高中對(duì)數(shù)函數(shù)教案

高中數(shù)學(xué)必修一《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算》優(yōu)秀教案。

高中數(shù)學(xué)必修一《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

（1）理解對(duì)數(shù)的概念，了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；（2）能夠進(jìn)行指

數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；

（3）理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并培養(yǎng)類比、分析、歸納能力；

2.過程與方法

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）通過本節(jié)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)細(xì)心觀察、認(rèn)真分析

分析、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的良好思維習(xí)慣和不斷探求新知識(shí)的精神；

（2）感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性認(rèn)知過程；（3）體驗(yàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)功能、符號(hào)功能和工具功能，培養(yǎng)直覺觀察、

探索發(fā)現(xiàn)、科學(xué)論證的良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)

（1）對(duì)數(shù)的定義；

（2）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；

教學(xué)難點(diǎn)

（1）對(duì)數(shù)概念的理解；（2）對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解；

三、教學(xué)過程：

四、歸納總結(jié)：

1、對(duì)數(shù)的概念

一般地，如果函數(shù)ax=n(a0且a≠1)那么數(shù)x叫做以a為底n的對(duì)數(shù)，記作

x=logan，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)。

2．對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化

ab=n?logan=b

3.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；loga1=0；logaa=1對(duì)數(shù)恒等式：alogan=n；logaa=n

n

五、課后作業(yè)

課后練習(xí)1、2、3、4

六、板書設(shè)計(jì)

相關(guān)推薦

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（三）
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能：
（1）掌握換底公式，會(huì)用換底公式將一般的對(duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，并能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)和證明.
（2）能將一些生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題并加以解答.
2．過程與方法：
（1）結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生探究換底公式，并通過換底公式的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
（2）通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流探討，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)共同學(xué)習(xí)的能力.
（3）通過應(yīng)用對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生確立科學(xué)思想，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的重要作用.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
（1）通過探究換底公式的概念，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.
（2）在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用換底公式的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生傾聽并接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì).
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．教學(xué)重點(diǎn)：
（1）換底公式及其應(yīng)用.
（2）對(duì)數(shù)的應(yīng)用問題.
2．教學(xué)難點(diǎn)：
換底公式的靈活應(yīng)用.
（三）教學(xué)方法
啟發(fā)引導(dǎo)式
通過實(shí)例研究引出換底公式，既明確學(xué)習(xí)換底公式的必要性，同時(shí)也在公式推導(dǎo)中應(yīng)用對(duì)數(shù)的概念和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)適當(dāng)?shù)卦黾泳唧w實(shí)例，便于學(xué)生理解換底公式的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從具體的實(shí)例中抽象出一般公式的能力.
利用換底公式“化異為同”是解決有關(guān)對(duì)數(shù)問題的基本思想方法，它在求值或恒等變形中起著重要作用，在解題過程中應(yīng)注意：（1）針對(duì)具體問題，選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)；（2）注意換底公式與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合使用；（3）換底公式的正用與逆用.
（四）教學(xué)過程
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
提出
問題
我們學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可以看到對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則僅適用于對(duì)數(shù)的底數(shù)相同的情形，若在解題過程中，遇到對(duì)數(shù)的底數(shù)不相同時(shí)怎么辦？

師：從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任何不等于1的正數(shù)都可以作為對(duì)數(shù)的底.數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù).這樣，如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對(duì)數(shù)，就能方便地求出任意不為1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù).

產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.
概念
形成
1.探求換底公式，明確換底公式的意義和作用.
例如，求我國(guó)人口達(dá)到18億的年份，就是計(jì)算x=log1.01的值，利用換底公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得
x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.
由此可得，如果人口年增長(zhǎng)率控制在1%，那么從2000年初開始，大約經(jīng)過33年，即到2032年底我國(guó)的人口總數(shù)可達(dá)到18億.

師：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
（師生討論并完成）
當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，
若ab=N，①
則logaN=b.②
在①的兩邊取以c（c＞0，且c≠1）為底的對(duì)數(shù)，
則logcab=logcN，
即blogca=logcN.
∴b=.③
由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），這個(gè)公式稱為換底公式.

推導(dǎo)換底公式
應(yīng)用
舉例
（多媒體顯示如下例題，生板演，師組織學(xué)生進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)）
例1計(jì)算：（1）log34log48log8m=log416，求m的值.
（2）log89log2732.
（3）（log25+log4125）.

合作探究：現(xiàn)在我們來用已學(xué)過的對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.
例220世紀(jì)30年代，里克特（C.F.Richter）制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M=lgA－lgA0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.
（1）假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)（精確到0.1）；
（2）5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.

例3科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14.碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”.動(dòng)植物在生長(zhǎng)過程中衰變的碳14，可以通過與大氣的相互作用得到補(bǔ)充，所以活著的動(dòng)植物每克組織中的碳14含量保持不變.死亡后的動(dòng)植物，停止了與外界環(huán)境的相互作用，機(jī)體中原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，我們已經(jīng)知道其“半衰期”為5730年.
湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代.

課堂練習(xí)
1.課本P79練習(xí)第4題.
2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)
3.若log34log48log8m=log42，求m.
4.（1）已知log53=a，log54=b，試用a、b表示log2512；
（2）已知log1227=a，求log616.
例1分析：在利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況是根據(jù)題中所給的對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對(duì)數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進(jìn)行換底.
（1）解：原方程等價(jià)于
××=2，
即log3m=2，∴m=9.
（2）解法一：原式
===.
解法二：原式
=
==.
（3）解：原式=
（log25+log25）
=log225log52
=log25log52
=log25log52=.
小結(jié)（1）不同底的對(duì)數(shù)要盡量化為同底的對(duì)數(shù)來計(jì)算；
（2）在第（3）小題的計(jì)算過程中，用到了性質(zhì)logMn
=logaM及換底公式
logaN=.利用換底公式可以證明：logab=，
即logablogba=1.

例2解：（1）M=lg20－lg0.001
=lg=lg20000
=lg2+lg104≈4.3.
因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震.
（2）由M=lgA－lgA0可得
M=lg=10M
A=A010M.
當(dāng)M=7.6時(shí)，地震的最大振幅為A1=A0107.6；
當(dāng)M=5時(shí)，地震的最大振幅為A2=A0105.
所以，兩次地震的最大振幅之比是
=
=107.6－5=102.6≈398.
答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍.
合作探究：可以看到，雖然7.6級(jí)地震和5級(jí)地震僅相差2.6級(jí)，但7.6級(jí)地震的最大振幅卻是5級(jí)地震最大振幅的398倍.所以，7.6級(jí)地震的破壞性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5級(jí)地震的破壞性.

例3解：我們先推算生物死亡t年后每克組織中的碳14含量.設(shè)生物體死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織中的碳14的含量為1，1年后的殘留量為x，由于死亡機(jī)體中原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡年數(shù)t與其體內(nèi)每克組織的碳14含量P有如下關(guān)系：
死亡年數(shù)t12
碳14含量Pxx2

3…t…
x3…xt…
因此，生物死亡t年后體內(nèi)碳14的含量P=xt.
由于大約每過5730年，死亡生物體的碳14含量衰減為原來的一半，
所以=x5730，
于是x==（），
這樣生物死亡t年后體內(nèi)碳14的含量P=（）.
由對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，指數(shù)式P=（）可寫成對(duì)數(shù)式t=logP.
湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，
由計(jì)算器可得t≈2193.
所以，馬王堆古墓是近2200年前的遺址.

課堂練習(xí)答案
1.（1）1；（2）1；（3）.
2.A
3..
4.（1）.
（2）.

掌握換底公式的應(yīng)用.

掌握利用對(duì)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.

歸納
總結(jié)1.換底公式及其應(yīng)用條件（注意字母的范圍）.
2.解決實(shí)際問題的一般步驟：
學(xué)生先自回顧反思，教師點(diǎn)評(píng)完善．形成知識(shí)體系.
課后
作業(yè)作業(yè)：2.2第三課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固新知
提升能力
備選例題
例1已知log189=a，18b=5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189=a，18b=5，
∴l(xiāng)og185=b，
于是
=
=.
方法二：∵log189=a，18b=5，
∴l(xiāng)g9=alg18，lg5=blg8，
∴
=.
【小結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)；
（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)與對(duì)數(shù)互化，統(tǒng)一成一種形式.
例2我們都處于有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)音量會(huì)有不同的要求，音量大小的單位是分貝(dB)，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，分貝的定義是：y=10lg.這里I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度，I0=10－12w/m2，當(dāng)I=I0時(shí)，y=0，即dB=0.
（1）如果I=1w/m2，求相應(yīng)的分貝值；
（2）70dB時(shí)聲音強(qiáng)度I是60dB時(shí)聲音強(qiáng)度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y=10lg
（2）由70=10lg，即，∴，
又60=10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I=10I′
答：（1）I=1w/m2，相應(yīng)的分貝值為；
（2）70dB時(shí)聲音強(qiáng)度I是60dB時(shí)聲音強(qiáng)度I′的10倍

對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家收集的“對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)”供您參考，希望能夠幫助到大家。

2.2.1對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)
（二）解析：我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)過程中,已了解了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),它是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),從本節(jié)開始我們學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算.使學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)對(duì)數(shù)的必要性,理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),了解對(duì)數(shù)換底公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用,能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),通過閱讀材料,了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.
教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出對(duì)數(shù)概念,所舉例子比較全面,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用,并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例,以豐富教學(xué)的情景創(chuàng)設(shè).教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學(xué)功能,教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容,有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育,應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn),教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.
二、教學(xué)目標(biāo)及解析
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系;理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì);掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合解決問題的能力;培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度.
2.通過與指數(shù)式的比較,引出對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì).
3.學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化,從而培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力;在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識(shí)；增加學(xué)生的成功感,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.
（二）解析
1、理解對(duì)數(shù)的概念就是指：一是實(shí)際的需要；二是人為規(guī)定的一種新的表示數(shù)的符號(hào)；
2、熟練進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化就是指：一是弄清楚對(duì)數(shù)與指數(shù)，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的含義；二是理解對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化的實(shí)質(zhì)；三是要把這種互化提升為一種方法，為我們以后解題奠定基礎(chǔ)。3、會(huì)求一些特殊的對(duì)數(shù)式的值就是指能夠熟練利用：和對(duì)數(shù)恒等式。
三、問題診斷分析
對(duì)數(shù)概念的理解中學(xué)生存在問題，所以要結(jié)合具體的實(shí)例，指出為了解決實(shí)際問題，引入對(duì)數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際的生活，并服務(wù)于實(shí)際的生活。
四、教學(xué)支持條件分析
在本節(jié)課()的教學(xué)中,準(zhǔn)備使用(),因?yàn)槭褂?),有利于().

五、教學(xué)過程
1．莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭（1）取4次，還有多長(zhǎng)？（2）取多少次，還有0.125尺？
2．假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？
抽象出：1.＝？，＝0.125x=?2.=2x=?
也是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)你能看得出來嗎？怎樣求呢？
問題1.將上述問題進(jìn)行歸納----對(duì)數(shù)的定義
一般地,如果a(a0,a≠1)的x次冪等于N,就是ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).
有了對(duì)數(shù)的定義,（1）前面問題中的x就可表示成什么式子？
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
（2）怎樣用表格表示對(duì)數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系？
由此得到對(duì)數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系:
aNb
指數(shù)式ab=N底數(shù)冪指數(shù)
對(duì)數(shù)式logaN=b對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
探究一：指對(duì)互化
例1將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（課本第87頁(yè)）
（1）=625（2）=（3）=27(4)=5.73
解析：直接用對(duì)數(shù)式的定義進(jìn)行改寫．
解：（1）625=4；（2）=-6；
（3）27=a；（4）
點(diǎn)評(píng)：主要考察了底真樹與冪三者的位置．
變式練習(xí)１：將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：
（1）；（2）128=7；
（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303
解：（1）（2）=128；
（3）=0.01；（4）=10
探究二：計(jì)算
例２計(jì)算：⑴，⑵，⑶，⑷
解析：將對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式，再求解．
解：⑴設(shè)則,∴
⑵設(shè)則,,∴
⑶令=,
∴,∴
⑷令,∴,,∴
點(diǎn)評(píng)：考察了指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化．
五．課堂目標(biāo)檢測(cè)
優(yōu)化設(shè)計(jì)：隨堂練習(xí).
六．小結(jié)
本節(jié)主要學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的概念，要熟練的進(jìn)行指對(duì)互化．
七．配餐作業(yè)
優(yōu)化設(shè)計(jì)：優(yōu)化作業(yè).

(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)
2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
第1課時(shí)
作者：林寧寧，古田一中教師.本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽二等獎(jiǎng).
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版必修1中第二章對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時(shí)，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的入門．對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來比較困難．而對(duì)數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)類型的拓廣，同時(shí)在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念，從而進(jìn)一步深化對(duì)對(duì)數(shù)模型的認(rèn)識(shí)與理解，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)做好準(zhǔn)備．同時(shí)，通過對(duì)對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義．
學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
現(xiàn)階段大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動(dòng)性不夠，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足，對(duì)數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感．通過對(duì)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已多次體會(huì)了對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉．因此，學(xué)生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對(duì)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，故應(yīng)通過指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽探索和靈活運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)方法．
設(shè)計(jì)思想
學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)．為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性．在教學(xué)重難點(diǎn)上，步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思維，通過課堂練習(xí)、探究活動(dòng)、學(xué)生討論的方式來加深理解，更好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率．讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)．
教學(xué)目標(biāo)
1．理解對(duì)數(shù)的概念，了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并形成技能．
2．通過實(shí)例使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．
3．通過學(xué)生分組進(jìn)行探究活動(dòng)，掌握對(duì)數(shù)的重要性質(zhì)．通過做練習(xí)，使學(xué)生感受到理論與實(shí)踐的統(tǒng)一．
4．培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)以及在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)的概念；(2)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化．
難點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)概念的理解；(2)對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解．
教學(xué)過程
教學(xué)
環(huán)節(jié)教學(xué)程序及設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例(3分鐘)
1．一尺之錘，日取其半，萬世不竭．
(1)取5次，還有多長(zhǎng)？
(2)取多少次，還有0.125尺？
分析：(1)為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得125＝132，
(2)可設(shè)取x次，則有12x＝0.125，
抽象出：12x＝0.125x＝？
2．2002年我國(guó)GDP為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過多少年GDP是2002年的2倍？
分析：設(shè)經(jīng)過x年，則有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2x＝？讓學(xué)生根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，列出方程．這兩個(gè)例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學(xué)生思考如何表示x，激發(fā)其對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)．生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對(duì)數(shù)是必要的．
講授新課一、對(duì)數(shù)的概念(3分鐘)[
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．
注意：(1)底數(shù)的限制：a＞0且a≠1；
(2)對(duì)數(shù)的書寫格式正確理解對(duì)數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的確定做準(zhǔn)備．同時(shí)注意對(duì)數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯(cuò)誤．
二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘)
冪底數(shù)←a→對(duì)數(shù)底數(shù)
指數(shù)←b→對(duì)數(shù)
冪←N→真數(shù)
思考：
(1)為什么對(duì)數(shù)的定義中要求底數(shù)a＞0且a≠1?
(2)是否是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)呢？
負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)讓學(xué)生了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，明確對(duì)數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，及它們的含義．互化體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化這個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.
三、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)(2分鐘)
(1)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)log10N，簡(jiǎn)記為lgN；
(2)自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)logeN，簡(jiǎn)記為lnN.(在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以e為底的對(duì)數(shù))
注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書寫這兩個(gè)重要對(duì)數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準(zhǔn)備．
課堂練習(xí)(7分鐘)
1．將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：
(1)24＝16；(2)3－3＝127；(3)5a＝20；(4)12b＝0.45.
2．將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：
(1)log5125＝3；(2)＝－2；(3)log10a＝－1.069.
3．求下列各式的值：
(1)log264；(2)log927.本練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立閱讀課本例1和例2后思考完成，從而熟悉對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解．并要求學(xué)生指出對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化時(shí)應(yīng)注意哪些問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)．
四、對(duì)數(shù)的性質(zhì)(12分鐘)
探究活動(dòng)1
求下列各式的值：
(1)log31＝0；(2)lg1＝0；
(3)log0.51＝0；(4)ln1＝0.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
“1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga1＝0(a＞0且a≠1)，類比：a0＝1(a＞0且a≠1)．探究活動(dòng)由學(xué)生獨(dú)立完成后，通過思考，然后分小組進(jìn)行討論，最后得出結(jié)論．通過練習(xí)與討論的方式，讓學(xué)生自己得出結(jié)論，從而能更好地理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生類比、分析、歸納的能力.
探究活動(dòng)2
求下列各式的值：
(1)log33＝1；(2)lg10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa＝1(a＞0且a≠1)，類比：a1＝a(a＞0且a≠1)．
探究活動(dòng)3
求下列各式的值：
(1)＝3；(2)＝0.6；(3)＝89.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
對(duì)數(shù)恒等式：＝N(a＞0且a≠1)．
探究活動(dòng)4
求下列各式的值：
(1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
對(duì)數(shù)恒等式：logaan＝n(a＞0且a≠1).
講
授
新
課小結(jié)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；
“1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga1＝0；
底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa＝1；
對(duì)數(shù)恒等式：＝N；
對(duì)數(shù)恒等式：logaan＝n.(a＞0且a≠1)將學(xué)生歸納的結(jié)論進(jìn)行小結(jié)，從而得到對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)．
歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想(3分鐘)
1．引入對(duì)數(shù)的必要性——對(duì)數(shù)的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN.
2．指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系
3．對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)
負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；loga1＝0；logaa＝1；
對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaan＝n.總結(jié)是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容．同時(shí)，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識(shí)體系中，發(fā)揮承上啟下的作用．為下一課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．

作業(yè)
布置一、課本習(xí)題2.2A組第1,2題．
二、已知loga2＝x，loga3＝y(tǒng)，求a3x＋2y的值．
三、求下列各式的值：
；；
；.
作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，教師可以在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，彌補(bǔ)教學(xué)中的不足．

板書
設(shè)計(jì)2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
第1課時(shí)
引例1
引例2
一、對(duì)數(shù)的定義二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的
互化練習(xí)三、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)
四、小結(jié)
五、作業(yè)布置
教學(xué)反思
本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的掌握．
第2課時(shí)
作者：盧巖冰
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
(1)通過實(shí)例推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、求值、化簡(jiǎn)，并掌握化簡(jiǎn)求值的技能．
(2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問題．
(3)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力．
培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度．
2．過程與方法
(1)讓學(xué)生經(jīng)歷并推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識(shí)．
3．情感態(tài)度與價(jià)值觀
讓學(xué)生感覺對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用．
難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：
1．對(duì)數(shù)的定義．
2．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．
ab＝NlogaN＝b.
3．重要性質(zhì)：
(1)負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)對(duì)數(shù)恒等式＝N.
下面我們接著講對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)〔教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)〕．
思路2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)的時(shí)候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，即指數(shù)運(yùn)算法則：
aman＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；man＝.(a＞0且a≠1)
從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對(duì)數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運(yùn)算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點(diǎn)出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)在上節(jié)課中，我們知道，對(duì)數(shù)運(yùn)算可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)嗎？
(2)如我們知道am＝M，an＝N，aman＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對(duì)數(shù)式運(yùn)算嗎？
(3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)能得出其他對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？
(4)你能否用最簡(jiǎn)練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請(qǐng)描述.
(5)上述運(yùn)算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？
(6)上述結(jié)論能否推廣呢？
(7)學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對(duì)我們進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算帶來哪些方便呢？
討論結(jié)果：(1)通過問題(2)來說明．
(2)若aman＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對(duì)數(shù)的定義得到M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，MN＝am＋nm＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.
因此m＋n可以用對(duì)數(shù)式表示．
(3)令M＝am，N＝an，則MN＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaMN.
又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.
所以logaM－logaN＝m－n＝logaMN，即logaMN＝logaM－logaN.
設(shè)M＝am，則Mn＝(am)n＝amn.由對(duì)數(shù)的定義，
所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.
這樣我們得到對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有
loga(MN)＝logaM＋logaN；①
logaMN＝logaM－logaN；②
logaMn＝nlogaM(n∈R)．③
(4)以上三個(gè)性質(zhì)可以歸納為：
性質(zhì)①：兩數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于各數(shù)的對(duì)數(shù)的和；
性質(zhì)②：兩數(shù)商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；
性質(zhì)③：冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)．
(5)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.
(6)性質(zhì)①可以推廣到n個(gè)數(shù)的情形：
即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)．
(7)縱觀這三個(gè)性質(zhì)我們知道，
性質(zhì)①的等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算．
性質(zhì)②的等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算．
性質(zhì)③從左往右仍然是降級(jí)運(yùn)算．
利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算，方便了對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值．
應(yīng)用示例
例1用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)logaxyz；(2)logax2y3z.
活動(dòng)：學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正．
利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把整體分解成部分．
對(duì)(1)logaxyz，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和．
對(duì)(2)logax2y3z，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和，最后利用性質(zhì)③，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的積．
解：(1)logaxyz＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)logax2y3z＝loga(x2y)－loga3z
＝logax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算．
變式訓(xùn)練
1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個(gè)數(shù)為()
①logaxlogay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logaxlogay.
A．0B．1C．2D．3
答案：A
2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個(gè)數(shù)為()
①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga1x；
④logaxlogay＝logaxy；⑤nlogax＝1nlogax；⑥1nlogax＝loganx；
⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)ogax－yx＋y＝－logax＋yx－y.
A．3B．4C．5D．6
答案：B
例2求值：(1)；(2)log3127.
解：(1)解法一：設(shè)，則(3)x＝33＝(3)3，所以x＝3.
解法二：.
(2)解法一：令x＝log3127，則3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3.
解法二：log3127＝log33－3＝－3.
例3計(jì)算：
(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(2)lg243lg9；(3)lg27＋lg8－3lg10lg1.2.
解：(1)解法一：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
解法二：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg732＋lg7－lg18＝lg14×7732×18＝lg1＝0.
(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.
(3)lg27＋lg8－3lg10lg1.2＝＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.
點(diǎn)評(píng)：此例題體現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡(jiǎn)形式，同時(shí)注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯(cuò)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用、運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視．
例4設(shè)x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．
活動(dòng)：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，學(xué)生有困難及時(shí)提示并評(píng)價(jià)學(xué)生的思考過程．本題主要考查對(duì)數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)．先利用對(duì)數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡(jiǎn)再代入求值．
解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×13＋132＝919.
解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝(2x－2－x)(22x＋1＋2－2x)2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)第1,2,3題．
【補(bǔ)充練習(xí)】
1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：
(1)loga3xy2z；(2)logax4z3y2；(3)；(4)logaxyx2－y2；
(5)logax＋yx－yy；(6)logayx(x－y)3.
解：(1)loga3xy2z＝loga3x－logay2z＝13logax－(2logay＋logaz)＝13logax－2logay－logaz；
(2)logax4z3y2＝logax＋loga4z3y2＝logax＋14(logaz3－logay2)
＝logax－24logay＋34logaz＝logax－12logay＋34logaz；
(3)＝logax＋＋＝logax＋12logay－23logaz；
(4)logaxyx2－y2＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)
＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；
(5)logax＋yx－yy＝logax＋yx－y＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；
(6)logayx(x－y)3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．
2．已知f(x6)＝log2x，則f(8)等于()
A．43B．8C．18D．12
解析：因?yàn)閒(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝12.
另解：因?yàn)閒(x6)＝log2x＝16log2x6，所以f(x)＝16log2x.
所以f(8)＝16log28＝16log223＝12.
答案：D
拓展提升
已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．
活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)．大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．由于所求的式子是三項(xiàng)積的形式，每一項(xiàng)都有指數(shù)，指數(shù)中又有對(duì)數(shù)，因此想到用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如果能對(duì)所求式子取對(duì)數(shù)，那可能會(huì)好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t.
解：令，則lgt＝1lgy＋1lgzlgx＋1lgz＋1lgxlgy＋1lgx＋1lgylgz＝lgxlgy＋lgxlgz＋lgylgz＋lgylgx＋lgzlgx＋lgzlgy＝lgx＋lgzlgy＋lgx＋lgylgz＋lgy＋lgzlgx＝－lgylgy＋－lgzlgz＋－lgxlgx＝－3，所以t＝10－3＝11000即為所求．
課堂小結(jié)
1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是性質(zhì)的逆向使用．
3．對(duì)數(shù)與指數(shù)形式比較：
式子ab＝NlogaN＝b
名稱a——冪的底數(shù)
b——冪的指數(shù)
N——冪值a——對(duì)數(shù)的底數(shù)
b——以a為底的N的對(duì)數(shù)
N——真數(shù)
運(yùn)算
性質(zhì)aman＝am＋n；
am÷an＝am－n；
(am)n＝amn；
(a＞0，a≠1，m，n∈R)loga(MN)＝logaM＋logaN；
logaMN＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)
作業(yè)
課本習(xí)題2.2A組3,4,5.
設(shè)計(jì)感想
在前面研究了對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，推出了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過程，加深對(duì)公式的理解和記憶，對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識(shí)類比指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來理解記憶，強(qiáng)化性質(zhì)的使用條件，注意對(duì)數(shù)式中每一個(gè)字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學(xué)時(shí)，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)．
第3課時(shí)
作者：劉菲
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度．
2．過程與方法
讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí)．
3．情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；感受對(duì)數(shù)的廣泛應(yīng)用．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式及其應(yīng)用．
難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式．
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1．問題：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝logcblogca.教師直接點(diǎn)出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
思路2．前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì)；2．對(duì)數(shù)恒等式；3．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么不同底數(shù)的對(duì)數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容．教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
思路3．從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對(duì)數(shù)的底，數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，這樣，如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對(duì)數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù)，那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個(gè)公式，即對(duì)數(shù)的換底公式，從而引出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；
(2)根據(jù)(1)，如a＞0，a≠1，你能用含a的對(duì)數(shù)式來表示log23嗎？
(3)更一般地，我們有l(wèi)ogab＝logcblogca，如何證明？
(4)證明logab＝logcblogca的依據(jù)是什么？
(5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？
(6)換底公式的意義是什么？有什么作用？
活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)提出的問題，交流討論，回顧所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時(shí)指導(dǎo)，必要時(shí)提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．對(duì)(1)目前還沒有學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對(duì)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對(duì)(2)參考(1)的思路和結(jié)果的形式，借助對(duì)數(shù)的定義可以表示；對(duì)(3)借助(1)(2)的思路，利用對(duì)數(shù)的定義來證明；對(duì)(4)根據(jù)證明的過程來說明；對(duì)(5)抓住問題的實(shí)質(zhì)，用準(zhǔn)確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對(duì)(6)換底公式的意義就在于對(duì)數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了．
討論結(jié)果：(1)因?yàn)閘g2＝0.3010，lg3＝0.4771，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，所以100.3010＝2,100.4771＝3.
不妨設(shè)log23＝x，則2x＝3，所以(100.3010)x＝100.4771,100.3010×x＝100.4771，
即0.3010x＝0.4771，x＝0.47710.3010＝lg3lg2.因此log23＝lg3lg2＝0.47710.3010≈1.5850.
(2)根據(jù)(1)我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg2與lg3表示，是通過對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對(duì)數(shù)，
不妨設(shè)log23＝x，由對(duì)數(shù)定義知道，2x＝3，
兩邊都取以a為底的對(duì)數(shù)，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝loga3loga2，
也就是log23＝loga3loga2.
這樣log23就表示成了以a為底的3的對(duì)數(shù)與以a為底的2的對(duì)數(shù)的商．
(3)證明logab＝logcblogca.
證明：設(shè)logab＝x，由對(duì)數(shù)定義知道，ax＝b；
兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；
所以x＝logcblogca，即logab＝logcblogca.
一般地，logab＝logcblogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)稱為對(duì)數(shù)的換底公式．
(4)由(3)的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對(duì)數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若M＞0，N＞0，M＝N，則logaM＝logaN.
(5)一個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對(duì)數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的商，這樣就把一個(gè)對(duì)數(shù)變成了與原來對(duì)數(shù)的底數(shù)不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)的商．
(6)換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運(yùn)算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡(jiǎn)求值．
說明：我們使用的計(jì)算器中，“l(fā)og”通常是常用對(duì)數(shù)，因此要使用計(jì)算器計(jì)算對(duì)數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)．如log23＝lg3lg2，
即計(jì)算log23的值的按鍵順序?yàn)椋骸發(fā)og”→“3”→“÷”→“l(fā)og”→“2”→“＝”．
再如：在前面要求我國(guó)人口達(dá)到18億的年份，就是要計(jì)算x＝log1.011813，
所以x＝log1.011813＝lg1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.2553－1.0390.0043＝32.8837≈33(年)．
可以看到運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，有時(shí)要方便得多．
應(yīng)用示例
例1求log89log2732的值．
活動(dòng)：學(xué)生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時(shí)提示，學(xué)生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對(duì)數(shù)或以2為底的對(duì)數(shù)，以3為底的對(duì)數(shù)也可．
解法一：log89log2732＝lg9lg8lg32lg27＝2lg33lg25lg23lg3＝109.
解法二：log89log2732＝log29log28log232log227＝2log23353log23＝109.
解法三：log89log2732＝log39log38log332log327＝23log325log323＝109.
點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式是解決問題的關(guān)鍵．
例2計(jì)算：(1)log52log4981log2513log734；(2)log43log92－.
活動(dòng)：學(xué)生積極交流，教師引導(dǎo)，學(xué)生展示自己的思維過程，教師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)及時(shí)評(píng)價(jià)．先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求值；對(duì)(1)根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)．對(duì)(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡(jiǎn)求值．
解：(1)原式＝lg2lg5lg34lg72lg3－1lg52lg22lg73＝12lg2lg54lg32lg7－lg32lg52lg23lg7＝－3.
(2)log43log92－＝log23log24log22log29－＝12log2312log32＋54log22
＝14＋54＝32.
點(diǎn)評(píng)：在利用對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況是根據(jù)題中所給的對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對(duì)數(shù)進(jìn)行換底．
例3(1)證明logaxlogabx＝1＋logab；
(2)已知＝＝…＝＝λ，求證：.
活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，教師適當(dāng)提示：(1)運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對(duì)數(shù)可直接得解，或利用對(duì)數(shù)的定義，分別把三個(gè)式子設(shè)出，再由定義轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；(2)這是條件證明問題，應(yīng)在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉(zhuǎn)化成積的形式，從題目的結(jié)論來看，真數(shù)是積的形式，因此要?jiǎng)?chuàng)造對(duì)數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來解．
(1)證法一：設(shè)logax＝p，logabx＝q，logab＝r，則x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.
所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，從而p＝q(1＋r)．
因?yàn)閝≠0，所以pq＝1＋r，即logaxlogabx＝1＋logab.
證法二：顯然x＞0且x≠1，x可作為底數(shù)，左邊＝logaxlogabx＝logxablogxa＝logaab＝1＋logab＝右邊．
(2)證明：因?yàn)閘oga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，所以由換底公式得lgb1lga1＝lgb2lga2＝…＝lgbnlgan＝λ.由等比定理，所以lgb1＋lgb2＋…＋lgbnlga1＋lga2＋…＋lgan＝λ.所以lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)＝λ.
所以＝lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)＝λ.
點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉(zhuǎn)化，換底公式可完成不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可正用，又可逆用，使用時(shí)的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)．
例420世紀(jì)30年代，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差)．
(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1)；
(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍(精確到1)?
活動(dòng)：學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，學(xué)生交流，展示自己的思維過程，教師強(qiáng)調(diào)實(shí)際問題的注意事項(xiàng)．根據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)模型及其含義來解決．這是實(shí)際問題，但題目給出了數(shù)學(xué)模型即關(guān)系式，關(guān)系式是以常用對(duì)數(shù)的形式給出，因此要利用對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)注意要使實(shí)際問題有意義．
解：(1)M＝lg20－lg0.001＝lg200.001＝lg20000＝lg2＋lg104≈4.3.
因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震．
(2)由M＝lgA－lgA0可得M＝lgAA0，即AA0＝10M，所以A＝A010M.
當(dāng)M＝7.6時(shí)，地震的最大振幅為A1＝A0107.6；
當(dāng)M＝5時(shí)，地震的最大振幅為A2＝A0105.
所以，兩次地震的最大振幅之比是A1A2＝A0×107.6A0×105＝107.6－5＝102.6≈398.
答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍．
點(diǎn)評(píng)：利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)．
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)4.
【補(bǔ)充練習(xí)】
(1)已知lg2＝a，lg3＝b，則lg12lg15等于()
A．2a＋b1＋a＋bB．a(chǎn)＋2b1＋a＋bC．2a＋b1－a＋bD．a(chǎn)＋2b1－a＋b
(2)已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，則xy的值為()
A．1B．4C．1或4D．4或－1
(3)若3a＝2，則log38－2log36＝__________.
(4)lg12.5－lg58＋lg0.5＝__________.
答案：(1)C(2)B(3)a－2(4)1
拓展提升
探究換底公式的其他證明方法：
活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)，大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
證法一：設(shè)logaN＝x，則ax＝N，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝logcNlogca.故logaN＝logcNlogca.
證法二：由對(duì)數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得logcN＝logaNlogca，所以logaN＝logcNlogca.
證法三：令logca＝m，logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.
兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得mn＝logcN，所以n＝logcNm，即logaN＝logcNlogca.
對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式logaN＝logcNlogca(c＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的應(yīng)用包括兩個(gè)方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用，前者較為容易，而后者則易被學(xué)生忽視，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明：
例：化簡(jiǎn)：logaMlogaN＋logbMlogbN＋logcMlogcN＋logdMlogdN.
解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.
課堂小結(jié)
1．對(duì)數(shù)換底公式；
2．換底公式可用于對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值或證明．若對(duì)數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以任意數(shù)a(a＞0且a≠1)為底的對(duì)數(shù)式的形式．
作業(yè)
課本習(xí)題2.2A組6,11,12.
【補(bǔ)充作業(yè)】
1．已知，，求log81175的值．
解：因?yàn)椋絣og277＝13log37＝a，所以log37＝3a.
又因?yàn)椋絣og35＝b，
所以log81175＝14log3(25×7)＝14(log325＋log37)＝14(2log35＋log37)＝3a＋2b4.
2．求證：(log23＋log49＋log827＋…＋)log9n32＝52.
證明：左邊＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9n32
＝()1nlog932
＝nlog231nlog332＝log2352log32＝52＝右邊．
設(shè)計(jì)感想
本堂課主要是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它在以后的學(xué)習(xí)中有著非常重要的應(yīng)用，由于對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是在同底的基礎(chǔ)上，因此利用對(duì)數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底顯得非常重要，有時(shí)也可以逆用對(duì)數(shù)的換底公式達(dá)到我們的目的，特別是實(shí)際問題的應(yīng)用十分廣泛，因此要反復(fù)訓(xùn)練，強(qiáng)化記憶，所以設(shè)計(jì)了大量的例題與練習(xí)，授課時(shí)要加快速度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，多運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段．
備課資料
【備選例題】
【例1】化簡(jiǎn)：logaMlogbNlogbMlogcNlogcMlogdNlogdMlogaN.
解：原式＝logaMlogaNlogbMlogbNlogcMlogcNlogdMlogdN＝logNMlogNMlogNMlogNM＝(logNM)4.
【例2】求證：logab＝1logba(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)．
證法一：logab＝logbblogba＝1logba.
證法二：1logba＝logbblogba＝logab.
【例3】試證：1log2x＋1log3x＋1log4x＋…＋1lognx＝1logn！x.
證明：1log2x＋1log3x＋1log4x＋…＋1lognx＝logx(2×3×4×…×n)
＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn！＝1logn！x.
【知識(shí)拓展】
對(duì)數(shù)的創(chuàng)立
對(duì)數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是16世紀(jì)末到17世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾(J.Napier，1550—1617)男爵．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科．可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間．納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)．
當(dāng)然，納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)理論并不完全一樣．在納皮爾那個(gè)時(shí)代，“指數(shù)”這個(gè)概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來引出對(duì)數(shù)，而是通過研究直線運(yùn)動(dòng)得出對(duì)數(shù)概念的．那么，當(dāng)時(shí)納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)運(yùn)算，是怎么一回事呢？在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個(gè)例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…
這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪．如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積，可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的和來實(shí)現(xiàn)．
比如，計(jì)算64×256的值，就可以先查詢第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字：64對(duì)應(yīng)6,256對(duì)應(yīng)8；然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加起來：6＋8＝14；第一行中的14，對(duì)應(yīng)第二行中的16384，所以有64×256＝16384.納皮爾的這種計(jì)算方法，實(shí)際上已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的思想了．回憶一下，我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)“運(yùn)用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算”的時(shí)候，采用的不正是這種思路嗎？計(jì)算兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積，先查《常用對(duì)數(shù)表》，找到這兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的常用對(duì)數(shù)，再把這兩個(gè)常用對(duì)數(shù)值相加，再通過《常用對(duì)數(shù)的反對(duì)數(shù)表》查出值的反對(duì)數(shù)值，就是原先那兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積了．這種“化乘除為加減”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的思路，不正是對(duì)數(shù)運(yùn)算的明顯特征嗎？
經(jīng)過多年的探索，納皮爾男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，向世人公布了他的這項(xiàng)發(fā)明，并且解釋了這項(xiàng)發(fā)明的特點(diǎn)．所以，納皮爾是當(dāng)之無愧的“對(duì)數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學(xué)史上享有這份殊榮．偉大的導(dǎo)師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經(jīng)把笛卡兒的坐標(biāo)、納皮爾的對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茨的微積分共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明．法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749—1827)曾說：“對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間，在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”．

2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算