Pl、P2、…P100，過這100個點分別作△ABC的內接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，設每個內接矩形的周長分別為L1、L2，…L100，則L1+L2+…+L100=．(安徽省競賽題)
13．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為20cm2、45cm2、80cm2，則△ABC的面積為．

14．如圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是厘米2．
(“希望杯”邀請賽試題)
15．如圖，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG=2CG，DE，DF分別交AG于P、Q，以下說法中，不正確的是()
A．AG⊥FDB．AQ：QG＝6，7
C．EP：PD=2：11D．S四邊形GCDQ：S四邊形BGQF=17：9(2002年重慶市競賽題)
16．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于()
A．2B．C．D．

17．如圖，正方形OPQR內接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面積分別是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的邊長是()
A．B．C．2D．3
18．在一塊銳角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4個頂點都在三角形邊上，若三角形的三邊長分別為a、b、c，且a＞b＞cd，問正方形的2個頂點放在哪條邊上可使加工出來的正方形零件面積最大?

19．如圖，△PQR和△P′Q′R′，是兩個全等的等邊三角形，它們的重疊部分是一個六邊形ABCDEF，設這個六邊形的邊長為AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，F(xiàn)A=b3．求證：a1+a2+a3=b1+b2+b3．
20．如圖，在△ABC中，AB=4，D在AB邊上移動(不與A、B重合)，DE∥BC交AC于E，連結CD，設S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1)當D為AB中點時，求的值；
(2)若AD=x，，求與x之間的關系式，并指出x的取值范圍；
(3)是否存在點D，使得成立?若存在，求出D點位置；若不存在，請說明理由．
(福州市中考題)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
(1)將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D．
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比．
(2)將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C、E，使以P、D、E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長．(紹興市中考題)