小學(xué)數(shù)學(xué)教案二年級(jí)

高二數(shù)學(xué)教案：《簡單的線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）。

高二數(shù)學(xué)教案：《簡單的線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；

（2）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；

（3）了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；

（4）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力；

（5）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新．

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

教科書首先通過一個(gè)具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域．再通過一個(gè)具體實(shí)例，介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個(gè)基本概念及一種基本解法－圖解法，并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域．

對(duì)學(xué)生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生、抽象的概念，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解，因此學(xué)習(xí)二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域分為兩個(gè)大的層次：

（1）二元一次不等式表示平面區(qū)域．首先通過建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，自然地給出概念．明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線（畫成虛線）．其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線．

（2）二元一次不等式組表示平面區(qū)域．在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上，畫不等式組所表示的平面區(qū)域，找出各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．這是學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)．

難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．

對(duì)許多學(xué)生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會(huì)將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會(huì)建模．所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)，并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵．

對(duì)學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個(gè)的問題情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移．針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解；分析完題后，能夠抓住問題的本質(zhì)特征，從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題．另外，利用計(jì)算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法．

三、教法建議

（1）對(duì)學(xué)生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學(xué)生對(duì)這一概念的引進(jìn)不感到突然，應(yīng)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，以便自然地給出概念

（2）建議將本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是為了分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論．

（3）要舉幾個(gè)典型例題，特別是似是而非的例子，對(duì)理解二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的．

（4）建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的．

（5）對(duì)作業(yè)、思考題、研究性題的建議：①作業(yè)主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成；③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學(xué)生的思維．

（6）若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解（近似解），應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．

如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也可．

（7）在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小．

線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案（一）

教學(xué)目標(biāo)

使學(xué)生了解并會(huì)作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域．

重點(diǎn)難點(diǎn)

了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．

教學(xué)過程

【引入新課】

我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點(diǎn)集，那么在平面坐標(biāo)系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？

【二元一次不等式表示的平面區(qū)域】

1．先分析一個(gè)具體的例子

相關(guān)閱讀

簡單的線性規(guī)劃

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的教師教學(xué)。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“簡單的線性規(guī)劃”，相信能對(duì)大家有所幫助。

3.4.4簡單的線性規(guī)劃
授課類型：新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；
2．過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力；
3．情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【教學(xué)重點(diǎn)】
利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解；
【教學(xué)難點(diǎn)】
把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）
2、目標(biāo)函數(shù),線性目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃問題,可行解，可行域,最優(yōu)解:
2.講授新課
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)
下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用：
[范例講解]
例5營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一項(xiàng)確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見的問題之一.
例6在上一節(jié)例3中，若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收取學(xué)費(fèi)1600元，高中每人每年可收取學(xué)費(fèi)2700元。那么開設(shè)初中班和高中班各多少個(gè)，每年收取的學(xué)費(fèi)總額最高多？

指出:資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見的問題之一

結(jié)合上述兩例子總結(jié)歸納一下解決這類問題的思路和方法：
簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：
（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；
（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
3.隨堂練習(xí)
課本第103頁練習(xí)2

4.課時(shí)小結(jié)
線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路：
首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)。然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解，最后，要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。
5.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)
課本第105頁習(xí)題3.3[A]組的第3題
【板書設(shè)計(jì)】

簡單的線性規(guī)劃問題

簡單的線性規(guī)劃問題
使用說明1.課前完成語系學(xué)案上的問題導(dǎo)學(xué)及例題.
2.認(rèn)真限時(shí)完成，規(guī)范書寫，課堂小組合作探討，答疑解惑.
學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）了解線性規(guī)劃的意義及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；
（2）能根據(jù)條件，建立線性目標(biāo)函數(shù)；
（3）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值
問題導(dǎo)學(xué)：
1.對(duì)于關(guān)于兩個(gè)變量x,y的不等關(guān)系表示成的不等式（組），稱為（），如果約束條件中都是關(guān)于x,y的一次不等式，稱為（）
2.在線性約束條件下，欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的關(guān)于變量x,y的函數(shù)解析式=f(x,y),稱為（），當(dāng)f(x,y)是關(guān)于x,y的一次解析式時(shí)，z=f(x,y)稱為（）
3.在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為（），滿足線性約束條件的解（x,y）叫做（）由所有可行解組成的集合叫做（），使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的（），使x,y均為整數(shù)的最優(yōu)解叫做（）。
4.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：
1.設(shè)出_________
２.列出_________，確定_________
3.畫出_________
4.作目標(biāo)函數(shù)表示的一族平行直線，使其中某條直線與_________有交點(diǎn)，
5.判斷_________求出目標(biāo)函數(shù)的_________，并回到原問題中作答。.
典型例題：
例1.（1）求z=2x+y的最大值，使x、y滿足約束條件

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件

例2.某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（按每天8h計(jì)算）

基礎(chǔ)測(cè)評(píng)：
一.選擇題.
1.若x0,y0,且x+y1,則z=x+y的最大值為()
A－1B1
C2D－2
2.目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,將其看成直線方程時(shí)，z的意義是（）
A,該直線的截距
B.該直線的縱截距
C.該直線的縱截距的相反數(shù)
D.該直線的橫截距
3.不等式組x–y+5≥0x+y≥0x≤3表示的平面區(qū)域的面積等于（）
A、32B、1214C、1154D、632

4.有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為（）
A,Z=6x+4yBz=5x+4y
Cz=x+yDz=4x+5y
5.．如圖，表示的平面區(qū)域是（）
6.給出平面區(qū)域如圖7-28所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則a的值是（）
A．B．C．2D．
二填空題
7．z=3x+2y，x、y滿足，在直線x=3上找出三個(gè)整點(diǎn)可行解為__________。
8．給出下面的線性規(guī)劃問題：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件，欲使目標(biāo)函數(shù)z只有最小值而無最大值，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種改變約束條件的辦法（仍由三個(gè)不等式構(gòu)成，且只能改變其中一個(gè)不等式），那么結(jié)果是__________。

9.已知變量x,y滿足條件x-4y-3
3x+5y25
x1
，設(shè)z=2x+y,取點(diǎn)（3，2）可求得z=8;取點(diǎn)（5，2）可求得=12;取點(diǎn)（1，1）可求得=3；取點(diǎn)（0，0）可求得z=0，點(diǎn)（3，2）叫做__________。
，點(diǎn)（0，0）叫做__________。點(diǎn)（5，2）和點(diǎn)（1，1）均叫做_________。
三解答題；
10.已知x、y滿足不等式組，求z=3x+y的最小值。

11.已知點(diǎn)（x,y）滿足不等式組,求在這些點(diǎn)中,
①使目標(biāo)函數(shù)k＝6x+8y取得最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②使目標(biāo)函數(shù)k＝8x+6y取得最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo).

12.下表給出X、Y、Z三種食品的維生素含量及其成本

XYZ
維生素A/單位/千克400500300
維生素B/單位/千克700100300
成本/（元/千克）643

現(xiàn)欲將三種食物混合成100千克的混合食品，要求至少含35000單位維生素A，40000單位維生素B，采用何種配比成本最??？

簡單線性規(guī)劃教案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“簡單線性規(guī)劃教案”，相信能對(duì)大家有所幫助。

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．5.2簡單線性規(guī)劃
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用．線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財(cái)、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題．中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實(shí)際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力．
把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．對(duì)許多學(xué)生來說，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即不會(huì)建模，所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)．對(duì)學(xué)生而言，解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個(gè)的問題情境，不能多方面聯(lián)想，形成正遷移．針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本節(jié)設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解．
實(shí)際教學(xué)中注意以下幾個(gè)問題：①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．③如果可行域是一個(gè)凸多邊形，那么一般在其頂點(diǎn)處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)．到底哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解)，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．⑤在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最?。?br> 如果條件允許，可將本節(jié)的思考與討論融入課堂．
三維目標(biāo)
1．使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題．
2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力．
3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解線性規(guī)劃求最優(yōu)解的原理，明確線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中的意義．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，理解線性規(guī)劃最優(yōu)解的原理．
教學(xué)難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(問題引入)由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時(shí)闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價(jià)格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域．由此導(dǎo)入新課．
思路2.(章頭問題引入)在生產(chǎn)與營銷活動(dòng)中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項(xiàng)給定的任務(wù)．我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題．線性規(guī)劃知識(shí)恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中的平面區(qū)域的確定方法.
2怎樣從實(shí)際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區(qū)域？
3閱讀教材，明確什么是目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，約束條件，線性約束條件，線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解，可行域.,4你能給出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次不等式表示平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點(diǎn)定域，即先畫出對(duì)應(yīng)直線，再將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零??；不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分．
教師引導(dǎo)學(xué)生探究教材本節(jié)開頭的問題．根據(jù)上節(jié)所學(xué)，學(xué)生很容易設(shè)出計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，且很容易地列出獲得利潤總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件
3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②
教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述不等式組表示的區(qū)域，如下圖．
結(jié)合圖形，教師與學(xué)生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30x＋40y時(shí)，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點(diǎn)的一條直線，記為l0，則在區(qū)域OABC內(nèi)有30x＋40y≥0.設(shè)這個(gè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)P(x，y)到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402d.
由此可發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P(x，y)到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉(zhuǎn)化為：在區(qū)域OABC內(nèi)，找與直線l0距離最大的點(diǎn)．觀察圖象易發(fā)現(xiàn)，平移直線l0，最后經(jīng)過的點(diǎn)為B，易知區(qū)域OABC內(nèi)的點(diǎn)B即為所求．
解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B(200,300)，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.
即問題中，用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤18000元．
進(jìn)一步探究上述問題，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)．由于z＝2x＋y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解，接著讓學(xué)生說出上述問題中的目標(biāo)函數(shù)，約束條件，可行域，最優(yōu)解分別是什么．
根據(jù)以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：
(1)分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；
(2)確定線性約束條件；
(3)確定線性目標(biāo)函數(shù)；
(4)畫出可行域；
(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解．在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解；
(6)實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解．
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
應(yīng)用示例
例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．
活動(dòng)：可先找出可行域，平行移動(dòng)直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．
解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點(diǎn)的集合；
不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點(diǎn)的集合．
可行域如圖所示．
作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t(t∈R)．
∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，
由圖可知，當(dāng)直線l：3x＋y＝z通過點(diǎn)P(0,1)時(shí)，z取到最小值1，即zmin＝1.
點(diǎn)評(píng)：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．
(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.
變式訓(xùn)練
若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：70
解析：由不等式組2x＋y≤40，?x＋2y≤50，?x≥0，?y≥0畫出可行域如下圖．
結(jié)合圖形，
由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，
于是zmax＝3×10＋2×20＝70.

例2(教材本小節(jié)例2)
活動(dòng)：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對(duì)于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點(diǎn)撥．
點(diǎn)評(píng)：完成此例后，可讓學(xué)生對(duì)應(yīng)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題作一簡單歸納．對(duì)較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進(jìn)行歸納.
變式訓(xùn)練
某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？
解：(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤z元，
則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.
z＝80x，∴當(dāng)x＝300時(shí)，zmax＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元．
(2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤z元，
則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.
z＝120y，∴當(dāng)y＝450時(shí)，zmax＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個(gè)，獲得利潤54000元．
(3)設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個(gè)，利潤總額為z元．
則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，
z＝80x＋120y，可行域如圖．
由圖可知：當(dāng)直線y＝－23x＋z120經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝900，?2x＋y＝600，得M的坐標(biāo)為(100,400)．
∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000(元)．
因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個(gè)，可使所得利潤最大，最大利潤為56000元.

例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到0.1t)，能使利潤總額達(dá)到最大？
活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成．

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z元，
那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；
目標(biāo)函數(shù)為z＝600x＋1000y.
作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．
作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.
把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝600x＋1000y取最大值．
解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴M的坐標(biāo)為(12.4,34.4)．
答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤總額達(dá)到最大．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為()
A．－2B．－4C．－6D．－8
2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費(fèi)用最?。?br> 答案：
1．D解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結(jié)合圖形(圖略)知點(diǎn)(－2,2)為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.
2．活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

原料/10g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位
甲510
乙74
費(fèi)用32

設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費(fèi)用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對(duì)鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值．
解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費(fèi)用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；
目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，
作出可行域如圖．
把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．
由圖可知，當(dāng)直線y＝－32x＋z2經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距z2最小，即z最?。?br> 由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A(145，3)，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28(g)，乙種原料使用3×10＝30(g)時(shí)，費(fèi)用最?。?br> 課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識(shí)方法及用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？
2．教師強(qiáng)調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解．
作業(yè)
習(xí)題3—5A組3、4、5；習(xí)題3—5B組3.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)以及解決實(shí)際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材．
2．通過實(shí)例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強(qiáng)調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分．
3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題有一個(gè)學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識(shí)內(nèi)容定為了解層次．但這個(gè)了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)從實(shí)際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟．
(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)
第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一種類型，這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實(shí)際問題．教師出示多媒體課件，提出問題，由此引入新課．
思路2.(問題導(dǎo)入)關(guān)于線性規(guī)劃的整點(diǎn)問題是個(gè)難點(diǎn)，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題：
某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？
學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時(shí)收益為z元，則x，y滿足
18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.
作出可行域(出示多媒體課件)，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(207，607)，由于B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)B不是最優(yōu)解．
以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點(diǎn)的方法：
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.
所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；
再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.
又因?yàn)?x＋3y＝36，所以得最優(yōu)解為(0,12)和(3,8)，此時(shí)z的最大值是36，最大利潤是1800元．
用圖解法解決時(shí)，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識(shí)．鼓勵(lì)學(xué)生課外進(jìn)一步探究其他方法．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶上節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法、步驟、格式，解題時(shí)應(yīng)注意哪些問題？
2前面我們解決了可行域中整點(diǎn)問題，明確了求可行域中最優(yōu)解問題，請(qǐng)思考最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有可能為無數(shù)個(gè)嗎？
活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意：①在尋求約束條件時(shí)，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優(yōu)解時(shí)，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解；③在確定最優(yōu)解時(shí)，用直線的斜率來定位．
關(guān)于可行域中的整點(diǎn)求法，是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．下面我們進(jìn)一步探究最優(yōu)解問題以及用線性規(guī)劃解決的另一類實(shí)際問題．
討論結(jié)果：(1)略．
(2)求最優(yōu)解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點(diǎn)．但取得最值的最優(yōu)解可能有無窮多個(gè)．若通過圖形觀察不易分辨時(shí)，可把邊界交點(diǎn)代入驗(yàn)證．
應(yīng)用示例
例1某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？
活動(dòng)：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個(gè)線性規(guī)劃大題，教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格，則各量之間的關(guān)系即一目了然．本題難度不大，可由學(xué)生自己解決．列表如下：

甲乙合計(jì)
時(shí)間x分鐘y分鐘300
收費(fèi)500元/分鐘200元/分鐘9萬元

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．
由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式組等價(jià)于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．
作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)．
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
例2(教材本小節(jié)例3)
活動(dòng)：本例是整數(shù)線性規(guī)劃問題．整數(shù)線性規(guī)劃問題的可行域是由滿足不等式的整點(diǎn)組成的集合，所求的最優(yōu)解必須是整數(shù)解．我們知道，最優(yōu)解一般都為邊界的交點(diǎn)，若這個(gè)交點(diǎn)不是整數(shù)，則需要平移直線找到附近的最優(yōu)解．本例可由教師與學(xué)生共同完成．
點(diǎn)評(píng)：找整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，要求畫圖精確，要使學(xué)生明白如何找整數(shù)最優(yōu)解的原理.
變式訓(xùn)練
某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是()
A．80B．85C．90D．95
答案：C
解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．
由x＝112，5x－11y＝－22，
解得A(112，92)．
而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋z10平移經(jīng)過的整點(diǎn)為(5,4)時(shí)，z＝10x＋10y取得最大值90.

例3某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌3個(gè)，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫標(biāo)牌2個(gè)，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最??？
解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x＋2y個(gè)，繪畫標(biāo)牌2x＋y個(gè)，
由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.
所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t(t∈R)，當(dāng)直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點(diǎn)A(43，13)時(shí)，t取得最小值為133.
因?yàn)?3，13都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點(diǎn)(43，13)不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)滿足3x＋2y＝5，使t最?。?br> 所以最優(yōu)解為B(1,1)，即用甲種規(guī)格原料1張，乙種規(guī)格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.
知能訓(xùn)練
1．設(shè)變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為()
A．2B．3C．4D．5
2．設(shè)x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：
(1)z＝6x＋10y；
(2)z＝2x－y；
(3)z＝2x－y(x，y均為整數(shù))．
答案：
1．D解析：如圖，由可行域知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點(diǎn)A(1,0)時(shí)z取得最大值，zmax＝5.
2．解：(1)先作出可行域，如下圖所示的△ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，225)．
作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，
當(dāng)l0的平行線l1過B點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值；
當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過C點(diǎn)時(shí)，
可使z＝2x－y達(dá)到最小值；
當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.
(3)同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，
當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值，∴zmax＝8.
當(dāng)l0的平行線l1過C點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，
但由于225不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，
∴可行域內(nèi)的點(diǎn)C(1，225)不是最優(yōu)解．
當(dāng)l0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)(1,4)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值．
∴zmin＝2×1－4＝－2.
課堂小結(jié)
1．我們用線性規(guī)劃解決了哪些實(shí)際問題？
2．教師點(diǎn)撥學(xué)生：你能用精練的幾個(gè)字來說明利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法與步驟嗎？
(1)找：找出實(shí)際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù)；(2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；(3)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；(4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解；(5)答：作出答案．即可用5個(gè)字來概括：找、畫、移、求、答．
作業(yè)
一、習(xí)題3—5A組6；習(xí)題3—5B組4、5.
二、閱讀本章小結(jié)
設(shè)計(jì)感想
1．本課時(shí)設(shè)計(jì)注重學(xué)生的操作練習(xí)．通過學(xué)生積極參與，動(dòng)手操作，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，使認(rèn)知在練習(xí)中加深，興趣在練習(xí)中勃發(fā)，情感在練習(xí)中陶冶，質(zhì)量在練習(xí)中提高，目標(biāo)在練習(xí)中實(shí)現(xiàn)．
2．本課時(shí)注重了學(xué)生的能力訓(xùn)練．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．
3．本課時(shí)設(shè)計(jì)強(qiáng)化使用現(xiàn)代化教學(xué)手段．充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，利用計(jì)算機(jī)作為輔助工具，更清楚地展示區(qū)域問題，有利于發(fā)現(xiàn)區(qū)域問題的異同點(diǎn)，將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課件有機(jī)地結(jié)合起來，有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．
備課資料
一、備選例題
【例1】某糖果廠生產(chǎn)A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間：(單位：分鐘)

混合烹調(diào)包裝
A153
B241

每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時(shí)，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時(shí)，包裝的設(shè)備至多能用15小時(shí)，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤？
活動(dòng)：找約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)．
解：設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過C點(diǎn)時(shí)截距最大，z取得了最大值．
解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800C(120,300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．
點(diǎn)評(píng)：由于生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計(jì)使用的混合時(shí)間為120＋2×300＝720(分)，烹調(diào)時(shí)間5×120＋4×300＝1800(分)，包裝時(shí)間3×120＋300＝660(分)，這說明該計(jì)劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時(shí)間，但對(duì)包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時(shí)間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松弛”部分，有待于改進(jìn)研究．
【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場(chǎng)急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．
(1)問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數(shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？
(2)若某人對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)了解不多，而在可行域的整點(diǎn)中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．
解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，
作出可行域如圖．
(1)因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為z＝x＋y(x、y為整數(shù))，所以在一組平行直線x＋y＝t(t為參數(shù))中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是(3,9)和(4,8)，它們都是最優(yōu)解．
(2)因?yàn)榭尚杏騼?nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個(gè)，所以所求的概率為p＝28＝0.25.
答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.
二、利潤的線性預(yù)測(cè)
問題：某企業(yè)1999年的利潤為5萬元，2000年的利潤為7萬元，2001年的利潤為8萬元．請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤增長直線方程，從而預(yù)測(cè)2003年企業(yè)的利潤，請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤是多少萬元？
解：建立平面直角坐標(biāo)系，1999年的利潤為5萬元，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(0,5)，2000年的利潤為7萬元，2001年的利潤為8萬元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)B(1,7)和C(2,8)，那么
(1)過A、B兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為13萬元．
(2)過A、C兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為11萬元．
(3)過B、C兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為10萬元．
(4)過A及線段BC的中點(diǎn)E(32，152)的直線作為預(yù)測(cè)直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤約為11.667萬元．
(5)過A及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測(cè)直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為11.667萬元．
(6)過C及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測(cè)直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為10.667萬元．
(7)過A及以線段BC的斜率kBC＝1作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為9萬元．
(8)過B及以線段AC的斜率kAC＝32作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為11.5萬元．
(9)過C及以線段AB的斜率kAB＝2作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為12萬元．
(10)過A及以線段AB的斜率kAB與線段AC的斜率kAC的平均數(shù)作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預(yù)測(cè)2003年的利潤為12萬元．
還有其他方案，在此不一一列舉．
點(diǎn)評(píng)：(1)讀完以上的各種預(yù)測(cè)方案后，請(qǐng)你先思考兩個(gè)問題：
①第(5)種方案與第(4)種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？
②第(7)種方案中，kBC的現(xiàn)實(shí)意義是什么？
(2)本題可從以下兩個(gè)方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案(6)過△ABC的重心F(1，203)，找出以m為斜率的直線中與A、C兩點(diǎn)距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)利潤的范圍，你預(yù)測(cè)的利潤頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值？你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤預(yù)測(cè)更有效？如果不要求用線性預(yù)測(cè)，你能得出什么結(jié)果？

簡單的線性規(guī)劃1

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。那么如何寫好我們的高中教案呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供簡單的線性規(guī)劃1，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。