小學三角形教案

八年級上冊《與三角形有關的線段》第二課時學案。

八年級上冊《與三角形有關的線段》第二課時學案

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
三角形高線、中線及角平分線的概念、幾何語言表達及它們的畫法．
2．內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容概念較多，有三角形的高、中線、角平分線和重心等有關概念；需要學生動手的頻率也較高，要掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，培養(yǎng)學生動手操作及解決問題的能力；鼓勵學生主動參與，體驗幾何知識在現(xiàn)實生活中的真實性，激發(fā)學生熱愛生活、勇于探索的思想感情．
理解三角形高、角平分線及中線概念到用幾何語言精確表述，這是學生在幾何學習上的一個深入．學習了這一課，對于學生增長幾何知識，運用幾何知識解決生活中的有關問題，起著十分重要的作用．它也是學習三角形的角、邊的延續(xù)以及三角形全等、相似等后繼知識一個準備．
本節(jié)的重點是了解三角形的高、中線及角平分線概念的同時還要掌握它們的畫法，難點是鈍角三角形的高的畫法及不同類型的三角形高線的位置關系．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）理解三角形的高、中線與角平分線等概念；
（2）會用工具畫三角形的高、中線與角平分線；
2．教學目標解析
（1）經(jīng)歷畫圖實踐過程，理解三角形的高、中線與角平分線等概念．
（2）能夠熟練用幾何語言表達三角形的高、中線與角平分線的性質(zhì)．
（3）掌握三角形的高、中線與角平分線的畫法．
（4）了解三角形的三條高、三條中線與三條角平分線分別相交于一點．
三、教學問題診斷分析
三角形的高線的理解：三角形的高是線段，不是直線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點在這個頂點的對邊或?qū)吽诘闹本€上．
三角形的中線的理解：三角形的中線也是線段，它是一個頂點和對邊中點的連線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點是這個頂點的對邊中點．
三角形的角平分線的理解：三角形的角平分線也是一條線段，角的頂點是一個端點，另一個端點在對邊上．而角的平分線是一條射線，即就是說三角形的角平分線與通常的角平線有一定的聯(lián)系又有本質(zhì)的區(qū)別．
四、教學過程設計
1．拋磚引玉，提出問題
先演示畫三角形的一條高，再給出問題：
（1）任畫一個三角形，你能畫出它的三條高嗎？
（2）同一個三角形的三條高線有什么位置關系？
（3）不同類型的三角形的三條高線的交點位置有什么差別？
師生活動：先讓學生畫圖實踐，教師下位隨機點拔，再讓會畫和不會畫的學生相互交流提點，然后帶著問題討論，最后各小組派代表發(fā)言，師生共同歸納概念和畫法．
設計意圖：這一環(huán)節(jié)是一個重要的實踐活動，需要學生動手實踐，動口交流，動腦思考，加深理解高線的概念和掌握畫高線的作圖能力．
2．從實踐上升到理論，形成概念
師生活動：
定義：從三角形的一個頂點出發(fā)，向?qū)呉咕€，這個頂點和垂足之間的連線段叫做三角形的高線,簡稱三角形的高．
三角形的高有三條,特別強調(diào)：鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，一條在三角形內(nèi)部．直角三角形的兩直角邊就是高線．任何三角形的三條高所在直線交于一點，這點叫三角形的垂心．
歸納：銳角三角形有條高，它們相交于一點，交點在三角形；
直角三角形有條高，它們相交于一點，交點在三角形；
鈍角三角形有條高，它們所在直線相交于一點，交點在三角形．
注意：三角形的高是線段
(幾何語言)∵AD是ΔABC上的高
∴AD⊥BC(∠ADB＝∠ADC＝90)
逆向：∵AD⊥BC垂足是D
∴AD是ΔABC的邊BC上的高
幾何語言表達可在學完三個定義之后統(tǒng)一學習．便于學生比較記憶形成知識結(jié)構(gòu)．
設計意圖：讓學生體會由實踐到理論的過程，培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力．
補充說明：要養(yǎng)成習慣，畫好高線后，隨手標明垂直的記號和垂足的字母．
師生活動：結(jié)合具體圖形，教師引導學生養(yǎng)成良好的作圖習慣．
設計意圖：進一步加深學生對幾何符號和幾何語言的熟悉．
3．類比學習，掌握幾何探究的基本方法．
用相同的探究方法引導學生學習三角形的中線和角平分線．
師生活動:與高線的探究類似．
4．歸納總結(jié)，形成知識結(jié)構(gòu)．
師生活動:師生共同完成這個表格．
三角形的重要線段定義圖形表示法
三角形
的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段
1．AD是△ABC的BC上的高線．
2．AD⊥BC于D．
3．∠ADB=∠ADC=90°．
三角形
的中線三角形中,連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段
1．AE是△ABC的BC上的中線．
2．BE=EC=BC．

三角形的
角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段
1．AM是△ABC的∠BAC的平分線．
2．∠1=∠2=∠BAC．

設計意圖：通過這一活動的設計，提高學生歸納概括的能力，了解幾何語言簡潔性．
5．應用鞏固
課本上P5第1、2題
補充練習：
（1）如圖，AE是△ABC的中線，EC＝6，DE＝2，則BD的長為()．
A．2B．3C．4D．6
解析：因為AE是△ABC的中線，
所以BE＝EC＝6．又因為DE＝2，
所以BD＝BE－DE＝6－2＝4．
答案：C
（2）下列說法正確的是()．
①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；
②三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線；
③每個三角形都有三條中線、高和角平分線；
④三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線．
A．③④B．③C．②③D．①④
解析：任何一個三角形都有三條高、中線和角平分線，并且它們都是線段，不是射線或直線，因此只有③正確，故選B．
答案：B
（3）三角形的三條高在()．
A．三角形的內(nèi)部B．三角形的外部
C．三角形的邊上D．三角形的內(nèi)部、外部或邊上
解析：三角形的三條高交于一點，但有三種情況：當是銳角三角形時，這點在三角形內(nèi)部；當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上；當是鈍角三角形時，這點在三角形外部，所以只有D正確．
答案：D
學生通過解決這樣的應用問題，特別是（3）中又要用到分類討論的思想，學生通過解決問題的過程加深理解不同類型的三角形其高線都是交于一點，但交點位置卻不同．
設計意圖：除了考查學生的靈活運用的能力外，逐步培養(yǎng)學生一些基本的數(shù)學思想，還能突破難點加深學生對三角形高線位置的理解，一舉多得．
6．總結(jié)反思
教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題．
（1）三角形的高、中線、角平分線等有關概念及它們的畫法．
（2）三角形的高、中線、角平分線的幾何表達及性質(zhì)的簡單應用．
師生活動：教師引導，學生小結(jié)．
設計意圖：學生共同總結(jié)，互相取長補短，再一次突出本節(jié)課的學習重難點．
8．布置作業(yè)：
教科書第8頁第3，4題．

延伸閱讀

八年級上冊《與三角形有關的線段》第一課時學案

八年級上冊《與三角形有關的線段》第一課時學案

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1．內(nèi)容

三角形中相關元素的概念、按邊分類及三角形的三邊關系．

2．內(nèi)容解析

三角形是一種最基本的幾何圖形，是認識其他圖形的基礎，在本章中，學好了三角形的有關概念和性質(zhì)，為進一步學習多邊形的相關內(nèi)容打好基礎，本節(jié)主要介紹與三角形的的概念、按邊分類和三角形三邊關系，使學生對三角形的有關知識有更為深刻的理解．

本節(jié)課的教學重點：三角形中的相關概念和三角形三邊關系．

本節(jié)課的教學難點：三角形的三邊關系．

二、目標和目標解析

1．教學目標

（1）了解三角形中的相關概念，學會用符號語言表示三角形中的對應元素．

（2）理解并且靈活應用三角形三邊關系．

2．教學目標解析

（1）結(jié)合具體圖形，識三角形的概念及其基本元素．

（2）會用符號、字母表示三角形中的相關元素，并會按邊對三角形進行分類．

（3）理解三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)，并會運用這一性質(zhì)來解決問題．

三、教學問題診斷分析

在探索三角形三邊關系的過程中，讓學生經(jīng)歷觀察、探究、推理、交流等活動過程，培養(yǎng)學生的和推理能力和合作學習的精神．

四、教學過程設計

1．創(chuàng)設情境，提出問題

問題1回憶生活中的三角形實例，結(jié)合你以前對三角形的了解，請你給三角形下一個定義．

師生活動：先讓學生分組討論，然后各小組派代表發(fā)言，針對學生下的定義，給出各種圖形反例，如下圖，指出其不完整性，加深學生對三角形概念的理解．

設計意圖：三角形概念的獲得，要讓學生經(jīng)歷其描述的過程，借此培養(yǎng)學生的語言表述能力，加深學生對三角形概念的理解．

2．抽象概括，形成概念

動態(tài)演示“首尾順次相接”這個的動畫，歸納出三角形的定義．

師生活動：

三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．

設計意圖：讓學生體會由抽象到具體的過程，培養(yǎng)學生的語言表述能力．

補充說明：要求學生學會三角形、三角形的頂點、邊、角的概念以及幾何表達方法．

師生活動：結(jié)合具體圖形，教師引導學生分析，讓學生學會由文字語言向幾何語言的過渡．

設計意圖：進一步加深學生對三角形中相關元素的認知，并進一步熟悉幾何語言在學習中的應用．

3．概念辨析，應用鞏固

如圖，不重復，且不遺漏地識別所有三角形，并用符號語言表示出來．

（1）以AB為一邊的三角形有哪些？

（2）以∠D為一個內(nèi)角的三角形有哪些？

（3）以E為一個頂點的三角形有哪些？

（4）說出ΔBCD的三個角．

師生活動:引導學生從概念出發(fā)進行思考，加深學生對三角形中相關元素概念的理解．

4．拓廣延申，探究分類

我們知道，按照三個內(nèi)角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，如果要按照邊的大小關系對三角形進行分類，又應該如何分呢？小組之間同學進行交流并說說你們的想法．

師生活動：通過討論，學生類比按角的分類方法按邊對三角形進行分類，接著引出等腰三角形及等邊三角形的概念，引導學生了解等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系，強化學生對三角形按邊分類的理解．

三角形按邊分類：

設計意圖：通過這一活動的設計，提高學生分類討論和歸納概括的能力，加深學生對三角形按邊分類的理解．

5．聯(lián)系實際，突破難點

情境引入：如圖三角形中，假設有一只小蟲要從點B出發(fā)沿著三角形的邊爬到點C，它有幾條路線可選擇？

各條路線的長一樣嗎？

師生活動：引導學生討論分析，得到兩條路線：

（1）B直接到C即BC；

（2）先由B到A再到C即BA+AC．

顯然，路線（1）中的BC要短一些，即：BCBA+AC．（為什么？一定要學生給出依據(jù)：兩點間線段最短）

最后，師生共同得到：

BCAB+ACACAB+BCABAB+AC

即：三角形的兩邊之和大于第三邊．

設計意圖：根據(jù)“兩點之間線段最短”這一幾何公理，推理出三角形任意兩邊之和大于第三邊，讓學生親歷知識的形成過程，同時加深對“三角形兩邊之和大于第三邊”的理解．

6．應用鞏固

例用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形．

（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

解：（１）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm．

x+2x+2x=18．

解得x＝3．6．

所以，三邊長分別為3．6cm，7．2cm，7．2cm．

（2）因為長為4的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論．

如果4cm長的邊為底邊，設腰長為xcm，

則4+2x=18

解得x＝7．

如果4cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，

則2×4+x=18

解得x＝10．

因為4+410，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4的等腰三角形．

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形．

引導學生通過解決這樣的應用問題，特別是（2）中思想方法，讓學生學會什么情況下要用到分類討論的思想，并通過問題的解答過程加深對三角形三邊關系理解．

設計意圖：設計有一定綜合性的題目，考查學生的靈活運用知識的能力，培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想，還能突破難點加深學生對三角形三邊關系的理解，一舉多得．

補充說明：應用三角形的三邊關系時要靈活應變，最簡潔的方法只需判斷兩小邊之和大于最大邊即可組成三角形．

師生活動：結(jié)合具體圖形，教師引導學生分析，活學活用．

7．總結(jié)反思

教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題．

（1）三角形的定義？三角形的相關元素的概念（邊、頂點、角）？三角形的表示方法．

（2）三角形按邊的分類．

（3）三角形三邊之間的關系．

師生活動：教師引導，學生小結(jié)．

設計意圖：學生共同總結(jié)，互相取長補短，再一次突出本節(jié)課的學習重難點．

8．布置作業(yè)：

教科書第8頁第1，2題．

八年級數(shù)學上冊11.1與三角形有關的線段學案

11.1與三角形有關的線段
一．學習目標
1.了解三角形的性質(zhì)；學會按邊劃分三角形。
2.應用已掌握的三角形知識解決生活中的實際問題。
3.培養(yǎng)學生熱愛數(shù)學，熱愛生活的情感。
二．學習重難點
三角形的性質(zhì)和分類及應用
三．學習過程
第一課時
三角形的邊
（一）構(gòu)建新知
1.閱讀教材2～4頁
（1）三角形由_____條線段_____相連組成的幾何圖形。
（2）長度分別是1.2,3,4,5,6的6根木條能組成_____個不同的三角形。
（3）一根6米長的鐵絲圍成的三角形，若每邊均為整數(shù)值，可以圍城的三角形有_____________________；若是9米的鐵絲呢？
（二）合作學習
1.已知△ABC的周長為21cm，邊AB=xcm，邊BC比AB的2倍長3cm。
（1）用含x的代數(shù)式表示AC的長。
（2）求x的取值范圍。
（3）x求何值時是等腰三角形。

（三）課堂檢查
1．若一個三角形三邊長分別為2，3，x，則x的值可以為____（只需填一個整數(shù)）。
2．設a，b，c為三角形的三邊長度，則|a＋b－c|＋|a－b－c|=________。
3．若等腰三角形的兩條邊長分別為23cm和10cm，那么第三邊的長為____cm。
4．用7根火柴棒首尾順次連接擺成一個三角形，能擺成的三角形有（）。
A．三邊不等的三角形B．只兩邊相等的三角形
C．三邊相等的三角形D．不等邊三角形和等腰三角形
5．如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，
不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序為2、3、4、6，
且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞
此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（）。
A．5B．6C．7D．10
6．已知△ABC的兩邊長（3－x），第三邊長為2x，若△ABC的邊長均為整數(shù)，試判斷此三角形的形狀。

（四）學習評價
（五）課后練習
1．學習指要1～2頁
2．教材8～9頁1題,2題,6題,7題
第二課時
三角形的高、中線與角平分線
（一）構(gòu)建新知
1.閱讀教材4～5頁
（1）如圖，在△ABC中，作BC邊上的
高AD和中線AE；并作∠A的角平分線AF。
（2）三角形的高，中線，角平分線分別有________條。
（3）三角形的三條中線_______點，這點叫三角形的_____心。
（二）合作學習
1.作下列△ABC各邊上的高。
（1）圖（1）的三條高在△ABC的_________，圖（2）三條高在△ABC的___________________，圖（3）三條高在△ABC的______________________________。
（2）這三條高都__________一點；分別在三角形的______________________。

（三）課堂檢查
1.如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，
已知∠ABC=80°，則∠DBC=____°。
2.在△ABC中，AD為BC邊的中線，若△ABD
與△ADC的周長差為3，AB=8，則AC=____________。
3.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，DC∥EF，
則與∠ACD相等角有___________個。
4.三角形中的角平分線、中線、高都是三條（）。
A．直線B．射線C．線段D．無法確定
5.下列說法正確的是（）
①三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；②三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；③三角形三條高都在三角形的內(nèi)部。
A．①②③B．①②C．②③D．①③
6.如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線。若△ABC面
積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高是多少？

（四）學習評價
（四）課后練習
1．學習指要2～3頁
2．教材8～9頁3題,4題,8題,9題

第三課時三角形的穩(wěn)定性
（一）構(gòu)建新知
1．閱讀教材6～7頁
（1）在工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，這是因為_______________；伸縮門采用四邊形的結(jié)構(gòu)，這是因為_________________________。
（2）完成教材7頁練習

（二）合作學習
1.要使六邊形不變形至少要定幾根木條，
有幾種訂法？

（三）課堂檢查
1．小明用竹竿扎了一個平行四邊形框架，其邊長分別為40cm和30cm，由于四邊形容易變形，學習過后，小明用一根竹竿做斜拉稈將四邊形定形，則此斜拉稈的選擇范圍是___________cm。
2．不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）
A．自行車的三角形車架B．三角形房架
C．照相機的三角架D．矩形門框的斜拉條
3．如圖，在生活中，我們經(jīng)常會看見在電線桿上拉兩條鋼
線，來加固電線桿，這是利用______________________。
4．要使八邊形不變形，則至少要釘上______根木條。
5．圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連接而
構(gòu)成的，它的形狀不穩(wěn)定．如果用在圖中木條交叉點打孔
加裝螺栓的辦法來達到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓
盡可能少，那么需要添加螺栓（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．如圖，△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線把△ABC的
周長分為24和30兩部分，求△ABC三邊的邊長。
（四）學習評價
（五）課后練習
1．學習指要4～5頁
2．教材8～9頁5題,10題

等腰三角形（第二課時）學案

12.3.1等腰三角形（第二課時）
學習目標：1、理解等腰三角形的判定方法及應用。
2、通過對等腰三角形的判定方法的探索，體會探索學習的樂趣。
學習重點：等腰三角形的判定方法及其應用
學習難點：探索等腰三角形的方法定理
學習過程：
（一）創(chuàng)設情境，感受新知
1、實驗猜想
如圖，將一個長方形紙條進行折疊，疊和部分所成的
三角形有什么特征？它是等腰三角形嗎？
2、思考：
ΔABC中，當添加一個什么條件時，可以成為等腰三角形？

3、提出猜測：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等嗎？
如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C，說明△ABC是等腰三角形的理由.

歸納：等腰三角形的判定方法：（簡稱為
“”）。

幾何語言：因為在△ABC中，（已知）
所以（）

即

(二)拓展延伸，運用新知
1．一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的二倍。這個三角形是（）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖形中共有等腰三角形（）
A．2個B．3個C．4個D．5個

（第2題）第3題第４題
3．如圖，△ABC中，AB＝AC，B＝36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，則圖中等腰三角形共有（）
A．3個B．4個C．5個D．6個
4．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC與∠ACB的平分線交于D點，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°
５、如圖1，已知點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE求證：AB=CD.現(xiàn)給出以下兩種添加輔助線(如圖2、圖3)的方法，請任選一種證明.

（三）本節(jié)課收獲

12.3.2等邊三角形（第一課時）
學習目標：1理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法
2、能夠用等邊三角形的知識解決相應的數(shù)學問題
學習重點：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明
學習難點：等邊三角形性質(zhì)和判定的應用
學習過程：
（一）創(chuàng)設情境，感受新知
想一想：教材P53---思考
歸納：（1）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的
（2）等邊三角形的判定：
（二）拓展延伸，運用新知
1、如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求證△ADE是等邊三角形。

2等邊三角形三條中線相交于一點。畫出圖形，找出圖中所有的全等三角形，并證明它們?nèi)取?/p>

3如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證BE＝DC

（三）本節(jié)課收獲

12.3.2等邊三角形（第二課時）
學習目標：1、證明直角三角形中有一個角為30°的性質(zhì)．
2、有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡單應用．
學習重點：含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明．
學習難點：含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明．
學習過程：
（一）創(chuàng)設情境，感受新知
探究：有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì)
1、問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．

2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？你能證明你的結(jié)論嗎？
已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．

3、歸納：在直角三角形中，
（二）拓展延伸，運用新知：
1、右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長？

2、等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

3已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．

（三）本節(jié)課收獲