高中三角函數(shù)的教案

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)概念辨析。

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)概念辨析
畫出，y=cosx在上的圖像是本單元的重中之重，同學(xué)們不僅會用單位中的函數(shù)線畫，而且會特殊角三角函數(shù)值列出“十三”個點或“五點法”，還要會徒手描出示意圖，才能實現(xiàn)看圖說性質(zhì)想圖說性質(zhì)無圖也能說性質(zhì)的熟練程度．這里蘊含著以下幾個問題．
1．作圖的基本方法是描點法，用單位圓中的三角函數(shù)線畫圖實質(zhì)上是列表的(十三點)一個方法，它與“十三點”法的區(qū)別只在于“十三點法”的函數(shù)值是用數(shù)給出，而單位圓法中的函數(shù)值是用有向線段的數(shù)量給出．在畫，y=cosx的圖像時，都借助了函數(shù)的周期性，在取點時，注意研究了函數(shù)曲線的存在范圍，特殊點，變化趨勢，對稱性，一定要取到最大值點，最小值點，零點．這些常規(guī)方法一走要講清．
2．畫的圖像時，難點在列出“五個點”，這五個恰好又是同一周期的五個特殊點：三個零點，一個最大值點，一個最小值點，以為例．
令t=,則u=sint，首先列出u=sint的“老五點”
t0
010-10
Y=2sin
020-20

上面方法的核心是用換元的思想根據(jù)的“老五點”列出了y=2sin()圖像上的五點．這里體現(xiàn)了如何將一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題的轉(zhuǎn)化思想，同時也在告訴同學(xué)們，我們總是用已知的知識去解決未知的問題，進一步體會到簡單與復(fù)雜．未知與已知之間的對立、統(tǒng)一的辨證關(guān)系．為了給同學(xué)更大的思維空間．教師最好不直接告訴同學(xué)們?nèi)绾瘟谐鲈谝粋€周期內(nèi)的五個特殊點？這樣對培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力是有益的．
3．在講周期函數(shù)概念過程中注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．學(xué)生自己抽象概括出周期函數(shù)的定義是不現(xiàn)實的，但我們不能因此就放棄培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的機會．可考慮如下進行：
(1)通過對一類事物的觀察發(fā)現(xiàn)，抽象出該類事物的共同的本質(zhì)屬性．
問題1：請觀察下列函數(shù)值隨著變量變化時，其函數(shù)值的變化的共性是什么？
①
②
③
④在數(shù)列中，對一切nN都有
發(fā)現(xiàn)其共性是：函數(shù)值是隨自變量周而復(fù)始地變化．
(2)第二步是將上述粗淺的認識進一步數(shù)學(xué)化，精確化，這里的關(guān)鍵是請同學(xué)注意如何用數(shù)學(xué)語言刻畫“函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始地變化”．首先四個函數(shù)都存在一個不為零的常數(shù)T，①2#②2#③2#④6#，第二將這個常數(shù)加到定義域中的任意一個自變量上，其函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，即永遠成立，于是得出周期函數(shù)的精確的數(shù)學(xué)定義；
對于給定的函數(shù),定義域為M，如果存在一個不為零的常數(shù)T，對于M中的任意一個x的值，必有X+TM，使得永遠成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，其中不為零的常數(shù)T就叫做周期函數(shù)的周期．
(3)第三步是進一步理解定義
①函數(shù)的周期性是揭示了函數(shù)值隨自變量周而復(fù)始的變化的屬性，如果我們認識到了函數(shù)的周期性，在研究函數(shù)性質(zhì)時，只須研究該函數(shù)在一個周期內(nèi)的性質(zhì)，就可以了解該函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．
②如果一個周期函數(shù)y=的周期為T，顯然KT(KZ)也是周期．但從研究函數(shù)性質(zhì)而言，我們感興趣的，也是最有實用價值的是諸周期中最小的正周期．
③根據(jù)周期函數(shù)定義判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)，關(guān)鍵是找到一個T(),使得對定義域中的任意一個x，均成立．
4．講已知三角函數(shù)值求角時時可考慮利用單位圓中的三角函數(shù)線，用數(shù)形結(jié)合的思想，先畫出角的終邊，再寫出所求的角，并且先求通解，后求特解更好接受．

相關(guān)知識

巧解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“巧解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式
1．三角函數(shù)圖象變換：
將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？

變式1：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：（1）先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標擴大為原來的2倍（橫坐標不變），即可得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．

變式2：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：（1）先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標縮小為原來的（橫坐標不變），即可得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．

變式3：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：
另解：
（1）先將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍（橫坐標不變），即可得到函數(shù)的圖象．

2．三角函數(shù)性質(zhì)
求下列函數(shù)的最大、最小值以及達到最大(小)值時的值的集合．
(1)；(2)

變式1：已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于（）
（A）（B）（C）2（D）3
答案選B

變式2：函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）
B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）
D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
答案選A．因為函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間．

變式3：關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：
①對任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；
②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
③存在，使f（x）是奇函數(shù)；
④對任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。
其中一個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結(jié)論不成立。
答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：當=2kπ，k∈Z時，f（x）=sinx是奇函數(shù)．當=2（k+1）π，k∈Z時f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)．當=2kπ+，k∈Z時，f（x）=cosx，或當=2kπ－，k∈Z時，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù)．所以②和③都是正確的．無論為何值都不能使f（x）恒等于零．所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．①和④都是假命題．

高三數(shù)學(xué)《三角函數(shù)圖象與性質(zhì)》知識點總結(jié)

高三數(shù)學(xué)《三角函數(shù)圖象與性質(zhì)》知識點總結(jié)

1．周期函數(shù)
(1)周期函數(shù)的定義：
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3.解題方法
1.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應(yīng)特別注意，考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)．
注意區(qū)分下列兩種形式的函數(shù)單調(diào)性的不同：
(1)y＝sin(ωx-π/4)；(2)y＝sin(π/4-ωx).
2．周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對于函數(shù)整個定義域內(nèi)的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不為零的常數(shù)．如果只有個別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一個x值不滿足f(x＋T)＝f(x)，都不能說T是函數(shù)f(x)的周期．
3．求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
4．求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：
(1)利用sinx、cosx的值域；
(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(如本例以題試法(2))；
(3)換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題．

高三數(shù)學(xué)教案：《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

●知識梳理

1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函 數(shù)

性 質(zhì) y=sinx y=cosx y=tanx

定義域

值域

圖象

奇偶性

周期性

單調(diào)性

對稱性

注：讀者自己填寫.

2.圖象與性質(zhì)是一個密不可分的整體，研究性質(zhì)要注意聯(lián)想圖象.

●點擊雙基

1.函數(shù)y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

A.2π B.π C. D.4π

解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，T=π.

答案：B

2.若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是

A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

解析：檢驗.

答案：B

3.函數(shù)y=2sin( -2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是

A.[0， ] B.[ ， ]

C.[ ， ] D.[ ，π]

解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區(qū)間可由y=2sin(2x- )的減區(qū)間得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z.

∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.

令k=0，故選C.

答案：C

4.把y=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù)____________的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)____________的圖象.

解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數(shù)y=sin(x+ )，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函數(shù)：y=sin( x+ ).

答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

5.函數(shù)y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.

解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由圖象觀察，知2kπ-

答案：2kπ-

●典例剖析

【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

(2)y=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.

剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx

= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

= sin( -x).

所以ymax= .

(2)T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .

答案：

【例2】 (1)已知f(x)的定義域為[0，1)，求f(cosx)的定義域;

(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域.

剖析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，這里的cosx以它的值充當角.

解：(1)0≤cosx

∴所求函數(shù)的定義域為{x|x∈[2kπ- ，2kπ+ ]且x≠2kπ，k∈Z｝.

(2)由sin(cosx)>0 2kπ

評述：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

【例3】 求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.

剖析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+ )+B的形式，即可求解.

解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

∴T= .

當cos4x=1，即x= (k∈Z)時，ymax=1.

深化拓展

函數(shù)y=tan(ax+θ)(a>0)當x從n變化為n+1(n∈Z)時，y的值恰好由-∞變?yōu)?∞，則a=_______.

分析：你知道函數(shù)的周期T嗎?

答案：π

●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實基礎(chǔ)

1.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分)，則ω和 的取值是

A.ω=1， = B.ω=1， =-

C.ω= ， = D.ω= ， =-

解析：由圖象知，T=4( + )=4π= ，∴ω= .

又當x= 時，y=1，∴sin( × + )=1，

+ =2kπ+ ，k∈Z，當k=0時， = .

答案：C

2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a為實常數(shù))在區(qū)間[0， ]上的最小值為-4，那么a的值等于

A.4 B.-6 C.-4 D.-3

解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

=2sin(2x+ )+a+1.

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].

∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.

∴a=-4.

答案：C

3.函數(shù)y= 的定義域是_________.

解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

4.函數(shù)y=tanx-cotx的最小正周期為____________.

解析：y= - =-2cot2x，T= .

答案：

5.求函數(shù)f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

解：f(x)=

= = (1+sinxcosx)

= sin2x+ ，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .

6.已知x∈[ ， ]，函數(shù)y=cos2x-sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.

解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，

又-1≤sinx≤ ，∴當sinx=- 時，

ymax= +b= b=-1;

當sinx= 時，ymin=- .

培養(yǎng)能力

7.求使 = sin( - )成立的θ的區(qū)間.

解： = sin( - )

= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z).

8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值范圍.

解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y1= sin(x+ )與y2=k的圖象.對于y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.

∴當k∈[1， )時，觀察知兩曲線在[0，π]上有兩交點，方程有兩解.

評述：本題是通過函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程實數(shù)解的個數(shù)，應(yīng)重視這種方法.

探究創(chuàng)新

9.已知函數(shù)f(x)=

(1)畫出f(x)的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值;

(2)判斷f(x)是否為周期函數(shù).如果是，求出最小正周期.

解：(1)實線即為f(x)的圖象.

單調(diào)增區(qū)間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈Z)，

單調(diào)減區(qū)間為[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)，

f(x)max=1，f(x)min=- .

(2)f(x)為周期函數(shù)，T=2π.

●思悟小結(jié)

1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個分支，它除了符合函數(shù)的所有關(guān)系和共性外，還有它自身的屬性.

2.求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤.

●教師下載中心

教學(xué)點睛

1.知識精講由學(xué)生填寫，起到回顧作用.

2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導(dǎo)即可.

拓展題例

【例1】 已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是

A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ

B.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ

C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ

D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ

解析：借助三角函數(shù)線易得結(jié)論.

答案：D

【例2】 函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.

解：f(x)=-sin2x+sinx+a

=-(sinx- )2+a+ .

由1≤f(x)≤

1≤-(sinx- )2+a+ ≤

a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.

∴要使①式恒成立，

只需 3≤a≤4.

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一名優(yōu)秀負責的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

1．3．2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）

課型：新授課
課時計劃：本課題共安排一課時
教學(xué)目標：
1、掌握正、余弦函數(shù)的定義域和值域；
2、進一步理解三角函數(shù)的周期性和奇偶性的概念，會求它們的周期，會判斷它們的奇偶性；
3、能正確求出正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
教學(xué)重點：
正、余弦函數(shù)的性質(zhì)
教學(xué)難點：
正、余弦函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
我們已經(jīng)知道正、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，那它們除此之外還有哪些性質(zhì)呢？

二、新課講解
㈠知識要點：
1、定義域：
函數(shù)及的定義域都是，即實數(shù)集

2、值域：
函數(shù)，及，的值域都是

理解：（1）在單位圓中，正弦線、余弦線的長都是等于或小于半徑的長1的，所以，
，即，。
（2）函數(shù)在時，取最大值1，當，時，取最小值-1；函數(shù)在，時，取最大值1，當，時，取最小值-1。

3、周期性
正弦函數(shù)，和余弦函數(shù)，是周期函數(shù)，都是它們的周期，最小正周期是。

4、奇偶性
正弦函數(shù)，是奇函數(shù)，余弦函數(shù)，是偶函數(shù)。
理解：（1）由誘導(dǎo)公式，可知以上結(jié)論成立；
（2）反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點O對稱，余弦曲線關(guān)于軸對稱。

5、單調(diào)性
（1）由正弦曲線可以看出：當由增大到時，曲線逐漸上升，由-1增大到1；當由增大到時，曲線逐漸下降，由1減至-1，由正弦函數(shù)的周期性知道：
①正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上，都從-1增大到1，是增函數(shù)；
②在每一個閉區(qū)間上，都從1減小到-1，是減函數(shù)。
（2）由余弦曲線可以知道：
①余弦函數(shù)在每一個區(qū)間上，都從-1增大到1，是增函數(shù)；
②在每一個閉區(qū)間上，都從1減小到-1，是減函數(shù)。

練習(xí)：不求值，分別比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小：
（1）與；（2）與

㈡例題剖析
例3、求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量的集合：
（1）；（2）

例4、求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

㈢練習(xí)：
1、（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的值域；
㈣作業(yè)：
=（五）小結(jié)