高中不等式教案

不等式與不等關(guān)系。

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“不等式與不等關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

§3.1不等式與不等關(guān)系（第2課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【學(xué)習(xí)重點】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
【學(xué)習(xí)難點】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。
一．知識歸納
1.性質(zhì)：
2.請試著對上式的（6），（7）,(8)進(jìn)行證明。

二．典例分析.
例1、已知求證：

例2、已知求的取值范圍jab88.cOm

例3、比較下列兩個代數(shù)式值或者實數(shù)的大小。
（1）與（2）與
三．課堂檢測
1.若a,b是任意實數(shù)，且ab,則（）
A．B．C．D．
2.設(shè),則下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若則的值為（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符號不能確定
4.設(shè)，則a與b的大小關(guān)系是（）
AabBabCa=bD與x的值有關(guān)
5.若2a3,-4b-3,則的取值范圍是，的取值范圍是.
6.當(dāng)時，給出以下三個結(jié)論：①②③其中正確命題的序號是。
7.若則中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范圍

相關(guān)知識

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

十月十一日早上，第三節(jié)課我上了公開課《不等關(guān)系與不等式》第一節(jié)。由于課間操的延遲，導(dǎo)致本節(jié)課準(zhǔn)備的三個內(nèi)容，只完成了其中的兩個。

本節(jié)課內(nèi)容雖說簡單，就是不等關(guān)系的表示，兩個數(shù)大小的比較，以及不等式的性質(zhì)。其中后兩個是重點，同時也是難點。但我教的對象，是高二年級基礎(chǔ)最差的學(xué)生，所以對他們來時。剛脫離《數(shù)列》學(xué)習(xí)的苦海，又再次進(jìn)入《不等式》的火海之中，對于他們來說一樣是煎熬。

不等關(guān)系的表示掌握還算湊合，課本上的內(nèi)容感覺也是一知半解，由于時間（課間操耽誤了十分鐘）緊的緣故，原本計劃中的第六題我刪除了，兩位數(shù)的表示怕學(xué)生一時半會還難以理解。原本的兩個實數(shù)比較大小，只是簡單說了下依據(jù)，具體兩個代數(shù)式比較大小例題也沒來得及講，學(xué)生的練習(xí)更談不上。另一個重點不等式的性質(zhì)，學(xué)生的理解也是一知半解，懵懵懂懂。遇到具體的應(yīng)用，學(xué)生把剛才的性質(zhì)又拋到九霄云外，憑空想象人云亦云，似乎根本與性質(zhì)又聯(lián)系不起來。不等式剛才強(qiáng)調(diào)了同向不等式可以相加不能相減，但如ab,cb-d，遇到負(fù)號不知道轉(zhuǎn)化為減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，幾乎全班學(xué)生都在糾結(jié)之中，不知如何去做;諸如ab0,cbd同樣也在糾結(jié)之中，同正同向不等式剛才強(qiáng)調(diào)只能相乘不能相除，但遇到不同向，不同正就又不會轉(zhuǎn)化。學(xué)生的現(xiàn)狀真是讓人崩潰，

課后同仁熱評，感覺存在以下幾個問題

1、《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)后的總結(jié)反思的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)不夠，只是輕描淡寫一語而過，沒有具體說明二者的區(qū)別。

2、不等關(guān)系的表示何時用“大括號”何時用“或”沒有說清楚，有的同學(xué)在做第四小題時，用逗號模棱兩可。

3、同一習(xí)題演板人過多，顯得凌亂。

4、學(xué)生的做題格式板書強(qiáng)調(diào)不夠，學(xué)生做的不整齊，也沒指出。

通過同仁的熱議和自己的反思，感覺自己在備課上還下的不夠，沒有吃透學(xué)生，對學(xué)生基礎(chǔ)薄弱視而不見，淡化了本該強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容；同時對學(xué)生存在的問題熟視無睹，沒有指出存在的問題使他們及時糾正養(yǎng)成書寫的規(guī)范。教學(xué)不僅僅是傳授知識，對于他們好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成也不可忽視。

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識點歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差
②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度?。?br> （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）
證法二：（分析法）
因為顯然成立，所以原不等式成立
點評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立
點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因為，所以，即
故
例3設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個，當(dāng)時，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個”翻譯為符號語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點評：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運用基本不等式，也是用比較法證不等式時的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時，證明：對于任意實數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時，
故原命題成立
4．比較的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價格購進(jìn)糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計，誰購的糧食平均價低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價格為，乙三次購糧的平均價格為，因為
所以乙購的糧食價格低
說明“各次的糧食價格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價格用式子表示出來我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

超越不等式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編精心為您整理的“超越不等式”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

超越不等式
一,理論知識匯總
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等價轉(zhuǎn)化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解關(guān)于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等價于(ax-1)(x+1)0
（1）當(dāng)a=0時,原不等式為-(x+1)0解得x-1;
（2）當(dāng)a0時,得1a0解得x-1或x1a
（3）當(dāng)a0時,原不等式可化為(x-1a)(x+1)0
①若a=-1時,不等式無解;②若a-1時,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0時,1a-1解得1ax-1
綜上所述：當(dāng)a=0時,解集為(-∞,-1);當(dāng)a0時,解集為(-∞,-1)∪(1a,+∞);
當(dāng)a=-1時,解集為;當(dāng)a-1時,解集為(-1,1a);當(dāng)-1a0時,解集為(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿線法.
注意:(1)因式分解后,整理成每個因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿線法的使用對象及使用方法
使用對象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根,使等號成立的根,標(biāo)為實點,等號不成立的根要標(biāo)虛點.
②自右向左自上而下穿線,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③數(shù)軸上方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立,下方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:變形為(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根據(jù)穿線法如圖

不等式解集為:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.?
a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）對數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.
a1時,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1時,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函數(shù)y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)圖，得出滿足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用單位圓求解之外，
還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的圖像，先得出滿足條件x∈的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的結(jié)論可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
練習(xí)：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),則不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.設(shè)A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},則A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集為()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集為()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范圍內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.當(dāng)0a1時,不等式:的解集為.
12.不等式sinx≤-的解集為.
13.不等式tan(x-)≥的解集為.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指數(shù)不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解對數(shù)不等式:logx5-2logx3.?

17.解關(guān)于x的不等式:

18.解不等式:

不等式

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？以下是小編收集整理的“不等式”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。