高中向量教案

高中數(shù)學(xué)知識點歸納：平面向量。

高中數(shù)學(xué)知識點歸納：平面向量

平面向量的實際背景及基本概念

1.了解向量的實際背景．

2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．

3．理解向量的幾何表示．

向量的線性運(yùn)算

1.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．

2．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．

3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．JAB88.Com

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1.了解平面向量的基本定理及其意義．

2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．

3．會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．

4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．

平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．

2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．

3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．

5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．

6．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．

1．向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．

相關(guān)知識

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.1平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1平面向量基本定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
3.能夠在具體問題中適當(dāng)選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1、實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個，記作；規(guī)定：
（1）|λ|=
（2）λ0時，λ與方向；
λ0時，λ與方向；
λ=0時，λ=
2．運(yùn)算定律：
結(jié)合律：λ(μ)=；
分配律：(λ+μ)=，
λ(+)=

3.向量共線定理：向量與非零向量共線，則有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.

新知梳理：
1．給定平面內(nèi)兩個向量，，請你作出向量3+2，-2，

2.由上，同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使
不共線的向量，叫做這一平面內(nèi)表示所有向量的一組基底。
思考感悟：
(1)基底不惟一，關(guān)鍵是；不同基底下，一個向量可有不同形式表示；
(2)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù).

3.向量的夾角:平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？

已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角。

當(dāng)=，、同向；
當(dāng)=，、反向；統(tǒng)稱為向量平行，記作
如果=，與垂直，記作⊥。

對點練習(xí)：
1.設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共線，則+與＝6-2的關(guān)系（）
A.不共線B.共線
C.相等D.無法確定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一組基底，且＝λ1+λ2，則與，
與．(填共線或不共線).

【合作探究】
典例精析：
例1：已知向量，求作向量2.5+3

變式1：已知向量、(如圖),求作向量：
（1）+2.?（2）-+3

例2:如圖，，不共線，且
，用，來表示

變式2：已知G為△ABC的重心,設(shè)=,=,試用、表示向量.

【課堂小結(jié)】
知識、方法、思想

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,其中所列述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,有如下四個命題：
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量和,總存在實數(shù)和,使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;
④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;
上述命題中的則真命題的個數(shù)是()（）
A．1B．2C．3D

2.如圖，正六邊形ABCDEF中，=
A．B．C．D．

3.在中，，，，為的中點，則____________.（用表示）

【課時作業(yè)】
1、若、不共線，且λ+μ=（λ、μ），則（）
A．=,=B．=0,=0
C．=0,=D．=,=0
2．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE與AC相交于點E，M是BC的中點，AM與DE相交于點N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，則x＋y等于()
A．1B.12C.14D.18

3．在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M為BC的中點，則MN→＝________.(用a，b表示)．

4.如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和

5.設(shè)與是兩個不共線向量,=3+4,=-2+5,若實數(shù)λ、μ滿足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如圖，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一點，若AP→＝mAB→＋211AC→，求實數(shù)m的值．

7.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，設(shè)Q為CP延長線與AB的交點，令CP→＝p，用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念；掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2.會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=______________
(1)不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組；
(2)由定理可將任一向量在給出基底，的條件下進(jìn)行分解；分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的實數(shù)對；
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=，、同向，當(dāng)=，
、反向，當(dāng)=，與垂直，記作⊥。
3．向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，取=(1,0)，=(0,1)作為一組基底,設(shè)=x+y，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)。
新知梳理：
1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知：=(),=()，我們考慮如何得出、、的坐標(biāo)。
設(shè)基底為、，
則=
=
即=，
同理可得=
結(jié)論：(1)若=(),=()，
則，
即：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于.
（2）若=(x,y)和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

思考感悟：
已知，，怎樣來求的坐標(biāo)？
若，，==
則=
結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的

對點練習(xí)：
1.設(shè)向量，坐標(biāo)分別是（-1，2），（3，-5）則+=__________，
-=________，3=_______，2+5=___________
2.如右圖所示，平面向量的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.

3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則2=.

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).

變式1：已知，求：
（1）
（2）
（3）

例2：已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)。

*變式2：設(shè)，，,用表示

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、設(shè)則=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，則=（）
A．（-8，1）B．
C．（-16,2）D．(8,-1)
3、若點A的坐標(biāo)是，向量=，則點B的坐標(biāo)為（）
A．
B．
C．
D．
4、已知
則=（）
A．（6，-2）B．（5，0）
C．（-5，0）D．（0，5）

【課時作業(yè)】
1．如圖，已知，，
點是的三等分點，則（）
A.B.
C.D.

2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，則P點的坐標(biāo)

*3．已知
，
則

*4.在△ABC中，點P在BC上，且BP→＝2PC→，點Q是AC的中點，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，則BC→＝________.

5.已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

6.已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,2)，以，為基底，試將分解為的形式．

7.已知三個力=(3，4)，=(2，5)，=(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).

8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，求第四個頂點的坐標(biāo)。

9.已知點，若，
（1）試求為何值時，點P在第一、三象限的交平分線上？
（2）試求為何值時，點P在第三象限？

【延伸探究】
已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，試問：
(1)t為何值時，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．

高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考知識點歸納

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，有效的提高課堂的教學(xué)效率。所以你在寫教案時要注意些什么呢？下面是小編精心為您整理的“高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考知識點歸納”，希望對您的工作和生活有所幫助。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考知識點歸納

一次函數(shù)

一、定義與定義式自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）
二、一次函數(shù)的性質(zhì)1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù)）2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1．作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3．k，b與函數(shù)圖像所在象限：當(dāng)k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時，直線必通過一、二象限；當(dāng)b=0時，直線通過原點當(dāng)b＜0時，直線必通過三、四象限。特別地，當(dāng)b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時，當(dāng)k＞0時，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時，直線只通過二、四象限。
四、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

二次函數(shù)
一、定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）頂點式：y=a(x-h)+k[拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A（x?，0）和B（x?，0）的拋物線]

三、二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
四、拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）

反比例函數(shù)
形如y＝k/x(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標(biāo)軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為|k|。
知識點：1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對于雙曲線y＝k／x，若在分母上加減任意一個實數(shù)(即y＝k／（x±m(xù)）m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）

對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。（3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。

指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得
可以得到：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。（2）指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。（3）函數(shù)圖形都是下凹的。（4）a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。（5）可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中（當(dāng)然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。（6）函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。（7）函數(shù)總是通過（0，1）這點。
（8）顯然指數(shù)函數(shù)無界。

奇偶性
一、定義一般地，對于函數(shù)f(x)（1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。（2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。（3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。（4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
二、奇偶函數(shù)圖像的特征定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關(guān)于原點對稱點（x,y）→（-x,-y）奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。
三、奇偶函數(shù)運(yùn)算1.兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).2.兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).3.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).4.兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).5.兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
6.一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

值域
一、名稱定義函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合。
常用的求值域的方法（1）化歸法（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法（5）換元法（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）判別式法（8）復(fù)合函數(shù)法（9）三角代換法（10）基本不等式法等
二、關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學(xué)中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。
然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。
如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。
才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強(qiáng)了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。
三、“范圍”與“值域”相同嗎？“范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。
“值域”是所有函數(shù)值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。
也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

第八章平面向量(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第八章平面向量

一、基礎(chǔ)知識
定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結(jié)合律。
定理1向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2非零向量a,b共線的充要條件是存在實數(shù)0，使得a=f
定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實數(shù)x,y，使得c=xa+yb，其中a,b稱為一組基底。
定義3向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x,y，使得c=xi+yi，則（x,y）叫做c坐標(biāo)。
定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a,b的夾角為，則a,b的數(shù)量積記作ab=|a||b|cos=|a||b|cosa,b，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。
定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，
1．a(chǎn)+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，
2．λa=(λx1,λy1),a(b+c)=ab+ac，
3．a(chǎn)b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),
4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.
定義5若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x,y),(x2,y2)，則
定義6設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x,y)是F上任意一點，平移到上對應(yīng)的點為，則稱為平移公式。
定理5對于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|ab|≤|a||b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】因為|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|ab|≥0,|a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|ab|≥0,|a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。
例1設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以
例2給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是
【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則
又因為BC與GP互相平分，
所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以
所以
充分性。若，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則因為，則，所以GBCP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。
因為，
所以
=
=①
又因為
同理，②
，③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4△ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。
【證明】首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點E，則連結(jié)CE后得CE
又AHBC，所以AH//CE。
又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。
所以
所以，
所以，
所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。
所以O(shè)G：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5給定非零向量a,b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.
【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.
例6已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】設(shè)，
則，
又，
所以
a(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因為AB=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。
所以a(b-c)=0.所以O(shè)ECD。
4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
例7已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。
【證明】如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點的坐標(biāo)為（x,y），則=(x,y-1),，因為，所以-x-(y-1)=0.
又因為，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
設(shè)，則。由和共線得
所以，即F，
所以=4+，所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(ab)c=(ac)b；③若ab=ac，則b=c；④若a,b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m,y=n；⑤若，且a,b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①；②；③；④與，相等的有__________.
3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,ab=0，則|x|+|y|=__________.
4．設(shè)s,t為非零實數(shù)，a,b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.
5．已知a,b不共線，=a+kb,=la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________條件.
6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________.
7．已知不共線，點C分所成的比為2，，則__________.
8．已知=b,ab=|a-b|=2，當(dāng)△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.
9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1),若，cb=4，則b的坐標(biāo)為__________.
10．將向量a=(2,1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為__________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問與的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，，如果ab=bc=cd=da，試判斷四邊形ABCD的形狀。

四、高考水平訓(xùn)練題
1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，，且ab0，則△ABC的形狀是__________.
3．非零向量，若點B關(guān)于所在直線對稱的點為B1，則=__________.
4．若O為△ABC的內(nèi)心，且，則△ABC的形狀為__________.
5．設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且，則△AOB與△AOC的面積比為__________.
6．P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC的__________心.
7．已知，則||的取值范圍是__________.
8．已知a=(2,1),b=(λ,1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.
9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則的最小值為__________.
10．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.
11．設(shè)G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標(biāo)為(x0,y0),為與的夾角，求tan.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點，點A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實數(shù)p,q滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標(biāo)為___________.
2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對邊長分別為a,b,c.O為平面內(nèi)任意一點，則=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.
3．已知平面上三個向量a,b,c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.
4．平面內(nèi)四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.
5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則取值的集合是___________.
6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點，A，B，C為△ABC的角，若sinA+sinB+sinC，則點O為△ABC的___________心.
7．對于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________條件.
8．在△ABC中，，又(cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，則△ABC三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P為△ABC內(nèi)一點，且，CP交AB于D，求證：
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1,a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(xa)a(x∈V)確定，
（1）對于V的任意兩個向量x,y,求證：T(x)T(y)=xy；
（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；
（3）設(shè)u=(1,0)；，若，求a.
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.
3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點，G是AB的中點，又設(shè)H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i,j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N，求證：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為的向量a,b,c,d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.