高中概率教案

概率。

概率

（一）事件與概率
1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。
2．了解互斥事件、對立事件的意義及其運算公式.
（二）古典概型
①1.理解古典概型及其概率計算公式.
②2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。
（三）隨機數(shù)與幾何概型
①1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.
②2.了解幾何概型的意義.

概率則是概率論入門，目前的概率知識只是為進一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計打好基礎(chǔ)，做好鋪墊．學(xué)習(xí)中要注意基本概念的理解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結(jié)運用知識解決問題的思維規(guī)律．縱觀近幾年高考，概率的內(nèi)容在選擇、填空解答題中都很有可能出現(xiàn)。
第1課時隨機事件的概率

1．隨機事件及其概率
(1)必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件．
(2)不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件．
(3)隨機事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件．
(4)隨機事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．
(5)概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
2．等可能性事件的概率
(1)基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件．
(2)等可能性事件的概率：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率是．如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率：

例1．1)一個盒子裝有5個白球3個黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個球，求取出的兩個球都是白球的概率；
(2)箱中有某種產(chǎn)品a個正品，b個次品，現(xiàn)有放回地從箱中隨機地連續(xù)抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（）
A．B．C．D．
(3)某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是多少？
解：（1）從袋內(nèi)8個球中任取兩個球共有種不同結(jié)果，從5個白球中取出2個白球有種不同結(jié)果，則取出的兩球都是白球的概率為
（2）（3）
變式訓(xùn)練1.盒中有1個黑球9個白球，它們除顏色不同外，其它沒什么差別，現(xiàn)由10人依次摸出1個球，高第1人摸出的是黑球的概率為P1，第10人摸出是黑球的概率為P10，則（）
A．B．
C．P10＝0D．P10＝P1
解：D
例2.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球，兩甲、乙兩袋中各任取2個球.
(1)若n＝3，求取到的4個球全是紅球的概率；
(2)若取到4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.
解：（1）記“取到的4個球全是紅球”為事件.
（2）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件B1，“取到的4個球全是白球”為事件B2，由題意，得

所以
，化簡，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
變式訓(xùn)練2：在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同．從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：A
例3.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：
(1)取出3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；
(2)計分介于20分到40分之間的概率.
解：（1）“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，
則
（2）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)＋P(“＝4”)＝
變式訓(xùn)練3：從數(shù)字1，2，3，4，5中任取3個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，計算：
①這個三位數(shù)字是5的倍數(shù)的概率；
②這個三位數(shù)是奇數(shù)的概率；
③這個三位數(shù)大于400的概率.
解：⑴⑵⑶
例4.在一次口試中，要從20道題中隨機抽出6道題進行回答，答對了其中的5道就獲得優(yōu)秀，答對其中的4道就可獲得及格．某考生會回答20道題中的8道題，試求：
（1）他獲得優(yōu)秀的概率是多少？
（2）他獲得及格與及格以上的概率有多大？
解：從20道題中隨機抽出6道題的結(jié)果數(shù)，即是從20個元素中任取6個元素的組合數(shù)．由于是隨機抽取，故這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．
(1)記“他答對5道題”為事件，由分析過程已知在這種結(jié)果中，他答對5題的結(jié)果有種，故事件的概率為
(2)記“他至少答對4道題”為事件，由分析知他答對4道題的可能結(jié)果為種，故事件的概率為：
答：他獲得優(yōu)秀的概率為，獲得及格以上的概率為
變式訓(xùn)練4：有5個指定的席位，坐在這5個席位上的人都不知道指定的號碼，當(dāng)這5個人隨機地在這5個席位上就坐時.
(1)求5個人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2)若在這5個人侍在指定位置上的概率不小于，則至多有幾個人坐在自己指定的席位上？
解：（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率，故可考慮2人坐在指定位置上的概率，設(shè)5人中有2人坐在指定位置上為事件B，則，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，則要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合題中條件時，至多2人坐在指定席位上．

1．實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機事件．隨機事件在現(xiàn)實世界中是廣泛存在的．在一次試驗中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當(dāng)在大量重復(fù)試驗下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就叫做這個事件的概率．
2．如果一次試驗中共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率從集合的角度看，一次試驗中等可能出現(xiàn)的所有結(jié)果組成一個集合I，其中事件A包含的結(jié)果組成I的一個子集A，因此從排列、組合的角度看，m、n實際上是某些事件的排列數(shù)或組合數(shù)．因此這種“古典概率”的問題，幾乎使有關(guān)排列組合的計算與概率的計算成為一回事．
3．利用等可能性的概率公式，關(guān)鍵在于尋找基本事件數(shù)和有利事件數(shù)．
第2課時互斥事件有一個發(fā)生的概率

1．的兩個事件叫做互斥事件．
2．的互斥事件叫做對立事件．
3．從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此．事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．
4．由于集合是可以進行運算的，故可用集合表示的事件也能進行某些運算．設(shè)A、B是兩個事件，那么A+B表示這樣一個事件：在同一試驗中，A或B中就表示A+B發(fā)生．我們稱事件A+B為事件A、B的和．它可以推廣如下：“”表示這樣一個事件，在同一試驗中，中即表示發(fā)生，事實上，也只有其中的某一個會發(fā)生．
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于．即P(A+B)＝．
6.由于是一個必然事件，再加上，故，于是，這個公式很有用，常可使概率的計算得到簡化．當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化去求其對立事件的概率．

例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在一次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②不夠7環(huán)的概率.
解：①0.49；②0.03．
變式訓(xùn)練1.一個口袋內(nèi)有9張大小相同的票，其號數(shù)分別是1，2，3，，9，從中任取2張，其號數(shù)至少有1個為偶數(shù)的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：D
例2.袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
（1）3只全是紅球的概率．
（2）3只顏色全相同的概率．
（3）3只顏色不全相同的概率．
（4）3只顏色全不相同的概率．
解：(1)記“3只全是紅球”為事件A．從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會出現(xiàn)種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為．
(2)“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球”(事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C)．故“3只顏色全相同”這個事件為A+B+C，由于事件A、B、C不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件．再由于紅、黃、白球個數(shù)一樣，故不難得，
故．
(3)3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等．考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只顏色全相同”，顯然事件D與是對立事件．

(4)要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只的可能結(jié)果有種，故3只顏色全不相同的概率為
．
變式訓(xùn)練2.從裝有２個紅球和２個黑球的口袋內(nèi)任?。矀€球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）
A．至少有1個黑球與都是黑球
B．至少有1個黑球與至少有1個紅球
C．恰有1個黑球與恰有2個黑球
D．至少有1個黑球與都是紅球
解：C
例3.設(shè)人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一對基因所決定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人是純隱性，具有rd基因的人為混合性，純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的一某一特征，孩子從父母身上各得到一個基因，假定父母都是混合性，問：①1個孩子有顯性決定特征的概率是多少？②2個孩子至少有一個顯性決定特征的概率是多少？
解：①；②
變式訓(xùn)練3.盒中有6只燈泡，其中2只是次品，4只是正品，從其中任取兩只，試求下列事件的概率：
①取到兩只都是次品；
②取到兩只中正品、次品各1只；
③取到兩只中至少有1只正品．
解：⑴⑵⑶
例4.從男女學(xué)生共36名的班級中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機會，如果選得同性委員的概率等于，求男女相差幾名？
解:設(shè)男生有名，則女生有36-名，選得2名委員都是男生的概率為：
選得2名委員都是女生的概率為
以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率是
得：
解得：或
即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．總之，男、女生相差6名．
變式訓(xùn)練4.學(xué)校某班學(xué)習(xí)小組共10小，有男生若干人，女生若干人，現(xiàn)要選出3人去參加某項調(diào)查活動，已知至少有一名女生去的概率為，求該小組男生的人數(shù)？
解：6人

1．互斥事件概率的加法公式、對立事件概率的加法公式，都必須在各個事件彼此互斥的前提下使用．
2．要搞清兩個重要公式：
的運用前提．
3．在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率．
第3課時相互獨立事件同時發(fā)生的概率

1．事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率，這樣的兩個事件叫獨立事件．
2．設(shè)A，B是兩個事件，則A·B表示這樣一個事件：它的發(fā)生，表示事件A，B，類似地可以定義事件A1·A2·……An.
3．兩個相互獨立事件A，B同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)
＝一般地，如果事件相互獨立，那么：P(A1·A2……An)＝.
4．n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是．

例1.如圖所示，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)、，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有1個正常工作時系統(tǒng)正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.8、0.9、0.9，分別求系統(tǒng)、正常工作時的概率．

解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，
由已知條件
(Ⅰ)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)正常工作的概率
故系統(tǒng)正常工作的概率為0.648.
(Ⅱ)系統(tǒng)正常工作的概率
故系統(tǒng)正常工作的概率為0.792．
變式訓(xùn)練1.有甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲地的合格率為90%，乙地的合格率為92%，從兩地生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取1件，都抽到合格品的概率等于（）
A．112%B．9.2%C．82.8%D．0.8%
解：C
例2.箱內(nèi)有大小相同的20個紅球，80個黑球，從中任意取出1個，記錄它的顏色后再放回箱內(nèi)，進行攪拌后再任意取出1個，記錄它的顏色后又放回，假設(shè)三次都是這樣抽取，試回答下列問題：
①求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率；
②求事件B：“三次中恰有一次取出紅球”的概率.
解：（①；②
變式訓(xùn)練2：從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出1個紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個球，則等于（）
A．2個球不都是紅球的概率
B．2個球都是紅球的概率
C．至少有1個紅球的概率
D．2個球中恰好有1個紅球的概率
解：C
例3.兩臺雷達(dá)獨立工作，在一段時間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率是0.9，乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率是0.85，計算在這一段時間內(nèi)，下列各事件的概率：
（1）甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
（2）至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
（3）至多有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)
解：①0.015;②0.985;③0.235
變式訓(xùn)練3：甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率為，甲、乙、丙三人都做對的概率是，甲、乙、丙三人全做錯的概率是．
（1）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做對這一道題的概率．
解：①,或,；②
例4.有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各取一件進行檢驗．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.01）
解:設(shè)三種產(chǎn)品各取一件，抽到的合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C
(Ⅰ)因為事件A、B、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為
答：恰有一件不合格的概率為0.176.
(Ⅱ)解法一：至少有兩件不合格的概率為

答：至少有兩件不合格的概率為0.012.
解法二：三件都合格的概率為：

由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概率為
答：至少有兩件不合格的概率為0.012.
變式訓(xùn)練4.甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.①分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；②從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.
解：①,,；②

1．當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件互相獨立時，才有，故首先要搞清兩個事件的獨立性．
2．獨立重復(fù)試驗在概率論中占有相當(dāng)重要地地位，這種試驗的結(jié)果只有兩種，我們主要研究在n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k次的概率：，其中P是1次試驗中某事件發(fā)生的概率，其實正好是二項式的展開式中的第k+1項，很自然地聯(lián)想起二項式定理．
第4課時離散型隨機變量的分布列

1．如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做，隨機變量通常用希臘字母，等表示．
2．如果隨機變量可能取的值，那么這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
3．從函數(shù)的觀點來看，P(＝xk)＝Pk，k＝1，2，…，n，…稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)或概率分布，這個函數(shù)可以用表示，這個叫做離散型隨機變量的分布列．
4．離散型隨機變量分布列的性質(zhì)
(1)所有變量對應(yīng)的概率值（函數(shù)值）均為非負(fù)數(shù)，即．
(2)所有這些概率值的總和為即．
(3)根據(jù)互斥事件的概率公式，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的
5．二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率，有了這個函數(shù)，就能寫出它的分布列，由于是二項式展開式的通項，所以稱這個分布為二項分布列，記作

例1.袋子中有1個白球和2個紅球．
⑴每次取1個球，不放回，直到取到白球為止．求取球次數(shù)的分布列．
⑵每次取1個球，放回，直到取到白球為止．求取球次數(shù)的分布列．
⑶每次取1個球，放回，直到取到白球為止，但抽取次數(shù)不超過5次．求取球次數(shù)的分布列．
⑷每次取1個球，放回，共取5次．求取到白球次數(shù)的分布列．
解：⑴

＝
＝
所求的分布列是

123

⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是
123……
P……
⑶
12345
P
⑷
∴P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，
其中
∴所求的分布列是
012345
P

變式訓(xùn)練1.是一個離散型隨機變量，其分布列為
-101
則q＝（）
A．1B．
C．D．
解：D
例2.一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列．
解：隨機變量的取值為3，4，5，6從袋中隨機地取3個球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件包含的基本事件總數(shù)為；從而有

∴隨機變量的分布列為：
3456
變式訓(xùn)練2：現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取2粒，記為2粒中優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是.
解：
012
P0.490.420.09
例3.一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時刻有部電話占線，試求隨機變量的概率分布.
解：
01234
0.090.30.370.20.04
變式訓(xùn)練3：將編號為1，2，3，4的賀卡隨意地送給編號為一，二，三，四的四個教師，要求每個教師都得到一張賀卡，記編號與賀卡相同的教師的個數(shù)為，求隨機變量的概率分布.解：
0124
P

1．本節(jié)綜合性強，涉及的概念、公式較多，學(xué)習(xí)時應(yīng)準(zhǔn)確理解這些概念、公式的本質(zhì)內(nèi)涵，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．例如，若獨立重復(fù)試驗的結(jié)果只有兩種（即與，是必然事件），在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率就是二項式展開式中的第項，故此公式稱為二項分布公式；又如兩事件的概率均不為0，1時，“若互斥，則一定不相互獨立”、“若相互獨立，則一定不互斥”等體現(xiàn)了不同概念、公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．
2．運用P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式時，應(yīng)特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清．例如，當(dāng)為相互獨立事件時，運用公式便錯．
3．獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等．
獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．
4．解決概率問題要注意“三個步驟，一個結(jié)合”：
（1）求概率的步驟是：
第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種．
第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件．
第三步，運用公式求得．

（2）概率問題常常與排列組合問題相結(jié)合．
第4課時離散型隨機變量的期望與方差

1．若離散型隨機變量的分布列為
.則稱為的數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
2．對于隨機變量，稱
為的方差．的算術(shù)平方根叫做的標(biāo)準(zhǔn)差．隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的．
3．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差產(chǎn)生的實際背景與初中平均數(shù)及樣本方差這兩個概念有關(guān)．
平均數(shù)：
＝＋＋…
樣本方差：
＝
以上兩式中恰是出現(xiàn)的頻率．這與數(shù)學(xué)期望與方差的定義式一致．
4．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)：若（為隨機變量），則，．
5．服從二項分布的隨機變量的期望與方差：若,則

例1．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)．
①求的分布列；
②求的數(shù)學(xué)期望；
③求“所選3人中女生人數(shù)≤1”的概率.
解：①
012
P

②E＝1
③
變式訓(xùn)練1：如果袋中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望＝（）
A．B．
C．D．
解：B
例2拋擲兩個骰子,當(dāng)至少有一個5點或6點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,求在30次試驗中成功次數(shù)的期望和方差.
解:,其中.所以
變式訓(xùn)練2：布袋中有大小相同的4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設(shè)取到一只紅球得1分，取到一只黑球得3分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
解：
例3甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下表：
射手甲
擊中環(huán)數(shù)8910
概率0.60.2
射手乙
擊中環(huán)數(shù)8910
概率0.40.4
用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平．
解：

∴甲乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值相等，但射手甲所得環(huán)數(shù)比較集中，射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，射手甲射擊水平較穩(wěn)定．
變式訓(xùn)練3：某商場根據(jù)天氣預(yù)報來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是在商場外開展促銷活動，統(tǒng)計資料表明，每年五一節(jié)商場內(nèi)的促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2.5萬元，商場外的促銷活動如果不遇到有雨天可獲得經(jīng)濟效益12萬元，如果促銷活動遇到有雨天，則帶來經(jīng)濟損失5萬元，4月30號氣象臺預(yù)報五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問商場應(yīng)該采取哪種促銷方式？
解：采用場外促銷方式
例4某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，可造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用．單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后，此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用，聯(lián)合采用或不采用，試確定預(yù)防方案使總費用最少．（總費用＝采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）.
解：聯(lián)合甲、乙，總費用最少為81萬元
變式訓(xùn)練4：假設(shè)1部機器在1天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時，全天停止工作，若1周的5個工作日里無故障，可獲得利潤10萬元，發(fā)生1次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生2次故障所獲利潤為0；發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元，求1周的期望利潤是多少？（精確到0.001）.
解：用隨機變量表示1周5天內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，則服從地一項分布~B(5,0.2)，
從而，
，P(＝2)＝0.205
P(≥3)＝0.057設(shè)為所獲得利潤，則
E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057
＝5.215（萬元）

1．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差，標(biāo)準(zhǔn)差都是離散型隨機變量最重要的數(shù)字特征，它們分別反映了隨機變量取值的平均水平、穩(wěn)定程度、集中與離散的程度．離散型隨機變量的期望與方差都與隨機變量的分布列緊密相連，復(fù)習(xí)時應(yīng)重點記住以下重要公式與結(jié)論：
一般地，若離散型隨機變量的分布列為
………
………
則期望，
方差，
標(biāo)準(zhǔn)差
若，則，這里
概率章節(jié)測試題
一、選擇題
1．已知非空集合A、B滿足AB，給出以下四個命題：
①若任取x∈A，則x∈B是必然事件②若xA，則x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，則x∈A是隨機事件④若xB，則xA是必然事件
其中正確的個數(shù)是()
A、1B、2C、3D、4
2．一射手對同一目標(biāo)獨立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（）
A.B.C.D.
3．設(shè)是離散型隨機變量，，，且，現(xiàn)已知：，，則的值為（）
(A)(B)(C)３(D)
4．福娃是北京2008年第29屆奧運會吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成．甲、乙兩位好友分別從同一組福娃中各隨機選擇一個福娃留作紀(jì)念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個被選中的概率為（）
A．B．C．D．
5．（漢沽一中2008~2009屆月考文9）.面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為()
A.B.C.D.
6．（漢沽一中2008~2009屆月考文9）.面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為()
A.B.C.D.
7．在圓周上有10個等分，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇了3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（）
A.B.C.D.
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準(zhǔn)時到站率為60%，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時到站的概率為（）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨立完成5道自我檢測題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（）
A．B．C．D．
10．從集合中隨機取出6個不同的數(shù)，在這些選法中，第二小的數(shù)為的概率是
A.B.C.D.
二、填空題
11．已知離散型隨機變量的分布列如右表．若，，則，．
12．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為。
13．6位身高不同的同學(xué)拍照，要求分成兩排，每排3人，則后排每人均比其前排的同學(xué)身材要高的概率是_________.
14．從分別寫有的五張卡片中第一次取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片.兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是.
三、解答題
15．將、兩枚骰子各拋擲一次，觀察向上的點數(shù)，問：
（1）共有多少種不同的結(jié)果？
（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？
（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？

16．甲、乙兩人進行摸球游戲，一袋中裝有2個黑球和1個紅球。規(guī)則如下：若一方摸中紅球，將此球放入袋中，此人繼續(xù)摸球；若一方?jīng)]有摸到紅球，將摸到的球放入袋中，則由對方摸彩球?，F(xiàn)甲進行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次紅球的所有情況；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中兩次紅球的概率；
（3）設(shè)是前三次摸球中，甲摸到的紅球的次數(shù)，
求隨機變量的概率分布與期望.

17．某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0，1，2，3四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎．
（1）求中三等獎的概率；
（2）求中獎的概率．

18．將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是.
（1）求小球落入袋中的概率;
（2）在容器入口處依次放入4個小球,記為落入
袋中小球的個數(shù),試求的概率和的數(shù)學(xué)期望.

19．某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29，計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率.

20．學(xué)校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且．
(1)求文娛隊的人數(shù)；
(2)寫出的概率分布列并計算．

21．有甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的測試合格率分別為0.8，0.8和0.6，從三種產(chǎn)品中各抽取一件進行檢驗。
（1）求恰有兩件合格的概率；
（2）求至少有兩件不合格的概率。

22．有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是10%。
（1）連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，求兩件產(chǎn)品均為正品的概率；
（2）對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過4次，求抽查次數(shù)的分布列及期望。

概率章節(jié)測試題答案
一、選擇題
1．解析：①③④正確，②錯誤.
答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C.選C
5．B
6．B
7．答案：C
8．答案：C
9．答案：B
10．答案：B
二、填空題
11．【解析】由題知，，，解得，.
12．解析：如圖可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是
14．答案：
15．解：（1）共有種結(jié)果；
（2）共有12種結(jié)果；
（3）．
16．解:(1)甲紅甲黑乙紅黑均可；甲黑乙黑甲紅。。。
（2）。。。。。。
(3)設(shè)的分布是
0123
P
E=。。。。。。
17．解:設(shè)“中三等獎”的事件為A，“中獎”的事件為B，從四個小球中有放回的取兩個共有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16種不同的方法。
（1）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有4種：
（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）………
故………
（2）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有4種。
兩個小球相加之和等于4的取法有3種：（1，3），（2，2），（3，1）
兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：（2，3），（3，2）,……
由互斥事件的加法公式得
18．解:（1）解法一：記小球落入袋中的概率，則，
由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球?qū)⒙淙氪?，所?br> .…
解法二：由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球?qū)⒙淙氪?
，
（2）由題意，所以有
，
.
19．【解析】記這個射手在一次射擊中“命中10環(huán)或9環(huán)”為事件A，“命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、不夠8環(huán)”分別記為B、C、D、E.
則，，
∵C、D、E彼此互斥，
∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵B與C∪D∪E為對立事件，
∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.
B與C互斥，且A=B∪C，
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=0.24+0.28=0.52.…
答：某射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率為0.52.
20．解：設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數(shù)是（7-2x）人．
(I)∵，
∴．………
即．
∴．
∴x=2．……
故文娛隊共有5人．………………
(II)的概率分布列為
012
P
，……
，…………
∴=1．
21．解：（1）設(shè)從甲、乙、丙三種產(chǎn)品中各抽出一件測試為事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6
則恰有兩件產(chǎn)品合格的概率為

（2）三件產(chǎn)品均測試合格的概率為

由（1）知，恰有一件測試不合格的概率為

所以至少有兩件不合格的概率為

22．解：（1）兩件產(chǎn)品均為正品的概率為

（2）可能取值為1，2，3，4
；；

所以次數(shù)的分布列如下

∴

精選閱讀

《隨機事件的概率》教案

《隨機事件的概率》教案
一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：了解生活中的隨機現(xiàn)象；了解必然事件，不可能事件，隨機事件的概念；理解隨機事件的頻率與概率的含義。

過程與方法目標(biāo)：通過做實驗的過程，理解在大量重復(fù)試驗的情況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)規(guī)律性，進而理解頻率和概率的關(guān)系；通過一系列問題的設(shè)置，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)：滲透偶然寓于必然，事件之間既對立又統(tǒng)一的辯證唯物主義思想；增強學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：根據(jù)隨機事件、必然事伯、不可能事件的概念判斷給定事件的類型，并能用概率來刻畫生活中的隨機現(xiàn)象，理解頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系。

教學(xué)難點：理解隨機事件的頻率定義與概率的統(tǒng)計定義及計算方法，理解頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系。

三、教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件

四、教學(xué)過程

(一)情境設(shè)置，引入課題

相傳古代有個國王，由于崇尚迷信，世代沿襲著一條奇特的法規(guī)：凡是死囚，在臨刑時要抽一次“生死簽”，即在兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣，由執(zhí)法官監(jiān)督，讓犯人當(dāng)眾抽簽，如果抽到“死”字的簽，則立即處死；如果抽到“生”字的簽，則當(dāng)場赦免。

有一次國王決定處死一個敢于“犯上”的大臣，為了不讓這個囚臣得到半點獲赦機會，他與幾個心腹密謀暗議，暗中叮囑執(zhí)法官，把兩張紙上都寫成“死”。

但最后“犯上”的大臣還是獲得赦免，你知道他是怎么做的嗎？

相信聰明的同學(xué)們應(yīng)該知道“犯上”的大臣的聰明之舉：將所抽到的簽吞毀掉，為證明自己抽到“生”字的簽，只需驗證所剩的簽為“死”簽。

我們?nèi)绻麑W(xué)習(xí)了隨機事件的概率，便不難用數(shù)學(xué)的角度來解釋“犯上”的大臣的聰明之舉。下面中公資深講師跟大家來認(rèn)識一下事件的概念。(二)探索研究，理解事件

問題1：下面有一些事件，請同學(xué)們從這些事件發(fā)生與否的角度，分析一下它們各有什么特點？

①“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；

②“拋出一塊石塊，自由下落”；

③“某人射擊一次，中靶”；

④“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度高于0℃時，冰自然融化”；

⑦“某地12月12日下雨”；

⑧“從標(biāo)號分別為1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中，得到1號簽”。

給出定義：

事件：是指在一定條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果。它分為必然事件、不可能事件和隨機事件。

問題2：列舉生活中的必然事件，隨機事件，不可能事件。

問題3：隨機事件在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，在大量重復(fù)試驗下，它是否有一定規(guī)律？

實驗1：學(xué)生分組進行拋硬幣，并比較各組的實驗結(jié)果，引發(fā)猜想。

給出頻數(shù)與頻率的定義
問題4：猜想頻率的取值范圍是什么？

實驗2：計算機模擬拋硬幣，并展示歷史上大量重復(fù)拋硬幣的結(jié)果。

問題5：結(jié)合計算機模擬拋硬幣與歷史上大量重復(fù)拋硬幣的結(jié)果，判斷猜想正確與否。

頻率的性質(zhì)：

1.頻率具有波動性：試驗次數(shù)n不同時，所得的頻率f不一定相同。

2.試驗次數(shù)n較小時，f的波動性較大，隨著試驗次數(shù)n的不斷增大，頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。

概率的定義

事件A的概率：在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率m/n總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)。

概率的性質(zhì)

由定義可知0≤P(A)≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

頻率與概率的關(guān)系

①一個隨機事件發(fā)生于否具有隨機性，但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性，在進行大量的重復(fù)事件時某個事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一。

②不可能事件和確定事件可以看成隨機事件的極端情況。③隨機事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這個擺動的幅度越來越小，而這個接近的某個常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率。

④概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計的結(jié)果。

⑤概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值。

例某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：

(1)填寫表中擊中靶心的頻率；

(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？

問題6：如果某種彩票中獎的概率為1/1000，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？請用概率的意義解釋。

(三)課堂練習(xí)，鞏固提高

1.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是()

A.必然事件B.隨機事件

C.不可能事件D.無法確定

2.下列說法正確的是()

A.任一事件的概率總在(0.1)內(nèi)

B.不可能事件的概率不一定為0

C.必然事件的概率一定為1

D.以上均不對

3.下表是某種油菜子在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果表，請完成表格并回答題。

(1)完成上面表格：

(2)該油菜子發(fā)芽的概率約是多少？4.生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預(yù)報說昨天降水概率為90%，結(jié)果根本一點雨都沒下，天氣預(yù)報也太不準(zhǔn)確了?！睂W(xué)了概率后，你能給出解釋嗎？

(四)課堂小節(jié)

概率是一門研究現(xiàn)實世界中廣泛存在的隨機現(xiàn)象的科學(xué)，正確理解概率的意義是認(rèn)識、理解現(xiàn)實生活中有關(guān)概率的實例的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有意識形成概率意識，并用這種意識來理解現(xiàn)實世界，主動參與對事件發(fā)生的概率的感受和探索。

五、板書設(shè)計

六、教學(xué)反思

略。

25.1.2概率的意義

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？小編特地為大家精心收集和整理了“25.1.2概率的意義”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

課題:25.1.2概率的意義
教學(xué)目標(biāo):
〈一〉知識與技能
1.知道通過大量重復(fù)試驗時的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計值
2.在具體情境中了解概率的意義
〈二〉教學(xué)思考
讓學(xué)生經(jīng)歷猜想試驗--收集數(shù)據(jù)--分析結(jié)果的探索過程，豐富對隨機現(xiàn)象的體驗，體會概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.初步理解頻率與概率的關(guān)系.
〈三〉解決問題
在分組合作學(xué)習(xí)過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生合作交流的意識與能力.鍛煉質(zhì)疑、獨立思考的習(xí)慣與精神，幫助學(xué)生逐步建立正確的隨機觀念.
〈四〉情感態(tài)度與價值觀
在合作探究學(xué)習(xí)過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲.體驗數(shù)學(xué)的價值與學(xué)習(xí)的樂趣.通過概率意義教學(xué)，滲透辯證思想教育.
【教學(xué)重點】在具體情境中了解概率意義.
【教學(xué)難點】對頻率與概率關(guān)系的初步理解
【教具準(zhǔn)備】壹元硬幣數(shù)枚、圖釘數(shù)枚、多媒體課件
【教學(xué)過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境，引出問題
教師提出問題：周末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強與小明都是班里的籃球迷，兩人都想去.我很為難，真不知該把球給誰.請大家?guī)臀蚁雮€辦法來決定把球票給誰.
學(xué)生：抓鬮、抽簽、猜拳、投硬幣，……
教師對同學(xué)的較好想法予以肯定.（學(xué)生肯定有許多較好的想法，在眾多方法中推舉出大家較認(rèn)可的方法.如抓鬮、投硬幣）
追問，為什么要用抓鬮、投硬幣的方法呢？
由學(xué)生討論：這樣做公平.能保證小強與小明得到球票的可能性一樣大
在學(xué)生討論發(fā)言后，教師評價歸納.
用拋擲硬幣的方法分配球票是個隨機事件，盡管事先不能確定“正面朝上”還上“反面朝上”，但同學(xué)們很容易感覺到或猜到這兩個隨機事件發(fā)生的可能性是一樣的，各占一半，所以小強、小明得到球票的可能性一樣大.
質(zhì)疑：那么，這種直覺是否真的是正確的呢？
引導(dǎo)學(xué)生以投擲壹元硬幣為例，不妨動手做投擲硬幣的試驗來驗證一下.
說明：現(xiàn)實中不確定現(xiàn)象是大量存在的，新課標(biāo)指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義、富有挑戰(zhàn)的”，設(shè)置實際生活問題情境貼近學(xué)生的生活實際，很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教師應(yīng)對此予以肯定，并鼓勵學(xué)生積極思考，為課堂教學(xué)營造民主和諧的氣氛，也為下一步引導(dǎo)學(xué)生開展探索交流活動打下基礎(chǔ).
二、動手實踐，合作探究
1．教師布置試驗任務(wù).
（1）明確規(guī)則.
把全班分成10組，每組中有一名學(xué)生投擲硬幣，另一名同學(xué)作記錄，其余同學(xué)觀察試驗必須在同樣條件下進行.
（2）明確任務(wù)，每組擲幣50次，以實事求是的態(tài)度，認(rèn)真統(tǒng)計“正面朝上”的頻數(shù)及“正面朝上”的頻率，整理試驗的數(shù)據(jù),并記錄下來..
2．教師巡視學(xué)生分組試驗情況.
注意：
（1）．觀察學(xué)生在探究活動中，是否積極參與試驗活動、是否愿意交流等，關(guān)注學(xué)生是否積極思考、勇于克服困難.
（2）．要求真實記錄試驗情況.對于合作學(xué)習(xí)中有可能產(chǎn)生的紀(jì)律問題予以調(diào)控.
3.各組匯報實驗結(jié)果.
由于試驗次數(shù)較少，所以有可能有些組試驗獲得的“正面朝上”的頻率與先前的猜想有出入.
提出問題：是不是我們的猜想出了問題？引導(dǎo)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因.
在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因.使學(xué)生認(rèn)識到每次隨機試驗的頻率具有不確定性，同時相信隨機事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性，引導(dǎo)他們小組合作，進一步探究.
解決的辦法是增加試驗的次數(shù)，鑒于課堂時間有限，引導(dǎo)學(xué)生進行全班交流合作.
4．全班交流.
把各組測得數(shù)據(jù)一一匯報，教師將各組數(shù)據(jù)記錄在黑板上.全班同學(xué)對數(shù)據(jù)進行累計，按照書上P140要求填好25-2.并根據(jù)所整理的數(shù)據(jù)，在25.1-1圖上標(biāo)注出對應(yīng)的點,完成統(tǒng)計圖.

表25-2
拋擲次數(shù)50100150200250300350400450500
“正面向上”的頻數(shù)
“正面向上”的頻率

想一想1（投影出示）.觀察統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖，你發(fā)現(xiàn)“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？
注意學(xué)生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵.“正面朝上”的頻率在0.5上下波動.
想一想2（投影出示）
隨著拋擲次數(shù)增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規(guī)律？
在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師幫助歸納.使學(xué)生認(rèn)識到每次試驗中隨機事件發(fā)生的頻率具有不確定性，同時發(fā)現(xiàn)隨機事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性.在試驗次數(shù)較少時，“正面朝上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數(shù)的逐漸增加，一般地，頻率會趨于穩(wěn)定，“正面朝上”的頻率越來越接近0.5.這也與我們剛開始的猜想是一致的.我們就用0.5這個常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可能性的大小.
說明：注意幫助解決學(xué)生在填寫統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖遇到的困難.通過以上實踐探究活動，讓學(xué)生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，即大量重復(fù)試驗事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大?。ǜ怕剩?鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中要積極合作交流，思考探究.學(xué)會傾聽別人意見，勇于表達(dá)自己的見解.

為了給學(xué)生提供大量的、快捷的試驗數(shù)據(jù),利用計算機模擬擲硬幣試驗的課件，豐富學(xué)生的體驗、提高課堂教學(xué)效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗結(jié)果的規(guī)律性--大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近.
其實，歷史上有許多著名數(shù)學(xué)家也做過擲硬幣的試驗.讓學(xué)生閱讀歷史上數(shù)學(xué)家做擲幣試驗的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（看書P141表25-3）.
表25-3
試驗者拋擲次數(shù)（n）“正面朝上”次數(shù)（m）“正面向上”頻率（m/n）
棣莫弗204810610.518
布豐404020480.5069
費勒1000049790.4979
皮爾遜1200060190.5016
皮爾遜24000120120.5005

通過以上學(xué)生親自動手實踐,電腦輔助演示,歷史材料展示,讓學(xué)生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近,即大量重復(fù)試驗事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大?。ǜ怕剩?同時,又感受到無論試驗次數(shù)多么大,也無法保證事件發(fā)生的頻率充分地接近事件發(fā)生的概率.
在探究學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)注意評價學(xué)生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中不怕困難積極思考，敢于表達(dá)自己的觀點與感受,養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度.
5.下面我們能否研究一下“反面向上”的頻率情況？
學(xué)生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易總結(jié)得出：“反面向上”的頻率也相應(yīng)穩(wěn)定到0.5.
教師歸納：
（1）由以上試驗，我們驗證了開始的猜想，即拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強得到球票的可能性一樣.
（2）在實際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法來決定雙方的比賽場地等等.
說明：這個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了猜想試驗——收集數(shù)據(jù)——分析結(jié)果的探索過程，在真實數(shù)據(jù)的分析中形成數(shù)學(xué)思考，在討論交流中達(dá)成知識的主動建構(gòu)，為下一環(huán)節(jié)概率意義的教學(xué)作了很好的鋪墊.
三、評價概括，揭示新知
問題1.通過以上大量試驗，你對頻率有什么新的認(rèn)識？有沒有發(fā)現(xiàn)頻率還有其他作用？
學(xué)生探究交流.發(fā)現(xiàn)隨機事件的可能性的大小可以用隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的值（或常數(shù)）估計或去描述.
通過猜想試驗及探究討論，學(xué)生不難有以上認(rèn)識.對學(xué)生可能存在語言上、描述中的不準(zhǔn)確等注意予以糾正，但要求不必過高.
歸納：以上我們用隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機事件的可能性的大小.
那么我們給這樣的常數(shù)一個名稱，引入概率定義.給出概率定義（板書）：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率（probability）,記作P（A）=p.
注意指出：
1．概率是隨機事件發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映.
2．概率是事件在大量重復(fù)試驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同.
想一想(學(xué)生交流討論)
問題2．頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系?
從定義可以得到二者的聯(lián)系,可用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生頻率來估計事件發(fā)生的概率.另一方面,大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)(事件發(fā)生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數(shù)而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.
說明：猜想試驗、分析討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式十分有益于學(xué)生對概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)課教學(xué)重難點得以突破.為下節(jié)課進一步研究概率和今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).當(dāng)然，學(xué)生隨機觀念的養(yǎng)成是循序漸進的、長期的.這節(jié)課教學(xué)應(yīng)把握教學(xué)難度，注意關(guān)注學(xué)生接受情況.
四．練習(xí)鞏固，發(fā)展提高.
學(xué)生練習(xí)
1．書上P143.練習(xí).1.鞏固用頻率估計概率的方法.
2．書上P143.練習(xí).2鞏固對概率意義的理解.
教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生對知識掌握情況，幫助學(xué)生解決遇到的問題.
五．歸納總結(jié)，交流收獲：
1．學(xué)生互相交流這節(jié)課的體會與收獲，教師可將學(xué)生的總結(jié)與板書串一起，使學(xué)生對知識掌握條理化、系統(tǒng)化.
2．在學(xué)生交流總結(jié)時，還應(yīng)注意總結(jié)評價這節(jié)課所經(jīng)歷的探索過程，體會到的數(shù)學(xué)價值與合作交流學(xué)習(xí)的意義.
【作業(yè)設(shè)計】
（1）完成P144習(xí)題25.12、4
（2）課外活動分小組活動，用試驗方法獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的概率.
課后教學(xué)反思：

頻率與概率教案

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師能夠井然有序的進行教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供頻率與概率教案，歡迎您參考，希望對您有所助益！

概率統(tǒng)計的解題技巧

(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
[考查目的]本題主要考查運用排列和概率知識,以及分步計數(shù)原理解決問題的能力,以及推理和運算能力.
[解答提示]從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有種,左邊4本恰好都屬于同一部小說的的排列方法有種.所以,將符合條件的長篇小說任意地排成一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是種.所以,填.
例8.(2006年浙江卷)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個紅球,2個白球;乙袋裝有2個紅球,n個白球.由甲,乙兩袋中各任取2個球.
(Ⅰ)若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率;(Ⅱ)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為,求n.
[考查目的]本題主要考查排列組合、概率等基本知識,同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答](I)記取到的4個球全是紅球為事件.
(II)記取到的4個球至多有1個紅球為事件,取到的4個球只有1個紅球為事件,取到的4個球全是白球為事件.
由題意,得
所以,,
化簡,得解得,或(舍去),
故.
例9.(2007年全國I卷文)
某商場經(jīng)銷某商品,顧客可采用一次性付款或分期付款購買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷一件該商品,若顧客采用一次性付款,商場獲得利潤200元;若顧客采用分期付款,商場獲得利潤250元.
(Ⅰ)求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顧客每人購買1件該商品,商場獲得利潤不超過650元的概率.
[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗等的概率計算,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.
[解答過程](Ⅰ)記表示事件:位顧客中至少位采用一次性付款,則表示事件:位顧客中無人采用一次性付款.
,.
(Ⅱ)記表示事件:位顧客每人購買件該商品,商場獲得利潤不超過元.
表示事件:購買該商品的位顧客中無人采用分期付款.
表示事件:購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款.
則.
,.
.
例10.(2006年北京卷)某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.
方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;
方案二:在三門課程中,隨機選取兩門,這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率;
(Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)
[考查目的]本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和對立事件的概率,以及不等式等基本知識,同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答]記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,
則P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(Ⅰ)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率
p1=P(A·B·)P(·B·C)P(A··C)P(A·B·C)
=a×b×(1-c)(1-a)×b×ca×(1-b)×ca×b×c=abbcca-2abc.
應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率
p2=P(A·B)P(B·C)P(A·C)=×(a×bb×cc×a)=(abbcca)
(Ⅱ)p1-p2=abbcca-2abc-(abbcca)=(abbcca-3abc)
≥=.
∴p1≥p2
例11.(2007年陜西卷文)
某項選拔共有四輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(Ⅰ)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求該選手至多進入第三輪考核的概率.(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)
[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率計算,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.
[解答過程](Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,,,
該選手進入第四輪才被淘汰的概率.
(Ⅱ)該選手至多進入第三輪考核的概率
.
考點2離散型隨機變量的分布列
1.隨機變量及相關(guān)概念
①隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,這樣的變量叫做隨機變量,常用希臘字母ξ、η等表示.
②隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.
2.離散型隨機變量的分布列
①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)
一般地,設(shè)離散型隨機變量可能取的值為,,……,,……,取每一個值(1,2,……)的概率P()=,則稱下表.
…
…
PP1P2…
…
為隨機變量的概率分布,簡稱的分布列.
由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì):
(1),1,2,…;(2)…=1.
②常見的離散型隨機變量的分布列:
(1)二項分布
次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量,其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且,其中,,隨機變量的分布列如下:
01…
…P
…
稱這樣隨機變量服從二項分布,記作,其中、為參數(shù),并記:.
(2)幾何分布
在獨立重復(fù)試驗中,某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量,表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.
隨機變量的概率分布為:
123…k…
Ppqp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.
(Ⅰ)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.
(Ⅱ)該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為,求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)
[考查目的]本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算,考察隨機事件的分布列,數(shù)學(xué)期望等,考察運用所學(xué)知識與方法解決實際問題的能力.
[解答過程]解法一:(Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,,
該選手被淘汰的概率
.
(Ⅱ)的可能值為,,
,
.
的分布列為
123
.
解法二:(Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,.
該選手被淘汰的概率.
(Ⅱ)同解法一.
考點3離散型隨機變量的期望與方差
隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差
(1)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望:…;期望反映隨機變量取值的平均水平.
⑵離散型隨機變量的方差:……;
方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.
⑶基本性質(zhì):;.
(4)若~B(n,p),則;D=npq(這里q=1-p);
如果隨機變量服從幾何分布,,則,D=其中q=1-p.
例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ε、η,ε和η的分布列如下:
ε012η012
P
P
則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.
思路啟迪:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即期望;二是要看出次品數(shù)的波動情況,即方差值的大小.
解答過程:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為:
,
;
工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為:
,
由Eε=Eη知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但DεDη,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.
小結(jié):期望反映隨機變量取值的平均水平;方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.
例15.(2007年全國I理)
某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)的分布列為
12345
0.40.20.20.10.1
商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.
(Ⅰ)求事件:購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.
[考查目的]本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識.考查運用概率知識解決實際問題的能力.
[解答過程](Ⅰ)由表示事件購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款.
知表示事件購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款
,.
(Ⅱ)的可能取值為元,元,元.
,
,
.
的分布列為
(元).
小結(jié):離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.本題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運用概率知識解決實際問題的能力.
例16.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分,方差為75,后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤,甲實得80分卻記為50分,乙實得70分卻記為100分,更正后平均分和方差分別是
A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25
解答過程:易得沒有改變,=70,
而s2=[(x12x22…5021002…x482)-482]=75,
s′2=[(x12x22…802702…x482)-482]
=[(75×48482-1250011300)-482]
=75-=75-25=50.
答案:B
考點4抽樣方法與總體分布的估計
抽樣方法
1.簡單隨機抽樣:設(shè)一個總體的個數(shù)為N,如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.
2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個數(shù)較多時,可將總體分成均衡的幾個部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機械抽樣).
3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時,常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣.
總體分布的估計
由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布,一般地,樣本容量越大,這種估計就越精確.
總體分布:總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.
當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時,其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示,幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.
當(dāng)總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布.
總體密度曲線:當(dāng)樣本容量無限增大,分組的組距

典型例題
例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.
解答過程:A種型號的總體是,則樣本容量n=.
例18.一個總體中有100個個體,隨機編號0,1,2,…,99,依編號順序平均分成10個小組,組號依次為1,2,3,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為,那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同,若,則在第7組中抽取的號碼是.
解答過程:第K組的號碼為,,…,,當(dāng)m=6時,第k組抽取的號的個位數(shù)字為mk的個位數(shù)字,所以第7組中抽取的號碼的個位數(shù)字為3,所以抽取號碼為63.
例19.考查某校高三年級男生的身高,隨機抽取40名高三男生,實測身高數(shù)據(jù)(單位:cm)如下:
171163163166166168168160168165
171169167169151168170160168174
165168174159167156157164169180
176157162161158164163163167161
⑴作出頻率分布表;⑵畫出頻率分布直方圖.
思路啟迪:確定組距與組數(shù)是解決總體中的個體取不同值較多這類問題的出發(fā)點.
解答過程:⑴最低身高為151,最高身高180,其差為180-151=29。確定組距為3,組數(shù)為10,列表如下:
⑵頻率分布直方圖如下:
小結(jié):合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù),才能準(zhǔn)確地制表及繪圖,這是用樣本的頻率分布估計總體分布的基本功.
估計總體分布的基本功。
考點5正態(tài)分布與線性回歸
1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)
(1)正態(tài)分布的概念
如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為,x其中、為常數(shù),并且0,則稱服從正態(tài)分布,記為(,).
(2)期望E=μ,方差.
(3)正態(tài)分布的性質(zhì)
正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):
①曲線在x軸上方,并且關(guān)于直線x=μ對稱.
②曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低.
③曲線的對稱軸位置由μ確定;曲線的形狀由確定,越大,曲線越矮胖;反之越高瘦.
(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
當(dāng)=0,=1時服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作(0,1)
(5)兩個重要的公式
①,②.
(6)與二者聯(lián)系.
①若,則;
②若,則.
2.線性回歸
簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.
變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.
具體說來,對n個樣本數(shù)據(jù)(),(),…,(),其回歸直線方程,或經(jīng)驗公式為:.其中,其中分別為||、||的平均數(shù).
例20.如果隨機變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,則P(-1ξ≤1=等于()
A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4)D.Φ(-4)-Φ(-2)
解答過程:對正態(tài)分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
例21.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃,液體的溫度ξ(單位:℃)是一個隨機變量,且ξ~N(d,0.52).
(1)若d=90°,則ξ89的概率為;
(2)若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99,則d至少是?(其中若η~N(0,1),則Φ(2)=P(η2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η-2.327)=0.01).
思路啟迪:(1)要求P(ξ89)=F(89),
∵ξ~N(d,0.5)不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,而給出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.
(2)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答過程:(1)P(ξ89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d滿足0.99≤P(ξ≥80),
即1-P(ξ80)≥1-0.01,∴P(ξ80)≤0.01.
∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327).
∴≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少為81.1635.
小結(jié):(1)若ξ~N(0,1),則η=~N(0,1).(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù),x0時,f(x)為增函數(shù),x0時,f(x)為減函數(shù).
例22.設(shè),且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為:,x∈R.
(1)則μ,σ是;(2)則及的值是.
思路啟迪:根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,對照已知函數(shù)求出μ和σ.利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)概率間的關(guān)系,將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決.
解答過程:⑴由于,根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式,可知μ=1,,故X~N(1,2).
.
又
.
小結(jié):通過本例可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).
例23.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(單位:cm),則車門應(yīng)設(shè)計的高度是(精確到1cm)?
思路啟迪:由題意可知,求的是車門的最低高度,可設(shè)其為xcm,使其總體在不低于x的概率小于1%.
解答過程:設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm,由題意,需使P(ε≥x)1%.
∵ε~N(173,7),∴。查表得,解得x179.16,即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計為180cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.
【專題訓(xùn)練與高考