小學(xué)三角形教案

等腰三角形（第二課時(shí)）學(xué)案。

12.3.1等腰三角形（第二課時(shí)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解等腰三角形的判定方法及應(yīng)用。
2、通過對(duì)等腰三角形的判定方法的探索，體會(huì)探索學(xué)習(xí)的樂趣。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形的判定方法及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：探索等腰三角形的方法定理
學(xué)習(xí)過程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，感受新知
1、實(shí)驗(yàn)猜想
如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條進(jìn)行折疊，疊和部分所成的
三角形有什么特征？它是等腰三角形嗎？
2、思考：
ΔABC中，當(dāng)添加一個(gè)什么條件時(shí)，可以成為等腰三角形？

3、提出猜測(cè)：
如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等嗎？
如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C，說明△ABC是等腰三角形的理由.

歸納：等腰三角形的判定方法：（簡(jiǎn)稱為
“”）。

幾何語(yǔ)言：因?yàn)樵凇鰽BC中，（已知）
所以（）

即

(二)拓展延伸，運(yùn)用新知
1．一個(gè)三角形的一個(gè)外角為130°，且它恰好等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的二倍。這個(gè)三角形是（）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖形中共有等腰三角形（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

（第2題）第3題第４題
3．如圖，△ABC中，AB＝AC，B＝36°，D、E是BC上兩點(diǎn)，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，則圖中等腰三角形共有（）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
4．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC與∠ACB的平分線交于D點(diǎn)，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°
５、如圖1，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE求證：AB=CD.現(xiàn)給出以下兩種添加輔助線(如圖2、圖3)的方法，請(qǐng)任選一種證明.

（三）本節(jié)課收獲

12.3.2等邊三角形（第一課時(shí)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法
2、能夠用等邊三角形的知識(shí)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用
學(xué)習(xí)過程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，感受新知
想一想：教材P53---思考
歸納：（1）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的
（2）等邊三角形的判定：
（二）拓展延伸，運(yùn)用新知
1、如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求證△ADE是等邊三角形。

2等邊三角形三條中線相交于一點(diǎn)。畫出圖形，找出圖中所有的全等三角形，并證明它們?nèi)取?/p>

3如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證BE＝DC

（三）本節(jié)課收獲

12.3.2等邊三角形（第二課時(shí)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、證明直角三角形中有一個(gè)角為30°的性質(zhì)．
2、有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明．
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明．
學(xué)習(xí)過程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，感受新知
探究：有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)
1、問題：用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說說你的理由．

2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？
已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．

3、歸納：在直角三角形中，
（二）拓展延伸，運(yùn)用新知：
1、右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長(zhǎng)？
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2、等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高．
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

3已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．

（三）本節(jié)課收獲

精選閱讀

等腰三角形(一)導(dǎo)學(xué)案

每個(gè)老師為了上好課需要寫教案課件，大家應(yīng)該開始寫教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！有沒有好的范文是適合教案課件？小編特地為大家精心收集和整理了“等腰三角形(一)導(dǎo)學(xué)案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

＄13.3.1等腰三角形（一）導(dǎo)學(xué)案
備課時(shí)間201（3）年（9）月（8）日星期（日）
學(xué)習(xí)時(shí)間201（）年（）月（）日星期（）
學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解等腰三角形的概念．
2、掌握等腰三角形的性質(zhì)．
3、學(xué)會(huì)等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用．
4、經(jīng)歷作（畫）出等腰三角形的過程，從軸對(duì)稱的角度去體會(huì)等腰三角形的特點(diǎn)．
5、在探究等腰三角形性質(zhì)的過程中培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考的習(xí)慣．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)等腰三角形的概念、性質(zhì)及應(yīng)用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用
學(xué)具使用多媒體課件、小黑板、彩粉筆、三角板等
學(xué)習(xí)內(nèi)容
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境獨(dú)立思考（課前20分鐘）
1、閱讀課本P75～77頁(yè)，思考下列問題：
（1）等腰三角形的性質(zhì)1是什么？你能證明它嗎？
（2）等腰三角形的性質(zhì)2是什么？你能證明它嗎？
（3）你能獨(dú)立解答課本P76上的例1嗎？試一試。
2、獨(dú)立思考后我還有以下疑惑：
＄13.3.1等腰三角形（一）導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
二、答疑解惑我最棒（約8分鐘）
甲：
乙：
丙：
?。和榛ブ鹨山饣?br> 三、合作學(xué)習(xí)探索新知（約15分鐘）
1、小組合作分析問題
2、小組合作答疑解惑
3、師生合作解決問題
（1）下列圖形不一定是軸對(duì)稱圖形的是（）
A、圓B、長(zhǎng)方形C、線段D、三角形
（2）怎樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？答：
（3）有兩邊相等的三角形叫，相等的兩邊叫，另一邊叫兩腰的夾角叫，腰和底邊的夾角叫
（4）如圖，
在△ABC中，AB=AC，標(biāo)出各部分名稱
＄13.3.1等腰三角形（一）導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
（5）探究：教材P75
把活動(dòng)中剪出的△ABC沿折痕AD對(duì)折，找出其中重合的線段和角，填入下表
重合的線段重合的角

四、歸納總結(jié)鞏固新知（約15分鐘）
1、知識(shí)點(diǎn)的歸納總結(jié)：
性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)相等（簡(jiǎn)寫成“”）
性質(zhì)2:等腰三角形、、、互相重合。
2、運(yùn)用新知解決問題：（重點(diǎn)例習(xí)題的強(qiáng)化訓(xùn)練）
（1）證明性質(zhì)1、性質(zhì)2：
＄13.3.1等腰三角形（一）導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
（2）例：在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度數(shù)．

（3）課本P77頁(yè)練習(xí)共三題（寫到書上）
（4）課本P81-82頁(yè)習(xí)題13.3第1、3兩題（寫到書上）
五、課堂小測(cè)（約5分鐘）

六、獨(dú)立作業(yè)我能行
1、獨(dú)立思考＄13.3.1等腰三角形（二）工具單
2、課本P81-82頁(yè)習(xí)題13.3第4兩題（作業(yè)本上）
七、課后反思：
1、學(xué)習(xí)目標(biāo)完成情況反思：

2、掌握重點(diǎn)突破難點(diǎn)情況反思：

3、錯(cuò)題記錄及原因分析：
＄13.3.1等腰三角形（一）導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
自我評(píng)價(jià)
課上1、本節(jié)課我對(duì)自己最滿意的一件事是：

2、本節(jié)課我對(duì)自己最不滿意的一件事是：

作業(yè)獨(dú)立完成（）求助后獨(dú)立完成（）
未及時(shí)完成（）未完成（）
五、課堂小測(cè)（約5分鐘）
1、等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是
2、等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是
3、如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE，
求證BD＝CE

等腰三角形1導(dǎo)學(xué)案

做好教案課件是老師上好課的前提，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計(jì)劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《等腰三角形1導(dǎo)學(xué)案》，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

12.3.1等腰三角形（1）
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、鞏固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題。
2、通過獨(dú)立思考，交流合作，體會(huì)探索數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，發(fā)展推理能力。
3、激情投入，收獲成功。
二、重點(diǎn)難點(diǎn)
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)的探索及應(yīng)用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用
三、合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)）
1、復(fù)習(xí)回顧：○1.三角形全等的判定方法○2.有兩條邊相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角
2、用剪刀按照49頁(yè)介紹的方法，剪出一個(gè)等腰三角形，想一想，它是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？
3、將2中的等腰三角形沿對(duì)稱軸對(duì)折，找出重合的線段和角，由此你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的哪些性質(zhì)？
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）；
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。
你能證明這兩個(gè)性質(zhì)嗎？
4、填空：如圖1，在△ABC中
○1∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=，⊥。
○2∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=，⊥.
○3∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=，BD=.
四、精講精練
例1、如圖2，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度數(shù)。

例2、已知一個(gè)等腰三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為。
例3、如圖3，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，且AD=AE
.求證：BD=CE

練習(xí)：1、如圖4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足為點(diǎn)M
求證：CM=DM
2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40o，則底角為。
3、如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，
求∠DFE的度數(shù)。

五、課堂小結(jié)：腰三角形的哪些性質(zhì)？
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）；
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。
六、作業(yè)：P511、3

等腰三角形的判定

每個(gè)老師上課需要準(zhǔn)備的東西是教案課件，規(guī)劃教案課件的時(shí)刻悄悄來臨了。是時(shí)候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個(gè)新的規(guī)劃了，接下來的工作才會(huì)更順利！你們了解多少教案課件范文呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“等腰三角形的判定”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

第十二講等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個(gè)三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，實(shí)際解題中的一個(gè)常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：
1．“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形．

例題求解
【例1】如圖，一個(gè)六邊形的6個(gè)內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、5，那么這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是cm．
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥設(shè)法將六邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵．
注證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個(gè)三角形，則考慮證對(duì)應(yīng)的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個(gè)三角形兩邊，則考慮用等角對(duì)等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等量代換證明．
類似的，我們可以對(duì)證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié)．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化，向外補(bǔ)形與對(duì)內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式．
【例2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有()
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【例3】如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會(huì)找到解題的不同方法．
【例4】如圖甲，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖乙中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)

思路點(diǎn)撥圖甲中有多對(duì)全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)．
注若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點(diǎn)有幾個(gè)?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點(diǎn)有幾個(gè)?請(qǐng)讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設(shè)條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構(gòu)造等腰三角形；(2)對(duì)內(nèi)作角平分線．
【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥CD．(武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥證明∠AMC=90°或應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，通過作輔助線將五邊形問題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問題是解本例的關(guān)鍵．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O點(diǎn)．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長(zhǎng)+△ENO的周長(zhǎng)－△FHO的周長(zhǎng)．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點(diǎn)，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有個(gè)．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”競(jìng)賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于E點(diǎn)，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)(2002午天津市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山東省競(jìng)賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，則其頂角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形()
A．只有一個(gè)且為等腰三角形
B．至少有兩個(gè)且都為等腰三角形
C．只有一個(gè)但不是等腰三角形
D．至少有兩個(gè)，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系．
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(廣東省中考題)

10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD=BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為．(北京市競(jìng)賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A=．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC=，∠ADC=．(天津市競(jìng)賽題)
15．有一個(gè)等腰三角形紙片，若能從一個(gè)底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為度．(江蘇省競(jìng)賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有()
A．1個(gè)B．4個(gè)C．7個(gè)D．10個(gè)
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定，與P點(diǎn)位置有關(guān)

19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求證：AC=BD+DC．(天津市競(jìng)賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點(diǎn)，連接每?jī)牲c(diǎn)，使任意三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每?jī)牲c(diǎn)之間函線段長(zhǎng)只有兩個(gè)數(shù)值，則這四點(diǎn)的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(江蘇省競(jìng)賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長(zhǎng)均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一動(dòng)點(diǎn)，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動(dòng)時(shí)，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．