高中三角函數(shù)的教案

高中數(shù)學(xué)必修四1.2.1任意角的三角函數(shù)（第二課時）導(dǎo)學(xué)案。

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？以下是小編為大家精心整理的“高中數(shù)學(xué)必修四1.2.1任意角的三角函數(shù)（第二課時）導(dǎo)學(xué)案”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

1.2.1任意角的三角函數(shù)（第二課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．進一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；
2.了解角的正弦線、余弦線、正切線，認(rèn)識三角函數(shù)的定義域；
3.掌握并能初步運用定義、公式一分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些問題.

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1.三角函數(shù)定義
在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么：
(1)____叫做的正弦，記作____，即____；
（2）___叫做的余弦，記作____，即____；
（3）___叫做的正切，記作___，即_____.
2．三角函數(shù)的符號
正弦值對于第一、二象限為____（y0,r0），對于第三、四象限為____(y0,r0)
余弦值對于第一、四象限為_____(x0,r0),對于第二、三象限為___(x0,r0)
正切值對于第一、三象限為____（x,y同號），對于第二、四象限為____（x,y異號）．

新知梳理：
1.誘導(dǎo)公式
終邊相同的角的_________________相等.

公式一:_______=sin，

____________=cos，

_________=tan.
（其中，）
2．正弦線、余弦線、正切線：
如上圖，分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線.

對點練習(xí)：
1、比較sin1155°與sin(－1654°)的大小．

2．用三角函數(shù)線比較sin1和cos1的大小，結(jié)果是_______________．

3．利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小(用“”或“”連接)：
(1)sin23π________sin34π；
(2)cos23π________cos34π；
(3)tan23π________tan34π.

【合作探究】
典例精析：
題型一：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例1.求下列三角函數(shù)值：
（1）；（2）；（3）

變式練習(xí)
（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500;

變式練習(xí)（2）sin(.

題型二：三角函數(shù)線的應(yīng)用
例2.在單位圓中，畫出滿足的角的終邊.

變式練習(xí)（3）已知，確定的大小關(guān)系.
變式練習(xí)（4）：
如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是()
A．cosα＜sinα＜tanα
B．tanα＜sinα＜cosα
C．sinα＜cosα＜tanα
D．cosα＜tanα＜sinα
【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1．=（）
A.B.C.D.
2．若，則的大小關(guān)系是
3.求值：.

4、利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?br> (1)sin2π3與sin4π5；
(2)tan2π3與tan4π5；
(3)cos2π3與cos4π5.

【課時作業(yè)】
1.若，則角一定是（）
A.第三象限角
B.第四象限角
C.第三象限角或第四象限角
D.不確定
2.的值為（）
A.2B.2或0
C.2或0或D.不確定
3.求下列各式的值：
（1）
（2）.

*4.用三角函數(shù)線，比較sin1與cos1的大小.

*5.在單位圓中，用陰影部分表示出滿足的角的集合，并寫出該集合.

6．用三角函數(shù)線證明：|sinα|＋|cosα|≥1
【延伸探究】
利用單位圓中的三角函數(shù)線，分別確定角θ的取值范圍．
(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ32.
規(guī)律提示：用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點：
(1)先找到“正值”區(qū)間，即0～2π間滿足條件的角θ的范圍，然后再加上周期；
(2)注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間．

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1.2任意角的三角函數(shù)章末小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠利用終邊相同角的表示方法判斷角所在的象限，會判斷半角和倍角所在的象限。
2.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值，判斷三角函數(shù)值的符號。
【新知自學(xué)】
知識梳理：
1、任意角
（1）角概念的推廣
①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為_____、_____、_____；
②按終邊位置不同分為_______和_______。
（2）終邊與角α相同的角可寫成______________
（3）象限角及其集合表示
象限角象限角的集合表示
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
感悟：
終邊落在x軸上的角的集合________________；
終邊落在y軸上的角的集合________________；
終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合_______________.
2、弧度制
（1）長度等于_______的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示。
（2）如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為,那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=______.
（3）角度與弧度的換算：
①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0.
（4）扇形面積的公式：設(shè)扇形的弧長為，圓心角大小為α(rad)，半徑為r,則扇形的面積為S=r=r2α
3、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:
y叫做α的正弦，記作sinα；
x叫做α的余弦，記作cosα；
y/x叫做α的正切，記作tanα
（2）終邊相同角三角函數(shù)值(k∈Z)（公式一）sin(α+k2π)=sinα
cos(α+k2π)=cosα
tan(α+k2π)=tanα
（3）三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線；
有向線段OM為余弦線；
有向線段AT為正切線
感悟：
1、在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧．
2、注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．
對點練習(xí)：
1、若α＝k180°＋45°(k∈Z)，則α在()
A．第一或第三象限B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限D(zhuǎn)．在第三或第四象限
2、已知tanα0，且sinα＋cosα0，那么角α的終邊在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3、sin2cos3tan4的值()
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
4、已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，則m的值為________．
5、已知角α的終邊過點P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函數(shù)值．

【合作探究】
典例精析：
題型一角的集合表示及象限角的判定
例1、(1)寫出終邊在直線y＝3x上的角的集合；
(2)若角θ的終邊與6π7角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，試確定2α、α2所在的象限．

變式練習(xí)1：
已知點P(sin5π4，cos3π4)落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ是第________象限角．()
A．一B．二C．三D．四

題型二三角函數(shù)的定義
例2、已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.

變式練習(xí)2：
已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()．
A．－45B．－35C.35D.45

題型三弧度制的應(yīng)用
【例3】4已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()
A．1或4B．1
C．4D．8

變式練習(xí)3：
已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.
(1)求弦AB所對的圓心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.

題型四三角函數(shù)線及其應(yīng)用
例4、在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合：
(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.

變式練習(xí)4：求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1、已知θ為銳角，則下列選項提供的各值中，可能為sinθ＋cosθ的是()
A.43B.35C.32D.12

2、判斷下列各式的符號：
(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan－234π；
(3)已知|cosθ|＝－cosθ且tanθ0.則sincosθcossinθ的符號．

3、已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()
A．－43B.54C．－34D.45

4、已知角α的終邊過點P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函數(shù)值．

5、已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．

【課時作業(yè)】
1．若α＝k180°＋45°(k∈Z)，則α在()．
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限
2．與9π4的終邊相同的角的集合，表達正確的是（）．
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k360°＋94π(k∈Z)
C．k360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)
3．已知角α的終邊過點(－1,2)，則cosα的值為()．
A．－55B.255C．－255D．－12
4．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()．
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
5．已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸非負半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－255，則y＝________.
6、如果tanα＝m(m≠0)且sinα＝mm2＋1，那么α所在的象限是()
A．一、二象限B．二、三象限
C．二、四象限D(zhuǎn)．一、四象限

7、已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋45tanα.

8、已知sinα－cosα＝－55，πα3π2，求tanα的值．

9、已知集合M＝{α|sinαcosα，0≤α≤π2}，N＝{α|sinαtanα}，則M∩N等于()
A.α|π4απ2B.α|0απ4
C.α|π8απ4D.α|0απ8

10、已知A為銳角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，則lgsinA的值為()
A．m＋1nB．m－n
C.12m＋1nD.12(m－n)

【延伸探究】
若sin2xcos2x，則x的取值范圍是()
A．{x|2kπ－34πx2kπ＋π4，k∈Z}
B．{x|2kπ＋π4x2kπ＋5π4，k∈Z}
C．{x|kπ－π4xkπ＋π4，k∈Z}
D．{x|kπ＋π4xkπ＋3π4，k∈Z}

高中數(shù)學(xué)必修四1.1.1任意角導(dǎo)學(xué)案

1.1任意角和三角函數(shù)
1.1.1任意角

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、解任意角的概念.
2、邊相同的角的含義及表示.
【新知自學(xué)】
知識回顧：
回憶初中角的概念：
從一個點引出的兩條_________構(gòu)成的幾何圖形.
新知梳理：
1．角的定義
高中:一條射線OA由原來的位置，繞著它的________按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角.其中射線OA叫角的_______，射線OB叫角的_______，O叫角的_______.
2．正角、負角、零角概念
把按__________方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角；按_______方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角；如果一條射線_______________，我們稱它形成了一個零角.在不引起混淆的前提下，“角”或“∠”可簡記為.
感悟：角的概念推廣到任意角，其中包括_________、________、_______,正角可以到正無窮大，負角可以到負無窮大.

對點練習(xí)：
1、如果你的手表慢了25分鐘，有比較簡單的兩種校正方式，請問校正時分針分別轉(zhuǎn)過的角度是多少？

3．象限角
角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的________________重合,那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.
思考：任意角都可以歸結(jié)為象限角嗎？
銳角都是第一象限角嗎？第一象限角都是銳角嗎？
4．終邊相同的角
所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合________________________,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與________________的和.
對點練習(xí)：
2、在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
(1)最大的負角；

(2)最小的正角；

(3)360°～720°的角．

3．若角α滿足180°α360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.
【合作探究】
典例精析：
一、角的基本概念
例1.下列說法正確的是（）
A.三角形的內(nèi)角必定是第一、二象限角
B.第一象限角必是銳角
C.不相等的角終邊必定不同
D.若,則

變式1.下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是鈍角；⑤小于1800的角是鈍角、直角或銳角.其中正確的命題序號是_________________.

二、象限角
例2.在00～3600間，分別找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.
（1）-1200；（2）6600；（3）-9500．

變式練習(xí)
2.分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-3600≤β3600的元素β寫出來：
（1）4600；（2）-3610.
三、終邊相同的角
例3．寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.

變式練習(xí)3.集合M＝{|=k1800+900，k∈Z}中，各角的終邊都在（）
A．x軸正半軸上
B．x軸上
C．y軸上
D．x軸正半軸或y軸正半軸上

變式練習(xí)：
4．寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1.下列命題：
①第一象限角是銳角；
②銳角都是第一象限角；
③第一象限角一定不是負角；
④第二象限角大于第一象限角；
⑤第二象限角是鈍角；
⑥三角形內(nèi)角是第一、第二象限的角；
⑦向左轉(zhuǎn)體1周形成的角為360°.
其中是真命題的為__________(把正確命題的序號都寫上)．
2.下列命題正確的是()
A．－330°與330°都是第四象限角
B．45°角是按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的
C．鈍角都是第二象限角
D．小于90°的角都是銳角

3、分別指出它們是哪個象限的角？
（1）8550；（2）-5100.

4．用集合表示（1）銳角;（2）第一象限角.

5．一個角為300，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)兩周后的角度數(shù)為_________.

6．與-4900終邊相同的角的集合是
__________________________，
它們是第________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負角是___________．

【課時作業(yè)】
1．-11200角所在象限是（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2．給出下列四個命題：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命題有()
A．1個B．2個C．3個D．4個

3.已知是第三象限角，則1800+是（）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角

4.集合中各角的終邊都在（）
A.x軸的非負半軸上
B.y軸的非負半軸上
C.x軸或y軸上
D.x軸的非負半軸或y軸的非負半軸上

5．在0o~360o范圍內(nèi)，分別找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角.
（1）－265;（2）－1000o;（3）3900o.

6.已知是第三象限角，則-是第__________象限角.

*7.若是第二象限角，則，分別是第幾象限的角？

8．已知角β的終邊在直線3x－y＝0上．
(1)寫出角β的集合S；
(2)寫出S中適合不等式－360°β720°的元素．

【延伸探究】
已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合．

高中數(shù)學(xué)必修四導(dǎo)學(xué)案1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（小結(jié)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式；
2.能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)；
3.會解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題.
預(yù)習(xí)課本P23---26頁，理解記憶下列公式
【新知自學(xué)】
知識梳理：
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；
公式五：sin(90)=cos,
cos(90)=sin.
公式六：sin(90+)=cos,
cos(90+)=sin.
記憶方法：“正變余不變，符號看象限”；
注意：①公式中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
感悟：用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是：
(1)______________；(2)________________；(3)_______________
對點練習(xí)：
1.化簡的結(jié)果是（）
A．B．
C．D．
2.sin（－）=_______________
3．若，則=________

題型一：利用誘導(dǎo)公式求值
例1.計算:.

變式1.求值：

題型二：利用誘導(dǎo)公式化簡
例2.化簡：（）．
變式2.化簡：

題型三：利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式
例3.在△ABC中，求證:
.

變式3.在△ABC中，求證:

【課堂小結(jié)】
知識----方法---思想

【當(dāng)堂練習(xí)】
1．求下列三角函數(shù)值：
（1）；（2）；

2.已知tanα=m，則

3.若α是第三象限角，則
=_________．
4.化簡
【課時作業(yè)】
1．設(shè)，且為第二象限角，則的值為（）
A．B．－
C．D．－
2．化簡：得（）
A.sin2+cos2B.cos2-sin2
C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)
3．下列三角函數(shù)值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函數(shù)值與的值相等的是（）
A．①②B．①③④
C．②③⑤D．①③⑤

4.設(shè)A、B、C是三角形的三個內(nèi)角，下列關(guān)系恒成立的是（）
A．cos（A+B）=cosC
B．sin（A+B）=sinC
C．tan（A+B）=tanC
D．sin=sin
5.已知sin(+α)=，則sin(-α)值為（）
A.B.—C.D.—

6.已知值

7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，則
的值是．

8.若，則。

9.已知，求
的值．

【延伸探究】
1.已知函數(shù)求的值。

2．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．

高中數(shù)學(xué)必修四1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系導(dǎo)學(xué)案

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；
2．靈活運用公式解決變形、求值、證明等問題.
【新知自學(xué)】
預(yù)習(xí)課本P30---33頁的內(nèi)容，
知識回顧：
1、知識回顧：（1）任意角的三角函數(shù)是如何定義的？

（2）在單位圓中，任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)線分別是什么？

對于一個任意角是三個不同的三角函數(shù)，從聯(lián)系的觀點來看，三者之間應(yīng)存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，你能找出這種同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系嗎？

新知梳理：
1、（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
①平方關(guān)系：=_______；（運用三角函數(shù)線，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合）
②商的關(guān)系：___________
().（運用定義）
（2）文字?jǐn)⑹觯和粋€角錯誤！未找到引用源。的正弦、余弦的_________等于1，商等于角錯誤！未找到引用源。的_______.
感悟：
在同角的三個三角函數(shù)中，可“知一求二”.
對點練習(xí)：
1．化簡的結(jié)果是（）
A.sinB.-sin
C.cosD.-cos
2.已知是第二象限角，且sin=，則cos=_________,tan=_________.
3.已知sin=，則
sin4-cos4=_______________.

4．化簡：
（1）=；

【合作探究】
典例精析：
題型一：利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值
例1.若sinθ＝－45，tanθ0，求cosθ.

變式1.
（1）已知α是第二象限角且tanα＝－512，求sinα、cosα的值.
（2）已知tanα＝3，求sin2α＋2sinαcosα的值．

題型二：利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡、證明
例2.求證

變式2.化簡

題型三：正余弦的和、差、積之間的轉(zhuǎn)化
例3、已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，試分別求①sinθcosθ；②sinθ-cosθ；③tanθ+.的值。

變式2.已知sinαcosα＝18，且π4απ2，則cosα－sinα＝_______.
感悟：結(jié)合過去學(xué)過的代數(shù)公式，及其上邊的關(guān)系式，小組內(nèi)討論：sin、sin、sin、這四個式子間的關(guān)系。
【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達標(biāo)】
1．已知α是第四象限角，cosα=則sinα等于（）
A.B.-C.D.-

2．若，，且，則的值為___．

3．已知tan=2，則
=_______________

4．已知sinα－cosα＝12，求sin3α－cos3α的值.

【課時作業(yè)】
1．若cosα=，且α，則tanα=_____________.

2．化簡：
（1）錯誤！未找到引用源。1－2sin40°cos40°=__________；

（2）=_______________.

3．已知，則tanα=（）
A.-1B.C.D.1
4．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)4sinα－cosα3sinα＋5cosα；(2)34sin2α＋12cos2α.

5．求證：

6．求證：sin4α-cos4α=2sin2α-1.

7．若cosα0，化簡1－sinα1＋sinα+1＋sinα1－sinα=_______________．
【延伸探究】
8．已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tanθ＋1tanθ的值．