小學(xué)三年級數(shù)學(xué)教案

八年級數(shù)學(xué)競賽例題分式方程專題講解。

專題08分式方程

閱讀與思考
分母含有未知數(shù)的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化為整式方程，常用的方法有直接去分母、換元法等．
在解分式方程中，有可能產(chǎn)生增根．盡管增根必須舍去，但有時卻要利用增根，挖掘隱含條件．

例題與求解
【例1】若關(guān)于的方程＝－1的解為正數(shù)，則的取值范圍是______．
（黃岡市競賽試題）
解題思路：化分式方程為整式方程，注意增根的隱含制約．

【例2】已知，其中A，B，C為常數(shù)．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”競賽試題）
解題思路：將右邊通分，比較分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：
（1）；（“五羊杯”競賽試題）
（2）；（河南省競賽試題）
（3）＋＝3．（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）
解題思路：由于各個方程形式都較復(fù)雜，因此不宜于直接去分母．需運用解分式問題、分式方程相關(guān)技巧、方法解．

【例4】（1）方程的解是___________．（江蘇省競賽試題）

（2）方程的解是________．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：仔細觀察分子、分母間的特點，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，尋找解題的突破口．

【例5】若關(guān)于的方程只有一個解，試求的值與方程的解．
（江蘇省競賽試題）
解題思路：化分式方程為整式方程，解題的關(guān)鍵是對原方程“只有一個解”的準(zhǔn)確理解，利用增根解題．
【例6】求方程的正整數(shù)解．（“希望杯”競賽試題）
解題思路：易知都大于1，不妨設(shè)1＜≤≤，則，將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數(shù)的取值作出估計．逐步縮小其取值范圍，求出結(jié)果．

能力訓(xùn)練
A級
1．若關(guān)于x的方程有增根，則的值為________．（重慶市中考試題）
2．用換元法解分式方程時，如果設(shè)＝，并將原方程化為關(guān)于的整式方程，那么這個整式方程是___________．（上海市中考試題）
3．方程的解為__________．（天津市中考試題）
4．兩個關(guān)于的方程與有一個解相同，則＝_______．
（呼和浩特市中考試題）
5．已知方程的兩根分別為，，則方程的根是（）．
A．，B．，C．，D．，
（遼寧省中考試題）
6．關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是（）
A．＞－1B．＞－1且≠0
C．＜－1D．＜－l且≠－2
（孝感市中考試題）
7．關(guān)于的方程的兩個解是1＝，2＝，則關(guān)于的方程的兩個解是（）．
A．，B．－1，C．，D．，
8．解下列方程：
（1）；（蘇州市中考試題）
（2）．（鹽城市中考試題）

9．已知．求10＋5＋的值．

10．若關(guān)于的方程只有一個解（相等的兩根算作一個），求的值．
（黃岡市競賽試題）

11．已知關(guān)于的方程2＋2＋，其中為實數(shù).當(dāng)為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根.
（聊城市中考試題）

12．若關(guān)于的方程無解，求的值．
（“希望杯”邀請賽試題）

B級
1．方程的解是__________．
（“祖沖之杯”邀請賽試題）
2．方程的解為__________．
3．分式方程有增根，則的值為_________．
4．若關(guān)于的分式方程＝－1的解是正數(shù)，則的取值范圍是______．
（黑龍江省競賽試題）
5．（1）若關(guān)于x的方程無解，則＝__________．（沈陽市中考試題）
（2）解分式方程會產(chǎn)生增根，則＝______．（“希望杯”邀請賽試題）
6．方程的解的個數(shù)為（）．
A．4個B．6個C．2個D．3個
7．關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）．
A．＜lB．＜1且≠0C．≤1D．≤1且≠0
（山西省競賽試題）
8．某工程，甲隊獨做所需天數(shù)是乙、丙兩隊合做所需天數(shù)的倍，乙隊獨做所需天數(shù)是甲、丙兩隊合做所需天數(shù)的倍，丙隊獨做所需天數(shù)是甲、乙兩隊合做所需天數(shù)的倍，則的值是（）．
A．1B．2C．3D．4
（江蘇省競賽試題）
9．已知關(guān)于的方程（2－1）有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若原方程的兩個實數(shù)根為1，2，且，求的值.
（TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試顳）
10．求方程－＋＋2006＝0的正整數(shù)解.
（江蘇省競賽試題）

11．某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟危機影響，電腦價格不斷下降.今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元．如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元．今年銷售額只有8萬元．
（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元?
（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦．已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預(yù)計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案?
（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金a元．要使（2）中所有方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？（齊齊哈爾市中考試題）

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八年級數(shù)學(xué)競賽例題雙曲線專題講解

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專題11雙曲線

閱讀與思考
形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實生活中普遍使用的模型，如通過改變電阻來控制電流的變化，從而使舞臺的燈光達到變幻的效果；又如過濕地時，在地面上鋪上木板，人對地面的壓強減小，從而使人不陷入泥中.
反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：
1.反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標(biāo)軸無限延伸，但不能與坐標(biāo)軸相交；
2.k的正負性，決定雙曲線大致位置及y隨x的變化情況；
3.雙曲線上的點是關(guān)于中心對稱的，雙曲線也是軸對稱圖形，對稱軸是直線及.
反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系.如在作圖時都要經(jīng)歷列表、描點、連線的過程；研究它們的性質(zhì)時，都是通過幾個具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.
反比例函數(shù)中的幾何意義是：等于雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線所得的矩形的面積，如圖：
（1）；
（2）.
求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，常通過解由這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到.
求符合某種條件的點的坐標(biāo)，常根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程（組），解方程（組）求得相關(guān)點的坐標(biāo).
解反比例函數(shù)有關(guān)問題時，應(yīng)充分考慮它的對稱性，這樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的周密性.
反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型之一，用反比例函數(shù)解決實際問題，既要分析問題情景，建立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識.
例題與求解
【例1】（1）如圖，已知雙曲線經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點F且交BC于點E，四邊形OEBF的面積為2，則.
（蘭州市中考試題）

（2）如圖，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，點P1，P2在函數(shù)的圖象上，斜邊OA1，A1A2都在x軸上，則點A2的坐標(biāo)是.
（南通市中考試題）
解題思路：對于（1），通過連線，把相關(guān)圖形的面積用k表示；對于（2），設(shè)，，把A，C兩點坐標(biāo)用a，b表示.

【例2】如圖，P是函數(shù)圖象上一點，直線交x軸于點A，交y軸于點B，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F，則的值為.
（北京市競賽試題）
解題思路：設(shè)，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4.
（1）求k的值；
（2）若雙曲線上一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（3）過原點O的另一條直線l交于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標(biāo).
（福州市中考試題）
解題思路：對于（2），有下列不同的解法：
圖1圖2圖3
對于（3），需要思考的是，四邊形APBQ的形狀，P點與A點有怎樣的位置關(guān)系.
【例4】已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖，已知A點在第一象限且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求A點坐標(biāo)；
（3）利用（2）的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由.
解題思路：對于（3），應(yīng)分類討論，并注意A點坐標(biāo)隱含的信息.

【例5】一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點M、N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、B，過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連接CD.
（1）若點A，B在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：
①；②.
（2）若點A，B分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論.
圖1圖2
（威海市中考試題）
解題思路：對于（1），通過連線證明面積相等，進而可證AB∥DC，則四邊形ANDC，DCMB為平行四邊形；（2）方法同（1）.

例5的拓展變化：
如圖，點M，N在反比例函數(shù)的圖象上，過點M作ME⊥x軸，過點N作NF⊥y軸，垂足分別為E、F，則MN∥EF.

【例6】點，與點C構(gòu)成邊長是3，4，5的直角三角形，如果點C在反比例函數(shù)的圖象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題，運用了代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等思想方法.

能力訓(xùn)練
A級
1.已知是反比例函數(shù)，則.
2.若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的正整數(shù)k的值是.
（沈陽市中考試題）
3.已知雙曲線經(jīng)過點，如果，兩點在該雙曲線上，且，那么.（威海市中考試題）
4.已知函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三點，，，則，，的大小關(guān)系是.
5.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A，B兩點，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是.（荊門市中考試題）
6.如圖，B為雙曲線上一點，直線AB平行于y軸交直線于點A，若，則.（武漢市四月調(diào)考試題）
（第5題）（第6題）
7.如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點，過點A作AM⊥x軸于M點，連接BM，若，則k的值是（）
A.2B.C.D.4
（鄂州市中考試題）
（第7題）（第8題）
8.如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點為A、B，過A作y軸的平行線與過B作x軸的平行線相交于點C，則△ABC的面積為（）
A.8B.6C.4D.2
（深圳市中考試題）

9.函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）
（山西省中考試題）
10.如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點，AB⊥x軸于B，且.
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標(biāo)和△AOC的面積.
（黃岡市中考試題）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸、x軸分別交于點A、點B，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點、，過C點作CE⊥y軸于E，過點D作DF⊥x軸于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直線AB的函數(shù)解析式；
（3）求證：△AEC≌△DFB.
（溫州市中考試題）

12.如圖所示，已知雙曲線的圖象上有兩點，，且，分別過，向x軸作垂線，垂足為B，D，過，向y軸作垂線，垂足分別為A，C.
（1）若記四邊形和四邊形的面積分別為，，周長分別為，，試比較和，和的大??；
（2）若P是雙曲線上一點，分別過P向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M，N.試問當(dāng)P在何處時四邊形PMON的周長最小，最小值為多少？
（黃岡市特長生選拔賽試題）

B級
1.已知，且與成反比例，與成反比例.且當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，.
2.直線與雙曲線交于，兩點，則.
（荊門市中考試題）
3.如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，C，自點A和點C作x軸的垂線，垂足分別為B和D，則四邊形ABCD的面積等于.
（北京市競賽試題）
（第3題）（第4題）
4.已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點C，B，與雙曲線交于點A，D，若，則k的值為.
（十堰市中考試題）
5.兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當(dāng)點P在的圖象上運動時，有以下結(jié)論：
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；
③PA與PB始終相等；
④當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點.
其中一定正確的是.
（咸寧市中考試題）
6.如圖，正方形OABC，ADEF的頂點A，D，C在坐標(biāo)軸上，點F在AB上，點B，E在函數(shù)的圖象上，則點E的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.
（紹興市中考試題）
7.如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是曲線和，設(shè)P點在上，PE⊥x軸于點E，交于點A，PD⊥y軸于點D，交于點B，則四邊形PAOB的面積為（）
A.B.C.D.
（浙江省競賽試題）
8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角頂點A在直線上，其中A點的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線與△ABC有交點，則k的取值范圍是（）

A.B.
C.D.
（濟南市中考試題）

9.如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數(shù)的圖象上，點是函數(shù)的圖象上的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S.
（1）求B點坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；
（3）寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
（溫州市中考試題）

10.如圖，已知直線交x軸于A，交y軸于B，P為反比例函數(shù)上一點，過P作x軸平行線交直線l于E，過P作y軸平行線交直線l于F.求的值.

11.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，.
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△MON的面積.
（太原市競賽試題）

12.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸，y軸分別交于點A和點B，且.這條曲線是函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是，由點P向x軸、y軸作垂線PM，PN（垂足分別為M，N），分別與直線AB相交于點E和點F.
（1）設(shè)交點E和F都在線段AB上（如圖），分別求E，F(xiàn)的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示E點坐標(biāo)，用b的代數(shù)式表示F點坐標(biāo)，只需寫出答案，不要求寫出計算過程）；
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用a，b的代數(shù)式表示）；
（3）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相似，請簡要說明理由；
（4）當(dāng)點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，是否有大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論.
（上海市競賽試題）

八年級數(shù)學(xué)競賽例題乘法公式專題講解

專題02乘法公式

閱讀與思考
乘法公式是多項式相乘得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在整式的乘除、數(shù)值計算、代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：
1．熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征；
2．正用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，模仿公式進行直接的簡單的套用；
3．逆用即將公式反過來逆向使用；
4．變用即能將公式變換形式使用；
5．活用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運用公式．

例題與求解
【例1】1，2，3，…，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩個整數(shù)的平方差的個數(shù)是．
（全國初中數(shù)字聯(lián)賽試題）
解題思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成兩個整數(shù)的平方差的數(shù)，要么為奇數(shù)，要么能被4整除．

【例2】（1）已知滿足等式，則的大小關(guān)系是()
A．B．C．D．
（山西省太原市競賽試題）
（2）已知滿足，則的值等于（）
A．2B．3C．4D．5
（河北省競賽試題）
解題思路：對于（1），作差比較的大小，解題的關(guān)鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負性；對于（2），由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點是整體考慮．

【例3】計算下列各題：
（1）；（天津市競賽試題）
（2）；（“希望杯”邀請賽試題）
（3）．
解題思路：若按部就班運算，顯然較繁，能否用乘法公式簡化計算過程，關(guān)鍵是對待求式恰當(dāng)變形，使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征．

【例4】設(shè)，求的值．（西安市競賽試題）
解題思路：由常用公式不能直接求出的結(jié)構(gòu)，必須把表示相關(guān)多項式的運算形式，而這些多項式的值由常用公式易求出其結(jié)果．

【例5】觀察：
（1）請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；
（2）根據(jù)（1），計算的結(jié)果（用一個最簡式子表示）．
（黃岡市競賽試題）
解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律．

【例6】設(shè)滿足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江蘇省競賽試題）
解題思路：本題可運用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運用．

能力訓(xùn)練
A級
1．已知是一個多項式的平方，則．（廣東省中考試題）
2．?dāng)?shù)能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是．
3．已知那么．
（天津市競賽試題）
4．若則．
5．已知滿足則的值為．
（河北省競賽試題）
6．若滿足則等于．
7．等于（）
A．B．C．D．
8．若，則的值是（）
A．正數(shù)B．負數(shù)C．非負數(shù)D．可正可負
9．若則的值是（）
A．4B．19922C．21992D．41992
（“希望杯”邀請賽試題）
10．某校舉行春季運動會時，由若干名同學(xué)組成一個8列的長方形隊列．如果原隊列中增加120人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少名同學(xué)？（“CASIO”杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

11．設(shè)，證明：是37的倍數(shù)．（“希望杯”邀請賽試題）

12．觀察下面各式的規(guī)律：
寫出第2003行和第行的式子，并證明你的結(jié)論．

B級
1．展開式中的系數(shù)，當(dāng)1，2，3…時可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”求出的值為．（《學(xué)習(xí)報》公開賽試題）
2．如圖，立方體的每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相對的兩個面上的兩數(shù)之和都相等，如果13，9，3的對面的數(shù)分別為，則的值為．
（天津市競賽試題）
3．已知滿足等式則．
4．一個正整數(shù)，若分別加上100與168，則可得兩到完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為．
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
5．已知，則多項式的值為（）
A．0B．1C．2D．3
6．把2009表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（）
A．16種B．14種C．12種D．10種
（北京市競賽試題）
7．若正整數(shù)滿足，則這樣的正整數(shù)對的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
（山東省競賽試題）
8．已知，則的值是（）
A．3B．9C．27D．81
（“希望杯”邀請賽試題）
9．滿足等式的整數(shù)對是否存在？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
10．?dāng)?shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．
（天津市競賽試題）

11．若，且，求證：．

12．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”，如
因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．
（1）28和2012這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和（其中取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘數(shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）

八年級數(shù)學(xué)競賽例題整式的乘除專題講解

專題01整式的乘除

閱讀與思考
指數(shù)運算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下5個公式：，，，，，．
學(xué)習(xí)指數(shù)運算律應(yīng)注意：
1．運算律成立的條件；
2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式或者多項式；
3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．
多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是：
1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；
2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；
3．演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止．
例題與求解
【例1】（1）若為不等式的解，則的最小正整數(shù)的值為．
（“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）
（2）已知，那么．（“華杯賽”試題）
（3）把展開后得，則．（“祖沖之杯”邀請賽試題）
（4）若則
．（創(chuàng)新杯訓(xùn)練試題）
解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求值，可考慮高次多項式用低次多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在允許取值范圍內(nèi)取任何一個值代入計算，故可考慮賦值法；對于（4），可考慮比較系數(shù)法．

【例2】已知，，則等于（）
A．2B．1C．D．（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：為指數(shù)，我們無法求出的值，而，所以只需求出的值或它們的關(guān)系，于是自然想到指數(shù)運算律．

【例3】設(shè)都是正整數(shù)，并且，求的值．（江蘇省競賽試題）
解題思路：設(shè)，這樣可用的式子表示，可用的式子表示，通過減少字母個數(shù)降低問題的難度．

【例4】已知多項式，求的值．
解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)系數(shù)對應(yīng)相等，從而可考慮用比較系數(shù)法．

【例5】是否存在常數(shù)使得能被整除？如果存在，求出的值，否則請說明理由．
解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式×商式”，運用待定系數(shù)法求出的值，所謂是否存在，其實就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解．

【例6】已知多項式能被整除，求的值．（北京市競賽試題）
解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出當(dāng)和時，原多項式的值均為0，從而求出的值．當(dāng)然本題也有其他解法．
能力訓(xùn)練
A級
1．（1）．（福州市中考試題）
（2）若，則．（廣東省競賽試題）
2．若，則．
3．滿足的的最小正整數(shù)為．（武漢市選拔賽試題）
4．都是正數(shù)，且，則中，最大的一個是．
（“英才杯”競賽試題）
5．探索規(guī)律：，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；，個位數(shù)是7；，個位數(shù)是1；，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；…那么的個位數(shù)字是，的個位數(shù)字是．（長沙市中考試題）
6．已知，則的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
7．已知，那么從小到大的順序是（）
A．B．C．D．
（北京市“迎春杯”競賽試題）
8．若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（）
A．B．C．D．
（江蘇省競賽試題）

9．已知則的關(guān)系是（）
A．B．C．D．
（河北省競賽試題）
10．化簡得（）
A．B．C．D．
11．已知，
試求的值．

12．已知．試確定的值．

13．已知除以，其余數(shù)較被除所得的余數(shù)少2，求的值．
（香港中學(xué)競賽試題）

B級
1．已知則=．
2．（1）計算：=．（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）
（2）如果，那么．
（青少年數(shù)學(xué)周“宗滬杯”競賽試題）
3．（1）與的大小關(guān)系是（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）與的大小關(guān)系是：（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果則=．（“希望杯”邀請賽試題）
5．已知，則．
（“五羊杯”競賽試題）
6．已知均為不等于1的正數(shù)，且則的值為（）
A．3B．2C．1D．
（“CASIO杯”武漢市競賽試題）
7．若，則的值是（）
A．1B．0C．—1D．2
8．如果有兩個因式和，則（）
A．7B．8C．15D．21
（奧賽培訓(xùn)試題）
9．已知均為正數(shù)，又，，則與的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．關(guān)系不確定
10．滿足的整數(shù)有（）個
A．1B．2C．3D．4

11．設(shè)滿足求的值．

12．若為整數(shù)，且，，求的值．
（美國猶他州競賽試題）

13．已知為有理數(shù)，且多項式能夠被整除．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若為整數(shù)，且．試比較的大?。?br> （四川省競賽試題）