高中立體幾何教案

立體幾何備考指導(dǎo)。

立體幾何備考指導(dǎo)
立體幾何是高考的重點內(nèi)容之一.從近幾年高考試卷來看，題量最少的也要有一大一小兩道題.一道大題是整套試卷得分高低的關(guān)鍵，一般考查線面的平行與垂直，角度和距離的計算.本文就通過對六例高考題的分析，對立體幾何的備考談一些粗淺的建議，供大家參考.
一、線線，線面，面面位置關(guān)系問題
立體幾何知識建立在四個公理的體系之上，因此，在復(fù)習(xí)時應(yīng)先整理歸納，把空間線面位置關(guān)系一體化，理解和掌握線線，線面，面面平行和垂直的判定與性質(zhì)，形成熟練的轉(zhuǎn)化推理能力.具體來說，可分為四大塊：①平面的基本性質(zhì)（四個公理）；②線線，線面，面面的平行與垂直；③夾角；④常見的幾何體和球.根據(jù)每部分內(nèi)容，先理解記熟，明確條件和結(jié)論，掌握用法和用途，再通過典型例題總結(jié)解題方法，并進行強化訓(xùn)練.高*考*資+源-網(wǎng)
例1（天津文）是空間兩條不同直線，是空間兩個不同平面，下面有四個命題：
①；
②；
③；
④.
其中真命題的編號是_____.（寫出所有真命題的編號）

解：如圖1，，過A在平面內(nèi)作，
∵，從而m⊥n，故①對.
②錯，如圖1，n可能會平移至內(nèi).
③錯，如圖2，n可能會在內(nèi).
④對，兩條平行直線中的一條垂直兩平行平面的一個，則另一條也垂直于另一個平面.
其中真命題的編號是①④.
點評：線線，線面，面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問題的依據(jù)，實物的演示，構(gòu)造特例法是常用方法！
二、空間角與空間距離問題
空間角與距離問題，難度可大可小，主觀，客觀題都有，是高考的必考內(nèi)容，復(fù)習(xí)過程中要多加訓(xùn)練，熟練掌握，達到爐火純青的程度.
例2（安徽文）平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：①1；②2；③3；④4.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
（安徽理）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相
鄰的.如圖3，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在
的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為
1，2和4.Ｐ是正方體的其余四個頂點的一個，則Ｐ到平面的
距離可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
解：（文）①③.如果已知兩點與頂點A相鄰，則剩下的一個頂點（平行四邊形的與A在一條對角線上的頂點）到平面的距離必定是3；如果已知兩點有一個與頂點A不相鄰，則剩下的一個頂點到平面的距離只能是1.
（理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分別對應(yīng)距離為3，5，6，在3－A－4中對應(yīng)距離是7，所以選①③④⑤.
點評：從上面解答看，文科試題涉及兩類問題（借用理科試題中的定義，與頂點A相鄰或不相鄰），需要分類討論，如果已知兩頂點與頂點A相鄰時，平行四邊形的兩條對角線都不與平面平行，所求距離必定是3；如果已知兩頂點有一個與頂點A不相鄰，則平行四邊形的一條對角線與平面平行，所求距離只能是1.解決了文科試題將平行四邊形特殊化為正方形，再分別使已知兩頂點與頂點A相鄰，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4組合，對應(yīng)距離可輕而易舉地寫出來.
三、簡單幾何體的組合問題
高考題中，常出現(xiàn)將兩種簡單幾何體組合起來進行考查的題型.如正方體，長方體或棱錐內(nèi)接于一個球；一個球內(nèi)切于正方體，正四面體；幾個球堆壘在一起等.解答這類題，有時直觀圖是很難畫的，我們可以通過思考加工后畫出對我們解題有幫助的，容易畫出來的立體圖或者截面圖即可.
例3（湖南卷）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖4所示，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）.
（A）（B）（C）（D）

解：先畫出立體圖形如圖5所示，注意到截面有兩點在大圓上，所以截面過四面體的一條棱（不妨設(shè)為AB），又截面過球心，于是，截面過棱CD的中點.從而可知，截面為等腰三角形，該三角形底邊是四面體的棱，長為2，兩腰是四面體表面三角形的高，長為.故答案為（C）.
點評：本題以截面形式考查空間能力.求解關(guān)鍵是要理清截面圖形與原幾何體的位置關(guān)系，然后利用面積公式求解.如果沒有抓住圖形特征，一味地設(shè)法求球的半徑容易陷入困境.
四、折疊與展開問題
平面圖形的折疊問題是高考的老話題，解答這類題應(yīng)抓住折疊前后兩個圖形中相關(guān)元素之間的大小或者位置關(guān)系.對折疊前后未發(fā)生變化的量應(yīng)放在折疊前的圖形中進行計算，這樣做顯得直觀易懂.求解空間幾何體兩個或幾個側(cè)面上的折線長之和的最小值，其方法是將側(cè)面展開成平面圖形.
1.折疊問題
例4（山東卷）如圖6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點P，則三棱錐
P－DCE的外接球的體積為（）.
（A）（B）（C）（D）
解：折疊后形成棱長為1的正四面體，將正四面體的棱作為正方體的面對角線，則該正四面體的外接球就是正方體的外接球，正方體的棱長為，其體對角線長為，外接球的半徑為，體積是，選（C）.

點評：折疊以后成為正四面體需要足夠的想象能力和推理能力，再把正四面體轉(zhuǎn)化到正方體內(nèi)，從外接球處理，則是“奇思妙想”！計算自然簡單，“轉(zhuǎn)化”功不可沒！
2.展開問題
例5（江西卷）如圖8，已知正三棱柱
的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面
繞行兩周到達點的最短路線的長為_____.
解：將正三棱柱的兩個底面剪開，把側(cè)面沿側(cè)棱剪開，
將側(cè)面展開成平面圖形，如圖9所示.質(zhì)點繞側(cè)面兩周的行程應(yīng)是
折線與的長度之和，欲求與的長度之和的最小值，可在展開圖的右邊補一個與之全等的展開圖，如圖10所示.由對稱性可知，當(dāng)處在對角線位置的兩條折線與在同一條直線上時，折線與的長度之和最小.最小值為.

點評：本題考查空間中求最短路線問題，解這類問題的關(guān)鍵是化空間問題為平面問題.
五，定義型問題
例6（江西文）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是（）.
（A）等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等
（B）等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補
（C）等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓
（D）等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上
解：由等腰四棱錐的定義可知，（A），（C），（D）正確，而等腰四棱錐的底面未確定，所以側(cè)面底邊上的高不能確定，從而側(cè)面與底面所成的角不能確定.故選（B）.
點評：本題考查四棱錐的概念.讀懂題中提供的信息，即“等腰四棱錐”的定義是解題的關(guān)鍵.

相關(guān)閱讀

立體幾何教案

空間向量與立體幾何

3.1.3空間向量的數(shù)量積運算
教學(xué)設(shè)計
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能目標(biāo)：
知識：1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；
2．掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題.
技能：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題
過程與方法目標(biāo)：
1.培養(yǎng)類比等探索性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.
2.培養(yǎng)學(xué)生把空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題的思想.
情感與態(tài)度目標(biāo)：
1.獲得成功的體驗,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情；
2.學(xué)習(xí)向量在空間立體幾何中的應(yīng)用,感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力.
教學(xué)重點：兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應(yīng)用.
教學(xué)難點：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題.
教輔工具：多媒體課件
教學(xué)程序設(shè)計：
程序教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖
類比學(xué)習(xí)
類比平面向量夾角的定義,理解空間向量的夾角.對于思考題,主要是讓學(xué)生理解夾角的概念,
類比學(xué)習(xí)
類比平面向量數(shù)量積的定義.學(xué)生集體回答出空間向量的數(shù)量積定義及幾何意義等.
理解空間向量數(shù)量積的定義和幾何意義.特別要理解投影的概念.

對于幾個重要的結(jié)論,主要是讓學(xué)生理解幾個重要的結(jié)論,特別是長度和夾角的計算公式.
對于練習(xí)1、2和3,學(xué)生獨立完成后,同桌間交流.
對于練習(xí)1，2和3,主要是讓學(xué)生熟悉向量數(shù)量積公式,理解數(shù)量積的概念。

例題1的目的是讓學(xué)生理解用向量的方法求異面直線所成的角。

例題2的目的是讓學(xué)生理解用向量的方法求線段的長度。

例題3的目的是讓學(xué)生理解用向量的方法證明垂直問題。
練習(xí)鞏固
學(xué)生動手自行解決問題，講解鞏固用向量的方法求異面直線所成的角。

鞏固用向量的方法求線段的長度。
鞏固用向量的方法證明垂直問題。
小結(jié)
師生共同完成。
作業(yè)教材習(xí)題3.1A組：第3題，第5題.

2012屆高考數(shù)學(xué)備考立體幾何復(fù)習(xí)教案

專題四：立體幾何
階段質(zhì)量評估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（）
A．B．
C．D．
2．下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖
有且僅有兩個視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如圖，設(shè)平面，垂足分別為，若增加一個條件，就能推出.
現(xiàn)有①②與所成的角相等;
③與在內(nèi)的射影在同一條直線上;④∥.
那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）
個個個個
4．已知直線和平面，則下列命題正確的是()
AB
CD
5．空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；
③若一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中，為真命題的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
8．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.直線∥D.直線所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（）
..∥截面
..異面直線與所成的角為
11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（）
A.B.
C.D.
12．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）異面直線與所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是。
14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
15．如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點，作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．
16．已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長方體，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C1，所爬的最短路程為.
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角
。若存在，確定
點E的位置；若不存在，請說明理由.

18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論.

19．如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，
是線段的中點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當(dāng)取何值時，直線PN與平面ABC
所成的角最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點P的位置。

21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，是的中點，和均為等邊三角形，．
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

22．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點在斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大?。?br> （III）求與平面所成角的最大值．

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選A.。
2.【解析】選D.①三個都相同，②正視圖和側(cè)視圖相同，③三個視圖均不同，④正視圖和側(cè)視圖相同。
3.C
4.【解析】選B.對A，，
對C畫出圖形可知，對D，缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】選C.由于G是PB的中點,故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的.

11.【解析】選D.連與交于O點,再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。
二、填空題
13.【解析】向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，設(shè)長方體的高為x，則，所以，所以長方體的體積為3。
答案：3

14.
15.【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角
的平面角.根據(jù)題意得，由于對于β內(nèi)異于O的任意一點
Q，都有∠POQ≥45°，∴，設(shè)PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應(yīng)有
PCPH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范圍是。
答案：

三、解答題
17.【解析】（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2）設(shè)AB=x，
點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，
設(shè)平面D1EC的法向量，則
由題意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
設(shè)是平面BDE的一個法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，
又是平面DEC的一個法向量.
設(shè)二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵∴
假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，
則，
由
∴
即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點、，
∴又點，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴為平面的法向量．
∵，，
∴為平面的法向量．
∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．

20.解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則2分
從而
所以…………3分
（II）平面ABC的一個法向量為
則
（※）…………5分
而
由（※）式，當(dāng)…………6分
（III）平面ABC的一個法向量為
設(shè)平面PMN的一個法向量為
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
解得11分
故點P在B1A1的延長線上，且…………12分

21.解法一：（I）證明：連結(jié)，為等邊三角形，為的中點，
，和為等邊三角形，為的中點，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）過作于連結(jié)，
平面，在平面上的射影為
為二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)點到平面的距離為，
，
在中，，
而
點到平面的距離為．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則
平面，平面的法向量
設(shè)平面的法向量，
由
設(shè)與夾角為，則
∴二面角的余弦值為．
（Ⅲ）解：設(shè)平面的法向量為又
設(shè)與夾角為，則
設(shè)到平面的距離為，
到平面的距離為．

22.【解析】解法一：
（I）由題意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
異面直線與所成角的大小為．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當(dāng)最小時，最大，
這時，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（III）同解法一

2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀負責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家精心整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案”，希望對您的工作和生活有所幫助。

專題四：立體幾何
第三講空間向量與立體幾何

【最新考綱透析】
1．空間向量及其運算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。
（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
2．空間向量的應(yīng)用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。
（2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。
（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。
（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

【核心要點突破】
要點考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且常考常新。
考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010安徽高考理科Ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點。
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。
【規(guī)范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。
要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角
考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。
2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。
考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:
（1）異面直線所成角
設(shè)分別為異面直線的方向向量，則
（2）線面角
設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則
2．運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：
（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】建系，寫出有關(guān)點坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，
計算的數(shù)量積，寫出答案；
求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。
【規(guī)范解答】
設(shè)PA＝1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0)
（I）
【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。
（2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。
（3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。
要點考向3：利用空間向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。
2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。
考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補或相等，
例3：（2010天津高考理科Ｔ１9）
如圖，在長方體中，、分別是棱,
上的點，,
求異面直線與所成角的余弦值；
證明平面
求二面角的正弦值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。
【思路點撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。
【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,,,
易得,，于是，
所以異面直線與所成角的余弦值為。
證明：已知,,
于是=0，=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。
于是，從而
所以二面角的正弦值為
要點考向4：利用空間向量解決探索性問題
考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點。
例4：（2010福建高考理科Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；
（II）設(shè)AB＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。
（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求p的最大值；
（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時，求cos的值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。
【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。
【規(guī)范解答】（I）平面，平面，，又是的直徑，，又，平面，而平面，所以平面平面；
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。又因為點在圓周上運動，所以當(dāng)時，的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；
（ii）由（i）知，取最大值時，，于是，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，，
所以平面的一個法向量為，，。
【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進行證明：以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為，，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。，所以當(dāng)時的的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；

【高考真題探究】
1.（2010廣東高考理科Ｔ１0）若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件=-2,則=.
【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】，，由
得，即，解得
【答案】2
2.（2010浙江高考理科Ｔ20）如圖，在矩形中，點分別在線段
上，.沿直線將翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。
【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。
【思路點撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。
【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以。
取，則。
又平面的一個法向量，故。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）設(shè)，則，，
因為翻折后，與重合，所以，，
故，，得，，
所以。
3.（2010陜西高考理科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。
【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。
【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.
【規(guī)范解答】解法一（Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AP=AB=2，BC=，四邊形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴=-2+4-2=0，=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP的法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，
則
∴，∴平面BEF與平面BAP的夾角為
4.（2010重慶高考文科Ｔ20）如題圖，四棱錐中，
底面為矩形，，，
點是棱的中點.
（I）證明：；
（II）若，求二面角的平面角的余弦值.
【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，
考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.
【規(guī)范解答】（I）以為坐標(biāo)原點，
射線分別為軸、軸、軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.
設(shè)設(shè)，則，，，。于是，，，則，
所以，故.
（II）設(shè)平面BEC的法向量為，由（Ⅰ）知，，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，，由，得D，G，
從而，，故，所以，，可取，則，從而.
【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運算解題.
5.（2010江西高考文科Ｔ２０）
如圖，與都是邊長為2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求直線與平面所成的角的大?。?br> （2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.
【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計算問題，考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力。
【思路點撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；
（2）對二面角的求法思路，一般是分三步①“作”，②“證”，③“求”.其中“作”是關(guān)鍵，“證”
是難點.法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.

【規(guī)范解答】取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.
以O(shè)為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
OB=OM=，則各點坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.
因（0，，），平面
的法向量為.則有
，所以.
（2），.
設(shè)平面ACM的法向量為，由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量為，
則
設(shè)所求二面角為，則.
6.（2010四川高考理科Ｔ18）
已知正方體的棱長為1，點是棱的中點，
點是對角線的中點.
（Ⅰ）求證：為異面直線和的公垂線；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.
【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、
二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
【思路點撥】方法一：幾何法問題（Ⅰ），分別證明，即可.
問題（II）首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.
問題（Ⅲ）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面內(nèi)，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.
方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結(jié).取的中點，則為的中點，連結(jié).
∵點是棱的中點，點是的中點，
由，得.
∵，∴.
∴.∴.
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）取的中點，連結(jié)，則，
過點過點作于，連結(jié)，則由三垂線
定理得，.
∴為二面角的平面角.
.
在中.
故二面角的大小為.
（III）易知，,且和都在平面內(nèi)，
點到平面的距離，
∴.
(方法二)：以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
（I）∵點是棱的中點，點是的中點，
∴,，,,.
,,
∴,,
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）設(shè)平面的一個法向量為，
，.
即
取，則..
取平面的一個法向量.
，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的大小為.
（III）易知，，設(shè)平面的一個法向量為，
,,
即
取，則，從而.
點到平面的距離.
.

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知點A（-3,1,-4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為()
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
3.設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（）
A．B．C．2D．3
4.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長為（）
A．B．C．D．
5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
6.如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，則下列向量中與相等的向量是（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．，，是空間交于同一點的互相垂直的三條直線，點到這三條直線的距離分別為,,，則,則__。
8．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則=
9．將正方形沿對角線折成直二面角后，有下列四個結(jié)論：
（1）；（2）是等邊三角形；
（3）與平面成60°；（4）與所成的角為60°．
其中正確結(jié)論的序號為_________（填上所有正確結(jié)論的序號）．
三、解答題（共46分）
10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，,E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11.某組合體由直三棱柱與正三棱錐組成，如圖所示，其中，．它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為+1，，+1．
（1）求直線與平面所成角的正弦；
（2）在線段上是否存在點，使平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
12.如圖，三棱柱中，面，
,，，為的中點。
(I)求證：面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值
參考答案
1．【解析】選A.∵點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-1,4）.
2．【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG
∵FG是△PAD的中衛(wèi)縣，∴FG，
在菱形ABCD中，ADBC，又E為BC的中點，
∴CEFG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG
又EF面PCD，CG面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為、、軸建立如
圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
則0（0，0，0），A（0，，0），B（1，0，0）（0，0，）
=（1，，0）=（0，，）
設(shè)面ABP的發(fā)向量為，則
，即即
取
又，，
∴OA⊥面PBD，∴為面PBD的發(fā)向量，
∴=（0，，0）
.
所以所求二面角的余弦值為
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥OP，OPBD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，過O作ON⊥PB，連AN，PB⊥面AON，則AN⊥PB。
即∠ANO為所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
，
∴
∴cos∠。
所以所求二面角的余弦值為
11．【解析】
12．解：（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，
∵D為AC中點∴OD∥B1A
又B1A平面BDC1，OD平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如圖以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則C1(0,0,3)B(0,2,0)D(1,0,0)C(0,0,0)
∴設(shè)平面的法向量為由得
，取，則
又平面BDC的法向量為
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值為
【備課資源】
1.已知兩條異面直線a、b所成的角為40°，直線l與a、b所成的角都等于θ，則θ的取值范圍是()
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】選A.
取空間任一點O，將直線a,b,l平移到過O點后分別為a′,b′,l′，則l′與a′,b′所成的角即為l與a,b所成的角.當(dāng)l′與a′,b′共面時θ最小為20°.當(dāng)l′與a′,b′確定的平面垂直時，θ最大為90°.故θ的取值范圍為［20°,90°］.
3.如圖甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=,點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙).
(1)求證：AB∥平面DNC；
(2)當(dāng)DN的長為何值時，二面角D-BC-N的大小為30°？