小學(xué)三角形教案

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下第一章三角形及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)講解典型例題輔導(dǎo)。

三角形及其性質(zhì)（提高）知識(shí)講解
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語言及圖形表述方法．
2.理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；
3.掌握并會(huì)把三角形按邊和角分類
4.掌握并會(huì)應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系．
5.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會(huì)它們的畫法．
6.對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用．
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、三角形的定義
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
要點(diǎn)詮釋：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).
（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．
要點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和
三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．
要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：
①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；
②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；
③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．
要點(diǎn)三、三角形的分類
1.按角分類：
要點(diǎn)詮釋：
①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;
②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.
2.按邊分類：
要點(diǎn)詮釋：
①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；
②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;
③等邊三角形：三邊都相等的三角形.
要點(diǎn)四、三角形的三邊關(guān)系
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.
要點(diǎn)詮釋：
（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.
（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（3）證明線段之間的不等關(guān)系．
要點(diǎn)五、三角形的三條重要線段
三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：
線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線
文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．
圖形語言
作圖語言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．
標(biāo)示圖形
符號(hào)語言1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC邊上的高．
3．AD⊥BC于點(diǎn)D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．
2．AD是△ABC中BC邊上的中線．
3．BD＝DC＝BC
4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．
2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．

推理語言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．
因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．

用途舉例1．線段垂直．
2．角度相等．1．線段相等．
2．面積相等．角度相等．
注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．
2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．
重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．
要點(diǎn)六、三角形的穩(wěn)定性
三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。
要點(diǎn)詮釋：
（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變．
（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．
（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．
【典型例題】
類型一、三角形的內(nèi)角和
1．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，試判斷該三角形的形狀．
【思路點(diǎn)撥】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和
∠C的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀．
【答案與解析】
解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．
解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙．
舉一反三：
【變式1】（2015春泰興市期末）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE∥CB，交AB于點(diǎn)E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各內(nèi)角的度數(shù)．

【答案】
解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠DBC=∠EBD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°；
∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．

【高清課堂：與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】
【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對(duì)互余的角？有對(duì)相等的銳角？
【答案】3,2．
2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?
【思路點(diǎn)撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．
【答案與解析】
解：分兩種情況討論：
（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在△ABD中，
∵BD是AC邊上的高(已知)，
∴∠ADB＝90°(垂直定義)．
又∵∠ABD＝30°(已知)，
∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，
∴∠ABC+∠C＝120°，
又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．
(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示．在直角△ABD中，
∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝120°．
又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，
∴∠ABC+∠C＝60°．
∴∠C＝30°．
綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．
【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．
類型二、三角形的分類
3.一個(gè)三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是108°，這個(gè)三角形是（）三角形；一個(gè)三角形三條邊的長度分別是7cm，8cm，7cm，這個(gè)三角形是（）三角形.
【答案】鈍角；等腰
舉一反三：
【變式】一個(gè)等腰三角形的邊長為5cm和4cm，圍成這個(gè)等腰三角形至少需要（）cm長的繩子，最多需要（）cm長繩子（接頭忽略不計(jì)）.
【思路點(diǎn)撥】對(duì)于所給邊長要分類討論：當(dāng)4cm為腰長時(shí)，需要繩子的長度最短；當(dāng)5cm為腰長時(shí)，需要繩子的長度最長.
【答案】13；14
類型三、三角形的三邊關(guān)系
4.（2015春太康縣期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的長為偶數(shù)，求△ABC的周長．
【答案與解析】
解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：
9﹣2＜BC＜9+2，
即7＜BC＜11，
∵BC為偶數(shù)，
∴AC=8或10，
∴△ABC的周長為：9+2+8=19或9+2+10=21．
【總結(jié)升華】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系，還要注意第三邊是偶數(shù)這一條件．
舉一反三：
【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數(shù)，則共能組成個(gè)不同的三角形.當(dāng)x為時(shí)，所組成的三角形周長最大.
【答案】三；8(由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2x-34+2，解得5x9，因?yàn)閤為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時(shí)，組成的三角形周長最大為11).
5.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB和OC．
(1)你能說明OB+OC＜AB+AC的理由嗎?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?
【答案與解析】
解：(1)如圖，延長BO交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，
在△ABE中，AB+AE＞BE；
在△EOC中，OE+EC＞OC，
兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)因?yàn)镺B+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7．
又因?yàn)镺B+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題．
舉一反三：
【變式】若五條線段的長分別是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,則以其中三條線段為邊可構(gòu)成______個(gè)三角形.
【答案】3.
類型四、三角形中的重要線段
6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD＝CD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論．
【答案與解析】
解：如圖(1)，設(shè)AB＝x，AD＝CD＝．
(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，則CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此時(shí)AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11．
(2)如圖(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，則CD＝5．故BC＝12-5＝7．
顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長為10，10，7．
綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．
【總結(jié)升華】BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問題中沒有交代，因此，必須進(jìn)行分類討論．
【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段例5、】
舉一反三：
【變式】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的方案供選擇.
【答案】
解：方案1：如圖（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連接AE、AD、AF．
方案2：如圖(2)，分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF．
方案3：如圖(3)，取AB中點(diǎn)D，連接AD，再取AD的中點(diǎn)E，連接BE、CE．
方案4：如圖(4)，在AB取點(diǎn)D，使DC＝2BD，連接AD，再取AD的三等分點(diǎn)E、F，連接CE、CF．
類型五、三角形的穩(wěn)定性
7.如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？
【答案與解析】
解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了。
【總結(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.
舉一反三：
【變式】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?
【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，至少要釘(n-3)根木條．

全等三角形的概念和性質(zhì)（提高）
責(zé)編：杜少波
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．理解全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念；能準(zhǔn)確辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素.
2．掌握全等三角形的性質(zhì)；會(huì)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、全等形
形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.
要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長相等，面積相等.
要點(diǎn)二、全等三角形
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.
要點(diǎn)三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角
1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義
兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.
要點(diǎn)詮釋：
在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.
2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法
（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；
（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；
（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；
（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；
（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；
（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.
要點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；
全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【典型例題】
類型一、全等形和全等三角形的概念
1、請(qǐng)觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是__________.
【答案】（1）（4）（5）（6）；
【解析】（1）（5）是由其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定角度得到另一個(gè)圖形的，（4）是將其中一個(gè)圖形翻折后得到另一個(gè)圖形的，（6）是將其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°再平移得到的，（2）（3）形狀相同，但大小不等.
【總結(jié)升華】是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.
舉一反三：
【變式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合同三角形，假設(shè)△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，點(diǎn)A與點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)B1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C1對(duì)應(yīng)，當(dāng)沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1環(huán)繞時(shí)，若運(yùn)動(dòng)方向相同，則稱它們是真正合同三角形(如圖1)，若運(yùn)動(dòng)方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形(如圖2)，兩個(gè)真正合同三角形都可以在平面內(nèi)通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合，兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180°，下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是()
【答案】B；
提示：抓住關(guān)鍵語句，兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180°，B答案中的兩個(gè)三角形經(jīng)過翻轉(zhuǎn)180°就可以重合，故選B；其它三個(gè)選項(xiàng)都需要通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合.
類型二、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角
2、（2016春新疆期末）如圖，△ABC≌△AEF，那么與∠EAC相等的角是（）
A．∠ACBB.∠BAFC.∠CAFD.∠AFE
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，
即∠BAF=∠EAC.
【總結(jié)升華】全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)位置上容易確定出對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.
類型三、全等三角形性質(zhì)
3、（2014秋鹽城期中）如圖，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的長．
（2）若A、B、C在一條直線上，則DB與AC垂直嗎？為什么？
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根據(jù)DE=BD﹣BE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）DB⊥AC．根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一條直線上，根據(jù)平角的定義得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定義即可得到DB⊥AC．
【答案與解析】
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
【總結(jié)升華】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．也考查了平角的定義與垂直的定義，熟記性質(zhì)與定義是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】（2014春吉州區(qū)期末）下列命題中：（1）形狀相同的兩個(gè)三角形是全等形；（2）在兩個(gè)全等三角形中，相等的角是對(duì)應(yīng)角，相等的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等，其中真命題的個(gè)數(shù)有（）
A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)
【答案】C；
提示：（1）形狀相同、大小相等的兩個(gè)三角形是全等形，而原說法沒有指出大小相等這一點(diǎn)，故（1）錯(cuò)誤；（2）在兩個(gè)全等三角形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，而非相等的角是對(duì)應(yīng)角，相等的邊是對(duì)應(yīng)邊，故（2）錯(cuò)誤；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等，故（3）正確．綜上可得只有（3）正確．故選C．
【高清課堂：全等三角形的概念和性質(zhì)例14】
4、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度數(shù)是_________.
【思路點(diǎn)撥】（1）由∠1，∠2，∠3之間的比例關(guān)系及利用三角形內(nèi)角和可求出∠1，∠2，∠3的度數(shù)；（2）由全等三角形的性質(zhì)求∠EBC，∠BCD的度數(shù)；（3）運(yùn)用外角求∠α的度數(shù).
【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，設(shè)∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【總結(jié)升華】此題涉及到了三角形內(nèi)角和，外角和定理，并且要運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)來解決問題.見“比例”設(shè)未知數(shù)是比較常用的解題思路.
舉一反三：
【變式】如圖，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（）
A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4
【答案】D；
提示：設(shè)∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，則3＋5＋10＝18
＝180°，＝10°.又因?yàn)椤鱉NC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.

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北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（第一章 三角形的證明 ）

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北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（第一章三角形的證明）

第一章三角形的證明

1、等腰三角形

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）

（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形?；蛘呷齻€(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

（2）直角三角形兩個(gè)銳角之間的關(guān)系

定理：直角三角形兩個(gè)銳角互余。

逆定理：有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。

（3）含30度的直角三角形的邊的定理

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

逆定理：在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30度。

（4）命題與逆命題

命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（5）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）

3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（該點(diǎn)稱為三角形的外心）

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。

4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心）

八年級(jí)上冊(cè)第一章三角形全章教案（新北師大版）

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題三角形的基本知識(shí)專題講解

專題13三角形的基本知識(shí)

閱讀與思考
三角形是最基本的幾何圖形，是研究復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，許多幾何問題都可轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解.三角形基本知識(shí)主要包括三角形基本概念、三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們?cè)诰€段和角度的計(jì)算、圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用.
解與三角形的基本知識(shí)相關(guān)的問題時(shí)，常用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法解幾何計(jì)算題及簡單的證明題，對(duì)三角形按邊或按角進(jìn)行恰當(dāng)分類.
應(yīng)熟悉以下基本圖形：

例題與求解
【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，則∠BOC=________.
（“東方航空杯”——上海市競(jìng)賽試題）
解題思路：因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，故應(yīng)注意符合題設(shè)條件的圖形多樣性.

【例2】等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長為（）
A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.無法確定
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：中線所分兩部分不等的原因在于等腰三角形的腰與底的不等，應(yīng)分情況討論.

【例3】如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：運(yùn)用凹四邊形的性質(zhì)計(jì)算.
【例4】在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為正數(shù)，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度數(shù).
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：把∠A，∠C用∠B的代數(shù)式表示，建立關(guān)于∠B的不等式組，這是解本題的突破口.

【例5】（1）周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個(gè)？
（2）現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成小段，每段的長不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求的最大值.此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段.
（江蘇省競(jìng)賽試題）
解題思路：對(duì)于（1），不妨設(shè)三角形三邊為，，，且，由條件及三角形三邊關(guān)系定理可確定的取值范圍，從而可以確定整數(shù)的值.
對(duì)于（2），因段之和為定值150cm，故欲使盡可能的大，必須使每段的長度盡可能的小.這樣依題意可構(gòu)造一個(gè)數(shù)列.
【例6】在三角形紙片內(nèi)有2008個(gè)點(diǎn)，連同三角形紙片的3個(gè)頂點(diǎn)，共有2011個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，沒有三點(diǎn)在一條直線上.問：以這2011個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把三角形紙片分割成多少個(gè)沒有重疊部分的小三角形？
（天津市競(jìng)賽試題）
解題思路：本題的解題關(guān)鍵是找到規(guī)律：三角形內(nèi)角每增加1個(gè)內(nèi)點(diǎn)，就增加了2個(gè)三角形和3條邊.
能力訓(xùn)練
A級(jí)
1.設(shè)，，是△ABC的三邊，化簡=____________.
2.三角形的三邊分別為3，，8，則的取值范圍是__________.
3.已知一個(gè)三角形三個(gè)外角度數(shù)比為2:3:4，這個(gè)三角形是_______（按角分類)三角形.
4.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為____________.（“縉云杯“試題）
（第4題）（第5題）（第6題）
5.如圖，已知AB∥CD，GM，HM分別是∠AGH，∠CHG的角平分線，那么∠GMH=_________.
（第7題）（第9題）
6.如圖，△ABC中，兩外角平分線交于點(diǎn)E，則∠BEC等于（）
A.B.
C.D.
7.如圖，在△ABC中，BD，BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H.下列結(jié)論：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正確的是（）
A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④
8.已知三角形的每條邊長的數(shù)值都是2001的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的不同的三角形共有（）
A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)
9.如圖，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（）
A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）
C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）

（北京市競(jìng)賽試題）
10.一個(gè)三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是4和1997，則滿足上述條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）
A.1個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.7個(gè)
（北京市競(jìng)賽試題）
11.如圖，已知∠3=∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省競(jìng)賽試題）
12.平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.
（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M（如圖1），求∠AMC的大小.
（2）點(diǎn)E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點(diǎn)N（如圖2），求∠ANC.
圖1圖2

13.三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度.在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上.
（1）證明：AB+AE＞DB+DE；
（2）證明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA與2（DA+DB+DC）哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論；
（4）AB+BC+CA與DA+DB+DC哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論.
（加拿大埃蒙德頓市競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1.已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但不是最短邊，這樣的三角形的
個(gè)數(shù)有_______個(gè).
（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
2.以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的9個(gè)點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成______個(gè)沒有公共部分的小三角形.
3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，則___________.
（上海市競(jìng)賽試題）
4.如圖，若∠CGE=，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山東省競(jìng)賽試題）
（第4題）（第5題）

5.如圖，在△ABC中，∠A=96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，依此類推，與的平分線相交于點(diǎn)，則的大小是（）
A.3°B.5°C.8°D.19.2°
6.四邊形ABCD兩組對(duì)邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點(diǎn)P.∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結(jié)論中正確的是（）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；
④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
7.三角形的三角內(nèi)角分別為，，，且，，則的取值范圍是（）
A.B.C.D.
（重慶市競(jìng)賽試題）
8.已知周長小于15的三角形三邊的長都是質(zhì)數(shù)，且其中一邊的長為3，這樣的三角形有（）
A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)
（山東省競(jìng)賽試題）
9.不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長.
（第三十二屆美國邀請(qǐng)賽試題）

10.設(shè)，，均為自然數(shù)，滿足且，試問以，，為三邊長的三角形有多少個(gè)？

11.銳角三角形用度數(shù)來表示時(shí)，所有角的度數(shù)為正整數(shù)，最小角的度數(shù)是最大角的度數(shù)的，求滿足此條件的所有銳角三角形的度數(shù).
（漢城國際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

12.如圖1，A為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，B為軸正半軸上一點(diǎn)，C（0，-2），D（-2，-2）.
（1）求△BCD的面積；
（2）如圖2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交軸于P，交BC于Q.
求證：∠CPQ=∠CQP；
（3）如圖3，若∠ADC=∠DAC，點(diǎn)B在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，∠ACB的平分線交直線AD于E，DF∥AC交軸于F，F(xiàn)M平分∠DFC交DE于M，的值是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.
13.如圖1，，.且，滿足.（1）求A，B的坐標(biāo)；
（2）C為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，D為△BCO中∠BCO的外角平分線與∠COB的平分線的交點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)C，使∠D=∠COB.若存在，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，C為軸正半軸上A的上方一動(dòng)點(diǎn)，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連CP延長交軸于E，
∠CAB和∠CEB平分線交于F，點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中
的值是否發(fā)生變化？若不
變求其值；若變化，求其范圍.