小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題-相對(duì)相稱(chēng)—對(duì)稱(chēng)分析法。

作為老師的任務(wù)寫(xiě)教案課件是少不了的，大家應(yīng)該在準(zhǔn)備教案課件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，這對(duì)我們接下來(lái)發(fā)展有著重要的意義！有沒(méi)有出色的范文是關(guān)于教案課件的？下面是小編為大家整理的“八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題-相對(duì)相稱(chēng)—對(duì)稱(chēng)分析法”，大家不妨來(lái)參考。希望您能喜歡！

專(zhuān)題26相對(duì)相稱(chēng)—對(duì)稱(chēng)分析法

閱讀與思考
當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼韋爾指出：對(duì)稱(chēng)盡管你可以規(guī)定其含義或?qū)捇蛘?，然而從古到今都是人們用?lái)理解和創(chuàng)造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想.許多數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的對(duì)象具有對(duì)稱(chēng)性（不僅包括幾何圖形中的對(duì)稱(chēng)，而且泛指某些對(duì)象在某些方面如圖形、關(guān)系、地位等彼此相對(duì)又相稱(chēng)）.
對(duì)稱(chēng)分析法就是在解題時(shí)，充分利用自身?xiàng)l件的某些對(duì)稱(chēng)性輔助解題的一種分析方法，初中階段主要研究下面兩種類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)：
1.代數(shù)中的對(duì)稱(chēng)式
如果把一個(gè)多項(xiàng)式的任意兩個(gè)字母互換后，所得的多項(xiàng)式不變就稱(chēng)這個(gè)多項(xiàng)式為對(duì)稱(chēng)式，對(duì)稱(chēng)式的本質(zhì)反應(yīng)的是多元多項(xiàng)式中字母地位相同，任何一個(gè)復(fù)雜的二元對(duì)稱(chēng)式，都可以用最簡(jiǎn)單對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，表示，一些對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)問(wèn)題，常用最簡(jiǎn)對(duì)稱(chēng)式表示將問(wèn)題解決.
2.幾何圖形的對(duì)稱(chēng)
幾何圖形的對(duì)稱(chēng)指的是軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)，一些幾何問(wèn)題，如果我們作出圖形的對(duì)稱(chēng)軸，或者作出已知點(diǎn)關(guān)于某線(xiàn)（某點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，構(gòu)造出軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形，那么就能將分散的條件集中起來(lái)，容易找到解題途徑.
例題與求解
【例l】如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是.(荊門(mén)市中考試題)
解題思路：作M關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連MN交AC于點(diǎn)P，則PM+PN的值最小.
【例2】已知，均為正數(shù)，且，求W=的最小值.
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：用代數(shù)的方法求W的最小值較繁，的幾何意義是以a，b為邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，構(gòu)造圖形，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)分析法求出W的最小值.
【例3】已知，求證：（四川省競(jìng)賽試題）
解題思路：解決根式問(wèn)題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是：乘方、配方、換元和引入有理化因式，引入與已知等式地位相對(duì)相稱(chēng)的有理化因式，本例可獲得簡(jiǎn)證．

【例4】如圖，凸四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，
求證：BC＋AD＞AB＋CD.
（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：解題的關(guān)鍵是將有關(guān)線(xiàn)段集中到同一三角形中去，以便運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理，以AC為對(duì)稱(chēng)軸，將部分圖形翻折．

【例5】如圖，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M，N，使BM＋MN的值最小，求這個(gè)最小值.（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：要使BM＋MN的值最小，應(yīng)該設(shè)法將折線(xiàn)BM＋MN拉直，不妨從作出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)入手.
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能力訓(xùn)練
1.如圖，六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱(chēng)圖形，CF所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.若∠AFC＋∠BCF＝，則∠AFE＋∠BCD的大小是.(武漢市中考試題)
(第1題圖)（第2題圖）（第3題圖）
2.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E在BC上，且AE＝EC，若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上，則AC的長(zhǎng)是.
(濟(jì)南市中考試題)
3.如圖，∠AOB＝，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q，P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)最小值是.
4.比大的最小整數(shù)是.（西安交通大學(xué)少年班入學(xué)試題）
5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，則PE＋PC的最小值為（）.
A．B．C．D．
6.觀(guān)察下列平面圖形，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有().
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
(南京市中考試題)
7.如圖，一個(gè)牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事情所走的最短距離是（）.
A．英里B．16英里C．17英里D．18英里
（美國(guó)中學(xué)生競(jìng)賽試題）
(第5題圖)（第7題圖）（第8題圖）
8.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，M為AB中點(diǎn)，P為BC上的點(diǎn)，設(shè)PA＋PM的最大值和最小值分別為S和L，則等于（）
A．B．C．D．
9.一束光線(xiàn)經(jīng)三塊平面鏡反射，反射的路線(xiàn)如圖所示，圖中字母表示相應(yīng)的度數(shù)，已知=，求與的值.（江蘇省競(jìng)賽試題）

10.求代數(shù)式的最小值.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

11.在一平直河岸同側(cè)有兩個(gè)村莊，到的距離分別是3km和2km，．現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．
方案設(shè)計(jì)
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中于點(diǎn)）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，與交于點(diǎn)）．

觀(guān)察計(jì)算
（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖13-3所示的輔助線(xiàn)，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，km（用含的式子表示）．
探索歸納
（1）①當(dāng)時(shí)，比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＝”或“＜”）；
②當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）對(duì)（當(dāng)時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？
(河北省中考試題)

12．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，－3），B（4，－1）
（1）若P（，0）是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求的值；
（2）若C（，0），D（，0）是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值；
（3）設(shè)M，N分別為軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（，0）、N（0，），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；將△ACD沿AC所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；
（2）若BD＝1，CD＝2，試求四邊形AEMF的面積．
(寧夏中考試題)
14.閱讀下列材料：
小貝遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB邊夾角為45的方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊夾角為45的方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)P點(diǎn)碰到BC邊，沿著B(niǎo)C邊夾角為45的方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45的方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)…如圖1所示，問(wèn)P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰幾次，P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的總長(zhǎng)是多少？
小貝的思考是這樣開(kāi)始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線(xiàn)CD折疊，得到矩形A1B1CD，由軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)P2P3＝P2E，P1A＝P1E．
請(qǐng)你參考小貝的思路解決下列問(wèn)題：
(1)P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰次，P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)到第一次與D點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)是cm．
(2)進(jìn)一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長(zhǎng)，且滿(mǎn)足AD＞AB，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按照閱讀材料中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，并滿(mǎn)足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點(diǎn)第一次與B點(diǎn)重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為．

擴(kuò)展閱讀

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題-梯形

專(zhuān)題21梯形
閱讀與思考
梯形是一類(lèi)具有一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).
解決梯形問(wèn)題的基本思路是：通過(guò)適當(dāng)添加輔助線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的方法有：
（1）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線(xiàn)（平移腰）；
（2）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn)（平移對(duì)角線(xiàn)）；
（3）過(guò)較短底的一個(gè)頂點(diǎn)作另一底的垂線(xiàn)；
（4）延長(zhǎng)兩腰，使它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，將梯形還原為三角形．
如圖所示：

例題與求解
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長(zhǎng)度分別為，，那么AB的長(zhǎng)是___________.（荊州市競(jìng)賽試題）
解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．
【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形．
（1）求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；
（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？若能，請(qǐng)你畫(huà)出大致的示意圖．
（山東省中考試題）
解題思路：對(duì)于（1）、（2），在觀(guān)察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)系，從作出梯形的常見(jiàn)輔助線(xiàn)入手；對(duì)于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開(kāi)想象的翅膀，就可設(shè)計(jì)出若干種圖形．

【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2，求梯形的高.
（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）
解題思路：由于題目條件中涉及對(duì)角線(xiàn)位置關(guān)系，不妨從平移對(duì)角線(xiàn)入手．
【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，問(wèn)：滿(mǎn)足條件∠BPC＝900的點(diǎn)P有多少個(gè)？
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形．

【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點(diǎn)S，P，Q分別為OD，OA，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：多個(gè)中點(diǎn)給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)、三角形中位線(xiàn)等.
【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半．
（山東省競(jìng)賽試題）
解題思路：本題考查了梯形中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運(yùn)用條件EP＝PF的圖形．

能力訓(xùn)練
A級(jí)
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.
（天津市中考試題）
2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900至DE，連接AE，則△ADE的面積為_(kāi)_____________.（寧波市中考試題）
3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長(zhǎng)為30cm，則這個(gè)等腰梯形的腰長(zhǎng)為_(kāi)_____________.
4.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位線(xiàn)，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果，那么梯形ABCD的面積為_(kāi)_________.（成都市中考試題）
5.等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則梯形的高和中位線(xiàn)的長(zhǎng)之間的關(guān)系是()
A．＞B．＝C．＜D．無(wú)法確定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，則DC的長(zhǎng)度是()
A.B．8C.D.E.
（美國(guó)高中考試題）
7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()
A.300B.450C.600D.900
（陜西省中考試
8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA＋PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考試題）
9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．
（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點(diǎn)，BD與EF相交于G．
求證：．
11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．
求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考試題）
12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交CD于點(diǎn)F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求點(diǎn)E到BC的距離；
（2）點(diǎn)P為線(xiàn)段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN//AB交折線(xiàn)ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP＝．
①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AD上時(shí)（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（江西省中考試題)

B級(jí)
1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長(zhǎng)BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則AF＝__________.
（山東省競(jìng)賽試題）
2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝，設(shè)E為CG中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)為_(kāi)________.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
3.用四條線(xiàn)段：作為四條邊，構(gòu)成一個(gè)梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線(xiàn)的長(zhǎng)的最大值為_(kāi)________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）
4.如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于O點(diǎn)，且AO：CO＝3：2，則兩條對(duì)角線(xiàn)將梯形分成的四個(gè)小三角形面積之比為_(kāi)________.（安徽省中考試題）
第4題圖第5題圖第6題圖
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的面積為()
A．B．2SC．D．
（重慶市競(jìng)賽試題）
6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，
DA的中點(diǎn)，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()
A．4B．C．5D．6
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
7.如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC＝；②若∠BEC＝，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線(xiàn)，則∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線(xiàn).其中真命題的個(gè)數(shù)是()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（重慶市競(jìng)賽試題）
8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中點(diǎn)，從M作AD的垂線(xiàn)交BC于N，則BN的長(zhǎng)等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
9.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中點(diǎn)，MN⊥AD.求證：
（山東省競(jìng)賽試題）
10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以?xún)裳麬B，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段EF于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11.已知一個(gè)直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.
（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）

12.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABD的邊BD的三等分點(diǎn)（）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.
（1）求值.
（2）已知，點(diǎn)P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.
（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點(diǎn)M，使過(guò)M且與PB，CQ分別交于S，T的直線(xiàn)把PQCB的面積分成相等的兩部分，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)及CM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題-配方法

專(zhuān)題25配方法
閱讀與思考
把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫(xiě)成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.
配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.
配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見(jiàn)的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用配方解題的關(guān)鍵在于：
(1)具有較強(qiáng)的配方意識(shí)，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如能聯(lián)想起配方法.
(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開(kāi)又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解
【例1】已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，那么_____
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
解題思路：對(duì)題設(shè)條件實(shí)施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實(shí)數(shù)，，c滿(mǎn)足，則代數(shù)式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
解題思路：運(yùn)用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項(xiàng)及完全平方式的形式.

配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；
(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；
(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解題思路：題設(shè)條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.
復(fù)合根式的化簡(jiǎn)，含多元的根式等式問(wèn)題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù).
解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過(guò)程即可.

幾個(gè)有趣的結(jié)論：
(1)
(2)
這表明：只出現(xiàn)1個(gè)奇數(shù)或只出現(xiàn)1個(gè)偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無(wú)限多個(gè).

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯感到1分不滿(mǎn)意，往上走一層樓梯感到3分不滿(mǎn)意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問(wèn)：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿(mǎn)意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：通過(guò)引元，把不滿(mǎn)意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對(duì)這個(gè)代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞?，進(jìn)而求出代數(shù)式的最小值.
把代數(shù)式通過(guò)湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問(wèn)題條件的目的，這種解題方法叫配方法.
配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得為完全平方數(shù)，求n的值.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問(wèn)題.

能力訓(xùn)練
1、計(jì)算=_________.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
2、已知，則.
3、，y為實(shí)數(shù)，且，則+y的值為_(kāi)_________.
4、當(dāng)＞2時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，得___________.
5、已知，當(dāng)=________，y=______時(shí)，的值最小.
(全國(guó)通訊賽試題)

6、若，則M－N的值()
A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、可正可負(fù)
7、計(jì)算的值為()
A、1B、C、D、
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
8、設(shè)，,為實(shí)數(shù)，，則x，y，z中至少有一個(gè)值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個(gè)自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知實(shí)數(shù)，，c滿(mǎn)足，則a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省競(jìng)賽試題)
解“存在”、“不存在”“至少存在一個(gè)”等形式的問(wèn)題時(shí)，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：
設(shè)x1，x2，x3,…xn為實(shí)數(shù).
(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個(gè)為零；
(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)大于零；
(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)小于零.

11、解方程組(蘇州市競(jìng)賽試題)

12、能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13、已知，且，，為自然數(shù)，求，的值.
(天津市競(jìng)賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且，求，的值.
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價(jià)x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜＜160)；
(2)從經(jīng)濟(jì)效益來(lái)看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價(jià)，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題-正方形

專(zhuān)題20正方形
閱讀與思考
矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題．
正方形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本圖形．
例題與求解
【例l】如圖，在正方形紙片中，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，折疊正方形紙片，使落在上，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，展開(kāi)后，折痕分別交，于點(diǎn)，.下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形是菱形；⑤.
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是______________．（重慶市中考試題）
解題思路：本題需綜合運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法．
【例2】如圖1，操作：把正方形的對(duì)角線(xiàn)放在正方形的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上
，取線(xiàn)段的中點(diǎn).連，．
（1）探究線(xiàn)段，的關(guān)系，并加以證明．
（2）將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變．
探究線(xiàn)段，的關(guān)系，并加以證明．
（大連市中考題改編）
解題思路：由為中點(diǎn)，想到“中線(xiàn)倍長(zhǎng)法”再證三角形全等．

【例3】如圖，正方形中，，是，邊上兩點(diǎn)，且，于，求證：.
（重慶市競(jìng)賽試題）
解題思路：構(gòu)造的線(xiàn)段是解本例的關(guān)鍵．
【例4】如圖，正方形被兩條與邊平行的線(xiàn)段、分割成四個(gè)小矩形，是與的交點(diǎn)，若矩形的面積恰是矩形面積的2倍，試確定的大小，并證明你的結(jié)論．
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：先猜測(cè)的大小，再作出證明，解題的關(guān)鍵是由條件及圖形推出隱含的線(xiàn)段間的關(guān)系．
【例5】如圖，在正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，
分別與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)．
求證：（1）；
（2）．（四川省競(jìng)賽試題）
解題思路：對(duì)于（1），可作輔助線(xiàn)，創(chuàng)造條件，再通過(guò)三角形全等，即可解答；對(duì)于（2），很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系．

【例6】已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)．
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．
（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線(xiàn)段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
（黑龍江省中考試題）
解題思路：對(duì)于（2），構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．

能力訓(xùn)練
A級(jí)
1.如圖，若四邊形是正方形，是等邊三角形，則的度數(shù)為_(kāi)_________.
（北京市競(jìng)賽試題）
2.四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，給出以下題設(shè)條件：
①；
②；
③；
④．
其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是______________.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）（浙江省中考試題）
3．如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是__________.
（青島市中考試題）
第1題圖第3題圖第4題圖

4.如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至能與重合，若，則=__________.（河南省中考試題）
5.將個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)分別是正方形的中心，則個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為()
A.B．C.D.
（晉江市中考試題）

第5題圖第6題圖

6.如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，則的長(zhǎng)為()
A.12B．8C.D.
（浙江省競(jìng)賽試題）
7．如圖，正方形中，，那么是()
A.B．C.D.
8．如圖，正方形的面積為256，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，的面積為200，則的值是()
A．15B．12C．11D．10
9．如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：．
10.如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且．
求證：平分．
11.如圖，已知是正方形對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，分別是垂足．
求證：．
（揚(yáng)州市中考試題）

12.（1）如圖1，已知正方形和正方形，在同一條直線(xiàn)上，為線(xiàn)段的中點(diǎn)．探究：線(xiàn)段的關(guān)系．
（2）如圖2，若將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得正方形的對(duì)角線(xiàn)在正方形的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，為的中點(diǎn)．試問(wèn)：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（大連市中考試題）

圖1圖2

B級(jí)
1.如圖，在四邊形中，，于，若四邊形的面積為8，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
2.如圖，是邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)一點(diǎn)，若，則
__________.
（北京市競(jìng)賽試題）
3.如圖，在中，，以為一邊向三角形外作正方形，正方形的中心為，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
4.如圖：邊長(zhǎng)一定的正方形，是上一動(dòng)點(diǎn)，交于，過(guò)作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；
③；④為定值，其中一定成立的是()
A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④
5.如圖，是正方形，，是菱形，則與度數(shù)的比值是()
A.3B．4C.5D.不是整數(shù)
6.一個(gè)周長(zhǎng)為20的正方形內(nèi)接于一個(gè)周長(zhǎng)為28的正方形，那么從里面正方形的頂點(diǎn)到外面正方形的頂點(diǎn)的最大距離是()
A.B．C.8D.E.
（美國(guó)高中考試題）
7.如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)，設(shè)，在上取一點(diǎn)，使
，則的長(zhǎng)度等于()
A.1B．2C.3D.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
8.已知正方形中，是中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且交平分線(xiàn)于（如圖1）
（1）求證：；
（2）若將上述條件中的“是中點(diǎn)”改為“是上任意一點(diǎn)”其余條件不變（如圖2），（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線(xiàn)上（除點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（臨汾市中考試題）
`
9.已知求證：

10.如果，點(diǎn)分別在正方形的邊上，已知的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求的度數(shù)．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
11.如圖，兩張大小適當(dāng)?shù)恼叫渭埰?，重疊地放在一起，重疊部分是一個(gè)凸八邊形，對(duì)角線(xiàn)分這個(gè)八邊形為四個(gè)小的凸四邊形，請(qǐng)你證明：，且．
（北京市競(jìng)賽試題）
12.如圖，正方形內(nèi)有一點(diǎn)，以為邊向外作正方形和正方形，連接．求證：．
（武漢市競(jìng)賽試題）