高中向量的教案

高二數(shù)學(xué)平面向量的分解定理003。

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“高二數(shù)學(xué)平面向量的分解定理003”，相信能對(duì)大家有所幫助。

8.3平面向量的分解定理
一、教學(xué)目標(biāo)
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來(lái)表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；
3．根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問(wèn)題情景中，體會(huì)研究向量分解的必要性。
4．經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過(guò)程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想。
二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程；分解唯一性的說(shuō)明。
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
（一）、設(shè)置情景，引入課題
（1）觀察
前面我們學(xué)過(guò)向量的加法，知道兩個(gè)向量可以合成一個(gè)向量，反過(guò)來(lái)，一個(gè)向量是否可以分解成兩個(gè)向量呢？
下面讓我們來(lái)看一個(gè)實(shí)例：
實(shí)例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和F2.

思考：從這個(gè)實(shí)例我們看到了什么？
答：一個(gè)向量可以分成兩個(gè)不同方向的向量.
（2）復(fù)習(xí)正交分解，并抽象為數(shù)學(xué)模型

（二）、探索探究，主動(dòng)建構(gòu)

概括討論，提出新問(wèn)題：
如果向量是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，是該平面內(nèi)的一個(gè)非零向量，是否能用向量表示向量？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1
高考￥資%源~網(wǎng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：
(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生探究：給定平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，對(duì)于給定的非零向量是否能分解成方向上的兩個(gè)向量，且分解是否是唯一的？
(2)實(shí)驗(yàn)步驟：
a.以四位同學(xué)為一組，給每一位同學(xué)一個(gè)圖，上面有兩個(gè)不平行向量和；

b.每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立作圖；
c.小組對(duì)照，比較所分解的兩向量的長(zhǎng)度和方向是否相同.并得出結(jié)論.
(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：(由學(xué)生發(fā)言)可以分解，且分解的長(zhǎng)度和方向唯一的.
師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學(xué)式子把和的關(guān)系表示出來(lái)？
生：是不平行向量，是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O
（1）作；
（2）過(guò)C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點(diǎn)M；
（3）過(guò)C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點(diǎn)N；
（4）四邊形為平行四邊形，由向量平行的充要條件可知存在實(shí)數(shù)，使得，，則.
對(duì)于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于任意的向量是否也可以得到同樣的結(jié)論呢？下面讓我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn).
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2
實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：
(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)幾何畫板向量分解動(dòng)畫，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于任意向量都可以分解成給定的兩個(gè)不平行向量，且分解是唯一的.
(2)實(shí)驗(yàn)步驟：
a.利用幾何畫板畫出兩個(gè)不平行向量，畫出一個(gè)任意向量(該向量可以任意拖動(dòng)終點(diǎn)來(lái)改變)；
b.學(xué)生從拖動(dòng)中體會(huì)其向量的任意性.（一些特殊位置，，）
(3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：
3．探究結(jié)果
幾何角度：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個(gè)不平行向量的線性組合，即，且分解是唯一的.
代數(shù)角度：說(shuō)明唯一性：
說(shuō)明：（1）當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則有
=
.由于不平行，故，即.
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.
注意：
（1）基底不共線；
（2）將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；
（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被，，唯一確定的數(shù)量

（通過(guò)實(shí)驗(yàn)的制作，學(xué)生的動(dòng)手作圖能力得到提高，通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論，學(xué)生的抽象概括能力，語(yǔ)言表達(dá)能力得到訓(xùn)練.）
（三）．例題分析
例1（教材P66．例2）如圖：平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且，分別用表示和.
解：在平行四邊形ABCD中，
，
注：（1）把作為一組基，用向量表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量
（2）平行四邊形法則簡(jiǎn)化為三角形法則。
練習(xí)：學(xué)生完成教材后面練習(xí)P67（2）
思考：由例1和練習(xí)（2）平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？
思考題（教材P67．例3）已知是不平行的兩個(gè)向量，是實(shí)數(shù)，且，用表示.
解：
（四）、課堂小結(jié)：（1）平面向量的分解定理.對(duì)分解定理的理解：基底為兩個(gè)不平行向量，向量的任意性，實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性；
（2）從基的角度認(rèn)識(shí)幾何圖形。
（五）、作業(yè)布置
《練習(xí)冊(cè)》P37A組3，4，5B組2，3

精選閱讀

平面向量基本定理

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有寫好教案課件計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！有哪些好的范文適合教案課件的？以下是小編為大家精心整理的“平面向量基本定理”，希望能為您提供更多的參考。

課時(shí)5平面向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握平面向量的基本定理，能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。
2．能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些幾何問(wèn)題。
【知識(shí)梳理】
若，是不共線向量，是平面內(nèi)任一向量
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=，=，=，使=λ1=λ2
==+=λ1+λ2
得平面向量基本定理：

注意：1、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
2這個(gè)定理也叫共面向量定理
3λ1，λ2是被，，唯一確定的實(shí)數(shù)。
【例題選講】
1．如圖，ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC，BD交于M，，，試用基底、表示。
2．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=3-2，=4+，=8-9，求證：A，B，D三點(diǎn)共線。

3．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=2+k，=--3，=2-，若A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值。

4．中，，DE//BC，與邊AC相交于點(diǎn)E，中線AM與DE交于點(diǎn)N，如圖，，，試用、表示。

【歸納反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它說(shuō)明同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合。
2．在解具體問(wèn)題時(shí)適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其它向量能夠用基底來(lái)表示，選擇了兩個(gè)不共線地向量，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用唯一表示，這樣幾何問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)運(yùn)算。
【課內(nèi)練習(xí)】
1．下面三種說(shuō)法，正確的是
（1）一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（2）一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（3）零向量不可為基底中的向量；
2．如果、是平面內(nèi)一組基底，，那么下列命題中正確的是
（1）若實(shí)數(shù)m,n，使m+n=,則m=n=0;
（2）空間任一向量可以表示為=m+n，這里m,n是實(shí)數(shù)；
（3）對(duì)實(shí)數(shù)m,n，向量m+n不一定在平面；
（4）對(duì)平面內(nèi)的任一向量，使=m+n的實(shí)數(shù)m,n有無(wú)數(shù)組。
3．若G是的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則=
4．如圖，在中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點(diǎn)P，設(shè)，試用，表示。

5．設(shè)，，，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。

【鞏固提高】
1．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組中不能作為基底的是
A+和-B3-2和-6+4
C+2和+2D和+
2．若，，，則=
A+B+C+D+
3．平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（3，1），B（-1，3），點(diǎn)C滿足，其中，且=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
4．O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
，則P的軌跡一定通過(guò)的心
5．若點(diǎn)D在的邊BC上，且=，則3m+n的值為
6．設(shè)=+5，=-2+8，=3（-），求證：A、B、D三點(diǎn)共線。

7．在圖中，對(duì)于平行四邊形ABCD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN=BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線。

8．已知=5+2，=6+y，，，是一組基底，求y的值。

9．如圖，在中，D、E分別是線段AC的兩個(gè)四等份點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，設(shè)，，試用，為基底表示向量。

問(wèn)題統(tǒng)計(jì)與分析

平面向量的基本定理

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？經(jīng)過(guò)搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“平面向量的基本定理”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2.3.1平面向量基本定理

一、課題：平面向量基本定理
二、教學(xué)目標(biāo)：1．理解向量的坐標(biāo)表示法,掌握平面向量與一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；
2．正確地用坐標(biāo)表示向量，對(duì)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的
關(guān)系來(lái)用坐標(biāo)表示；
3．掌握兩向量的和、差,實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示法。
三、教學(xué)重、難點(diǎn)：1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2．對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解。
四、教學(xué)過(guò)程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．平面向量的基本定理：；
2．在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)表示，那么，每一個(gè)向量可否也用
一對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)表示？
（二）新課講解：
1．向量的坐標(biāo)表示的定義：
分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對(duì)于任一向量，，（），實(shí)數(shù)對(duì)叫向量的坐標(biāo)，記作．
其中叫向量在軸上的坐標(biāo)，叫向量在軸上的坐標(biāo)。
說(shuō)明：（1）對(duì)于，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；
（2）相等的向量的坐標(biāo)也相同；
（3），，；
（4）從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)。

例1如圖，用基底，分別表示向量、、、，并求出它們的坐標(biāo)。
解：由圖知：；
；
；

2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
問(wèn)題：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。
3．向量的坐標(biāo)計(jì)算公式：
已知向量，且點(diǎn)，，求的坐標(biāo)．
．

歸納：（1）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是這二個(gè)向量的坐標(biāo)相等。

4．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)：
已知和實(shí)數(shù)，求
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
例2已知，，求，，的坐標(biāo)．
解：=；；
．

例3已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，，
由，得．
∴∴∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

例4（1）已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為，
．
（2）已知，，，且，求，．
解：（2）由題意，，
∴∴．

五、課堂小結(jié)：1．正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；
2．掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
3．能用平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算解決一些實(shí)際問(wèn)題。
六、作業(yè)：
補(bǔ)充：1．已知向量與相等，其中，，求；
2．已知向量，，，，且，求．

高二數(shù)學(xué)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示3

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？經(jīng)過(guò)搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“高二數(shù)學(xué)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示3”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問(wèn)題
(1)怎樣分解一個(gè)向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點(diǎn)睛](1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號(hào)表示
加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點(diǎn)睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無(wú)關(guān)．()
(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[典例](1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第二象限？
[解]因?yàn)椋剑玹＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點(diǎn)P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點(diǎn)”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試問(wèn)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說(shuō)明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無(wú)解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問(wèn)題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個(gè)方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且＝－2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點(diǎn)A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．
(2)若點(diǎn)P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因?yàn)椋?4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點(diǎn)D2，72，故選A.
4．對(duì)于任意的兩個(gè)向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運(yùn)算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個(gè)．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴F為AD的中點(diǎn)．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
因?yàn)椋?，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)锳(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因?yàn)椋絤＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.