高中對數(shù)函數(shù)教案

對數(shù)的概念與對數(shù)運算性質(zhì)。

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，使教師有一個簡單易懂的教學思路。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家收集的“對數(shù)的概念與對數(shù)運算性質(zhì)”供您參考，希望能夠幫助到大家。

2.2.1對數(shù)的概念與對數(shù)運算性質(zhì)
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：對數(shù)的概念與對數(shù)的基本性質(zhì)
（二）解析：我們在前面的學習過程中,已了解了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),它是后續(xù)學習的基礎(chǔ),從本節(jié)開始我們學習對數(shù)及其運算.使學生認識引進對數(shù)的必要性,理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),了解對數(shù)換底公式及其簡單應(yīng)用,能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運算的作用.
教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出對數(shù)概念,所舉例子比較全面,有利于培養(yǎng)學生的思想素質(zhì)和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和欲望.教學中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用,并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例,以豐富教學的情景創(chuàng)設(shè).教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學功能,教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容,有利于加強數(shù)學文化的教育,應(yīng)指導學生認真研讀.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點,教學中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,使學生進一步體會到信息技術(shù)在數(shù)學學習中的作用,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學情境,為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持.
二、教學目標及解析
(一)教學目標
1.理解對數(shù)的概念,了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系;理解和掌握對數(shù)的性質(zhì);掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系；培養(yǎng)學生分析、綜合解決問題的能力;培養(yǎng)學生數(shù)學應(yīng)用的意識和科學分析問題的精神和態(tài)度.
2.通過與指數(shù)式的比較,引出對數(shù)的定義與性質(zhì).
3.學會對數(shù)式與指數(shù)式的互化,從而培養(yǎng)學生的類比、分析、歸納能力;在學習過程中培養(yǎng)學生探究的意識；增加學生的成功感,增強學習的積極性.
（二）解析
1、理解對數(shù)的概念就是指：一是實際的需要；二是人為規(guī)定的一種新的表示數(shù)的符號；
2、熟練進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化就是指：一是弄清楚對數(shù)與指數(shù)，對數(shù)式與指數(shù)式的含義；二是理解對數(shù)式與指數(shù)式的互化的實質(zhì)；三是要把這種互化提升為一種方法，為我們以后解題奠定基礎(chǔ)。3、會求一些特殊的對數(shù)式的值就是指能夠熟練利用：和對數(shù)恒等式。
三、問題診斷分析
對數(shù)概念的理解中學生存在問題，所以要結(jié)合具體的實例，指出為了解決實際問題，引入對數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學來源于實際的生活，并服務(wù)于實際的生活。
四、教學支持條件分析
在本節(jié)課()的教學中,準備使用(),因為使用(),有利于().

五、教學過程
1．莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭（1）取4次，還有多長？（2）取多少次，還有0.125尺？
2．假設(shè)2002年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？
抽象出：1.＝？，＝0.125x=?2.=2x=?
也是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)你能看得出來嗎？怎樣求呢？
問題1.將上述問題進行歸納----對數(shù)的定義
一般地,如果a(a0,a≠1)的x次冪等于N,就是ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).
有了對數(shù)的定義,（1）前面問題中的x就可表示成什么式子？
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
（2）怎樣用表格表示對數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系？
由此得到對數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系:
aNb
指數(shù)式ab=N底數(shù)冪指數(shù)
對數(shù)式logaN=b對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
探究一：指對互化
例1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（課本第87頁）
（1）=625（2）=（3）=27(4)=5.73
解析：直接用對數(shù)式的定義進行改寫．
解：（1）625=4；（2）=-6；
（3）27=a；（4）
點評：主要考察了底真樹與冪三者的位置．
變式練習１：將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：
（1）；（2）128=7；
（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303
解：（1）（2）=128；
（3）=0.01；（4）=10
探究二：計算
例２計算：⑴，⑵，⑶，⑷
解析：將對數(shù)式寫成指數(shù)式，再求解．
解：⑴設(shè)則,∴
⑵設(shè)則,,∴
⑶令=,
∴,∴
⑷令,∴,,∴
點評：考察了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化．
五．課堂目標檢測
優(yōu)化設(shè)計：隨堂練習.
六．小結(jié)
本節(jié)主要學習了對數(shù)的概念，要熟練的進行指對互化．
七．配餐作業(yè)
優(yōu)化設(shè)計：優(yōu)化作業(yè).

(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

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對數(shù)的運算性質(zhì)

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，作為高中教師就要好好準備好一份教案課件。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？下面是小編為大家整理的“對數(shù)的運算性質(zhì)”，僅供參考，希望能為您提供參考！

總課題對數(shù)函數(shù)分課時第2課時總課時總第30課時
分課題對數(shù)的運算性質(zhì)課型新授課
教學目標掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；知道對數(shù)運算性質(zhì)成立的條件，能靈活地運用對數(shù)的性質(zhì)進行化簡和求值
重點對數(shù)運算性質(zhì)的運用
難點對數(shù)運算性質(zhì)的正確運用
一、復習引入
1、對數(shù)的概念

2、常用對數(shù)與自然對數(shù)

3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

4、對數(shù)的運算性質(zhì)
其中

二、例題分析
例1、求下列各式的值
（1）

例2、求的值

例3、已知，求下列各式的值（結(jié)果保留4位小數(shù)）
（1）（2）
例4、設(shè)，求證：。

三、隨堂練習
1、下列等式中，正確的是___________________________。
（1）（2）（3）（4）

2、設(shè)，下列等式中，正確的是________________________。
（1）
（2）
（3）
（4）

四、回顧小結(jié)
1、對數(shù)運算性質(zhì)及其用于計算和證明
課后作業(yè)
班級：高一（）班姓名__________
一、基礎(chǔ)題
1、下列等式中，錯誤的是______________
（1）（2）（3）（4）

2、的值為_____________

3、已知，則_________

4、化簡____________

5、已知，求（結(jié)果保留4位小數(shù)）。

二、提高題
6、已知，試用表示下列各對數(shù)。
（1）

7、計算：

三、能力題
8、設(shè)，求的值。

對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為高中教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師緩解教學的壓力，提高教學質(zhì)量。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是小編幫大家編輯的《對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用》，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

2.2.1.2對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用。
（二）解析：本節(jié)課是于對數(shù)運算性質(zhì)的一節(jié)后延課，是高中新課改人教A版材第二章的第二節(jié)的第三節(jié)課.在此之前，學生已經(jīng)學習過了對數(shù)的概念、指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系，并且利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系推導出了對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)的換底公式就是在此基礎(chǔ)上展開討論的。本節(jié)課教學的重點是對數(shù)的換底公式；難點是換底公式的證明及應(yīng)用。從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系出發(fā)，證明對數(shù)換底公式，有多種途徑，在教學中要讓學生去探究，對學生的正確證法要給予肯定；證明得到對數(shù)的換底公式以后，要引導學生利用換底公式得到一些常見的結(jié)果，并處理一些求值轉(zhuǎn)化的問題。

二、目標及其解析
（一）教學目標
1．掌握并能夠證明對數(shù)的換底公式；
2．正確應(yīng)用換底公式得到其變形結(jié)果，能利用它將對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)來計算，體會轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想；
3．通過本節(jié)課換底公式的證明及前一節(jié)課對數(shù)運算法則的推導過程，培養(yǎng)學生應(yīng)用已有知識發(fā)現(xiàn)問題及解決問題的能力，體會數(shù)學內(nèi)在的邏輯性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，提高學生學習數(shù)學的熱情。
（二）解析
1．掌握并能夠證明對數(shù)的換底公式指的是：熟記換底公式，能夠證明換底公式；
2．正確應(yīng)用換底公式得到其變形結(jié)果指的是：能利用換底公式得到一些常見結(jié)論（即換底公式的變形公式），對于具體的求值問題，能夠選擇適當?shù)牡讛?shù)進行轉(zhuǎn)化，從而簡化計算；
3．對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式的推導和證明，可以有不同的順序，各條性質(zhì)之間有些也能互相推導，也可以轉(zhuǎn)化為定義推導，對于具體的求值問題，可以應(yīng)用不同的性質(zhì)來解決，非常靈活，但不困難，題目做起來非常有趣；通過這部分內(nèi)容，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，感受數(shù)學學科的特點，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。
三、問題診斷分析
本節(jié)課容易出現(xiàn)的問題是：針對具體問題學生不能選擇適當?shù)牡讛?shù)來應(yīng)用換底公式。出現(xiàn)這一問題的原因是：學生對換底公式尚不太熟悉，轉(zhuǎn)化的能力也有待提高。要解決這一問題，教師要通過對換底公式的變形公式的探究及具體的例子，讓學生自主探究，必要時給予適當引導，讓學生學會分析問題，逐步掌握換底公式的應(yīng)用。

四、教學過程設(shè)計
（一）情景導入、展示目標
1.對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a0，a1，M0，N0，那么
（1）
（2）；
（3）．
2.換底公式
其中
兩個重要公式：，
（二）合作探究、精講點撥
例1．（1）.把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式
(1)＝16（２）＝１
解：(1)2＝16(2)0＝1
（2）.把下列各題的對數(shù)式寫成指數(shù)式
(1)ｘ＝27(2)ｘ＝7
解：(1)＝27(2)＝７
點評：本題主要考察的是指數(shù)式與對數(shù)式的互化．
例2計算：⑴，⑵，⑶，⑷
解析：利用對數(shù)的性質(zhì)解．
解法一：⑴設(shè)則,∴
⑵設(shè)則,,∴
⑶令=,
∴,∴
⑷令,∴,,∴
解法二：
⑴；
⑵
⑶=
⑷
點評：讓學生熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及計算方法．
例３.利用換底公式計算
（1）log25log53log32（2）
解析：利用換底公式計算
點評：熟悉換底公式．
五．課堂目標檢測
1．指數(shù)式化成對數(shù)式或?qū)?shù)式化成指數(shù)式
（1）＝２（2）＝０.５(3)ｘ＝3
2．試求：的值
3．設(shè)、、為正數(shù)，且，求證：．
六．小結(jié)
本節(jié)主要復習了對數(shù)的概念、運算性質(zhì)，要熟練的進行指對互化并進行化簡．

對數(shù)與對數(shù)運算教學設(shè)計

教學設(shè)計
2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算
第1課時
作者：林寧寧，古田一中教師.本教學設(shè)計獲福建省教學設(shè)計大賽二等獎.
整體設(shè)計
教學內(nèi)容分析
本節(jié)課是新課標高中數(shù)學A版必修1中第二章對數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時，也就是對數(shù)函數(shù)的入門．對數(shù)函數(shù)對于學生來說是一個全新的函數(shù)模型，學習起來比較困難．而對數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對函數(shù)類型的拓廣，同時在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用．通過本節(jié)課的學習，可以讓學生理解對數(shù)的概念，從而進一步深化對對數(shù)模型的認識與理解，為學習對數(shù)函數(shù)做好準備．同時，通過對對數(shù)概念的學習，對培養(yǎng)學生對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力都具有重要的意義．
學生學習情況分析
現(xiàn)階段大部分學生學習的自主性較差，主動性不夠，學習有依賴性，且學習的信心不足，對數(shù)學存在或多或少的恐懼感．通過對指數(shù)與指數(shù)冪的運算的學習，學生已多次體會了對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉．因此，學生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對數(shù)定義的認識基礎(chǔ)，故應(yīng)通過指導，教會學生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學思想的學習方法．
設(shè)計思想
學生是教學的主體，本節(jié)課要給學生提供各種參與機會．為了調(diào)動學生學習的積極性，使學生化被動為主動，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學，引導學生從實例中認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性．在教學重難點上，步步設(shè)問、啟發(fā)學生的思維，通過課堂練習、探究活動、學生討論的方式來加深理解，更好地突破難點和提高教學效率．讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權(quán)．
教學目標
1．理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識并形成技能．
2．通過實例使學生認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化．
3．通過學生分組進行探究活動，掌握對數(shù)的重要性質(zhì)．通過做練習，使學生感受到理論與實踐的統(tǒng)一．
4．培養(yǎng)學生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)以及在學習過程中培養(yǎng)學生的探究意識．
重點難點
重點：(1)對數(shù)的概念；(2)對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化．
難點：(1)對數(shù)概念的理解；(2)對數(shù)性質(zhì)的理解．
教學過程
教學
環(huán)節(jié)教學程序及設(shè)計設(shè)計意圖
創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例(3分鐘)
1．一尺之錘，日取其半，萬世不竭．
(1)取5次，還有多長？
(2)取多少次，還有0.125尺？
分析：(1)為同學們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得125＝132，
(2)可設(shè)取x次，則有12x＝0.125，
抽象出：12x＝0.125x＝？
2．2002年我國GDP為a億元，如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年GDP是2002年的2倍？
分析：設(shè)經(jīng)過x年，則有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2x＝？讓學生根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，列出方程．這兩個例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學生思考如何表示x，激發(fā)其對對數(shù)的學習興趣，培養(yǎng)學生的探究意識．生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對數(shù)是必要的．
講授新課一、對數(shù)的概念(3分鐘)[
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．
注意：(1)底數(shù)的限制：a＞0且a≠1；
(2)對數(shù)的書寫格式正確理解對數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對數(shù)函數(shù)定義域的確定做準備．同時注意對數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯誤．
二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘)
冪底數(shù)←a→對數(shù)底數(shù)
指數(shù)←b→對數(shù)
冪←N→真數(shù)
思考：
(1)為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù)a＞0且a≠1?
(2)是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？
負數(shù)和零沒有對數(shù)讓學生了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，明確對數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，及它們的含義．互化體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化這個重要的數(shù)學思想.
三、兩個重要對數(shù)(2分鐘)
(1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)log10N，簡記為lgN；
(2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)logeN，簡記為lnN.(在科學技術(shù)中，常常使用以e為底的對數(shù))
注意：兩個重要對數(shù)的書寫這兩個重要對數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準備．
課堂練習(7分鐘)
1．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：
(1)24＝16；(2)3－3＝127；(3)5a＝20；(4)12b＝0.45.
2．將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：
(1)log5125＝3；(2)＝－2；(3)log10a＝－1.069.
3．求下列各式的值：
(1)log264；(2)log927.本練習讓學生獨立閱讀課本例1和例2后思考完成，從而熟悉對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對對數(shù)概念的理解．并要求學生指出對數(shù)式與指數(shù)式互化時應(yīng)注意哪些問題，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)．
四、對數(shù)的性質(zhì)(12分鐘)
探究活動1
求下列各式的值：
(1)log31＝0；(2)lg1＝0；
(3)log0.51＝0；(4)ln1＝0.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
“1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0(a＞0且a≠1)，類比：a0＝1(a＞0且a≠1)．探究活動由學生獨立完成后，通過思考，然后分小組進行討論，最后得出結(jié)論．通過練習與討論的方式，讓學生自己得出結(jié)論，從而能更好地理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)．培養(yǎng)學生類比、分析、歸納的能力.
探究活動2
求下列各式的值：
(1)log33＝1；(2)lg10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa＝1(a＞0且a≠1)，類比：a1＝a(a＞0且a≠1)．
探究活動3
求下列各式的值：
(1)＝3；(2)＝0.6；(3)＝89.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
對數(shù)恒等式：＝N(a＞0且a≠1)．
探究活動4
求下列各式的值：
(1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8.
思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？
對數(shù)恒等式：logaan＝n(a＞0且a≠1).
講
授
新
課小結(jié)負數(shù)和零沒有對數(shù)；
“1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0；
底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa＝1；
對數(shù)恒等式：＝N；
對數(shù)恒等式：logaan＝n.(a＞0且a≠1)將學生歸納的結(jié)論進行小結(jié)，從而得到對數(shù)的基本性質(zhì)．
歸納小結(jié)，強化思想(3分鐘)
1．引入對數(shù)的必要性——對數(shù)的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN.
2．指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系
3．對數(shù)的基本性質(zhì)
負數(shù)和零沒有對數(shù)；loga1＝0；logaa＝1；
對數(shù)恒等式：＝N；logaan＝n.總結(jié)是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學生系統(tǒng)地掌握所學內(nèi)容．同時，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識體系中，發(fā)揮承上啟下的作用．為下一課時對數(shù)的運算打下扎實的基礎(chǔ)．

作業(yè)
布置一、課本習題2.2A組第1,2題．
二、已知loga2＝x，loga3＝y(tǒng)，求a3x＋2y的值．
三、求下列各式的值：
；；
；.
作業(yè)是學生信息的反饋，教師可以在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學生在學習中存在的問題，彌補教學中的不足．

板書
設(shè)計2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算
第1課時
引例1
引例2
一、對數(shù)的定義二、對數(shù)式與指數(shù)式的
互化練習三、對數(shù)的基本性質(zhì)
四、小結(jié)
五、作業(yè)布置
教學反思
本教學設(shè)計先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生對對數(shù)的學習興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學以及一系列的課堂探究活動，加深學生對對數(shù)的認識；最后通過課堂練習來鞏固學生對對數(shù)的掌握．
第2課時
作者：盧巖冰
整體設(shè)計
教學目標
1．知識與技能
(1)通過實例推導對數(shù)的運算性質(zhì)，準確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行運算、求值、化簡，并掌握化簡求值的技能．
(2)運用對數(shù)的運算性質(zhì)解決有關(guān)問題．
(3)培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力．
培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識和科學分析問題的精神和態(tài)度．
2．過程與方法
(1)讓學生經(jīng)歷并推導出對數(shù)的運算性質(zhì)．
(2)讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識．
3．情感態(tài)度與價值觀
讓學生感覺對數(shù)運算性質(zhì)的重要性，增加學生的成功感，增強學習的積極性．
重點難點
重點：對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用．
難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)．
教學過程
導入新課
思路1．上節(jié)課我們學習了以下內(nèi)容：
1．對數(shù)的定義．
2．指數(shù)式與對數(shù)式的互化．
ab＝NlogaN＝b.
3．重要性質(zhì)：
(1)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)對數(shù)恒等式＝N.
下面我們接著講對數(shù)的運算性質(zhì)〔教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)〕．
思路2.我們在學習指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運算法則，即指數(shù)運算法則：
aman＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；man＝.(a＞0且a≠1)
從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對數(shù)運算的性質(zhì)嗎？
(2)如我們知道am＝M，an＝N，aman＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對數(shù)式運算嗎？
(3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運算性質(zhì)能得出其他對數(shù)運算性質(zhì)嗎？
(4)你能否用最簡練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請描述.
(5)上述運算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？
(6)上述結(jié)論能否推廣呢？
(7)學習這些性質(zhì)能對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？
討論結(jié)果：(1)通過問題(2)來說明．
(2)若aman＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對數(shù)的定義得到M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，MN＝am＋nm＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.
因此m＋n可以用對數(shù)式表示．
(3)令M＝am，N＝an，則MN＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaMN.
又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.
所以logaM－logaN＝m－n＝logaMN，即logaMN＝logaM－logaN.
設(shè)M＝am，則Mn＝(am)n＝amn.由對數(shù)的定義，
所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.
這樣我們得到對數(shù)的三個運算性質(zhì)：
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有
loga(MN)＝logaM＋logaN；①
logaMN＝logaM－logaN；②
logaMn＝nlogaM(n∈R)．③
(4)以上三個性質(zhì)可以歸納為：
性質(zhì)①：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；
性質(zhì)②：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；
性質(zhì)③：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．
(5)利用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.
(6)性質(zhì)①可以推廣到n個數(shù)的情形：
即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)．
(7)縱觀這三個性質(zhì)我們知道，
性質(zhì)①的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算．
性質(zhì)②的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算．
性質(zhì)③從左往右仍然是降級運算．
利用對數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，方便了對數(shù)式的化簡和求值．
應(yīng)用示例
例1用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)logaxyz；(2)logax2y3z.
活動：學生思考觀察，教師巡視，檢查學生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．
利用對數(shù)的運算性質(zhì)，把整體分解成部分．
對(1)logaxyz，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和．
對(2)logax2y3z，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質(zhì)③，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積．
解：(1)logaxyz＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)logax2y3z＝loga(x2y)－loga3z
＝logax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz.
點評：對數(shù)的運算性質(zhì)實質(zhì)上是把積、商、冪的對數(shù)運算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運算．
變式訓練
1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個數(shù)為()
①logaxlogay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logaxlogay.
A．0B．1C．2D．3
答案：A
2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個數(shù)為()
①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga1x；
④logaxlogay＝logaxy；⑤nlogax＝1nlogax；⑥1nlogax＝loganx；
⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)ogax－yx＋y＝－logax＋yx－y.
A．3B．4C．5D．6
答案：B
例2求值：(1)；(2)log3127.
解：(1)解法一：設(shè)，則(3)x＝33＝(3)3，所以x＝3.
解法二：.
(2)解法一：令x＝log3127，則3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3.
解法二：log3127＝log33－3＝－3.
例3計算：
(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(2)lg243lg9；(3)lg27＋lg8－3lg10lg1.2.
解：(1)解法一：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
解法二：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg732＋lg7－lg18＝lg14×7732×18＝lg1＝0.
(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.
(3)lg27＋lg8－3lg10lg1.2＝＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.
點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯用對數(shù)的運算性質(zhì)．對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用、運算性質(zhì)的逆用常被學生所忽視．
例4設(shè)x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．
活動：學生思考觀察，教師引導，學生有困難及時提示并評價學生的思考過程．本題主要考查對數(shù)的定義及其運算性質(zhì)．先利用對數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡再代入求值．
解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×13＋132＝919.
解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝(2x－2－x)(22x＋1＋2－2x)2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.
知能訓練
課本本節(jié)練習第1,2,3題．
【補充練習】
1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：
(1)loga3xy2z；(2)logax4z3y2；(3)；(4)logaxyx2－y2；
(5)logax＋yx－yy；(6)logayx(x－y)3.
解：(1)loga3xy2z＝loga3x－logay2z＝13logax－(2logay＋logaz)＝13logax－2logay－logaz；
(2)logax4z3y2＝logax＋loga4z3y2＝logax＋14(logaz3－logay2)
＝logax－24logay＋34logaz＝logax－12logay＋34logaz；
(3)＝logax＋＋＝logax＋12logay－23logaz；
(4)logaxyx2－y2＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)
＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；
(5)logax＋yx－yy＝logax＋yx－y＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；
(6)logayx(x－y)3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．
2．已知f(x6)＝log2x，則f(8)等于()
A．43B．8C．18D．12
解析：因為f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝12.
另解：因為f(x6)＝log2x＝16log2x6，所以f(x)＝16log2x.
所以f(8)＝16log28＝16log223＝12.
答案：D
拓展提升
已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．
活動：學生討論、交流、思考，教師可以引導．大膽設(shè)想，運用對數(shù)的運算性質(zhì)．由于所求的式子是三項積的形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運算性質(zhì)，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t.
解：令，則lgt＝1lgy＋1lgzlgx＋1lgz＋1lgxlgy＋1lgx＋1lgylgz＝lgxlgy＋lgxlgz＋lgylgz＋lgylgx＋lgzlgx＋lgzlgy＝lgx＋lgzlgy＋lgx＋lgylgz＋lgy＋lgzlgx＝－lgylgy＋－lgzlgz＋－lgxlgx＝－3，所以t＝10－3＝11000即為所求．
課堂小結(jié)
1．對數(shù)的運算性質(zhì)．
2．對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是性質(zhì)的逆向使用．
3．對數(shù)與指數(shù)形式比較：
式子ab＝NlogaN＝b
名稱a——冪的底數(shù)
b——冪的指數(shù)
N——冪值a——對數(shù)的底數(shù)
b——以a為底的N的對數(shù)
N——真數(shù)
運算
性質(zhì)aman＝am＋n；
am÷an＝am－n；
(am)n＝amn；
(a＞0，a≠1，m，n∈R)loga(MN)＝logaM＋logaN；
logaMN＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)
作業(yè)
課本習題2.2A組3,4,5.
設(shè)計感想
在前面研究了對數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運算性質(zhì)，推出了對數(shù)的運算性質(zhì)，引導學生自己完成推導過程，加深對公式的理解和記憶，對運算性質(zhì)的認識類比指數(shù)的運算性質(zhì)來理解記憶，強化性質(zhì)的使用條件，注意對數(shù)式中每一個字母的取值范圍，由于它是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學時，要反復練習，加大練習的量，多結(jié)合信息化的教學手段，順利完成本堂課的任務(wù)．
第3課時
作者：劉菲
整體設(shè)計
教學目標
1．知識與技能
推導對數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識和科學分析問題的精神和態(tài)度．
2．過程與方法
讓學生經(jīng)歷推導對數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學知識．
3．情感態(tài)度與價值觀
通過對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)換底公式的學習，培養(yǎng)學生的探究意識，培養(yǎng)學生的嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)；感受對數(shù)的廣泛應(yīng)用．
重點難點
重點：對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式及其應(yīng)用．
難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式．
教學過程
導入新課
思路1．問題：你能根據(jù)對數(shù)的定義推導出下面的換底公式嗎？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝logcblogca.教師直接點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
思路2．前兩節(jié)課我們學習了以下內(nèi)容：1．對數(shù)的定義及性質(zhì)；2．對數(shù)恒等式；3．對數(shù)的運算性質(zhì)，用對數(shù)的運算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對數(shù)進行運算，那么不同底數(shù)的對數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容．教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
思路3．從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，數(shù)學史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù)，這樣，如果能將其他底的對數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對數(shù)，那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個公式，即對數(shù)的換底公式，從而引出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；
(2)根據(jù)(1)，如a＞0，a≠1，你能用含a的對數(shù)式來表示log23嗎？
(3)更一般地，我們有l(wèi)ogab＝logcblogca，如何證明？
(4)證明logab＝logcblogca的依據(jù)是什么？
(5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？
(6)換底公式的意義是什么？有什么作用？
活動：學生針對提出的問題，交流討論，回顧所學，力求轉(zhuǎn)化，教師適時指導，必要時提示學生解題的思路，給學生創(chuàng)造一個互動的學習環(huán)境，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力．對(1)目前還沒有學習對數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對(2)參考(1)的思路和結(jié)果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示；對(3)借助(1)(2)的思路，利用對數(shù)的定義來證明；對(4)根據(jù)證明的過程來說明；對(5)抓住問題的實質(zhì)，用準確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對(6)換底公式的意義就在于對數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了．
討論結(jié)果：(1)因為lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根據(jù)對數(shù)的定義，所以100.3010＝2,100.4771＝3.
不妨設(shè)log23＝x，則2x＝3，所以(100.3010)x＝100.4771,100.3010×x＝100.4771，
即0.3010x＝0.4771，x＝0.47710.3010＝lg3lg2.因此log23＝lg3lg2＝0.47710.3010≈1.5850.
(2)根據(jù)(1)我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg2與lg3表示，是通過對數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對數(shù)，
不妨設(shè)log23＝x，由對數(shù)定義知道，2x＝3，
兩邊都取以a為底的對數(shù)，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝loga3loga2，
也就是log23＝loga3loga2.
這樣log23就表示成了以a為底的3的對數(shù)與以a為底的2的對數(shù)的商．
(3)證明logab＝logcblogca.
證明：設(shè)logab＝x，由對數(shù)定義知道，ax＝b；
兩邊取以c為底的對數(shù)，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；
所以x＝logcblogca，即logab＝logcblogca.
一般地，logab＝logcblogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)稱為對數(shù)的換底公式．
(4)由(3)的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若M＞0，N＞0，M＝N，則logaM＝logaN.
(5)一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商．
(6)換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡求值．
說明：我們使用的計算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù)，因此要使用計算器計算對數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)．如log23＝lg3lg2，
即計算log23的值的按鍵順序為：“l(fā)og”→“3”→“÷”→“l(fā)og”→“2”→“＝”．
再如：在前面要求我國人口達到18億的年份，就是要計算x＝log1.011813，
所以x＝log1.011813＝lg1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.2553－1.0390.0043＝32.8837≈33(年)．
可以看到運用對數(shù)換底公式，有時要方便得多．
應(yīng)用示例
例1求log89log2732的值．
活動：學生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時提示，學生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對數(shù)或以2為底的對數(shù)，以3為底的對數(shù)也可．
解法一：log89log2732＝lg9lg8lg32lg27＝2lg33lg25lg23lg3＝109.
解法二：log89log2732＝log29log28log232log227＝2log23353log23＝109.
解法三：log89log2732＝log39log38log332log327＝23log325log323＝109.
點評：靈活運用對數(shù)的換底公式是解決問題的關(guān)鍵．
例2計算：(1)log52log4981log2513log734；(2)log43log92－.
活動：學生積極交流，教師引導，學生展示自己的思維過程，教師對學生的表現(xiàn)及時評價．先利用對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式進行化簡，然后再求值；對(1)根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡．對(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡求值．
解：(1)原式＝lg2lg5lg34lg72lg3－1lg52lg22lg73＝12lg2lg54lg32lg7－lg32lg52lg23lg7＝－3.
(2)log43log92－＝log23log24log22log29－＝12log2312log32＋54log22
＝14＋54＝32.
點評：在利用對數(shù)的換底公式進行化簡求值時，一般情況是根據(jù)題中所給的對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底，如果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對數(shù)進行換底．
例3(1)證明logaxlogabx＝1＋logab；
(2)已知＝＝…＝＝λ，求證：.
活動：學生思考、討論，教師適當提示：(1)運用對數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對數(shù)可直接得解，或利用對數(shù)的定義，分別把三個式子設(shè)出，再由定義轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；(2)這是條件證明問題，應(yīng)在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉(zhuǎn)化成積的形式，從題目的結(jié)論來看，真數(shù)是積的形式，因此要創(chuàng)造對數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來解．
(1)證法一：設(shè)logax＝p，logabx＝q，logab＝r，則x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.
所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，從而p＝q(1＋r)．
因為q≠0，所以pq＝1＋r，即logaxlogabx＝1＋logab.
證法二：顯然x＞0且x≠1，x可作為底數(shù)，左邊＝logaxlogabx＝logxablogxa＝logaab＝1＋logab＝右邊．
(2)證明：因為loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，所以由換底公式得lgb1lga1＝lgb2lga2＝…＝lgbnlgan＝λ.由等比定理，所以lgb1＋lgb2＋…＋lgbnlga1＋lga2＋…＋lgan＝λ.所以lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)＝λ.
所以＝lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)＝λ.
點評：在解題過程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉(zhuǎn)化，換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可正用，又可逆用，使用時的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡．
例420世紀30年代，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中，A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅(使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差)．
(1)假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級(精確到0.1)；
(2)5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍(精確到1)?
活動：學生審題，教師引導，學生交流，展示自己的思維過程，教師強調(diào)實際問題的注意事項．根據(jù)題目給出的數(shù)學模型及其含義來解決．這是實際問題，但題目給出了數(shù)學模型即關(guān)系式，關(guān)系式是以常用對數(shù)的形式給出，因此要利用對數(shù)的定義和運算性質(zhì)，同時注意要使實際問題有意義．
解：(1)M＝lg20－lg0.001＝lg200.001＝lg20000＝lg2＋lg104≈4.3.
因此，這是一次約為里氏4.3級的地震．
(2)由M＝lgA－lgA0可得M＝lgAA0，即AA0＝10M，所以A＝A010M.
當M＝7.6時，地震的最大振幅為A1＝A0107.6；
當M＝5時，地震的最大振幅為A2＝A0105.
所以，兩次地震的最大振幅之比是A1A2＝A0×107.6A0×105＝107.6－5＝102.6≈398.
答：7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的398倍．
點評：利用所學知識解決實際問題，是教學的一個難點．
知能訓練
課本本節(jié)練習4.
【補充練習】
(1)已知lg2＝a，lg3＝b，則lg12lg15等于()
A．2a＋b1＋a＋bB．a(chǎn)＋2b1＋a＋bC．2a＋b1－a＋bD．a(chǎn)＋2b1－a＋b
(2)已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，則xy的值為()
A．1B．4C．1或4D．4或－1
(3)若3a＝2，則log38－2log36＝__________.
(4)lg12.5－lg58＋lg0.5＝__________.
答案：(1)C(2)B(3)a－2(4)1
拓展提升
探究換底公式的其他證明方法：
活動：學生討論、交流、思考，教師可以引導，大膽設(shè)想，運用對數(shù)的定義及運算性質(zhì)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)．
證法一：設(shè)logaN＝x，則ax＝N，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝logcNlogca.故logaN＝logcNlogca.
證法二：由對數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得logcN＝logaNlogca，所以logaN＝logcNlogca.
證法三：令logca＝m，logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.
兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得mn＝logcN，所以n＝logcNm，即logaN＝logcNlogca.
對數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式logaN＝logcNlogca(c＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的應(yīng)用包括兩個方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用，前者較為容易，而后者則易被學生忽視，因此，教學時應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明：
例：化簡：logaMlogaN＋logbMlogbN＋logcMlogcN＋logdMlogdN.
解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.
課堂小結(jié)
1．對數(shù)換底公式；
2．換底公式可用于對數(shù)式的化簡、求值或證明．若對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可把對數(shù)式轉(zhuǎn)化成以10為底的常用對數(shù)或以任意數(shù)a(a＞0且a≠1)為底的對數(shù)式的形式．
作業(yè)
課本習題2.2A組6,11,12.
【補充作業(yè)】
1．已知，，求log81175的值．
解：因為＝log277＝13log37＝a，所以log37＝3a.
又因為＝log35＝b，
所以log81175＝14log3(25×7)＝14(log325＋log37)＝14(2log35＋log37)＝3a＋2b4.
2．求證：(log23＋log49＋log827＋…＋)log9n32＝52.
證明：左邊＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9n32
＝()1nlog932
＝nlog231nlog332＝log2352log32＝52＝右邊．
設(shè)計感想
本堂課主要是學習對數(shù)的換底公式，它在以后的學習中有著非常重要的應(yīng)用，由于對數(shù)的運算性質(zhì)是在同底的基礎(chǔ)上，因此利用對數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為同底顯得非常重要，有時也可以逆用對數(shù)的換底公式達到我們的目的，特別是實際問題的應(yīng)用十分廣泛，因此要反復訓練，強化記憶，所以設(shè)計了大量的例題與練習，授課時要加快速度，激發(fā)學生學習的興趣，多運用多媒體的教學手段．
備課資料
【備選例題】
【例1】化簡：logaMlogbNlogbMlogcNlogcMlogdNlogdMlogaN.
解：原式＝logaMlogaNlogbMlogbNlogcMlogcNlogdMlogdN＝logNMlogNMlogNMlogNM＝(logNM)4.
【例2】求證：logab＝1logba(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)．
證法一：logab＝logbblogba＝1logba.
證法二：1logba＝logbblogba＝logab.
【例3】試證：1log2x＋1log3x＋1log4x＋…＋1lognx＝1logn！x.
證明：1log2x＋1log3x＋1log4x＋…＋1lognx＝logx(2×3×4×…×n)
＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn?。?logn！x.
【知識拓展】
對數(shù)的創(chuàng)立
對數(shù)是中學初等數(shù)學中的重要內(nèi)容，那么當初是誰首創(chuàng)“對數(shù)”這種高級運算的呢？在數(shù)學史上，一般認為對數(shù)的發(fā)明者是16世紀末到17世紀初的蘇格蘭數(shù)學家——納皮爾(J.Napier，1550—1617)男爵．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科．可是由于當時常量數(shù)學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間．納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數(shù)字的計算技術(shù)，終于獨立發(fā)明了對數(shù)．
當然，納皮爾所發(fā)明的對數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學中的對數(shù)理論并不完全一樣．在納皮爾那個時代，“指數(shù)”這個概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來引出對數(shù)，而是通過研究直線運動得出對數(shù)概念的．那么，當時納皮爾所發(fā)明的對數(shù)運算，是怎么一回事呢？在那個時代，計算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…
這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對應(yīng)冪．如果我們要計算第二行中兩個數(shù)的乘積，可以通過第一行對應(yīng)數(shù)字的和來實現(xiàn)．
比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應(yīng)數(shù)字：64對應(yīng)6,256對應(yīng)8；然后再把第一行中的對應(yīng)數(shù)字加起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應(yīng)第二行中的16384，所以有64×256＝16384.納皮爾的這種計算方法，實際上已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學中“對數(shù)運算”的思想了．回憶一下，我們在中學學習“運用對數(shù)簡化計算”的時候，采用的不正是這種思路嗎？計算兩個復雜數(shù)的乘積，先查《常用對數(shù)表》，找到這兩個復雜數(shù)的常用對數(shù)，再把這兩個常用對數(shù)值相加，再通過《常用對數(shù)的反對數(shù)表》查出值的反對數(shù)值，就是原先那兩個復雜數(shù)的乘積了．這種“化乘除為加減”，從而達到簡化計算的思路，不正是對數(shù)運算的明顯特征嗎？
經(jīng)過多年的探索，納皮爾男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的對數(shù)定律說明書》，向世人公布了他的這項發(fā)明，并且解釋了這項發(fā)明的特點．所以，納皮爾是當之無愧的“對數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學史上享有這份殊榮．偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經(jīng)把笛卡兒的坐標、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茨的微積分共同稱為17世紀的三大數(shù)學發(fā)明．法國著名的數(shù)學家、天文學家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749—1827)曾說：“對數(shù)，可以縮短計算時間，在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”．

對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

2.2.1對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用學案

課前預(yù)習學案
一、預(yù)習目標
記住對數(shù)的定義;對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式.
二、預(yù)習內(nèi)容
1、對數(shù)的定義_________________
2.對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a0，a1，M0，N0，則
（1）
（2）
（3）
3.換底公式
其中
三、提出疑惑

課內(nèi)探究學案
一、學習目標
1．掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，并能理解推導這些法則的依據(jù)和過程；
2．能較熟練地運用法則解決問題；
學習重點：對數(shù)運算性質(zhì)
學習難點：對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用.
二、學習過程
探究點一
例1．（1）.把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式、對數(shù)式寫成指數(shù)式
(1)＝16（２）＝１(３)ｘ＝27(４)ｘ＝7
解析：利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系解．
解：

點評：本題主要考察的是指數(shù)式與對數(shù)式的互化．

探究點二
例2計算：⑴，⑵，⑶，⑷

解析：利用對數(shù)的性質(zhì)解．
解

點評：讓學生熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及計算方法．
例３.利用換底公式計算
（1）log25log53log32（2）
解析：利用換底公式計算
解：

點評：讓學生熟悉換底公式．

三、反思總結(jié)

四、當堂檢測
1．指數(shù)式化成對數(shù)式或?qū)?shù)式化成指數(shù)式
（1）＝２（2）＝０.５(3)ｘ＝3

2．試求：的值

課后練習與提高
1．對于，，下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則
A．B．Ｃ．Ｄ．
2．設(shè)a，b，c∈R，且3=4=6，則()．
(A)．=＋(B)．=＋(C)．=＋(D)．=＋
３．．已知3＋5=A，且＋=2，則A的值是()．
(A)．15(B)．(C)．±(D)．225

４．2loga(M-2N)=logaM+logaN,則的值為（）
５．若loga2=m,loga3=n,a2m+n=．
６．已知，求的值．