小學(xué)三角形教案

高二數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形教案）。

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)規(guī)劃教案課件。認(rèn)真做好教案課件的工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們了解多少教案課件范文呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形教案）”僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。
2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。
3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
（二）教學(xué)重、難點
重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。
難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。
（三）學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：，接著就一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。
教學(xué)用具：直尺、投影儀、計算器
（四）教學(xué)設(shè)想
[創(chuàng)設(shè)情景]
如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。A
思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否
用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？CB

[探索研究](圖1．1-1)
在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,A
則bc
從而在直角三角形ABC中，CaB
(圖1．1-2)
思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？
（由學(xué)生討論、分析）
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C
同理可得，ba
從而AcB
(圖1．1-3)
思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
（證法二）：過點A作，C
由向量的加法可得
則AB
∴
∴，即
同理，過點C作，可得
從而
類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）
從上面的研探過程，可得以下定理
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；
（2）等價于，，
從而知正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。JaB88.cOM

[例題分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，
；
根據(jù)正弦定理，
；
根據(jù)正弦定理，
評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。
解：根據(jù)正弦定理，
因為＜＜，所以，或
⑴當(dāng)時，
，
⑵當(dāng)時，
，
評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。
[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k0)使,
證明出
解：設(shè)
則有，，
從而==
又，所以=2
評述：在ABC中，等式
恒成立。
[補充練習(xí)]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：
①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；
②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

相關(guān)推薦

解斜三角形

5.4解斜三角形

●知識梳理
1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）
2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
特別提示
兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例.另外，解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.
●點擊雙基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等邊三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______.
解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論
（1）該題若用余弦定理如何解決?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因為A、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.
（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決?
解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因為∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.
【例2】已知銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.
評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，則=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有兩值.
答案：C
培養(yǎng)能力
6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面積的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求的取值范圍.
解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范圍為［，］.
探究創(chuàng)新
9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）
解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.
因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.
則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時，“=”成立.
所以當(dāng)a=b==10時，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點10km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）.
●思悟小結(jié)
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉(zhuǎn)化.
5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長.
6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補.
●教師下載中心
教學(xué)點睛
1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計算進一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力.
2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.
拓展題例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，y=cotA+.
（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故當(dāng)A=B=C=時，ymin=.
評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判斷這個三角形的形狀.
分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
評述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.

第1章解三角形復(fù)習(xí)教案

教學(xué)設(shè)計
整體設(shè)計
教學(xué)分析
首先了解新課標(biāo)對本章的定位．解三角形作為三角系列的最后一章，突出了基礎(chǔ)性、選擇性與時代性．本章重在研究三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系，如正弦定理、余弦定理等．正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本質(zhì)，成為解三角形的主要工具．
本章的數(shù)學(xué)思想方法是一條看不見的暗線，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓．在初中，教科書著重從空間形式定性地討論三角形中線段與角之間的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，從而較清晰地解決了三角形的確定性問題．本章對兩個定理的推導(dǎo)引入中十分強調(diào)這一量化思想方法，并選擇了更有教育價值的正弦定理和余弦定理的證明方法．本章中融合了學(xué)生已學(xué)過的大部分幾何知識，將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何背景，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想，進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)．
三維目標(biāo)
1．熟練掌握三角形中的邊角關(guān)系．
2．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求對全章有一個清晰的認(rèn)識，熟練掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識在實際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實際問題向解斜三角形類型問題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力．
3．注重思維引導(dǎo)及方法提煉，展現(xiàn)學(xué)生的主體作用，關(guān)注情感的積極體驗，加強題后反思環(huán)節(jié)，提升習(xí)題效率，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的熱情、興趣和信心．
重點難點
教學(xué)重點：掌握正、余弦定理及其推導(dǎo)過程并且能用它們解斜三角形．
教學(xué)難點：正弦定理、余弦定理的靈活運用，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并正確地解出這個數(shù)學(xué)問題．
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
(直接引入)本節(jié)課我們將對全章的知識、方法進行系統(tǒng)的歸納總結(jié)；系統(tǒng)掌握解三角形的方法與技巧．由此展開新課的探究．
推進新課
新知探究
提出問題
1本章我們學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容？請畫出本章的知識結(jié)構(gòu)圖
2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些應(yīng)用？
3在解三角形時應(yīng)用兩個定理要注意些什么問題？若求一個三角形的角時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎樣選擇較好？
4本章中解三角形的知識主要應(yīng)用于怎樣的一些問題？
5總結(jié)從初中到高中測量河流寬度和物體高度的方法.
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生畫出本章知識框圖，教師打出課件演示：
從圖中我們很清晰地看出本章我們學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理以及應(yīng)用這兩個定理解三角形，由于本章內(nèi)容實踐性很強，之后又重點研究了兩個定理在測量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用．教師與學(xué)生一起回憶正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及應(yīng)用如下：
正弦定理、余弦定理：
asinA＝bsinB＝csinC，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
正弦定理、余弦定理的應(yīng)用：
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題．
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)．
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題．
①已知三邊，求三個角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．
在求解一個三角形時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要盡量選擇運算量較小，不產(chǎn)生討論的方法求解．若求邊，盡量用正弦定理；若求角，盡量用余弦定理．
除了正弦定理、余弦定理外，我們還學(xué)習(xí)了三角形面積公式S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，利用它我們可以解決已知兩邊及其夾角求三角形的面積．
教師利用多媒體投影演示課件如下：

解斜三角形時可用的
定理和公式適用類型備注
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝b2＋a2－2bacosC(1)已知三邊
(2)已知兩邊及其夾角類型(1)(2)有解時只有一解
正弦定理
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
(3)已知兩角和一邊
(4)已知兩邊及其中一邊的對角類型(3)在有解時只有一解，類型(4)可有兩解、一解和無解
三角形面積公式
S＝12bcsinA
＝12acsinB
＝12absinC
(5)已知兩邊及其夾角

教師點撥學(xué)生，以上這些知識與初中的邊角關(guān)系、勾股定理等內(nèi)容構(gòu)成三角形內(nèi)容的有機整體．實際上，正弦定理只是初中“三角形中大角對大邊，小角對小邊”的邊角關(guān)系的量化．余弦定理是初中“已知兩邊及其夾角，則這兩個三角形全等”的量化，又是勾股定理的推廣．本章的應(yīng)用舉例也是在初中學(xué)習(xí)的一些簡單測量的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了正弦定理、余弦定理解關(guān)于斜三角形的問題．
在應(yīng)用兩個定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題時，需注意以下幾點：
①在利用正弦定理求角時，由于正弦函數(shù)在(0，π)內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào)，所以角的個數(shù)可能不唯一，這時應(yīng)注意借助已知條件加以檢驗，務(wù)必做到不漏解，不多解．
②在運用正弦定理與余弦定理進行有關(guān)三角形內(nèi)角證明時，余弦定理會省去取舍的麻煩，但同時要注意在根據(jù)三角函數(shù)求角時，應(yīng)先確定其范圍．
③在進行邊角，角邊轉(zhuǎn)換時，注意運用正弦定理和余弦定理的變形形式．
討論結(jié)果：
(1)、(2)、(5)略．
(3)在應(yīng)用兩個定理求解時，注意與平面幾何知識的融合．若求解一個三角形時兩個定理都可用，則求邊宜選正弦定理，求角宜選余弦定理，但要具體問題具體分析，從中選擇最優(yōu)解法．
(4)本章知識主要應(yīng)用測量、航海、建筑等在日常生活中與三角形有關(guān)的問題．
應(yīng)用示例
例1判斷滿足下列條件的三角形形狀．
(1)acosA＝bcosB；
(2)sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB.
活動：教師與學(xué)生一起探究判定三角形形狀的方法有哪些．學(xué)生思考后可得出確定三角形的形狀主要有兩條途徑：(1)化邊為角，(2)化角為邊．鼓勵學(xué)生盡量一題多解，比較各種解法的優(yōu)劣．
解：(1)方法一：用余弦定理，得a×b2＋c2－a22bc＝b×c2＋a2－b22ca.
∴c2(a2－b2)＝a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴三角形是等腰三角形或直角三角形．
方法二：用正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
因此三角形為等腰三角形或直角三角形．
(2)方法一：先用正弦定理，可得c＝a＋bcosA＋cosB，即ccosA＋ccosB＝a＋b.
再用余弦定理，得cb2＋c2－a22bc＋ca2＋c2－b22ac＝a＋b.
化簡并整理，得a3＋b3＋a2b＋ab2－ac2－bc2＝0，
(a＋b)(a2＋b2－c2)＝0.
∵a＞0，b＞0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
∴三角形為直角三角形．
方法二：∵sinA＝sin(B＋C)，sinB＝sin(A＋C)，
∴原式可化為sinCcosA＋cosBsinC
＝sinA＋sinB＝sin(B＋C)＋sin(A＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC＋sinAcosC＋cosAsinC.
∴sinBcosC＋sinAcosC＝0，
即cosC(sinA＋sinB)＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴sinA＋sinB≠0.∴cosC＝0.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.∴三角形為直角三角形．
點評：第(1)題中的第2種解法得出sin2A＝sin2B時，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.這樣就漏掉了一種情況，因為sin2A＝sin2B中有可能推出2A與2B兩角互補，這點應(yīng)引起學(xué)生注意．第(2)題中繞開正、余弦定理通過三角函數(shù)值的符號判定也是一種不錯的選擇，但學(xué)生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)等常見結(jié)論對解三角形大有益處．
變式訓(xùn)練
△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若a＝52b，A＝2B，則cosB等于()
A.53B.54C.55D.56
答案：B
解析：由題意得ab＝52＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，cosB＝54.

例2在△ABC中，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，求tanC的值．
活動：本題涉及三角形的面積，面積公式又是以三角形的三邊a、b、c的形式給出，從哪里入手考慮呢？教師可先讓學(xué)生自己探究，學(xué)生可能會想到將三角形面積公式代入已知條件，但三角形面積公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA有三個，代入哪一個呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？顯然思路不明．這時教師適時點撥可否化簡等式右邊呢？這樣右邊為(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，這就出現(xiàn)了目標(biāo)角C，思路逐漸明朗，由此得到題目解法．
解：由已知，得(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab
＝2abcosC＋2ab＝2×12absinC.
∴2(1＋cosC)＝sinC，
2×2cos2C2＝2sinC2cosC2.
∵0°＜C＜180°，∴0°＜C2＜90°，即cosC2≠0.
∴tanC2＝2.∴tanC＝2tanC21－tan2C2＝41－4＝－43.
點評：通過對本題的探究，讓學(xué)生認(rèn)識到拿到題目后不能盲目下手，應(yīng)先制定解題策略，尋找解題切入口．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，tanA＝14，tanB＝35.
(1)求角C的大小；
(2)若AB邊的長為17，求BC邊的長．
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－14＋351－14×35＝－1.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝135°.
(2)∵tanA＝sinAcosA＝14，sin2A＋cos2A＝1,0°＜A＜90°，
∴sinA＝1717.
由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，∴BC＝ABsinAsinC＝2.

例3將一塊圓心角為120°，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值．
活動：本題是北京西城區(qū)的一道測試題，解題前教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面解決實際問題的方法步驟，讓學(xué)生清晰認(rèn)識到解決本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來解決．

解：

按圖(1)的裁法：矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)∠MOA＝θ，則|MP|＝20sinθ，|OP|＝20cosθ，從而S＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即當(dāng)θ＝π4時，Smax＝200.
按圖(2)的裁法：矩形的一邊PQ與弦AB平行，設(shè)∠MOQ＝θ，在△MOQ中，∠OQM＝90°＋30°＝120°，
(1)
(2)
由正弦定理，得|MQ|＝20sinθsin120°＝4032sinθ.
又因為|MN|＝2|OM|sin(60°－θ)＝40sin(60°－θ)，
所以S＝|MQ||MN|＝160033sinθsin(60°－θ)
＝160033{－12[cos60°－cos(2θ－60°)]}＝80033[cos(2θ－60°)－cos60°]．
所以當(dāng)θ＝30°時，Smax＝40033.
由于40033＞200，所以用第二種裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為40033cm2.
點評：正弦定理、余弦定理在測量(角度、距離)、合理下料、設(shè)計規(guī)劃等方面有廣泛應(yīng)用．從解題過程來看，關(guān)鍵是要找出或設(shè)出角度，實質(zhì)是解斜三角形，將問題涉及的有關(guān)量集中在某一個或者幾個三角形中，靈活地運用正弦定理、余弦定理來加以解決．
變式訓(xùn)練
設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.
(1)求邊長a；
(2)若△ABC的面積S＝10，求△ABC的周長l.
解：(1)由acosB＝3與bsinA＝4，兩式相除，得
34＝acosBbsinA＝asinAcosBb＝bsinBcosBb＝cosBsinB.
又acosB＝3，知cosB＞0，
則cosB＝35，sinB＝45.
則a＝5.
(2)由S＝12acsinB＝10，得c＝5.
由cosB＝a2＋c2－b22ac＝35，
解得b＝25.故△ABC的周長l＝a＋b＋c＝10＋25.

知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，若b＝2a，∠B＝∠A＋60°，則∠A＝__________.
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2＋c2－bc＝a2，cb＝12＋3，求∠A和tanB的值．
答案：
1．30°解析：由正弦定理，知asinA＝bsinB，
∴1sinA＝2sinA＋60°，2sinA＝sin(A＋60°)＝12sinA＋32cosA.
∴tanA＝33.∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝30°.
2．解：由余弦定理和已知條件，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝60°，且∠B＝180°－∠A－∠C＝120°－∠C.
由正弦定理和已知條件，得sinCsinB＝sin120°－BsinB＝3cosB＋sinB2sinB＝3cosB2sinB＋12＝12＋3，
∴tanB＝12.∴所求∠A＝60°，tanB＝12.
課本本章小結(jié)鞏固與提高1～8.
課堂小結(jié)
先由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課對全章的復(fù)習(xí)都有哪些收獲和提高？解決本章的基本問題都有哪些體會？可讓若干學(xué)生在課堂上介紹自己的復(fù)習(xí)心得．
教師進一步畫龍點睛，總結(jié)解題思路：(1)運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)運用三角形基礎(chǔ)知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘．
作業(yè)
1．鞏固與提高9～12
2．自測與評估1～7
設(shè)計感想
本教案設(shè)計注重了優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，進一步加深對知識的鞏固．在此過程中，學(xué)生對思想方法的領(lǐng)悟也更具深刻性；注重對學(xué)生抽象思維、發(fā)散思維的培養(yǎng)訓(xùn)練．通過一題多解訓(xùn)練了學(xué)生對事物現(xiàn)象選擇角度地觀察，從而把握事物的本質(zhì)．
本教案設(shè)計意圖還按照習(xí)題的內(nèi)容分類處理進行；注重了思維引導(dǎo)及方法提煉，展現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，關(guān)注學(xué)生愉悅情感的積極體驗，深挖了三角形本身內(nèi)在美的價值，意在激發(fā)學(xué)生強烈的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極的向上心態(tài)．
備課資料
一、與三角形計算有關(guān)的定理
1．半角定理
在△ABC中，三個角的半角的正切和三邊之間有如下的關(guān)系：
tanA2＝1p－ap－ap－bp－cp，
tanB2＝1p－bp－ap－bp－cp，
tanC2＝1p－cp－ap－bp－cp，
其中p＝12(a＋b＋c)．
證明：tanA2＝sinA2cosA2，因為sinA2＞0，cosA2＞0，
所以sinA2＝1－cosA2＝121－b2＋c2－a22bc
＝a2－b－c24bc＝a＋b－ca－b＋c4bc.
因為p＝12(a＋b＋c)，所以a－b＋c＝2(p－b)，a＋b－c＝2(p－c)．
所以sinA2＝p－bp－cbc.
而cosA2＝1＋cosA2＝121＋b2＋c2－a22bc＝b＋c2－a24bc
＝b＋c＋ab＋c－a4bc＝pp－abc，
所以tanA2＝sinA2cosA2＝p－bp－cbcpp－abc＝p－bp－cpp－a
＝1p－ap－ap－bp－cp.所以tanA2＝1p－ap－ap－bp－cp.
同理，可得tanB2＝1p－bp－ap－bp－cp，
tanC2＝1p－cp－ap－bp－cp.
從上面的證明過程中，我們可以得到用三角形的三條邊表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sinA2＝p－bp－cbc，cosA2＝pp－abc.
同理，可得sinB2＝p－ap－cac，sinC2＝p－ap－bab，
cosB2＝pp－bac，cosC2＝pp－cab.
2．用三角形的三邊表示它的內(nèi)角平分線
設(shè)在△ABC中(如圖)，已知三邊a、b、c，如果三個角A、B和C的平分線分別是ta、tb和tc，那么，用已知邊表示三條內(nèi)角平分線的公式是：ta＝2b＋cbcpp－a；tb＝2a＋cacpp－b；
tc＝2a＋babpp－c，其中p＝12(a＋b＋c)．
證明：設(shè)AD是角A的平分線，并且BD＝x，DC＝y(tǒng)，那么，在△ADC中，由余弦定理，得ta2＝b2＋y2－2bycosC，①
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得cb＝xy，所以c＋bb＝x＋yy.
因為x＋y＝a，所以c＋bb＝ay.所以y＝abb＋c.②
將②代入①，得ta2＝b2＋(abb＋c)2－2b(abb＋c)cosC
＝b2b＋c2[b2＋c2＋2bc＋a2－2a(b＋c)cosC]．
因為cosC＝a2＋b2－c22ab，
所以ta2＝b2b＋c2[a2＋b2＋c2＋2bc－2a(b＋c)a2＋b2－c22ab]
＝bcb＋c2(b2＋c2＋2bc－a2)＝bcb＋c2(a＋b＋c)(b＋c－a)
＝bcb＋c22p2(p－a)＝4b＋c2bcp(p－a)．
所以ta＝2b＋cbcpp－a.
同理，可得tb＝2a＋cacpp－b，tc＝2a＋babpp－c.
這就是已知三邊求三角形內(nèi)角平分線的公式．

3．用三角形的三邊來表示它的外接圓的半徑
設(shè)在△ABC中，已知三邊a、b、c，那么用已知邊表示外接圓半徑R的公式是
R＝abcpp－ap－bp－c.
證明：因為R＝a2sinA，S＝12bcsinA，所以sinA＝2Sbc.
所以R＝a2sinA＝abc4S＝abcpp－ap－bp－c.
二、備選習(xí)題
1．在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，a∶b∶c＝3∶3∶5，則2sinA－sinBsinC等于…()
A．－15B．－23C.35D．不是常數(shù)
2．△ABC的周長等于20，面積是103，∠A＝60°，∠A的對邊為()
A．5B．6C．7D．8
3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，則AB→AC→等于()
A．－32B．－23C.23D.32
4．已知在△ABC中，∠B＝30°，b＝6，c＝63，則a＝__________，S△ABC＝__________.
5．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
6．對△ABC，有下面結(jié)論：①滿足sinA＝sinB的△ABC一定是等腰三角形；②滿足sinA＝cosB的△ABC一定是直角三角形；③滿足asinA＝bsinB＝c的△ABC一定是直角三角形．則上述結(jié)論正確命題的序號是__________．
7．在△ABC中，D在邊BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的長及△ABC的面積．
8．在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且bcosB＋ccosC＝acosA，試判斷△ABC的形狀．
參考答案：
1．C解析：設(shè)a＝3k，則b＝3k，c＝5k.∴2sinA－sinBsinC＝2a－bc＝2×3k－3k5k＝35.
2．C解析：∵a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400－40a＋a2.
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc.
又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴b2＋c2－a2＝bc.
又∵S△ABC＝12bcsinA＝103，∴bc＝40.
將b2＋c2－a2＝bc和bc＝40，代入b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，得a＝7.
3．D解析：由余弦定理，得cosA＝AC2＋AB2－BC22ACAB＝4＋9－102×2×3＝14，
∴AB→AC→＝|AB→||AC→|cosA＝2×3×14＝32.
4．a(chǎn)＝6，S＝93或a＝12，S＝183解析：由正弦定理，得
bsinB＝csinC，∴sinC＝cbsinB＝32.∴∠C＝60°或∠C＝120°.
當(dāng)∠C＝60°時，則∠A＝90°，因此a＝12，S＝12acsinB＝183；
當(dāng)∠C＝120°時，則∠A＝30°，因此a＝6，S＝12acsinB＝93.
5.33解析：由正弦定理，得
(3b－c)cosA＝(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
∴3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝33.
6．①③
7．解：如圖，在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴AD＝2sin60°＝3.
在△ACD中，AC2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150°＝7，
∴AC＝7.∴AB＝2cos60°＝1，S△ABC＝12×1×3×sin60°＝334.
8．解：∵bcosB＋ccosC＝acosA，
由正弦定理，得sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，
∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA.
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.
而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0.
∴2cosBcosC＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝π2或C＝π2，即△ABC是直角三角形．

高二數(shù)學(xué)《解三角形的實際應(yīng)用舉例》教案分析

高二數(shù)學(xué)《解三角形的實際應(yīng)用舉例》教案分析

解三角形的實際應(yīng)用舉例（1）教學(xué)目標(biāo)1、掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形。2、能夠運用正弦定理、余弦定理進行三角形邊與角的互化。3、培養(yǎng)和提高分析、解決問題的能力。教學(xué)重點難點1、正弦定理與余弦定理及其綜合應(yīng)用。2、利用正弦定理、余弦定理進行三角形邊與角的互化。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入1、正弦定理：2、余弦定理：，二、例題講解引例：我軍有A、B兩個小島相距10海里，敵軍在C島，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，為提高炮彈命中率，須計算B島和C島間的距離，請你算算看。解：∴由正弦定理知海里例1．如圖，自動卸貨汽車采用液壓機構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度（如圖）．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為，AC長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）．分析：這個問題就是在中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,求BC的長，由于已知的兩邊和它們的夾角，所以可根據(jù)余弦定理求出BC。解：由余弦定理，得答：頂杠BC長約為1.89m.解斜三角形理論應(yīng)用于實際問題應(yīng)注意：1、認(rèn)真分析題意，弄清已知元素和未知元素。2、要明確題目中一些名詞、術(shù)語的意義。如視角，仰角，俯角，方位角等等。3、動手畫出示意圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，將已知和未知集中到一個三角形中解決。練1.如圖,一艘船以32海里/時的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東,30分鐘后航行到B處,在B處看燈塔S在船的北偏東方向上,求燈塔S和B處的距離.（保留到0.1）解：由正弦定理知海里答：燈塔S和B處的距離約為海里例2.測量高度問題如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C，D兩處，測得煙囪的仰角分別是和,Ｃ、Ｄ間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m.求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，求什么？分析：因為，又所以只要求出即可解：在中，，由正弦定理得：從而：因此：答：煙囪的高約為練習(xí)：在山頂鐵塔上處測得地面上一點的俯角，在塔底處測得點的俯角，已知鐵塔部分高米，求山高。解：在ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=135°，∴∠CAB=180°－(∠ACB+∠ABC)=180°－(135°+30°)=15°又BC=32,由正弦定理得：課堂小結(jié)1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并正確運用正弦定理和余弦定理解題。3、在解實際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想.

解三角形應(yīng)用舉例

2.3.4解三角形應(yīng)用舉例(第四課時)
教學(xué)目標(biāo)：
(a)知識和技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題,掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用
(b)過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點，。
(c)情感與價值：讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗
教學(xué)重點：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目
教學(xué)難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題
學(xué)法：正弦定理和余弦定理的運用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進一步推出新的三角形面積公式。同時解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣。
直角板、投影儀
教學(xué)設(shè)想：設(shè)置情境：師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?br> 生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA
師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？
生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解
1、新課講授
例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。
解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根據(jù)正弦定理，=c=
S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB==≈0.7697
sinB=≈≈0.6384應(yīng)用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？（你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？）
本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進行講評小結(jié)。
解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，
cosB==≈0.7532
sinB=0.6578應(yīng)用S=acsinB
S≈681270.6578≈2840.38(m)
答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。
例3、在ABC中，求證：
（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明
證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k
顯然k0，所以左邊===右邊
（2）根據(jù)余弦定理的推論，
右邊=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊
變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S
提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，
（1）acosA=bcosB（2）sinC=
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”
（1）師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。
生1：（余弦定理）得a=b
c=
根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,
A=B根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形
師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？
生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
2、歸納總結(jié)
利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

作業(yè)：1、如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：(1)AB的長；(2)四邊形ABCD的面積。
略解：（1）因為BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，
又因為BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，
所以AD=DC=。在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，
所以=，BD==
在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以得AB=
（1）S=ADBDsin75=同理，S=
所以四邊形ABCD的面積S=