高中向量的教案

平面向量的線性運算考點解讀。

考點解讀：平面向量的線性運算
向量的線性運算是向量的基礎(chǔ)部分，考查主要在選擇題、填空題形式出現(xiàn)，側(cè)重于對向量的基本概念、向量運算的關(guān)系的考查；在解答題中側(cè)重于向量與其他章節(jié)的綜合考查，預(yù)計高考中向量的內(nèi)容所占的比重還會較大.
下面對平面向量的線性運算的考點作簡單的探究：
考點一、平面向量基本概念的考查：
例1、給出下列命題：
⑴兩個向量，當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點相同，終點相同時才相等；
⑵若，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四各頂點；
⑶若，則；
⑷若，則
其中所有正確命題的序號為.
解析：兩個向量相等只要模相等且方向相同即可，而與起點與終點的位置無關(guān)，故⑴不正確；當(dāng)時，A、B、C、D四點可能在同一條直線上，故⑵不正確；由，則，且與的方向相同；由，則，且與的方向相同，則與的長度相等且方向相同，故，⑶是正確的；對于⑷，當(dāng)時，與不一定平行，故⑷是不正確的.
所以正確命題的序號為⑶.

考點二、向量加法、加法的考查：
例2、下列命題：
①如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與之一方向相同；
②在中，必有；
③若，則A、B、C為一個三角形的三個頂點；
④若均為非零向量，則與一定相等.
其中真命題的個數(shù)為（）
A、0B、1C、2D、3
解析：①假命題，當(dāng)時，命題不成立.②真命題.③假命題，當(dāng)A、B、C三點共線時，也可以有.④假命題，只有當(dāng)與同向時相等，其他情況均為.
點評：對于①②③，關(guān)于向量的加法運算除掌握法則外，還應(yīng)注意一些特殊情況，如零向量，共線向量等，對于④，要注意到向量的加法和求模運算的次序不能交換，即兩個向量和的模等于這兩個向量的模的和，因為向量的加法實施的對象是向量，而模是數(shù)量.

例3、已知一點O到平行四邊形ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別為，則向量等于（）
A、B、C、D、
解析：如圖所示，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別為，
結(jié)合圖形有：
故答案：B
點評：掌握向量加法、減法的三角形法則的靈活應(yīng)用，相等向量是指長度相等方向相同的向量，與它的位置沒有關(guān)系.

考點三、平面向量的共線定理的考查：
例4、如圖所示，在的邊上分別有一點M、N，已知、，連結(jié)AN，在AN上取一點R，滿足.
⑴用向量表示向量；⑵證明：R在線段BM上.
解析：⑴∵，∴
∵，∴
∵，∴
又
∴，
∴.
⑵證明：∵
∴，∴R在線段BM上.
點評：利用向量共線定理時容易證明幾何中的三點共線和兩直線平行的問題，但是向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括重合情況.
jAb88.coM

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平面向量的坐標(biāo)運算

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“平面向量的坐標(biāo)運算”，相信能對大家有所幫助。

2.3.2平面向量的坐標(biāo)運算

一、課題：2.3.2平面向量的坐標(biāo)運算
二、教學(xué)目標(biāo)：1．掌握兩向量平行時坐標(biāo)表示的充要條件；
2．能利用兩向量平行的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問題。
三、教學(xué)重、難點：1．向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示；
2．應(yīng)用向量平行的充要條件證明三點共線和兩直線平行的問題。
四、教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．已知，，求，的坐標(biāo)；
2．已知點，及，，，求點、、的
坐標(biāo)。
歸納：（1）設(shè)點，，則；
（2），，則，
，；
3．向量與非零向量平行的充要條件是：.
（二）新課講解：
1．向量平行的坐標(biāo)表示：
設(shè)，，（），且，
則，∴.
∴，∴.
歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達(dá)形式：
①；
②且設(shè)，（）

例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．

例2已知，，，求證、、三點共線．
證明：，，
又，∴.∵直線、直線有公共點，
∴，，三點共線。
例3已知，，若與平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，則以，為基底，求.
解：令，則.
，∴，
∴，∴.

例5已知點，，，，向量與平行嗎？直線平
行與直線嗎？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴與不平行，
∴、、不共線，與不重合，
所以，直線與平行。

五、小結(jié)：1．熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達(dá)形式；
2．會用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點共線和兩直線平行；
3．明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同。
六、作業(yè)：
補充：1．已知，，，且，，求點，的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
2．已知，，，試用，表示；
3．設(shè)，

高二數(shù)學(xué)必修四《平面向量的線性運算》名師教案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)必修四《平面向量的線性運算》名師教案”歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

高中數(shù)學(xué)必修四《平面向量的線性運算》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與能力；過程與方法；情感、態(tài)度、價值觀；

1.掌握向量加法，減法的運算，并理解其幾何意義；

2.掌握向量數(shù)乘向量的運算及其幾何意義，理解向量共線的充要條件；

了解向量共線的含義，理解向量共線判定和性質(zhì)定理。

【教學(xué)重點、難點】

重點：理解并掌握向量的線性運算及向量共線的充要條件；難點：向量的線性運算及向量共線的充要條件的應(yīng)用。【教具準(zhǔn)備】

多媒體課件【教學(xué)方法】

啟發(fā)引導(dǎo)式；講練結(jié)合【教學(xué)設(shè)計】．復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題：前面我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了的向量的有關(guān)概念，知道了

向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？學(xué)生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么運算

那么我們今天一起回顧向量的線性運算——板書課題知識要點1.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；加法求兩個向量和的運算(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c減法求兩個向量差的運算數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；積的運算(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共線的判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ.，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．3.【知識拓展】

1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終→→→——→→

點的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋＋An－1An＝A1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．→1→→

2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則OP＝(OA＋OB)．

2→→→

＝λOB＋μOC(λ，μ為實數(shù))，點A，B，C共線λ＋μ＝1.

題型一平面向量的線性運算命題點1向量的線性運算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若點D滿足BD＝2DC，則AD等于()＋c－c33

－b＋c33

→→

(2)(20XX·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，若BC＝3CD，則()1→4→→

＝－AB＋AC

33→4→1→

＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→＝AB－AC

33→4→1→

＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33題型二

根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

12→→

例2(1)設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．

→→

(2)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是()10，A.21

－，0C.21

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)設(shè)CO＝y(tǒng)BC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，B.31

－，0D.3

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，10，，∴y∈3

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0.∴x＝－y，∴x∈3

思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略

(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．

(2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．

(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值．

如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩

→2→→1→→→

點，且交對角線AC于點K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，則λ的值為()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD。

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

向量加法的平行四邊形法則可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF＝λ24

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

E，F(xiàn)，K三點共線，可得λ＝。

9故選A.

思想方法感悟提高

1．向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則

與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；

向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素

是“起點重合”．

→→

2．可以運用向量共線證明線段平行或三點共線．如AB∥CD且AB與CD不共線，則

→→

AB∥CD；若AB∥BC，則A、B、C三點共線

作業(yè)布置練出高分

1.步步高P241-242

2.預(yù)習(xí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

課后反思

本節(jié)課按課前預(yù)設(shè)完成了教學(xué)任務(wù)，但教學(xué)理念陳舊，課堂上沒有充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，教師不能大膽放手讓學(xué)生去探索，造成了課堂上教師講的多。

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問題
(1)怎樣分解一個向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點睛](1)平面向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號表示
加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點、終點無關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)．()
(4)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點M(3,5)，點N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運算
[典例](1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進(jìn)行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點坐標(biāo)為______．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
[解]因為＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點P在x軸上，點P在y軸上，點P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變設(shè)問]本例條件不變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個變量，則表示向量的點的坐標(biāo)的位置會隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)點A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點M的坐標(biāo)．
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因為＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點D2，72，故選A.
4．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：
①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當(dāng)a的終點坐標(biāo)是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點，∴F為AD的中點．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，
因為＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因為＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因為點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

平面向量數(shù)量積的運算律

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“平面向量數(shù)量積的運算律”，希望對您的工作和生活有所幫助。

平面向量數(shù)量積的運算律
教學(xué)目的：
1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；
2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；
3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.
教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.
教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).?
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
3．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為0；當(dāng)=0時投影為|b|；當(dāng)=180時投影為|b|.
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3當(dāng)a與b同向時，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運算律
1．交換律：ab=ba
證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)
證：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面內(nèi)取一點O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、講解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
兩式相減：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60
例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.
解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.
解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
綜上所述，四邊形ABCD是矩形.
評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.
四、課堂練習(xí)：
1.下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.ab是一個實數(shù)
2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０°，則(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.
6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：