高中立體幾何教案

立體幾何中的向量方法第5課時。

§3.2.5綜合問題
【學(xué)情分析】：
教學(xué)對象是高二的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)知識,前面已經(jīng)運(yùn)用向量解決了一些立體幾何問題，本節(jié)課是進(jìn)一步通過坐標(biāo)與向量來解決立體幾何的一些綜合問題。由此我們可以繼續(xù)討論如何利用已知條件適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，展示向量方法與坐標(biāo)方法相結(jié)合的優(yōu)越性。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：進(jìn)一步體會空間向量在解決立體幾何問題中的廣泛作用，再次熟悉立體幾何中的向量方法“三步曲”；繼續(xù)討論如何利用已知條件適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，展示向量方法與坐標(biāo)方法相結(jié)合的優(yōu)越性；對立體幾何中的三種方法（綜合法、向量法、坐標(biāo)法）的聯(lián)系進(jìn)行分析與小結(jié)．
（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合與問題轉(zhuǎn)化的思想方法，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解。
（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
坐標(biāo)法與向量法結(jié)合.
【教學(xué)難點(diǎn)】：
適當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系及添加輔助線．
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖
一、復(fù)習(xí)引入
教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的例題從整體上歸納解題過程，留給學(xué)生一定時間，使其通過思考能明確認(rèn)識“三步曲”各階段的主要任務(wù)，并能簡明地敘述出來，為對本節(jié)后續(xù)內(nèi)容的整體把握作準(zhǔn)備坐標(biāo)法。
立體幾何中的向量方法可以歸納為三步：(l）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2）進(jìn)行向量運(yùn)算；〔3）由向量運(yùn)算解釋幾何問題。有助于加強(qiáng)學(xué)生對解題通法的整體認(rèn)識．
二、問題與探究
一、問題探究
問題1：閱讀課本上的例4，請你找出其中的已知條件和求解問題．這些求解問題能用向量方法解決嗎？
學(xué)生獨(dú)立閱讀并分析題意，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到本題具有一定的綜合性，需要證明直線與平面平行、垂直和計算二面角，而這些問題都可以利用向量解決．

問題2：從例4的已知條件和求解問題看，你認(rèn)為應(yīng)怎樣把問題向量化？如果建立坐標(biāo)系，應(yīng)怎樣建立？
教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注己知條件中有“三條線段兩兩垂直且彼此相等”這一條件，使學(xué)生由此聯(lián)想到選擇這些線段所在直線為坐標(biāo)軸、以線段長（正方形邊長）為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系，并意識到這是適合本題的坐標(biāo)化方法．教師要求學(xué)生寫出點(diǎn)P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐標(biāo)．并進(jìn)一步寫出等的坐標(biāo)．

問題3：考慮例4(1)，要證ＰＡ∥平面ＥＤＢ，應(yīng)如何入手？
教師從“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生考慮直線與平面平行的判定條件，引導(dǎo)學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)PA與ＥＧ有平行關(guān)系，從而自然地想到寫出的坐標(biāo)，并由＝k證出ＰＡ∥ＥＧ，進(jìn)而證出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。

問題4：考慮例4(2)，要證ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，應(yīng)如何人手？
教師從“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出發(fā)”，啟發(fā)學(xué)生考慮直線與平而垂直的判定條件，讓學(xué)生討論：應(yīng)證明PB與哪些線段垂直，用向量方法怎樣證？
在討論的基礎(chǔ)上，由學(xué)生自己寫出主要證明過程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）
＝０，⊥，
ＰＢ⊥ＤＥＰＢ⊥平面ＥＦＤ

問題5：考慮例4(3)，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，應(yīng)如何人手？
教師從“計算二面角C一PB一D的大小”出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生如何找出相應(yīng)的平面角，讓學(xué)生討論：哪個角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎樣計算它的大?。?br> 教師引導(dǎo)學(xué)生考慮：點(diǎn)F的坐標(biāo)對計算是否垂要？怎樣利用題中條件確定點(diǎn)F的坐標(biāo)？
讓學(xué)生通過討論寫出確定點(diǎn)F坐標(biāo)的過程，再進(jìn)一步考慮并表達(dá)通過cos∠EFD＝計算∠EFＤ的過程

問題6：考慮例4后的思考題．
學(xué)生結(jié)合剛討論過的例題，對思考題進(jìn)行思考和討淪，教師適當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)．注意不要就題論題，而要透過例題看到解題中的基本想法．

二、問題解答
解：如課本圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1
(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG
三、小結(jié)立體幾何中的不同方法．
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，了解各種方法的特點(diǎn)及聯(lián)系，認(rèn)識到應(yīng)根據(jù)問題的條件選擇合適的方法，而不是生搬硬套．通過閱讀題目，使學(xué)生明確題中所給出的條件和求解的問題，從需要完成的任務(wù)理出本題可以用向最解決的大體思路．

初步建立已知條件與求解內(nèi)容兩者間的聯(lián)系，使學(xué)生意識到通過把向量坐標(biāo)化解決問題，培養(yǎng)他們結(jié)合題中條件建立適當(dāng)坐標(biāo)系的能力．

找出這條直線的過程可以鍛煉直覺觀察能力；證明兩線平行可以鞏固對直線的方向向量、共線向量等概念的理解．
找出這兩條直線的過程可以鍛煉分析已知條件以及看圖能力；證明直線間的垂直關(guān)系的過程可以鞏固對兩非零向量的“數(shù)量積為0”的幾何意義的認(rèn)識。

計算二面角的大小，首先要找出其平面角，轉(zhuǎn)而計算平面角的大小．計算角的大小時，向量是非常有力的工具．解決這個問題可以鞏固對運(yùn)用向量方法求角度的掌握．

思考題1可以使學(xué)生進(jìn)一步體會向量方法中坐標(biāo)化對簡化計算所起的作用．思考題2可以加強(qiáng)不同方法之間的聯(lián)系．
加深對不同方法（綜合法、向量法、坐標(biāo)法）的特點(diǎn)和聯(lián)系的認(rèn)識．
三、訓(xùn)練與提高1，練習(xí)題3。
（解略）
2，如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，
（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值。
解：（I）略
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立
空間直角坐標(biāo)系，則
異面直線AB與CD所成角的余弦值為。
學(xué)生進(jìn)行提高訓(xùn)練應(yīng)用.

四、小結(jié)解決立體幾何問題的三種方法：
1，綜合方法；
2，向量方法；
3，坐標(biāo)方法。反思?xì)w納
五、作業(yè)習(xí)題3.２A組9、10、12題。

練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1，過正方形的頂點(diǎn)，引⊥平面，若，
則平面和平面所成的二面角的大小是（）
A．B．C．D．
答：B
2，設(shè)P是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，AB為垂足，則AB的長為（）
A．B．C．D．
答：C
3，如下圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是對邊OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且分MN所成的定比為2，現(xiàn)用基向量、、表示向量，設(shè)=x+y+z，則x、y、z的值分別為

A.x=,y=,z=
B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z=
D.x=,y=,z=
解析：=－,=－,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=++.
答案：D
4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是

A.相交B.平行
C.垂直D.不能確定
解析：因?yàn)檎襟w的棱長為a,故面對角線A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分別是A1B和AC上的三等分點(diǎn).在B1B、BC上各取點(diǎn)E、F，使得B1E=BF=a.
則=++.
但=－=－=(－)=，
=－=－=(－)=，
∴+=+=+=0，
∴=，即MN∥EF，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B

（中等題）
5，如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1，.求直線EC1與FD1所成的余弦值.
解：以分別為軸建立坐標(biāo)系，則E（3，3，0）、C1（0，4，2）、
D1（0，0，2）、F（2，4，0）.從而＝（－3，1，2）、＝
（－2，－4，2）
所以直線EC1與FD1所成的余弦值為
＝＝

6，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，分別是，與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．
解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，
∵分別是，與的中點(diǎn)，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且與平面所成角，，
，，
（2）是的中點(diǎn)，到平面的距離等于到平面的距離的兩倍，
∵平面，到平面的距離等于．
小結(jié)：根據(jù)線段和平面的關(guān)系，求點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求到平面的距離的兩倍．

（難題）
7，如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=CD，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量的運(yùn)算方法解決下列問題.

(1)求證：EF⊥B1C；
(2)求EF與C1G所成的角的余弦；
(3)求FH的長.
分析：本題主要利用空間向量的基礎(chǔ)知識，證明異面直線垂直，求異面直線所成的角及線段的長度.

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz,D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，依據(jù)已知有E(0，0，)，F(xiàn)(，，0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)
(1)證明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，
由
=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得⊥，
∴EF⊥B1C.
(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||==，
由(1)得||==，
且=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H是C1G的中點(diǎn),
∴H(,,),即(0,,).
又F(，，0),
∴FH=||==.

8，已知正四棱柱,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
（1）證明:為異面直線的公垂線；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
解：（1）以分別為軸建立坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
∴，
∴為異面直線的公垂線．
（2）設(shè)是平面的法向量，∵，
∴，，，
點(diǎn)到平面的距離

擴(kuò)展閱讀

立體幾何

一、平行關(guān)系與垂直
[基礎(chǔ)自測]
1．空間三條直線互相平行,由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數(shù)為B
A．3B．1或3C．1或2D．2或3
2．若為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是D
A．相交B．異面C．平行D．異面或相交
3．下面表述正確的是（C）
A、空間任意三點(diǎn)確定一個平面B、分別在不同的三條直線上的三點(diǎn)確定一個平面
C、直線上的兩點(diǎn)和直線外的一點(diǎn)確定一個平面D、不共線的四點(diǎn)確定一個平面
4.直線與垂直，又垂直于平面，則與的位置關(guān)系是（D）
A、B、C、D、或
5．若表示直線，表示平面，則下列命題中，正確命題的個數(shù)為（C）
①；②；③；④
A、1個B、2個C、3個D、4個
6．若a，b是異面直線，P是a，b外的一點(diǎn)，有以下四個命題：
①過P點(diǎn)可作直線k與a，b都相交;②過P點(diǎn)可作平面與a，b都平行;
③過P點(diǎn)可作直線與a，b都垂直;④過P點(diǎn)可作直線k與a，b所成角都等于50.
這四個命題中正確命題的序號是（D）
A．①、②、③B．②、③、④C．②D．③、④
7．直線，直線，且,則a與b的位置關(guān)系為平行或異面。
8.設(shè)α、β、γ為平面，給出下列條件：
（1）a,b為異面直線，aα,bβ,a∥β,b∥α；
（2）α內(nèi)距離為d的平行直線在β內(nèi)的射線仍為兩條距離為d的平行線；
（3）α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；
（4）α⊥γ,β⊥γ
其中，能使α∥β成立的條件個數(shù)為：A
A．1個B.2個C.3個D.0個
9.直線是異面直線是指⑴且與不平行；⑵面，面，且；⑶面，面且；⑷不存在平面能使面且面成立。上述結(jié)論正確的有（C）
、⑶⑷、⑴⑶、⑴⑷、⑵⑷
10、已知直線⊥平面，直線，有下列四個命題：
①∥⊥,⊥∥,③∥⊥,④⊥∥,
其中正確命題的序號為__1.3______。
[典例分析]
例1：.已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)求證：MN⊥CD；

例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
（1）求證：MN⊥AB；
（2）設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問能否確定θ使直線MN是異
面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)θ的值；若不能，說明理由.

.例3（12分）如圖，正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)Ｐ，底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F.
（1）證明平面；
（2）證明平面EFD；

例4在幾何體中，△是等腰直角三角形，，和都垂直于平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)。
（1）求證：∥平面；
（2）求與平面所成角的大小。

[鞏固練習(xí)]
1．）如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)E，CB與CB1交于點(diǎn)F.
（I）求證：A1C⊥平BDC1；
（II）求二面角B—EF—C的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

2.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點(diǎn)到AB1的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).
（1）求證：AB1⊥平面CED；
（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

3.如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC
都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為
EB和AB的中點(diǎn).
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
(3)求二面角B—FC—G的正切值.

4．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；
二、空間角與距離
1、一條直線與平面所成的角為30°，則它和平面內(nèi)所有直線所成的角中最大的角是B
、30°、90°、150°、180°
2.在正方體中，面對角線與（B）．
A.１０條B.８條C.６條D.４條
3、將正方形ABCD沿對角線BD折成一個120°的二面角，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C1，這時異面直線AD與BC1所成角的余弦值是（D）
A．B．C．D．
4.已知二面角為銳角，點(diǎn)，到的距離，到棱的距離，則到的距離是（A）
、、、、
5．在正方體A1B1C1D1—ABCD中，AC與B1D所成的角的大小為（D）
A．B．C．D．
6.正三棱錐的相鄰兩側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍B。
A．(,π)B.(,π)C.(,)D.(,)
7、在棱長為在正方體中，過的平面與底面的交線為，則直線與的距離為。
8.在三棱錐P—ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，則側(cè)棱PA與側(cè)面PBC所成的角的大小是arccos.
9.如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對角線ＢＤ將⊿ＡＢＤ折起，使Ａ點(diǎn)在內(nèi)的
射影落在BC邊上,若二面角C—AB—D的平面角大小為，
則sin的值等于（A）.
A.B.C.D.
10.如圖，AO⊥平面α，點(diǎn)O為垂足，BC平面α，
BC⊥OB；若，則cos的值是。
[典型例題]
例1、如圖1，設(shè)ABC-ABC是直三棱柱，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，且
(1)求證：AF⊥AC；(2)求二面角C-AF-B的大?。?/p>

2.(2007全國Ⅰ文)四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小．

3.(2007安徽文)如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，且，．
（I）求證：平面平面；
（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．
4.四棱錐的底面是邊長為1的正方形，圖（1）
SD垂直于底面ABCD，SB=√3。
（I）求證；
（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大??；
（III）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD與面SAB所成角的大小。

[鞏固練習(xí)]
1.（文）正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別為棱AB、BC、DD1的中點(diǎn).
（1）求證：PB⊥平面MNB1；
（2）設(shè)二面角M—B1N—B為α，求cosα的值.

2．（本小題滿分14分）如圖,在長方體ABCD─A1B1C1D1中,E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn),M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn),AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求證:MN∥面ADD1A1;
（2）求二面角P─AE─D的大小;
（3）求三棱錐P─DEN的體積.

3.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.

4.（2004福建卷）在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大??；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

三、體積面積與球
1.一個四面體共一個頂點(diǎn)的三條棱兩兩相互垂直，其長分別為，且四面體的四個頂點(diǎn)在一個球面上．則這個球的表面積為（A）．
Ａ．１６Ｂ．３２Ｃ．３６Ｄ．６４
2.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（D）
（A）（B）（C）（D）
3.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為B
（A）（B）（C）（D）
4．設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐B—APQC的體積為（C）
A．B．C．D．
5.(2007全國Ⅱ文)一個正四棱柱的各個頂點(diǎn)在一個直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為cm
6、設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有、兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，則、兩地的球面距離為（B）
、、、、
7、(2007江西文)四面體的外接球球心在上，且，，在外接球面上兩點(diǎn)間的球面距離是（C）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8、在半徑為的一個半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個正方體的棱長為。
9.(2007全國Ⅰ文)正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為_________．
10.把邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為（C）
(A)(B)(C)(D)

立體幾何教案

平面幾何中的向量方法

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么如何寫好我們的教案呢？小編收集并整理了“平面幾何中的向量方法”，希望對您的工作和生活有所幫助。

2.5.1平面幾何中的向量方法
教學(xué)目的：
1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；
2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.；
3.讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.
教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”.
教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.兩個向量的數(shù)量積：
2.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:
3.向量平行與垂直的判定:
4.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：
5.求模：
練習(xí)
教材P.106練習(xí)第1、2、3題.；教材P.107練習(xí)第1、2題.
二、講解新課：
例1.已知AC為⊙O的一條直徑，∠ABC為圓周角.求證：∠ABC＝90o.
證明：設(shè)

例2.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條高.求證：AD，BE，CF相交于一點(diǎn).

例3.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，
你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？

思考1：
如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？

思考2：
運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？

運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？
“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
例4．如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？
課堂小結(jié)
用向量方法解決平面幾何的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
課后作業(yè)
1.閱讀教材P.109到P.111;2.《習(xí)案》作業(yè)二十五.

立體幾何備考指導(dǎo)

立體幾何備考指導(dǎo)
立體幾何是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.從近幾年高考試卷來看，題量最少的也要有一大一小兩道題.一道大題是整套試卷得分高低的關(guān)鍵，一般考查線面的平行與垂直，角度和距離的計算.本文就通過對六例高考題的分析，對立體幾何的備考談一些粗淺的建議，供大家參考.
一、線線，線面，面面位置關(guān)系問題
立體幾何知識建立在四個公理的體系之上，因此，在復(fù)習(xí)時應(yīng)先整理歸納，把空間線面位置關(guān)系一體化，理解和掌握線線，線面，面面平行和垂直的判定與性質(zhì)，形成熟練的轉(zhuǎn)化推理能力.具體來說，可分為四大塊：①平面的基本性質(zhì)（四個公理）；②線線，線面，面面的平行與垂直；③夾角；④常見的幾何體和球.根據(jù)每部分內(nèi)容，先理解記熟，明確條件和結(jié)論，掌握用法和用途，再通過典型例題總結(jié)解題方法，并進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練.高*考*資+源-網(wǎng)
例1（天津文）是空間兩條不同直線，是空間兩個不同平面，下面有四個命題：
①；
②；
③；
④.
其中真命題的編號是_____.（寫出所有真命題的編號）

解：如圖1，，過A在平面內(nèi)作，
∵，從而m⊥n，故①對.
②錯，如圖1，n可能會平移至內(nèi).
③錯，如圖2，n可能會在內(nèi).
④對，兩條平行直線中的一條垂直兩平行平面的一個，則另一條也垂直于另一個平面.
其中真命題的編號是①④.
點(diǎn)評：線線，線面，面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問題的依據(jù)，實(shí)物的演示，構(gòu)造特例法是常用方法！
二、空間角與空間距離問題
空間角與距離問題，難度可大可小，主觀，客觀題都有，是高考的必考內(nèi)容，復(fù)習(xí)過程中要多加訓(xùn)練，熟練掌握，達(dá)到爐火純青的程度.
例2（安徽文）平行四邊形的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點(diǎn)到的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點(diǎn)到平面的距離可能是：①1；②2；③3；④4.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
（安徽理）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相
鄰的.如圖3，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在
的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到的距離分別為
1，2和4.Ｐ是正方體的其余四個頂點(diǎn)的一個，則Ｐ到平面的
距離可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
解：（文）①③.如果已知兩點(diǎn)與頂點(diǎn)A相鄰，則剩下的一個頂點(diǎn)（平行四邊形的與A在一條對角線上的頂點(diǎn)）到平面的距離必定是3；如果已知兩點(diǎn)有一個與頂點(diǎn)A不相鄰，則剩下的一個頂點(diǎn)到平面的距離只能是1.
（理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分別對應(yīng)距離為3，5，6，在3－A－4中對應(yīng)距離是7，所以選①③④⑤.
點(diǎn)評：從上面解答看，文科試題涉及兩類問題（借用理科試題中的定義，與頂點(diǎn)A相鄰或不相鄰），需要分類討論，如果已知兩頂點(diǎn)與頂點(diǎn)A相鄰時，平行四邊形的兩條對角線都不與平面平行，所求距離必定是3；如果已知兩頂點(diǎn)有一個與頂點(diǎn)A不相鄰，則平行四邊形的一條對角線與平面平行，所求距離只能是1.解決了文科試題將平行四邊形特殊化為正方形，再分別使已知兩頂點(diǎn)與頂點(diǎn)A相鄰，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4組合，對應(yīng)距離可輕而易舉地寫出來.
三、簡單幾何體的組合問題
高考題中，常出現(xiàn)將兩種簡單幾何體組合起來進(jìn)行考查的題型.如正方體，長方體或棱錐內(nèi)接于一個球；一個球內(nèi)切于正方體，正四面體；幾個球堆壘在一起等.解答這類題，有時直觀圖是很難畫的，我們可以通過思考加工后畫出對我們解題有幫助的，容易畫出來的立體圖或者截面圖即可.
例3（湖南卷）棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖4所示，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）.
（A）（B）（C）（D）

解：先畫出立體圖形如圖5所示，注意到截面有兩點(diǎn)在大圓上，所以截面過四面體的一條棱（不妨設(shè)為AB），又截面過球心，于是，截面過棱CD的中點(diǎn).從而可知，截面為等腰三角形，該三角形底邊是四面體的棱，長為2，兩腰是四面體表面三角形的高，長為.故答案為（C）.
點(diǎn)評：本題以截面形式考查空間能力.求解關(guān)鍵是要理清截面圖形與原幾何體的位置關(guān)系，然后利用面積公式求解.如果沒有抓住圖形特征，一味地設(shè)法求球的半徑容易陷入困境.
四、折疊與展開問題
平面圖形的折疊問題是高考的老話題，解答這類題應(yīng)抓住折疊前后兩個圖形中相關(guān)元素之間的大小或者位置關(guān)系.對折疊前后未發(fā)生變化的量應(yīng)放在折疊前的圖形中進(jìn)行計算，這樣做顯得直觀易懂.求解空間幾何體兩個或幾個側(cè)面上的折線長之和的最小值，其方法是將側(cè)面展開成平面圖形.
1.折疊問題
例4（山東卷）如圖6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點(diǎn)P，則三棱錐
P－DCE的外接球的體積為（）.
（A）（B）（C）（D）
解：折疊后形成棱長為1的正四面體，將正四面體的棱作為正方體的面對角線，則該正四面體的外接球就是正方體的外接球，正方體的棱長為，其體對角線長為，外接球的半徑為，體積是，選（C）.

點(diǎn)評：折疊以后成為正四面體需要足夠的想象能力和推理能力，再把正四面體轉(zhuǎn)化到正方體內(nèi)，從外接球處理，則是“奇思妙想”！計算自然簡單，“轉(zhuǎn)化”功不可沒！
2.展開問題
例5（江西卷）如圖8，已知正三棱柱
的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面
繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為_____.
解：將正三棱柱的兩個底面剪開，把側(cè)面沿側(cè)棱剪開，
將側(cè)面展開成平面圖形，如圖9所示.質(zhì)點(diǎn)繞側(cè)面兩周的行程應(yīng)是
折線與的長度之和，欲求與的長度之和的最小值，可在展開圖的右邊補(bǔ)一個與之全等的展開圖，如圖10所示.由對稱性可知，當(dāng)處在對角線位置的兩條折線與在同一條直線上時，折線與的長度之和最小.最小值為.

點(diǎn)評：本題考查空間中求最短路線問題，解這類問題的關(guān)鍵是化空間問題為平面問題.
五，定義型問題
例6（江西文）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是（）.
（A）等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等
（B）等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)
（C）等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓
（D）等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上
解：由等腰四棱錐的定義可知，（A），（C），（D）正確，而等腰四棱錐的底面未確定，所以側(cè)面底邊上的高不能確定，從而側(cè)面與底面所成的角不能確定.故選（B）.
點(diǎn)評：本題考查四棱錐的概念.讀懂題中提供的信息，即“等腰四棱錐”的定義是解題的關(guān)鍵.