高中不等式教案

高二數(shù)學(xué)《函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系》集體備課。

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“高二數(shù)學(xué)《函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系》集體備課”，希望能為您提供更多的參考。

高二數(shù)學(xué)《函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系》集體備課

高考要求
三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān)本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法
重難點(diǎn)歸納
1二次函數(shù)的基本性質(zhì)
(1)二次函數(shù)的三種表示法
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n
(2)當(dāng)a0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=(p+q)
若－Ip,則f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－Ix0,則f(－)=m,f(q)=M;
若x0≤－Iq,則f(p)=M,f(－)=m;
若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m
2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0;
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根
(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立
(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pIq)
3二次不等式轉(zhuǎn)化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是
(－∞,α)∪［β,+∞a0且f(α)=f(β)=0;
(2)當(dāng)a0時(shí)，f(α)If(β)|α+||β+|,
當(dāng)a0時(shí)，f(α)If(β)|α+||β+|;
(3)當(dāng)a0時(shí)，二次不等式f(x)0在［p,q］恒成立
或
(4)f(x)0恒成立
典型題例示范講解
例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；
(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍
命題意圖本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力
知識依托解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合
錯(cuò)解分析由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”
技巧與方法利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化
(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0
∴c20,∴Δ0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)
(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵abc,a+b+c=0,a0,c0
∴a－a－cc,解得∈(－2,－)
∵的對稱軸方程是
∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍
命題意圖本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題
知識依托解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義
錯(cuò)解分析用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn)
技巧與方法設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制
解(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得
∴
(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組
(這里0－m1是因?yàn)閷ΨQ軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)
例3已知對于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a－1|+2的根的取值范圍
解由條件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2
(1)當(dāng)－≤a＜1時(shí)，原方程化為
x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－)2+
∴a=－時(shí)，xmin=,a=時(shí)，xmax=
∴≤x≤
(2)當(dāng)1≤a≤2時(shí)，x=a2+3a+2=(a+)2－
∴當(dāng)a=1時(shí)，xmin=6,當(dāng)a=2時(shí)，xmax=12,∴6≤x≤12
綜上所述,≤x≤12
學(xué)生鞏固練習(xí)
1若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－40對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是()
A(－∞,2B－2,2C(－2,2D(－∞,－2)
2設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2－x+a(a0),若f(m)0,則f(m－1)的值為()
A正數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能
3已知二次函數(shù)f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_________
4二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)If(1+2x－x2),則x的取值范圍是_________
5已知實(shí)數(shù)t滿足關(guān)系式(a0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；
(2)若x∈(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值
6如果二次函數(shù)y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍
7二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其中m0,求證
(1)pf()0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解
8一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元
(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤不少于1300元？
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
參考答案
1解析當(dāng)a－2=0即a=2時(shí),不等式為－4＜0,恒成立∴a=2,當(dāng)a－2≠0時(shí)，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2
答案C
2解析∵f(x)=x2－x+a的對稱軸為x=,且f(1)0,則f(0)0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),∴m－1＜0,∴f(m－1)0
答案A
3解析只需f(1)=－2p2－3p+90或f(－1)=－2p2+p+10即－3＜p＜或－＜p＜1∴p∈(－3,)
答案(－3，）
4解析由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0
答案－2＜x＜0
5解(1）由loga得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,?
∴l(xiāng)ogay=x2－3x+3，即y=a(x≠0)
(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+(x≠0),則y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
則u=(x－)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值
②若a1,要使y=au有最小值8，則u=(x－)2+,x∈(0,2應(yīng)有最小值
∴當(dāng)x=時(shí)，umin=,ymin=
由=8得a=16∴所求a=16,x=
6解∵f(0)=10
(1)當(dāng)m＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意
(2）當(dāng)m0時(shí)，則解得0＜m≤1
綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}
7證明(1)
,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m0,所以，pf()＜0
(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①當(dāng)p＜0時(shí)，由(1）知f()＜0
若r0,則f(0)0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;
若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=0,
又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解
②當(dāng)p＜0時(shí)同理可證
8解(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時(shí)，月獲利不少于1300元
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+16125
∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時(shí)，y取得最大值為1612元，
∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤1612元

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不等式與不等關(guān)系

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“不等式與不等關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

§3.1不等式與不等關(guān)系（第2課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。
一．知識歸納
1.性質(zhì)：
2.請?jiān)囍鴮ι鲜降模?），（7）,(8)進(jìn)行證明。

二．典例分析.
例1、已知求證：

例2、已知求的取值范圍

例3、比較下列兩個(gè)代數(shù)式值或者實(shí)數(shù)的大小。
（1）與（2）與
三．課堂檢測
1.若a,b是任意實(shí)數(shù)，且ab,則（）
A．B．C．D．
2.設(shè),則下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若則的值為（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符號不能確定
4.設(shè)，則a與b的大小關(guān)系是（）
AabBabCa=bD與x的值有關(guān)
5.若2a3,-4b-3,則的取值范圍是，的取值范圍是.
6.當(dāng)時(shí)，給出以下三個(gè)結(jié)論：①②③其中正確命題的序號是。
7.若則中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范圍

不等關(guān)系與不等式教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小．
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系．
2．會用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實(shí)例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零．
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短．
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來．實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大．
(4)對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動(dòng)：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點(diǎn)評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大?。?br> 解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定．本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號)，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點(diǎn)評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大?。?br> 活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時(shí)，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時(shí)，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點(diǎn)評：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點(diǎn)評：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大?。?br> 答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因?yàn)?x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法；從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識體系中．
2．教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方．鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng)．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大?。?br> 2．試判斷下列各對整式的大?。?1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小．
5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大?。?br> 參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.

高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案

俗話說，磨刀不誤砍柴工。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案”希望對您的工作和生活有所幫助。

高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)
（1）能熟練運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)來解不等式；（2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；（3）能將較復(fù)雜的絕對值不等式轉(zhuǎn)化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式（組）來解；（4）通過解不等式，要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想；（5）通過解各種類型的不等式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較及概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
教學(xué)建議一、知識結(jié)構(gòu)本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究較為復(fù)雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運(yùn)用不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、法則，將這些不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號，無理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：
;;;二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析本節(jié)的重點(diǎn)和一個(gè)難點(diǎn)是不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過檢驗(yàn)加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無法檢驗(yàn)加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價(jià)變換.在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中另一個(gè)難點(diǎn)是不等式的求解.這個(gè)不等式其實(shí)是一個(gè)不等式組的簡化形式,當(dāng)為一元一次式時(shí),可直接解這個(gè)不等式組,但當(dāng)為一元二次式時(shí),就必須將其改寫成兩個(gè)一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.三、教學(xué)建議(1)在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識,包括一元二次不等式的解法,簡單的絕對值不等式的解法,簡單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則等.特別是對于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.(2)在研究不等式的解法之前,應(yīng)先復(fù)習(xí)解不等式組的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用換元思想將替換成,從而轉(zhuǎn)化一元二次不等式組的求解.(3)在教學(xué)中一定讓學(xué)生充分討論,明確不等式組“”中的兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系，“”兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系.(4)建議表述解不等式的過程中運(yùn)用符號“”.(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡單高次不等式(一端為0,另一端是若干個(gè)一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學(xué)生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實(shí)到區(qū)間法.(6)分式不等式與高次不等式的等價(jià)原因,可以認(rèn)為是不等式兩端同乘以正數(shù),不等號不改變方向所得;也可以認(rèn)為是與符號相同所得.(7)分式不等式求解時(shí)不能盲目地去分母，但當(dāng)分母恒為正數(shù)(如分母是)時(shí)，應(yīng)將其去掉，從而使不等式化簡.(8)建議補(bǔ)充簡單的無理不等式的解法,其中為一次式.教學(xué)中先由學(xué)生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結(jié),得出結(jié)論后一定要強(qiáng)調(diào)不等號的方向?qū)Φ挠绊?即保證了,而卻不能保證這一點(diǎn),所以要分和兩種情況進(jìn)行討論.(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應(yīng)給學(xué)生做出示范,學(xué)生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運(yùn)算的合理性與結(jié)果的準(zhǔn)確性.教學(xué)設(shè)計(jì)示例分式不等式的解法教學(xué)目標(biāo)1．掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化；
2．進(jìn)一步熟悉并掌握數(shù)軸標(biāo)根法；
3．掌握分式不等式基本解法.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是分式不等式解法
難點(diǎn)是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化教學(xué)方法啟發(fā)式和引導(dǎo)式教具準(zhǔn)備三角板、幻燈片教學(xué)過程1．復(fù)習(xí)回顧：前面，我們學(xué)習(xí)了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數(shù)軸標(biāo)根法的解題思路，本節(jié)課，我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.2．講授新課：例3解不等式＜0.分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的商，根據(jù)商的符號法則，它可以化成兩個(gè)不等式組：因此，原不等式的解集就是上面兩個(gè)不等式組的解集的并集，此種解法從課本可以看到.另解：根據(jù)積的符號法則，可以將原不等式等價(jià)變形為（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0可得零點(diǎn)x=－1或1，或2或3，將數(shù)軸分成五部分（如圖）.由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}說明：（1）讓學(xué)生注意數(shù)軸標(biāo)根法適用條件；（2）讓學(xué)生思考≤0的等價(jià)變形.例4解不等式＞1分析：首先轉(zhuǎn)化成右端為0的分式不等式，然后再等價(jià)變形為整式不等式求解.解：原不等式等價(jià)變形為：－1＞0通分整理得：＞0等價(jià)變形為：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}說明：此題要求學(xué)生掌握較為一般的分式不等式的轉(zhuǎn)化與求解.3．課堂練習(xí)：課本P19練習(xí)1.補(bǔ)充：（1）≥0；（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在進(jìn)一步掌握數(shù)軸標(biāo)根法的基礎(chǔ)上，掌握分式不等式的基本解法，即轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.課后作業(yè)習(xí)題6.43,4.板書設(shè)計(jì)●教學(xué)后記探究活動(dòng)試一試用所學(xué)知識解下列不等式：（1）；（2）；（3）．答案：（1）原式觀察這個(gè)不等式組，由于要求，同時(shí)要求，所以①式可以不解．∴原式如下圖∴（2）分析當(dāng)時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng)時(shí)，在有意義的前提下恒成立．原式（Ⅰ）或（Ⅱ）由于同時(shí)滿足（2）、（3）式，所以（1）式免解．∴（Ⅰ）式（Ⅱ）式．綜合（Ⅰ）、（Ⅱ），得．（3）分析當(dāng)時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng)時(shí)，原式解集為．原式觀察不等式組，設(shè)有可以免解的不等式．

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們在上課時(shí)能夠更好的聽課，使教師有一個(gè)簡單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

十月十一日早上，第三節(jié)課我上了公開課《不等關(guān)系與不等式》第一節(jié)。由于課間操的延遲，導(dǎo)致本節(jié)課準(zhǔn)備的三個(gè)內(nèi)容，只完成了其中的兩個(gè)。

本節(jié)課內(nèi)容雖說簡單，就是不等關(guān)系的表示，兩個(gè)數(shù)大小的比較，以及不等式的性質(zhì)。其中后兩個(gè)是重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)。但我教的對象，是高二年級基礎(chǔ)最差的學(xué)生，所以對他們來時(shí)。剛脫離《數(shù)列》學(xué)習(xí)的苦海，又再次進(jìn)入《不等式》的火海之中，對于他們來說一樣是煎熬。

不等關(guān)系的表示掌握還算湊合，課本上的內(nèi)容感覺也是一知半解，由于時(shí)間（課間操耽誤了十分鐘）緊的緣故，原本計(jì)劃中的第六題我刪除了，兩位數(shù)的表示怕學(xué)生一時(shí)半會還難以理解。原本的兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，只是簡單說了下依據(jù)，具體兩個(gè)代數(shù)式比較大小例題也沒來得及講，學(xué)生的練習(xí)更談不上。另一個(gè)重點(diǎn)不等式的性質(zhì)，學(xué)生的理解也是一知半解，懵懵懂懂。遇到具體的應(yīng)用，學(xué)生把剛才的性質(zhì)又拋到九霄云外，憑空想象人云亦云，似乎根本與性質(zhì)又聯(lián)系不起來。不等式剛才強(qiáng)調(diào)了同向不等式可以相加不能相減，但如ab,cb-d，遇到負(fù)號不知道轉(zhuǎn)化為減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，幾乎全班學(xué)生都在糾結(jié)之中，不知如何去做;諸如ab0,cbd同樣也在糾結(jié)之中，同正同向不等式剛才強(qiáng)調(diào)只能相乘不能相除，但遇到不同向，不同正就又不會轉(zhuǎn)化。學(xué)生的現(xiàn)狀真是讓人崩潰，

課后同仁熱評，感覺存在以下幾個(gè)問題

1、《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)后的總結(jié)反思的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)不夠，只是輕描淡寫一語而過，沒有具體說明二者的區(qū)別。

2、不等關(guān)系的表示何時(shí)用“大括號”何時(shí)用“或”沒有說清楚，有的同學(xué)在做第四小題時(shí)，用逗號模棱兩可。

3、同一習(xí)題演板人過多，顯得凌亂。

4、學(xué)生的做題格式板書強(qiáng)調(diào)不夠，學(xué)生做的不整齊，也沒指出。

通過同仁的熱議和自己的反思，感覺自己在備課上還下的不夠，沒有吃透學(xué)生，對學(xué)生基礎(chǔ)薄弱視而不見，淡化了本該強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容；同時(shí)對學(xué)生存在的問題熟視無睹，沒有指出存在的問題使他們及時(shí)糾正養(yǎng)成書寫的規(guī)范。教學(xué)不僅僅是傳授知識，對于他們好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成也不可忽視。