小學(xué)教案比的應(yīng)用

數(shù)列應(yīng)用題。

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。那么，你知道教案要怎么寫呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“數(shù)列應(yīng)用題”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

課時28數(shù)列應(yīng)用題
【教學(xué)目標(biāo)】
1．綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的知識解決有關(guān)一些實(shí)際應(yīng)用問題，其中函數(shù)的觀點(diǎn)，化歸的方法常常在解題過程中起重要作用。
2．培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
【教學(xué)難點(diǎn)】
難點(diǎn)是解決數(shù)列應(yīng)用題的建摸
【教學(xué)過程】
例1填空題：
⑴一個劇場設(shè)置了20排座位，第一排有38個座位，往后每一排比前一排多2個座位，這個劇場共有個座位。

⑵某廠產(chǎn)值的月平均增長率為P，則年平均增長率為。

⑶某種汽車購車時費(fèi)用為10萬元，每年的保險、養(yǎng)路、汽油費(fèi)共9千元，汽車的年維修費(fèi)逐年以等差數(shù)列遞增，第一年為2千元，第2年為4千元，第3年為6千元，……問這種汽車使用年后報(bào)廢合算？（即汽車的年平均費(fèi)用最底）

(4)一幢大樓共有n層，現(xiàn)每層指定一人到第k層去開會，問k為______________時，使n層樓的開會人員上、下樓梯所走的臺階和最??？（假設(shè)每層樓梯的臺階數(shù)都相同）

例2某人2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元購買住房，月利率3.375‰，按復(fù)利計(jì)算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月初開始還貸，如果10年還清，那么每月應(yīng)還貸多少元？

例3某地現(xiàn)有耕地面積10000公頃，計(jì)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在提高22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口的年增長率為1%，那么平均每年最多只能減少耕地面積多少公頃（精確到1公頃）？(注：糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=)

【課后作業(yè)】
1、某林場年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增長率生長，而每年末要砍伐固定的木材量為xm3。為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過2次砍伐以后木材存量增長50%，則x的值應(yīng)是。
2、1991年，某內(nèi)河可供船只航行的河段長為1000千米，但由于水資源的過度使用，促使河水?dāng)嗔?，?992年起，該內(nèi)河每年船只可行駛的河段長度僅為上一年的，則到2000年，該內(nèi)河可行駛的河段長度為。
3、如圖（圖見課本P.56第4題）設(shè)正三角形△ABC的邊長為20cm，取BC邊的中點(diǎn)E，作正三角形BDE；取邊DE的中點(diǎn)G，作正三角形DFG；如此繼續(xù)下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20個正三角形的面積和。jAb88.COM

4、李剛從2011年1月開始，用零存整取的方式每月在10日發(fā)工資時存入銀行200元，按銀行規(guī)定，這種儲蓄用單利計(jì)算利息，年利率為1.98%，且在取息時需扣除20%的利息稅，則到2012年1月10日，李剛由這些存款可以到銀行取出多少錢？

5、資料表明，2000年我國工業(yè)廢棄垃圾達(dá)7.4×108t,每噸占地1m2,環(huán)保部門每回收或處理1t廢舊物資,相當(dāng)于消滅4t工業(yè)廢棄垃圾.如果某環(huán)保部門2002年共回收處理了104t廢舊物資,且以后每年的回收量遞增20％。⑴2010年能回收多少噸廢舊物資？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
⑵從2002年初起到2010年底，可節(jié)約土地多少平方米？

6、社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年的投入將比上一年減少，本年度估計(jì)旅游業(yè)收入為400萬元，由于該項(xiàng)目的建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)收入每年比上年增加，
⑴設(shè)n年（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出和的表達(dá)式；
⑵至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

問題統(tǒng)計(jì)與分析

延伸閱讀

常見的數(shù)列求和及應(yīng)用

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的常見的數(shù)列求和及應(yīng)用，供您參考，希望能夠幫助到大家。

常見的數(shù)列求和及應(yīng)用
一、自主探究
1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
=。
2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，=。
3、常見求和公式有：
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+（2n-1）=
※③=
※④
二、典例剖析
（一）、分組求和法：某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和。
例1已知，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。

變式練習(xí)：已知，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。

（二）、裂項(xiàng)求和法：如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為形式，常采用裂項(xiàng)求和的方法。特別地，當(dāng)數(shù)列形如，其中是等差數(shù)列，可采用此法
例2求和：（）

變式練習(xí)：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。

（三）、奇偶并項(xiàng)法：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)時，常常需要對n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論。
例3求和：

（四）、倒序相加法：此法主要適用數(shù)列前后具有“對稱性”，即“首末兩項(xiàng)之和相等”的形式。
例4求在區(qū)間內(nèi)分母是3的所有不可約分?jǐn)?shù)之和。

變式練習(xí)：已知且.求

（五）錯位相減法：一般地，如果數(shù)列時等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用此法，在等式的兩邊乘以或，再錯一位相減。
例5求和：
變式練習(xí)：求和：

三、提煉總結(jié)：數(shù)列的求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容,它往往是數(shù)列知識的綜合體現(xiàn)，求和題在試題中更是常見，它常用來考察我們的基礎(chǔ)知識，分析問題和解決問題的能力。任何一個數(shù)列的前n項(xiàng)和都是從第1項(xiàng)一直加到第n項(xiàng)。數(shù)列的求和主要有以下幾種方法。⑴公式法；⑵分組求和法；⑶裂項(xiàng)求和法；拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式，請補(bǔ)充完整：①=；
②=；
③=；
④=；
⑷奇偶并項(xiàng)法；⑸倒序相加法；⑹錯位相減法。
四、課堂檢測：
1、已知數(shù)列的通項(xiàng)，由所確定的數(shù)列的前項(xiàng)之和是（）
A.B.C.D.
2、已知數(shù)列為等比數(shù)列，前三項(xiàng)為則等于（）
A.B.C.D.
3、設(shè)數(shù)列，（1+2+4），…，（）的前m項(xiàng)和為2036，則m的值為（）
A.8B.9C.10D.11
4、在50和350之間所有末位數(shù)是1的整數(shù)之和是（）
A.5880B.5539C.5280D.4872
5、
6、若,則n=
7、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且
①求的通項(xiàng)；
②求的前n項(xiàng)和
8、數(shù)列中，且滿足,
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有＞總成立。

數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用學(xué)案

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？小編特地為大家精心收集和整理了“數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用學(xué)案”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”，相信能對大家有所幫助。

專題三：數(shù)列
第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

【最新考綱透析】
1．了解數(shù)列求和的基本方法。
2．能在具體問題情景中識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題。
3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題

考情聚焦：1．可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，已經(jīng)成為高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。
2．該類問題出題背景選擇面廣，易與函數(shù)方程、遞推數(shù)列等知識綜合，在知識交匯點(diǎn)處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。
考向鏈接：某些遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決，其轉(zhuǎn)化途徑有：
1．湊配、消項(xiàng)變換——如將遞推公式（q、d為常數(shù)，q≠0，≠1）。通過湊配變成；或消常數(shù)轉(zhuǎn)化為
2．倒數(shù)變換—如將遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得
3．對數(shù)變換——如將遞推公式取對數(shù)得
4．換元變換——如將遞推公式（q、d為非零常數(shù)，q≠1，d≠1）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為的形式。
例1：（2010福建高考文科Ｔ１7）數(shù)列{}中＝，前n項(xiàng)和滿足-＝（n）.
(I)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；
（II）若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值。
【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。
【思路點(diǎn)撥】第一步先求的通項(xiàng)，可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解出；第二步利用等差中項(xiàng)列出方程求出t
【規(guī)范解答】(I)由得，又，故，從而
（II）由(I)從而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列可得解得。
【方法技巧】要求數(shù)列通項(xiàng)公式，由題目提供的是一個遞推公式，如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項(xiàng)。題目要求的是項(xiàng)的問題，這就涉及有關(guān)“項(xiàng)”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題。一般地，含有的遞推關(guān)系式，一般利用化“和”為“項(xiàng)”。
要點(diǎn)考向2：錯位相減法求和
考情聚焦：1．錯位相減法求和，是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點(diǎn)處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題。
考向鏈接：幾種求通項(xiàng)及求和方法
（1）已知，求可用疊加法，即
（2）已知，求可用疊乘法，即
（3）設(shè){}為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯位相減法。
例2：（2010海南寧夏高考理科T17）設(shè)數(shù)列滿足，
（Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的求法，解決本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.
【思路點(diǎn)撥】由給出的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【規(guī)范解答】（Ⅰ)由已知，當(dāng)時，
而，滿足上述公式，
所以的通項(xiàng)公式為.
（Ⅱ）由可知，
①
從而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求數(shù)列的和.
要點(diǎn)考向3：裂項(xiàng)相消法求和
考情聚焦：1．裂項(xiàng)相消求和是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點(diǎn)處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題目。
考向鏈接：裂項(xiàng)求和的幾種常見類型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若是公差為d的等差數(shù)列，則
；
（6）；
（7）
（8）。
例3：（2010山東高考理科Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．
（1）求及；
（2）令(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價變形和運(yùn)算求解能力.
【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出求及；(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇求和的方法.
【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以?br> ，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以bn===，
所以==，
即數(shù)列的前n項(xiàng)和=.
【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對公比的討論.
2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.
3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個數(shù)相同.
5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣).
要點(diǎn)考向4：與不等式有關(guān)的數(shù)列問題
考情聚焦：1．?dāng)?shù)列綜合問題，特別是數(shù)列與不等式的綜合問題是高考中經(jīng)常考查的重要內(nèi)容。
2．該類問題可與函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)函數(shù)等知識交匯，綜合命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬高檔題。
例4：（2010天津高考文科Ｔ22）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記，證明.
【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）（Ⅱ）應(yīng)用定義法證明、求解；（Ⅲ）對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論．
【規(guī)范解答】（I）由題設(shè)可知，，，，，。從而，所以，，成等比數(shù)列．
（II）由題設(shè)可得
所以
.
由，得，從而.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺椋?br> （III）由（II）可知，，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
（２）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)．
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有

【高考真題探究】
1．（2010天津高考理科Ｔ6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()
（A）或5（B）或5（C）（D）
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．
【思路點(diǎn)撥】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】選C．設(shè)，則，
即，，．
2．（2010天津高考文科Ｔ１5）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，則=．
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、均值不等式等基礎(chǔ)知識．
【思路點(diǎn)撥】化簡利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時，最大．
【答案】4.
3．（2010安徽高考理科Ｔ20）設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0．
證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有
．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識，考查考生推理論證，運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項(xiàng)相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0，
先證
若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)時，有，
即對任何，有成立；
當(dāng)時，顯然也成立．
再證
對任意，有①，
②，
由②-①得：-
上式兩端同乘，得③，
同理可得④，
由③-④得：，所以為等差數(shù)列
【方法技巧】
1、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如分組、裂項(xiàng)等，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和；
2、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
4．（2010安徽高考文科Ｔ21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.
(1)證明：為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理論證能力．
【思路點(diǎn)撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，可證明為等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后采用錯位相減法求和.
【規(guī)范解答】
．
【方法技巧】
1、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；
2、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚绶纸M、列項(xiàng)相消、錯位相減等，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和．
5．（2010江蘇高考Ｔ１9）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；
（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問題等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能力．
【思路點(diǎn)撥】（1）先求，然后利用的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決．
【規(guī)范解答】（1）由題意知：，
，
化簡，得：
，
當(dāng)時，，適合情形．
故所求．
（2）（方法一）
，恒成立．
又，，
故，即的最大值為．
（方法二）由及，得，．
于是，對滿足題設(shè)的，，有
．
所以的最大值．
另一方面，任取實(shí)數(shù)．設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且．
于是，只要，即當(dāng)時，．
所以滿足條件的，從而．
因此的最大值為．
6．（2010重慶高考理科Ｔ21）在數(shù)列中，=1，，其中實(shí)數(shù)。
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若對一切有，求的取值范圍。
【命題立意】本小題考查歸納、猜想解題，考查數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的思想.
【思路點(diǎn)撥】（1）先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納猜想得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）對恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，
【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由，，
，
，猜測（），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)n=1時，等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時，
綜上可知，對任何都成立.
【方法2】：由原式，
令，則，，因此對有
因此，，。又當(dāng)n=1時上式成立。
因此，，。
（2）【方法1】：由，得
因，所以
解此不等式得：對一切，有或，其中
易知（因?yàn)榈姆肿印⒎帜傅淖罡叽雾?xiàng)都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是）；用放縮法得：
，所以，
因此由對一切成立得；
又，易知單調(diào)遞增，故對一切成立，因此由對一切成立得：
，從而c的取值范圍為.
【方法2】：由，得，
因，所以對恒成立.
記，下分三種情況討論。
（i）當(dāng)即或時，代入驗(yàn)證可知只有滿足要求
（ii）當(dāng)時，拋物線開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)k充分大時，，不符合題意，此時無解。
（iii）當(dāng)，即或時，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線的左側(cè)，因此，在上是增函數(shù)。
所以要使對恒成立，只需即可。
由解得或
結(jié)合或得或
綜合以上三種情況，的取值范圍為.
【方法技巧】（1）第（1）問有兩種方法解答：①歸納猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明；②數(shù)列的迭代法（或累加消項(xiàng)法）；（2）第（2）問中對條件“恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行討論；（3）放縮法的運(yùn)用

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知{an}為等差數(shù)列，若-1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么使Sn0的n的最大值為()
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首項(xiàng)為b,公比為a的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對任意的n∈N*，點(diǎn)(Sn，Sn+1)在()
(A)直線y=ax+b上
(B)直線y=bx+a上
(C)直線y=bx-a上
(D)直線y=ax-b上
4.在數(shù)列中，若存在非零整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期.若數(shù)列滿足，如，當(dāng)數(shù)列的周期最小時，該數(shù)列的前2010項(xiàng)的和是（）
5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()
(A)289(B)1024(C)1225(D)1378
6.（2010屆安徽省安慶市高三二模（文））已知實(shí)數(shù)、滿足：(其中是虛數(shù)單位)，若用表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最大值是()
A.12B.14C.15D.16
二、填空題（每小題6分，共18分）
7.已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，
________
8.類比是一個偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個結(jié)論：，
9.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第_______行；第61行中1的個數(shù)是_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1).
11.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=6x-2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
12.在數(shù)列中，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求的最大值.

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選C.∵等差數(shù)列{an}中，-1且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，∴a100,a110,故a11-a10.
即a11+a100,而a10+a100,
∴使Sn0的n的最大值為19.
2.
3.
4.D
5.【解析】選C.從圖中觀察知
圖1中an=1+2+…+n=
圖2中bn=n2,
顯然1225在an中n=49,
在bn中n=35.
6.D
二、填空題
7.
8.，
9.【解析】①第1次全行的數(shù)都是1的是第1行，
第2次全行的數(shù)都是1的是第3行，
第3次全行的數(shù)都是1的是第7行，
……
第n次全行的數(shù)都是1的是第2n-1行，
②由上面結(jié)論知第63行有64個1，
則1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
從上面幾行可知第61行數(shù)的特點(diǎn)是兩個1兩個0交替出現(xiàn)，最后兩個為1，
∴在第61行的62個數(shù)中有32個1.
答案：2n-132
三、解答題
10.【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4，
兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
從而an+1+1=2(an+1).
當(dāng)n=1時，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故總有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11.【解析】(1)依題意可設(shè)f(x)=ax2+bx(a≠0)，
則f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上得Sn=3n2-2n.
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12.【解析】（1）由且…）
得．
（2）由變形得
，
是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列
即（）
（3）①當(dāng)是偶數(shù)時
隨增大而減少
當(dāng)為偶數(shù)時，最大值是．
②當(dāng)是奇數(shù)時
隨增大而增大且
綜上最大值為

【備課資源】
1.已知等比數(shù)列{an}的公比q0，前n項(xiàng)的和為Sn,則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是()
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5S5a4
(C)S4a5S5a4(D)不能確定

2012屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用知識梳理復(fù)習(xí)教案

教案67數(shù)列的綜合應(yīng)用
一、課前檢測
1．猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n個式子為。
答案：

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明,在驗(yàn)證成立時,左邊所得的項(xiàng)為(C)
A.1B.1+C.D.

二、知識梳理
1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題。
⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：
⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過個月后便成為元.因此，第二年年初可存款：
=.
注意：“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題
⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為：
(等差數(shù)列問題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：
(等比數(shù)列問題).

⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應(yīng)注意：
（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；
（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.

3.數(shù)列與其他知識的綜合也是?？嫉念}型，如：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何知識相互聯(lián)系和滲透，都是常見的題型。

4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.

三、典型例題分析
題型1以等差數(shù)列為模型的問題
例1由于美伊戰(zhàn)爭的影響，據(jù)估計(jì)，伊拉克將產(chǎn)生60~100萬難民，聯(lián)合國難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難民運(yùn)送食品.第一天運(yùn)送1000t，第二天運(yùn)送1100t，以后每天都比前一天多運(yùn)送100t，直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量，然后再每天遞減100t，連續(xù)運(yùn)送15天，總共運(yùn)送21300t，求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.
剖析：本題實(shí)質(zhì)上是一個等差數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的問題.
解：設(shè)在第n天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.
則前n天每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為1000，公差為100的等差數(shù)列.
an=1000+（n－1）100=100n+900.
其余每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為100n+800，公差為－100的等差數(shù)列.
依題意，得
1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化簡得n2－31n+198=0.
解得n=9或22（不合題意，舍去）.
答：在第9天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.

變式訓(xùn)練1數(shù)列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝an－1n＋n＋1(n∈N*，n≥2)，則這個數(shù)列的通項(xiàng)an＝________.答案：(n＋1)(n＋2)
解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，則ann＋1－an－1n＝1，所以數(shù)列{ann＋1}是以a12＝3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即ann＋1＝n＋2，則an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1時，此式也成立．

小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。

題型2以等比數(shù)列為模型的實(shí)際問題
例2（2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面積1200萬平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.
（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積；
（2）求2024年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01）
剖析：本題實(shí)質(zhì)是一個等比數(shù)列的求和問題.
解:（1）2005年底的住房面積為
1200（1+5%）－20=1240（萬平方米），
2006年底的住房面積為
1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（萬平方米），
∴2005年底的住房面積為1240萬平方米，2006年底的住房面積為1282萬平方米.
（2）2024年底的住房面積為
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
≈2522.64（萬平方米），
∴2024年底的住房面積約為2522.64萬平方米.
評述：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識解決，然后回到實(shí)際問題，給出答案.

變式訓(xùn)練2從2002年1月2日起，每年1月2日到銀行存入一萬元定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期存款，到2008年1月1日將所有存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)為____萬元.
答案：［（1+p）7－（1+p）］
解：存款從后向前考慮
（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5
==［（1+p）7－（1+p）］.
注：2008年不再存款.
小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。

題型3數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應(yīng)用
例3(文)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
(1)試判斷數(shù)列{1an}是否為等差數(shù)列；(2)設(shè){bn}滿足bn＝1an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)為Sn；
(3)若λan＋1an＋1≥λ，對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故數(shù)列{1an}是等差數(shù)列．
(2)由(1)的結(jié)論可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，
∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.
(3)將an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，
∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命題等價于該式對任意n≥2的整數(shù)恒成立．
設(shè)Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，則Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)0，故Cn＋1Cn，
∴Cn的最小值為C2＝283，∴λ的取值范圍是(－∞，283]．

變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1Sk9(k∈N*)，則k的值為________．答案：4
解：∵Sn＝23an－13，∴S1＝23a1－13＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n1)，即an＝(23an－13)－(23an－1－13)＝23an－23an－1，整理得：anan－1＝－2，∴{an}是首項(xiàng)為－1，公比為－2的等比數(shù)列，Sk＝a1(1－qk)1－q＝(－2)k－13，∵1Sk9，∴1(－2)k－139，即4(－2)k28，僅當(dāng)k＝4時不等式成立．

小結(jié)與拓展：數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系和滲透.

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題.解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要加強(qiáng)培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識.
2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應(yīng)注意：
（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；
（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.
3.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系和滲透.
4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.