高中不等式教案

高二數(shù)學(xué)《基本不等式》教案分析。

高二數(shù)學(xué)《基本不等式》教案分析

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又稱為均值不等式，選自北京師范大學(xué)出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5第3章第3節(jié)內(nèi)容。教學(xué)對象為高二學(xué)生，本節(jié)課為第一課時，重在研究基本不等式的證明及幾何意義。本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題奠定基礎(chǔ)。因此基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，它也是對學(xué)生進(jìn)行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。

【教學(xué)目標(biāo)】

依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實際情況，特確定如下目標(biāo)：

知識與技能目標(biāo)：理解掌握基本不等式，理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會構(gòu)造條件使用基本不等式；

過程與方法目標(biāo)：通過探究基本不等式，使學(xué)生體會知識的形成過程，培養(yǎng)分析、解決問題的能力；

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。

【教學(xué)重難點】

重點：理解掌握基本不等式，能借助幾何圖形說明基本不等式的意義。

難點：利用基本不等式推導(dǎo)不等式.

關(guān)鍵是對基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生思維活動得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大大提高了課堂教學(xué)效率．

三、學(xué)法指導(dǎo)

新課改的精神在于以學(xué)生的發(fā)展為本，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方法，因此，本課主要采取以自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方式，通過讓學(xué)生想一想，做一做，用一用，建構(gòu)起自己的知識，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。

四、教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

具體過程安排如下：

（一）基本不等式的教學(xué)設(shè)計創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實．基于此,設(shè)置如下情境:

上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。

[問題1]請觀察會標(biāo)圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們在面積上有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?（讓學(xué)生分組討論）

(二)探究問題，抽象歸納

基本不等式的教學(xué)設(shè)計1．探究圖形中的不等關(guān)系

形的角度----(利用多媒體展示會標(biāo)圖形的變化,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四個直角三角形的面積之和小于或等于正方形的面積.)

數(shù)的角度

[問題2]若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b,應(yīng)怎樣表示這種不等關(guān)系?

學(xué)生討論結(jié)果：。

[問題3]大家看，這個圖形里還真有點奧妙。我們從圖中找到了一個不等式。這里a、b的取值有沒有什么限制條件?不等式中的等號什么時候成立呢？（師生共同探索）

咱們再看一看圖形的變化，（教師演示）

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)）當(dāng)a=b四個直角三角形都變成了等腰直角三角形，他們的面積和恰好等于正方形的面積，即.探索結(jié)論：我們得到不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

設(shè)計意圖：本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式基本不等式的教學(xué)設(shè)計。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式。

2．抽象歸納：

一般地，對于任意實數(shù)a,b，有，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立。

[問題4]你能給出它的證明嗎？

學(xué)生在黑板上板書。

[問題5]特別地，當(dāng)時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么？

學(xué)生歸納得出。

設(shè)計意圖：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

【歸納總結(jié)】

如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。

我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a,b的幾何平均數(shù)。

3．探究基本不等式證明方法：

[問題6]如何證明基本不等式？

設(shè)計意圖：在于引領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識基本不等式到理性證明，實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華，前面是從幾何圖形中的面積關(guān)系獲得不等式的，下面用代數(shù)的思想，利用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式。

方法一：作差比較或由基本不等式的教學(xué)設(shè)計展開證明。

方法二：分析法

要證

只要證2

要證,只要證2

要證,只要證

顯然,是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,中的等號成立。

4．理解升華

1）文字語言敘述：

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2）符號語言敘述：

若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，。

[問題7]怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié)）

“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是：

當(dāng)a=b時，取等號，即；

僅當(dāng)a=b時，取等號，即。

3）探究基本不等式的幾何意義：

基本不等式的教學(xué)設(shè)計借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生探究不等式的幾何解釋，通過數(shù)形結(jié)合，賦予不等式幾何直觀。進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[問題8]你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

（教師演示，學(xué)生直觀感覺）

易證ＲtAＣDＲtDＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝.

這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立.

因此：基本不等式幾何意義可認(rèn)為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認(rèn)為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高.

4）聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式

從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系.

[問題9]回憶一下你所學(xué)的知識中，有哪些地方出現(xiàn)過“和”與“積”的結(jié)構(gòu)？

歸納得出:

均值不等式的代數(shù)解釋為:兩個正數(shù)的等差中項不小它們的等比中項.

基本不等式的教學(xué)設(shè)計（四）體會新知，遷移應(yīng)用

例1：（1）設(shè)均為正數(shù)，證明不等式：基本不等式的教學(xué)設(shè)計

（2）如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，設(shè)AC=a,CB=b，

，過作交于，你能利用這個圖形得出這個不等式的一種幾何解釋嗎？

設(shè)計意圖：以上例題是根據(jù)基本不等式的使用條件中的難點和關(guān)鍵處設(shè)置的，目的是利用學(xué)生原有的平面幾何知識，進(jìn)一步領(lǐng)悟到不等式成立的條件，及當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。這里完全放手讓學(xué)生自主探究，老師指導(dǎo)，師生歸納總結(jié)。

（五）演練反饋，鞏固深化

公式應(yīng)用之一：

1．試判斷與與2的大小關(guān)系？

問題：如果將條件“x0”去掉，上述結(jié)論是否仍然成立？

2．試判斷與7的大小關(guān)系？

公式應(yīng)用之二：

設(shè)計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視野，更重要的是調(diào)動學(xué)生探究鉆研的興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對生活的關(guān)注，讓學(xué)生體會：數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中

(1)用一個兩臂長短有差異的天平稱一樣物品，有人說只要左右各秤一次，將兩次所稱重量相加后除以2就可以了.你覺得這種做法比實際重量輕了還是重了？

(2)甲、乙兩商場對單價相同的同類產(chǎn)品進(jìn)行促銷.甲商場采取的促銷方式是在原價p折的基礎(chǔ)上再打q折；乙商場的促銷方式則是兩次都打折.對顧客而言，哪種打折方式更合算？(0

≠q)

（五）反思總結(jié)，整合新知：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗教訓(xùn)?還有哪些問題需要請教？

設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認(rèn)知水平.從各種角度對均值不等式進(jìn)行總結(jié)，目的是為了讓學(xué)生掌握本節(jié)課的重點，突破難點

老師根據(jù)情況完善如下：

知識要點：
（1）重要不等式和基本不等式的條件及結(jié)構(gòu)特征
（2）基本不等式在幾何、代數(shù)及實際應(yīng)用三方面的意義

思想方法技巧：
（1）數(shù)形結(jié)合思想、“整體與局部”
（2）歸納與類比思想

（3）換元法、比較法、分析法

(七)布置作業(yè)，更上一層

1．閱讀作業(yè):預(yù)習(xí)基本不等式的教學(xué)設(shè)計

2．書面作業(yè):已知a，b為正數(shù)，證明不等式基本不等式的教學(xué)設(shè)計

3．思考題:類比基本不等式，當(dāng)a,b,c均為正數(shù)，猜想會有怎樣的不等式？

設(shè)計意圖：作業(yè)分為三種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，同時考慮學(xué)生的差異性。閱讀作業(yè)是后續(xù)課堂的鋪墊，而思考題不做統(tǒng)一要求，供學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。

五、評價分析

1．在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)。每個問題在設(shè)計時，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。

2．本節(jié)的教學(xué)中要求學(xué)生對基本不等式在數(shù)與形兩個方面都有比較充分的認(rèn)識，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的統(tǒng)一，教學(xué)過程從形得到數(shù)，又從數(shù)回到形，意圖使學(xué)生在比較中對基本不等式得以深刻理解。“數(shù)形結(jié)合”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，不是教師提一提學(xué)生就能夠掌握并且會用的，只有學(xué)生通過實踐，意識到它的好處之后，學(xué)生才會在解決問題時去嘗試使用，只有通過不斷的使用才能促進(jìn)學(xué)生對這種思想方法的再理解，從而達(dá)到掌握它的目的。

六、板書設(shè)計

§3.3基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式

1.文字語言敘述

2.符號語言敘述

3.幾何意義

4.代數(shù)解釋

三、應(yīng)用舉例

例1．

四、演練反饋

五、總結(jié)歸納

1.知識要點

2.思想方法

延伸閱讀

《基本不等式及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，有效的提高課堂的教學(xué)效率。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供《基本不等式及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計，希望對您的工作和生活有所幫助。

《基本不等式及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課基于學(xué)生已學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式的引入與學(xué)習(xí)是必要的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，所以基本不等式應(yīng)重點研究。

從教學(xué)設(shè)計理念上來看，教學(xué)中教師應(yīng)發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，不僅要讓學(xué)生接受、記憶、模仿和練習(xí)，更要注重引導(dǎo)他們自主探索、動手實踐、合作交流、師生互動，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、探究本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

從知識應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求周長一定，面積最大；面積一定，周長最小”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。

從學(xué)生能力的培養(yǎng)來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段，學(xué)習(xí)了平方、開方、勾股定理、圓等概念，高中階段學(xué)習(xí)了不等關(guān)系、不等式的性質(zhì)以及幾類不等式的求解，學(xué)生對不等式有了初步的了解和應(yīng)用。但本節(jié)內(nèi)容，變換靈活，應(yīng)用廣泛，條件有限制，考察了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；對學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的要求較高，在實際問題的解決中應(yīng)用廣泛。因此，必須從基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何意義兩方面入手，才能讓學(xué)生深刻理解它的本質(zhì)。

另外，在用基本不等式解決最值時，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件，因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)借助辨誤的方式讓學(xué)生初步領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，并在第二課時重點學(xué)習(xí)與掌握。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

1.理解并掌握兩個基本不等式，并能運用它們解決一些簡單問題，如本節(jié)課導(dǎo)入環(huán)節(jié)中的實際問題；

2.思考生活中實際問題的解決方案，感受基本不等式的知識產(chǎn)生過程，并在練習(xí)中逐步體會基本不等式應(yīng)用的特點及優(yōu)勢；

3.經(jīng)歷觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，體會數(shù)形結(jié)合、類比代換等學(xué)習(xí)思想；

4.學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，養(yǎng)成善于思考的良好習(xí)慣；

四、教學(xué)重點及難點

1.教學(xué)重點：兩個基本不等式的知識發(fā)生過程和證明；基本不等式的應(yīng)用；

2.教學(xué)難點：基本不等式的應(yīng)用，包括解決實際問題，求最值；

3.幾點說明：整堂課主要采用“問題——思考——剖析——證明——應(yīng)用”的流程，從問題出發(fā)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合理解不等式，并掌握不等式應(yīng)用的前提條件和等號成立的條件，尤其是對等號成立時充要條件的理解；在基本不等式的應(yīng)用時，通過例1可逐步引導(dǎo)學(xué)生從基本不等式出發(fā)進(jìn)行求證，然后針對等號成立時的條件能夠取到進(jìn)行思考，接下來再通過具有基本不等式結(jié)構(gòu)特點的例題進(jìn)行練習(xí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生運用基本不等式解決實際問題及求最值。

五、教學(xué)方法與手段

本節(jié)課采用“問題——思考——剖析——歸納——應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計思路：

1.提出問題、啟發(fā)誘導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學(xué)

生探究思索；

2.講練結(jié)合，同時采用變式教學(xué)，鞏固應(yīng)用，加深理解；

3.以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，直觀演示，不僅啟發(fā)思考，也

加深學(xué)生對基本不等式的理解。

六、教學(xué)過程設(shè)計

1.問題提出

問題：班級要用班費為秋游做準(zhǔn)備，其中有一項要準(zhǔn)備塑料繩子，把樹干圍成矩形作為活動的場所，由于班費有限，如何用最短的繩子圍成最大的面積呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上，針對該問題進(jìn)行思考與討論，不僅提高對于基本不等式學(xué)習(xí)的興趣，更培養(yǎng)它們分析問題的能力；

2.基本不等式1的引入

問題：在客觀世界中，有些不等關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的，引發(fā)學(xué)生試舉一些恒成立的不等關(guān)系.

根據(jù)學(xué)生回答，針對（）進(jìn)行提問，既然，那么可以用代替不等式中的嗎？

得到：

進(jìn)一步變形可得：

思考：

l不等式恒成立，和應(yīng)該滿足什么條件；

l不等式的等號成立時，和應(yīng)該滿足什么條件；

設(shè)計意圖：

l基于學(xué)生所熟知的“平方數(shù)為非負(fù)數(shù)”恒成立的不等關(guān)系，引出；

l引發(fā)學(xué)生思考和所滿足的條件，幫助學(xué)生對于基本不等式1中關(guān)鍵條件的理解；

3.基本不等式1

對于任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（1）基本不等式1的辨析

l；

l當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；

思考：“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是？

l當(dāng)a=b時，取等號，即；

l僅當(dāng)a=b時，取等號，即。

設(shè)計意圖：對應(yīng)問題引入中的兩個思考，再次強(qiáng)調(diào)基本不等式1中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義。

（2）基本不等式1的幾何解釋

a

b

l已知：四個全等的直角三角形構(gòu)成正方形，直角邊分別為a、b，當(dāng)a≠b時，構(gòu)成的正方形如左圖所示，當(dāng)a＝b時，構(gòu)成的正方形如右圖所示.

l那么：大正方形的面積與四個全等直角三角形面積和的

大小關(guān)系是？

設(shè)計意圖：給出基本不等式1的幾何解釋，幫助學(xué)生加深對基本不等式1的理解，尤其是對“當(dāng)且僅當(dāng)”的理解。

4.基本不等式2的引入

問題：當(dāng)a0,b0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么？

得到：

設(shè)計意圖：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了兩個基本不等式的來源及本質(zhì)是相同的，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，有助于今后的學(xué)習(xí)。

5.基本不等式2

對于任意正數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

（1）基本不等式2的辨析

l；

l當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；

思考：“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是？

l當(dāng)a=b時，取等號，即；

l僅當(dāng)a=b時，取等號，即。

（2）基本不等式2的證明

證明：法1.因為、為正數(shù)，所以、均存在.

由基本不等式1，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

法2.因為，所以.

當(dāng)時，.當(dāng)時，.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的等號成立.

（3）基本不等式2的擴(kuò)充

思考：當(dāng)、為零時，基本不等式2是否成立？

基本不等式2的擴(kuò)充：對于任意非負(fù)數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（4）基本不等式2的幾何解釋

l已知：AB是半圓O的直徑，過圓周上任意一點D做AB的垂線，令A(yù)C=a、CB=b，

那么DO=_____________，DC=_______________；

l得到：____________________________________；

設(shè)計意圖：給出基本不等式2的幾何解釋，幫助學(xué)生加深對基本不等式2的理解，尤其是對“當(dāng)且僅當(dāng)”的理解.

6.基本不等式的應(yīng)用

例1：已知，求證：，并指出等號成立的條件.

證明：方法多種，可進(jìn)行作差或者由剛學(xué)的基本不等式1入手，進(jìn)行求證，同時也可以運用基本不等式求最值的方法；

其中一種方法示范板書為：

因為，所以、同號，并有，.

所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

思考：若，則代數(shù)式的取值范圍是什么？

設(shè)計意圖：考察學(xué)生運用基本不等式時，要特別注意等號取到時的條件是否滿足。

例2：若的最小

值為________,此時

練習(xí)2：的最小

值為________,此時

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生辨識基本不等式的結(jié)構(gòu)特點，以及求最值的簡單運用。

例3.在周長保持不變的條件下，何時矩形的面積最大？

猜想：由幾何畫板演示得出.

解：設(shè)矩形的長、寬分別為、（、）且（定值），則同樣周長的正方形的邊長為.

矩形面積，正方形面積

由基本不等式2，得，又由不等式的性質(zhì)得，即.

由題意，（定值），所以（定值）.當(dāng)且僅當(dāng)，即矩形為正方形時，矩形的面積最大.

思考：例3中的，為什么要為定值呢？如果不是定值，面積有最大值嗎？

設(shè)計意圖：

l通過例2和例3，先讓學(xué)生通過基本不等式的運用，體驗并思考“當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值；當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值”，這樣在第二課時給出該結(jié)論效果會更好；

l例3也解決了情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)提出的實際問題，讓學(xué)生切實感受到學(xué)以致用的樂趣；

7.課堂小結(jié)

l

l

l初步應(yīng)用兩個基本不等式求最值.

8.作業(yè)練習(xí)

（1）2.4.1卷1（詳見附錄）

（2）思考題

l通過查閱資料，了解這兩個基本不等式其它的幾何解釋.

l在面積保持不變的條件下，正方形的周長與矩形的周長之間有什么大小關(guān)系？

l整理一些基本不等式的常用變式并給出證明.

《基本不等式及其應(yīng)用》教學(xué)反思

《基本不等式及其應(yīng)用》教學(xué)反思

本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第一節(jié)課，在學(xué)生熟練掌握不等式性質(zhì)的前提下，介紹了兩個基本不等式及其初步應(yīng)用?；静坏仁绞墙窈髮W(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時的有力工具，因此牢固掌握這兩個基本不等式是十分重要的.

本堂課借助多媒體及教學(xué)軟件，采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識講授，由數(shù)到形，再由形到數(shù)的設(shè)計思路，將兩個基本不等式的證明、解釋及其在應(yīng)用時的注意點穿插其中，并通過幾何解釋加強(qiáng)對基本不等式的感性認(rèn)識，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果。整堂課主要采用“問題——思考——剖析——證明——應(yīng)用”的流程，讓學(xué)生通過思考問題、以及幾何圖形中面積或線段關(guān)系進(jìn)一步驗證相應(yīng)的結(jié)論，然后再證明兩個基本不等式，最后再運用基本不等式解決實際問題及求最值。

在用基本不等式解決最值時，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件。在教學(xué)過程中，盡管借助辨誤的方式讓學(xué)生初步領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件在解決最值問題中的作用，但是學(xué)生依然會忽視限制條件，尤其是忘記檢驗等號取到時應(yīng)滿足的充要條件，因此，基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）將在第二課時重點學(xué)習(xí)與掌握。

在教學(xué)過程中始終“關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展”，通過對相應(yīng)例題的變式思考，培養(yǎng)學(xué)生自行探索、解決問題的能力。但是，由于學(xué)生剛剛接觸基本不等式，對于其結(jié)構(gòu)特點比較陌生，當(dāng)遇到符合相應(yīng)結(jié)構(gòu)特點的關(guān)系式時，暫時想不到運用基本不等式解題，這時可以放手讓學(xué)生采用其它方法嘗試，然后引導(dǎo)學(xué)生運用基本不等式解題，對比體現(xiàn)其優(yōu)點，加深學(xué)生對于基本不等式運用的真實體驗。

通過整堂課的教學(xué)，不僅要求學(xué)生對有關(guān)知識點的掌握，此外還對應(yīng)初步理解類比代換的數(shù)學(xué)方法有一定要求，并在公式的探求過程中，繼續(xù)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，逐步實現(xiàn)從知識結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)層次向能力水平的提高層次進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)變與提升。

高三數(shù)學(xué)必修五基本不等式及其解法知識點

高三數(shù)學(xué)必修五基本不等式及其解法知識點

不等式的性質(zhì)：①不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運算性質(zhì)兩部分。

不等式基本性質(zhì)有：

(1)abb

(2)ab,bcac(傳遞性)

(3)aba+cb+c(c∈R)

(4)c0時，abacbc

c0時，abac

運算性質(zhì)有：

(1)ab,cda+cb+d。

(2)ab0,cd0acbd。

(3)ab0anbn(n∈N,n1)。

(4)ab0(n∈N,n1)。

應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”和“”即推出關(guān)系和等價關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。

②關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題：

(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。

(2)利用不等式的性質(zhì)及實數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實數(shù)值的大小。

(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。

高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案

俗話說，磨刀不誤砍柴工。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案”希望對您的工作和生活有所幫助。

高二數(shù)學(xué)《不等式的解法舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)
（1）能熟練運用不等式的基本性質(zhì)來解不等式；（2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；（3）能將較復(fù)雜的絕對值不等式轉(zhuǎn)化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式（組）來解；（4）通過解不等式，要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想；（5）通過解各種類型的不等式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較及概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
教學(xué)建議一、知識結(jié)構(gòu)本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究較為復(fù)雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運用不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、法則，將這些不等式等價轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號，無理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：
;;;二、重點、難點分析本節(jié)的重點和一個難點是不等式的等價轉(zhuǎn)化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過檢驗加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無法檢驗加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價變換.在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中另一個難點是不等式的求解.這個不等式其實是一個不等式組的簡化形式,當(dāng)為一元一次式時,可直接解這個不等式組,但當(dāng)為一元二次式時,就必須將其改寫成兩個一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.三、教學(xué)建議(1)在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識,包括一元二次不等式的解法,簡單的絕對值不等式的解法,簡單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實數(shù)運算的符號法則等.特別是對于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.(2)在研究不等式的解法之前,應(yīng)先復(fù)習(xí)解不等式組的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,啟發(fā)學(xué)生運用換元思想將替換成,從而轉(zhuǎn)化一元二次不等式組的求解.(3)在教學(xué)中一定讓學(xué)生充分討論,明確不等式組“”中的兩個不等式的解集間的交并關(guān)系，“”兩個不等式的解集間的交并關(guān)系.(4)建議表述解不等式的過程中運用符號“”.(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡單高次不等式(一端為0,另一端是若干個一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學(xué)生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實到區(qū)間法.(6)分式不等式與高次不等式的等價原因,可以認(rèn)為是不等式兩端同乘以正數(shù),不等號不改變方向所得;也可以認(rèn)為是與符號相同所得.(7)分式不等式求解時不能盲目地去分母，但當(dāng)分母恒為正數(shù)(如分母是)時，應(yīng)將其去掉，從而使不等式化簡.(8)建議補(bǔ)充簡單的無理不等式的解法,其中為一次式.教學(xué)中先由學(xué)生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結(jié),得出結(jié)論后一定要強(qiáng)調(diào)不等號的方向?qū)Φ挠绊?即保證了,而卻不能保證這一點,所以要分和兩種情況進(jìn)行討論.(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應(yīng)給學(xué)生做出示范,學(xué)生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運算的合理性與結(jié)果的準(zhǔn)確性.教學(xué)設(shè)計示例分式不等式的解法教學(xué)目標(biāo)1．掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化；
2．進(jìn)一步熟悉并掌握數(shù)軸標(biāo)根法；
3．掌握分式不等式基本解法.教學(xué)重點難點重點是分式不等式解法
難點是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化教學(xué)方法啟發(fā)式和引導(dǎo)式教具準(zhǔn)備三角板、幻燈片教學(xué)過程1．復(fù)習(xí)回顧：前面，我們學(xué)習(xí)了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數(shù)軸標(biāo)根法的解題思路，本節(jié)課，我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.2．講授新課：例3解不等式＜0.分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關(guān)于x的二次三項式的商，根據(jù)商的符號法則，它可以化成兩個不等式組：因此，原不等式的解集就是上面兩個不等式組的解集的并集，此種解法從課本可以看到.另解：根據(jù)積的符號法則，可以將原不等式等價變形為（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0可得零點x=－1或1，或2或3，將數(shù)軸分成五部分（如圖）.由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}說明：（1）讓學(xué)生注意數(shù)軸標(biāo)根法適用條件；（2）讓學(xué)生思考≤0的等價變形.例4解不等式＞1分析：首先轉(zhuǎn)化成右端為0的分式不等式，然后再等價變形為整式不等式求解.解：原不等式等價變形為：－1＞0通分整理得：＞0等價變形為：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}說明：此題要求學(xué)生掌握較為一般的分式不等式的轉(zhuǎn)化與求解.3．課堂練習(xí)：課本P19練習(xí)1.補(bǔ)充：（1）≥0；（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在進(jìn)一步掌握數(shù)軸標(biāo)根法的基礎(chǔ)上，掌握分式不等式的基本解法，即轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.課后作業(yè)習(xí)題6.43,4.板書設(shè)計●教學(xué)后記探究活動試一試用所學(xué)知識解下列不等式：（1）；（2）；（3）．答案：（1）原式觀察這個不等式組，由于要求，同時要求，所以①式可以不解．∴原式如下圖∴（2）分析當(dāng)時，不等式兩邊平方，當(dāng)時，在有意義的前提下恒成立．原式（Ⅰ）或（Ⅱ）由于同時滿足（2）、（3）式，所以（1）式免解．∴（Ⅰ）式（Ⅱ）式．綜合（Ⅰ）、（Ⅱ），得．（3）分析當(dāng)時，不等式兩邊平方，當(dāng)時，原式解集為．原式觀察不等式組，設(shè)有可以免解的不等式．